微积分第二版课后习题答案
经济管理类微积分龚德恩第二版参考答案 第三章导数与微分
（２） 已知 y ＝ f （３）
a ＋ x
２
x
４ ２
，则 y ′ ＝
f （ θn ） ＝
（５） 设 y ＝f （ x ） ＝x 在点 （１，１ ） 处的切线与 x 轴的交点为 （ θn ，０ ） ， 则 nｌｉｍ
n
１ （４） 曲线 y ＝ ２ 在点 （ － １，１） 的切线方程为 x ；
ｄ （ ａｒｃｓｉｎ x ） ＝ ｄ （ ａｒｃｃｏｓ x ）
１６．求下列各数的近似值 ： （１） ２ 解
１． ００１
（３） ｓｉｎ ２９° ；
； （２） ｌｎ１． ００２； （４）
３
７６ ．
（２ ｌｎ ２） Δ x． （１） 令 f （ x ） ＝ ２ ，ｄ f ＝
x x
取 x０ ＝ １，Δ x－ ０． ００１，则 ２
１． ００ １ １ １
≈ f （１） ＋ ｄf ｜ x ０ ＝１ ， Δ x ＝０ ． ０ ０１ ＝ ２＋ ０． ００２ × ｌｎ２≈２． ００１３８６（ ｌｎ２≈０． ６９３１） ． ｌｎ （１． ００２） ≈ f（１） ＋ ｄf
边际收益为
于是 ，边际利润为
１８．已知某产品的需求函数和总成本函数分别为 ： 其中 x 为销售量 ，P 为价格 ． 解 利润函数为
１ １０ ． L′ （ x） ＝ ［ R （ x） － C（ x） ］ ′ ＝ R′ （ x） － C′ （ x） ＝ ２ － （x ＋ ２） x p＝ １０００ － ２ x ，C （ x ） ＝ ５０００ ＋ ２０ x
２ ２
∴y ′ （ x） ＝ ｌｉｍ Δ x ０
→
＝ （x ＋ Δ x） － x ＋ ３Δ x＝ （２ x ＋ ３＋ Δ x） Δ x Δ y ＝ｌｉｍ （２ x ＋ ３＋ Δ x） ＝ ２x ＋ ３． Δ x Δx → ０
微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2）}{xy y x y x D 4,10),(222≤<+<=（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++=1),(222222c z b y a x y x D（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限：（1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 0020==-+→→=→y yy x y x y y x y所以极限不存在。
微积分--课后习题答案
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）（2） （3） （4）4（1）1limy x →→（2）lim1→→y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 0020==-+→→=→y yy x y x y y x y所以极限不存在。
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社__第六章
(x)
=
max{1,
x2}
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎩
x2
−2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 1 ,于是 1≤ x≤ 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 max{1, x2}dx = −2
−1 x2dx +
−2
1 1dx +
−1
2 1
x2dx
=
1 3
x3
−1 −2
+
x
1 −1
+
1 3
x3
2 1
=
20 3
∫ ∫ 6.
已知 f(x)连续，且 f(2)=3,求 lim x→2
a i)2
+1,
于是
∑ ∑ n
i=1
f (ξi )Δxi
=
n [(a + b − a i)2 +1] b − a
i=1
n
n
∑ =
(b
−
a)
n i=1
[a2
+
(b
−
a)2
i2 n2
+
2 a(b
−
a)
i n
+1]
1 n
= (b − a)[na2 + (b − a)2 ⋅ 1 ⋅ 1 n(n +1)(2n +1) + 2(b − a)a⋅ 1 ⋅ n(n + 1) + n]⋅ 1
x⎡ 2 ⎢⎣
2 t
f
(u)du
⎤ ⎥⎦
dt
(x − 2)2
.
解
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ lim
x→2
x⎡ 2⎣
经济管理类微积分龚德恩第二版参考答案 第二章极限与连续
第二章 极限与连续习 题 二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n； （２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解 （１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０； （２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２＝１（a为常数）．证 （１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε （∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４； （２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解 （１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为 １＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５； （２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证 （１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解 （１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２； （２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解 （１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４； （２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解 （１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）； （２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解 （１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］； （２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解 （１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）； （２）ｌｉｍx →１f （x ）； （３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解 令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为 ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ； （２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx； （２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）； （２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以 原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有 原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解 （１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以 ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ； （４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解 （１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解 （１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝ ；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝ ；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝ ；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝ ，k＝ ；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的 无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的 间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的 间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是 ．答 （１）０； （２）１a； （３）１２a；（４）２００８，１２００８； （５）等价；（６）可去； （７）跳跃； （８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解 （１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的 ．（Ａ）必要条件； （Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是 ．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝ ．（Ａ）０； （Ｂ）１； （Ｃ）不存在； （Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则 ．（Ａ）a ＝－５，b ＝６； （Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时， ．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０； （Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３； （Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间 上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）； （Ｂ）［a ，b ］； （Ｃ）［a ，b ）； （Ｄ）（a ，b ］．答 （１）Ｄ； （２）Ｄ； （３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ； （６）Ｄ； （７）Ｃ； （８）Ｂ．解 （１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞， ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为ｌｉｍx →１f （x ）g （x ）＝ｌｉｍx →１１－x １＋x ·１１－３x＝ｌｉｍx →１（１－３x ）（１＋３x ＋３x ２）（１＋x ）（１－３x ）＝ｌｉｍx →１１＋３x ＋３x２１＋x ＝３２≠１所以，应选（Ｄ）．（６）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）均在x ＝０处不连续．因为（Ａ）f （０－０）＝１≠f （０＋０）＝０；（Ｂ）f （０－０）＝０，f （０＋０）＝＋∞；（Ｃ）f （０－０）＝１≠f （０＋０）＝－１；因为ｌｉｍx →０（１－ｅ－１／x ２）＝ｌｉｍx →０１－１ｅ１／x ２＝１－０＝１＝f （０）故（Ｄ）中f （x ）在x ＝０处连续；在x ≠０处为初等函数，连续．因此，在定义域（－∞，＋∞）内连续．故应选（Ｄ）．（７）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｄ）均不符合要求．因为（Ａ）应有x ２＋２x －３＝（x －１）（x ＋３）≥０痴x ≤－３或x ≥１；（Ｂ）应有x ２－２x －３＝（x ＋１）（x －３）≥０痴x ≤－１或x ≥３；（Ｃ）应有x ２－４x ＋３＝（x －１）（x －３）≥０痴x ≤１或x ≥３；（Ｄ）应有x ２＋４x ＋３＝（x ＋１）（x ＋３）≥０痴x ≤－３或x ≥－１．由此可知，应选（Ｃ）．（８）选（Ｂ）．３．证明：若ｌｉｍx →x ０f （x ）＝a ，则ｌｉｍx →x０f （x ）＝a ；举例说明，反之不一定成立．证 因ｌｉｍx →x０f （x ）＝a ，所以对任意给定的ε＞０，存在δ＞０，使当０＜x －x ０＜δ时，恒有f （x ）－a＜ε于是有｜｜f （x ）｜－｜a ｜｜≤｜f （x ）－a ｜＜ε因此有ｌｉｍx →x ０｜f （x ）｜＝｜a ｜反之不一定成立．例如，设f （x ）＝－１，x ＜０１x ＞０则ｌｉｍx →０｜f （x ）｜＝ｌｉｍx →０１＝１而ｌｉｍx →０－f （x ）＝－１，ｌｉｍx →０＋f （x ）＝１，左、右极限存在，但不相等，故ｌｉｍx →０f （x ）不存在．４畅求下列极限：（１）ｌｉｍn →∞３１２·２２＋５２２·３２＋…＋２n ＋１n ２（n ＋１）２；（２）ｌｉｍn →∞１n ２＋n ＋１＋２n ２·n ＋２＋…＋nn ２＋n ＋n；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n ）１／n ； （４）ｌｉｍn →∞３n ｓｉｎx３n ．解 （１）因为２n ＋１n ２（n ＋１）２＝１n ２－１（n ＋１）２，n ＝１，２，３，…所以原式＝ｌｉｍn→∞１１２－１２２＋１２２－１３２＋…＋１n ２－１（n ＋１）２＝ｌｉｍn →∞１－１（n ＋１）２＝１（２）因为１n ２＋n ＋n ＋２n ２＋n ＋n ＋…＋n n ２＋n ＋n ＝１＋２＋…＋n n ２＋２n＝n ＋１２（n ＋２）＜１n ２＋n １＋１＋２n ２＋n ＋２＋…＋nn ２＋n ＋n＜１n ２＋n ＋１＋２n ２＋n ＋１＋…＋n n ２＋n ＋１＝１＋２＋…＋n n ２＋n ＋１＝n （n ＋１）２（n ２＋n ＋１）而ｌｉｍn→∞n ＋１２（n ＋２）＝１２， ｌｉｍn →∞n ＋１２（n ２＋n ＋１）＝１２所以，由夹逼定理得 原式＝１２（３）原式＝ｌｉｍn →∞２n１＋１２n １／n＝２ｌｉｍn →∞１＋１２n １／n ＝２×１０＝２（４）原式＝ｌｉｍn →∞１x ３n ·ｓｉｎx ３n ·x ＝x ．５畅设x １＝１，x n ＝１＋x n －１１＋x n －１（n ＝２，３，…）．求ｌｉｍn →∞x n ．解 显然，０＜x n ＜２（n ＝１，２，…），即x n 有界．另一方面，显然有x １＜x ２，设x n －１＜x n ，则x n ＋１－x n ＝１＋x n １＋x n －１＋x n －１１＋x n －１＝x n －x n －１（１＋x n ）（１＋x n －１）＞０即x n ＜x n ＋１．因此，x n 单调增加．由于x n 单调有界，故极限存在．设ｌｉｍn →∞x n ＝a则由x n ＝１＋x n －１１＋x n －１两边同时取极限，得a ＝１－a１＋a由此解得ｌｉｍn →∞x n ＝a ＝１２（１＋５） （舍去负值）．６畅求下列极限：（１）ｌｉｍx →０１xｌｎ１＋８x ；（２）ｌｉｍx →x ０a x－a x０x －x ０（０＜a ≠１）；（３）ｌｉｍx →∞９x ２＋x －８－１x ２＋ｓｉｎx；（４）ｌｉｍx →０ｌｎ（ｃｏｓ２x ＋１－x ２）ｅx ＋ｓｉｎx＋（１＋x ）２／x ；（５）ｌｉｍx →π／２１ｓｉｎx －１ｓｉｎx ＋ｓｉｎ２＋…＋ｓｉｎn x －n ；（６）ｌｉｍx →∞１－５xx；（７）ｌｉｍx →∞１＋３x ＋２x２x；（８）ｌｉｍx →∞ｓｉｎ１x ＋ｃｏｓ１x x；（９）ｌｉｍx →＋∞１xｌｎ（１＋x ）－ｌｎx ；（１０）ｌｉｍx →＋∞x a １／x－b１／x （a ＞０，b ＞０）解（１）原式＝４ｌｉｍx →０１８xｌｎ（１＋８x ）＝４ｌｉｍx →０ｌｎ（１＋８x ）１／８x＝４×１＝４．（２）令u ＝x －x ０，则x →x ０时，u →０，于是原式＝ｌｉｍu →０au ＋x ０－a x０u ＝a x ０ｌｉｍu →０a u－１u由式（２畅２４）知，a u－１～u ｌｎa ．从而有原式＝a x０ｌｉｍu →０u ｌｎa u＝a x ０ｌｎa ．（３）原式＝ｌｉｍx→∞｜x ｜q ＋１x －８x２－１｜x ｜１＋（ｓｉｎx ）／x２＝ｌｉｍx →∞q ＋１x －１x ２－１｜x ｜１＋（ｓｉｎx ）／x２＝３１＝３（４）因为ｌｉｍx →０ｌｎ（ｃｏｓ２x ＋１－x ２）＝ｌｎｌｉｍx →０（ｃｏｓ２x ＋１－x ２）＝ｌｎ２，ｌｉｍx →０（ｅx＋ｓｉｎx ）＝ｅｌｉｍx →０x＋ｌｉｍx →０ｓｉｎx ＝１≠０，ｌｉｍx →０（１＋x ）２／x＝ｌｉｍx →０（１＋x ）１／x２＝ｅ２．所以原式＝ｌｉｍx →０ｌｎ（ｃｏｓ２x ＋１－x ２）ｌｉｍx →０（ｅx＋ｓｉｎx ）＋ｌｉｍx →０（１＋x ）２／x＝ｌｎ２１＋ｅ２＝ｌｎ２＋ｅ２（５）因为 ｓｉｎx ＋ｓｉｎ２x ＋…＋ｓｉｎnx －n ＝（ｓｉｎx －１）＋（ｓｉｎ２x －１）＋…＋（ｓｉｎnx －１）＝（ｓｉｎx －１）［１＋（ｓｉｎx ＋１）＋＋（ｓｉｎn －１x ＋…＋ｓｉｎx ＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →π／２［１＋（ｓｉｎx ＋１）＋…＋（ｓｉｎn －１x ＋…＋ｓｉｎx ＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）（６）原式＝ｌｉｍx →∞１＋－５x（－５／x ）－５＝ｅ－５（７）原式＝ｌｉｍx →∞１＋３x ＋２x２x＝ｌｉｍx →∞１＋３x ＋２x２x ２／（３x ＋２）（３x ＋２）／x＝ｅ３（８）令u ＝１x，则x →∞时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）１／u ＝ｌｉｍu →０（ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）２１／２u＝ｌｉｍu →０（１＋ｓｉｎ２u ）１／２u＝ｌｉｍu →０［（１＋ｓｉｎ２u ）１／ｓｉｎ２u］ｓｉｎ２u ／２u＝ｅ１＝ｅ．（９）原式＝ｌｉｍx →＋∞ｌｎ１＋１x１／x＝ｌｎｌｉｍx →＋∞１＋１x１／x＝ｌｎ１＝０（１０）令u ＝１x，则x →＋∞时，u →０＋．于是原式＝ｌｉｍu →０＋a u－b uu ＝ｌｉｍu →０＋（a u－１）－（b u－１）u＝ｌｉｍu →０＋u ｌｎa －u ｌｎb u ＝ｌｎa －ｌｎb ＝ｌｎa b７畅设f （x ）＝ｌｉｍu →＋∞１uｌｎ（ｅu ＋x u ），（x ＞０）：（１）求f （x ）；（２）讨论f （x ）的连续性．解（１）x ＝ｅ时，f （ｅ）＝ｌｉｍu →＋∞１uｌｎ（２ｅu ）＝ｌｉｍu →＋∞１u （ｌｎ２＋u ）＝１；０＜x ＜ｅ时，f （x ）＝ｌｉｍu →＋∞１u ｌｎｅu １＋x ｅu＝１＋ｌｉｍu →＋∞１u ｌｎ１＋x ｅu＝１x ＞ｅ时，f （x ）＝ｌｉｍu →＋∞１u ｌｎx u １＋ｅxu＝ｌｉｍu →＋∞ｌｎx ＋１u ｌｎ１＋ｅx u＝ｌｎx所以f （x ）＝１，０＜x ≤ｅｌｎx ，x ＞ｅ（２）因为f （ｅ－０）＝１，f （ｅ＋０）＝ｌｉｍx ＞ｅ＋ｌｎx ＝１，f （ｅ）＝１可见f （x ）在x ＝ｅ处连续．又因在（０，ｅ）内f （x ）≡１，连续；在（ｅ，＋∞）内f （x ）＝ｌｎx ，连续．综上所述，f （x ）在（０，＋∞）内连续．８畅证明下列方程在给定区间内至少存在的一个根：（１）x ·３x＝１，x ∈［０，１］；（２）x ３＋px ＋q ＝０（p ＞０），x ∈（－∞，＋∞）；（３）x ＝a ｓｉｎx ＋b （a ＞０，b ＞０），x ∈［０，a ＋b ］．证 （１）令f （x ）＝x ·３x－１则f （x ）为初等函数，在［０，１］上连续，且f （０）＝－１＜０，f （１）＝２＞０所以，由零值定理可知，方程f （x ）＝x ·３x－１＝０在（０，１）内至少有一实根，即存在ξ∈（０，１），使得f （ξ）＝０，即ξ·３ξ＝１（２）令f （x ）＝x ３＋px ＋８因为ｌｉｍx →－∞f （x ）＝－∞，所以，存在x １∈（－∞，０），使得f （x １）＜０类似地，因为ｌｉｍx →＋∞f （x ）＝＋∞，故存x ２∈（０，＋∞），使得f （x ２）＞０因f （x ）为多项式函数，在闭区间［x １，x ２］上连续，故由零值定理可知，f （x ）＝x ３＋px ＋q ＝０在（x １，x ２）炒（－∞，＋∞）内至少有一个实根．（３）令f （x ）＝a ｓｉｎx ＋b －x则f （x ）在［０，a ＋b ］上连续，且有f （０）＝b ＞０，f （a ＋b ）＝a ｓｉｎ（a ＋b ）＋b －（a ＋b ）＝a ［ｓｉｎ（a ＋b ）－１］若ｓｉｎ（a ＋b ）＝１，则f （a ＋b ）＝０，x ＝a ＋b 为所求，若ｓｉｎ（a ＋b ）＜１，则f （a ＋b ）＜０，f （x ）＝０在（０，a ＋b ）内至少有一实根．。
微积分第二版课后习题答案
微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。
16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。
20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
微积分第2版-朱文莉第4章 导数应用习题详解
第四章习题解答习题4.1(A)1、验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理.如果满足，试求出定理中的ξ:(1) 3(),[1,1]=-∈-f x x x x ； (2) ,01()0,1≤<⎧=⎨=⎩x x f x x .解 (1) 显然函数3()=-f x x x 在[1,1]-上连续,在(1,1)-内可导, 有2()31f x x '=-,(1)(1)0-==f f . 因此,该函数在区间上满足罗尔定理条件.令2()310. f ξξξ'=-==得 (2) 不满足, 函数()f x 在闭区间[0,1]上不连续.2、验证下列各函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理，如果满足，试求出定理中的ξ.(1) 311)(-+=x x f ([2,9])x ∈； (2) 1)(-=x x f ([0,3])x ∈.解 (1) 函数311)(-+=x x f 在[2,9]上连续,在(2,9)内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,所以(9)(2)'()(92) f f f ξ-=-解之得,1ξ=±(舍负). (2) 因为()11f x x x =-=在处不可导,故不满足拉格朗日中值定理.3、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξ'=-.证 令=⋅()()xF x e f x ，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0==()()F a F b ，即满足罗尔中值定理的条件，于是在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得0'=()F ξ即0''==()[()+()]F e f f ξξξξ于是，至少存在一点∈(,)a b ξ，使得0'=()+()f f ξξ, 即()()f f ξξ'=-.4、证明不等式：(1) ,,sin sin ∈-≤-x y R x y x y ；(2) 当0<<a b 时，ln --<<b a b b ab a a； 证 (1) 设()sin f t t =,且x y <,显然()f t 在[,]x y 上满足拉格朗日中值定理条件, 则至少存在一点()x y ξξ<<,使得sin sin cos ()y x y x ξ-=-又因为cos 1ξ≤,所以不等式sin sin y x y x -≤-(2) 令 ()ln , [,]=∈f x x x a b则函数()f t 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且1()f x x'=于是，由拉格朗日中值定理，至少存在一点(,)∈a b ξ，使得()()()()'-=-f b a f b a ξ即 ln ln ln --==b b ab a a ξ由于0<<<a b ξ时，则当0>>b a 时有ln --<<b a b b ab a a. 5、设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，()0≠g x ，试证:至少存在一个(,)∈a b ξ，使()()()()f g f g ξξξξ''=证 令)()()(x g x f x F =，则函数()F x 在区间[,]a b 上满足罗尔定理条件，即至少存在一点(,)∈a b ξ，使得2()()()()()0 ()f g g f F g ξξξξξξ''-'==即 ()()()()f g g f ξξξξ''=.习题4.1(B)1、验证柯西中值定理对函数3()2=++f x x x 及2()1=+g x x 在区间[0,1]上的正确性，并求出相应的ξ值.解 因为3()2f x x x =++及2()1g x x =+在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且在(0,1)内,02)('≠=x x g 故满足柯西中值定理条件,由柯西中值定理得(1)(0)()(0,1) (1)(0)()f f f g g g ξξξ'-=∈'-解之得 1,13==ξξ（舍去）2、设()(1)(2)(3)(4)=----f x x x x x ，用罗尔中值定理判断方程()0f x '=有几个根，并指出根所在的范围.解 由于函数()f x 在闭区间[1,2]上连续, 在开区间(1,2)内可导, 且(1)(2)f f =. 所以由罗尔定理可知, 存在1(1,2)ξ∈使得1()0f ξ'=. 同理可证, 存在2(2,3)ξ∈,3(3,4)ξ∈使得23()()0f f ξξ''==, 即123,,ξξξ都是方程()0f x '=的根. 另一方面, 方程()0f x '=是三次多项式, 所以它最多有三个实根, 从而123,,ξξξ是方程()0f x '=的所有的根.3．设()f x 在(,)()()(0)1().上满足，且，试证'-∞+∞xf x f x f f x ===e 证明 因为()()'f x f x =，所以()()'f x f x =1，而[]()ln ()()''=f x f x f x =1，()1'x =，由推论2得ln ()-=f x x C 。
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微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。
16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。
20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。
26. (a)f不是a到b的映射，因为a中元素4没有b中的元素对应；（b）f不是a到b的映射，因为a中的元素2有两个b内的元素a和e对应；(c)f是a到b的一个映射；（d）f是a到b的映射。
27. f1:a?b:f(x)x＃1,0y＃1,0z 1}0,f(y)=0,f(z)=0f2:a?b:f(x)0,f(y)=0,f(z)=1 f3:a?b:f(x)0,f(y)=1,f(z)=0f4:a?b:f(x)0,f(y)=1,f(z)=1 f5:a?b:f(x)1,f(y)=0,f(z)=0f6:a?b:f(x)1,f(y)=0,f(z)=1 f7:a?b:f(x)1,f(y)=1,f(z)=0f8:a?b:f(x)1,f(y)=1,f(z)=1共有8种映射28. (a)此映射为满射，但非单射；（b）此映射双射，其逆映射为f-1(y)=y-c；(c)此映射为双射，其逆映射为f-1:b?a f-1(x)=（d）此映射为单射，但非满射，当然不是双射。
29. f:z?a，f(x)=2x ； f+-1x； 2x. 2:a?z+f-1(x)=?,当偶数时.?2+?-n+1,当n为奇数时.??231.（a）m3n（b）m￡n （c）m=n 32.g?f(a)=b,g?f(b)=c,g?f(c)=c,g?f(d)=b. g?f(x)x.33. g?f:a?c,34. 证明：因为对x a，必有(x,y)未ab（因为b非空）使p1(x,y)=x，所以p1为满射.同理可证p2为满射。
p1为单射的充要条件是b只有一个元素；p2为单射的充要条件是a只有一个元素。
习题0.2xx0}1. {.2. xx3 或 x-1. 3. x4kpx(4k+2)p,k ?.4. xx2.5.严格单调减少.6.严格单调增加.7.单调减少.8.严格单调增加.9.偶函数.10.奇函数.11.奇函数. 12.非奇非偶函数. 13.证明：若x11{}{}{}x2，则有f(x1)=11，f(x2)=，所以，f(x1)1x1x2f(x2)，因此f是一对一的. f(x)=11-1的反函数为f(y)=，所以，反函数为其自身。
定义域为{x,x10}.yx14. f-1(x)=-x?(0, ).15.证明：若x11x2，则f(x1)=1-x11-x2，f(x2)=，反证，如果f(x1)=f(x2)?2x11+x21+x1f(x2)，即f是一对一的.2x2，即x1=x2矛盾，所以，f(x1)1由y=1-y1-x1-x-1得x=，因此f的反函数为f(x)=，即为其自身，定义域为1+y1+x1+x1}.{xx?16. f-1(x)=-x (0,1).17.略. 18.提示：按奇函（偶）数定义证明.19.证明：反证，假设f为严格单调增加的偶函数，则对x1x2，有f(x1)f(x2) 另一方面：-x1-x2，所以有f(x1)=f(-x1)f(-x2)=f(x2)，矛盾。
20.非周期函数. 21.略 22. 是。
例如，f(x)=11sin,g(x)=x，在(0,+ xx)皆无界，但f(x)g(x)=sin1在x(0,+ )有界.23.证明：对m0，存在x0=上无界。
24. f(g(x))=2;2x1x0)=m+1m使f( (0,1)，m+1，所以f(x)在(0,1)g(f(x))=2x.2骣111=25. f(f(x))=1-， f(f(f(x)). =)，x ff(x)xx桫26. f(x)=arccosu,u=v,27. f(x)=logbu+e，u=u2v2v=cosw,w=ex+lnx.122，wt=1+x，v=s，s=tanx. w28. f(x)=e,u=-x+2v,v=sinx.29. f(x)=cotu，u=e，v=wt,w=,t=lnx.v1x1. 数列的极限习题1.11.不能，例如取an=(-1),a=0,e=2,3,4,5,6,?.2.不能，例如取an=1+(-1),n=1,2,3,?,a=0. 3.能，因为对e0，必存在正整数k，使nn14.存在一个e00，对任何n0，总存在n0n，使an0-a e0.5.提示：利用数列极限定义.6~11. 略。
12.提示：按极限定义，可取e=a2.13.提示：利用极限定义，可取e=a-b. 14.提示：按极限定义证明. 215.提示：利用极限定义.16.反之不一定成立. 17.当{yn}无界时，有以下各种情况：（1）{xnyn}极限仍为零，例如，xn=1,n2yn=n,n=1,2,3,?； 1,yn=n,n=1,2,3,?； n（2）{xnyn}极限存在，但非零，例如，xn=（3）{xnyn}极限不存在，例如：xn=或 xn=1,yn=n2,n=1,2,3,? n1n1+(-1)n,n=1,2,3,? ，yn=轾臌n2k+118.提示：根据数列与子数列极限之间的关系证明.11119.利用极限的定义. 20. {(2k+1)(-1)}:1,,,?,,?.352k+121.利用极限的定义. 22.根据夹逼定理证明.23.（1）1. （2）1.（3）0.（4）9. （5）0. 24. （1）0. （2）31. （3）0.（4）4. （5）.（6）0. 2311a+b（7）. （8）.（9）-. （10）1.522nn+125.不一定，例如：xn=1+(-1),yn=1+(-1)26.不一定，例如xn=(-1),yn=(-1)n,n=1,2,3,?.,n=1,2,3,?.27. {xn+yn}必发散。
反证，因为若{xn+yn}收敛，则有yn=(xn+yn)-xn 与已知矛盾.28.不一定，例如xn=1+(-1),yn=1+(-1)nn+1{yn}收敛，,n=1,2,3,?.an(-1)n=1，例如：an=,n=1,2,3,?. 29.必有liman+1=a，但不能推出lim n?n?ann+130.当pq时，为￥；当p=q时，为apbq；当pq时，为0.【篇二：微积分2习题答案】p(x)?6x3lim?3，则p(x)??21．设p(x)是x的多项式，且lim，2x?0x??xx ?3222．limx?x?x))? 6x?2x?3x↑x???6??2?3．lim?1??? e3x??x??x3?ax?x?4?a，则有a? ，a?4，－2 4．设limx?1x?12sinx5．设f(x)?xsin?，则limf(x)? 2x??xx1x2?sin3x?sinx? 1 6．limx?033x2?x7．函数y?的间断点是x?1(x?1)(x?2)18．为使函数f?x???tanx在点x?0处连续，应补充定义f?0??x3 ?x?x?0在x?0处连续，则参数k? e?3 9．设函数y??(1?x)?x?0?k?x?ax?010．函数f(x)??x在点x?0处连续，则a? 2?e?1x?0二、单项选择题1．设xn?0，且limxn存在，则limxn②n??n??x32①?0②?0 ③?0④?0 2．极限limex?11?③①?②1 ③不存在④0 3．lim(1?x)1?④x?0x??x?1?1①e；②e；③e?1；④e?1?1x?limxsinx?3的连续区间是__________________②x?1x?2①???,?2????2,?1????1,??? ②?3,???③???,?2????2,??? ④???,?1????1,???x?x?15．函数y?的不连续点有③?x?1x?14．y?①2个②3个③4个④4个以上6．下列函数中，.当x?0时，与无穷小量x相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，②2①1?cosx ②x?x ③x④sin2x7．当x?0时，sinx与|x|相比是②①高阶无穷小量②低阶无穷小量③同阶但不等价的无穷小量④等价无穷小量?8．当x?0时，1?cos2x与x2相比是②①高阶无穷小量②同阶但不等价的无穷小量③低阶无穷小量④等价无穷小量?sin3x??,x?09．设f?x??? 为连续函数，则k =_______________ ② x?kx?0?① 1②－3③ 0 ④ 310．函数f?x?在点x0处有定义是f?x?当x?x0时极限存在的④①充分但非必要条件②必要但非充分条件③充分必要条件④既非充分又非必要条件11．当x?0时，下列函数中比x高阶的无穷小量是②①x?sinx ②x?sinx③ln1?x ④ln?1?x? 12．当x?0时，下列函数中为无穷小量的是②①x?sin1111②x?sin③?sinx ④?sinx xxxx13．当x??时，下列函数中为无穷小量的是③1111②x?sin③?sinx ④?sinx xxxx14．设在某个极限过程中函数f?x?与g?x?均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷①x?sin大量③① f?x??g?x? ② f?x??g?x?③ f?x??g?x? ④x?x0x?x0f?x??b，limf?x??c，则函数f?x?在点x0处连续的充分必要15．设f?x0??a，lim??条件是④①a?b②a?c ③b?c ④a?b?cf?x? gx?x2?1x1?1?16．x?1是f(x)??x?1e?0?x?1的④ x?1①连续点②跳跃间断点③可去间断点④无穷间断点三、求下列极限1．lim(x?1?x)?limx???221x?1?x2x????02．lim(x?1?x)???x???3．lim(x?2x?2?x???2x2?2x?2)4x2?limx???x?2x?2?x?2x?22?lim41?2222?2???2xxxxx????24．lim?arctanx?arcsin??0?x???1?x?7(x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)25．lim（?）x??2(10x?1)(11x?1)nnn?2???2)6．lim(2n??n?1n?2n?nnnn?2???2[解] 记xn?2 n?1n?2n?nnnnnnn?2???2?xn?2?2???2因为 2n?nn?nn?nnnnnn?xn?1，由于lim?1，所以由夹逼定理，得limxn?1 即n??n??n?1n?1n?7．设lim??2006，求?,?n??n?(n?1)?[解] 原式左端?limn??n?????1??1?1????n1?1???o???n?1??1????n?n??????n???n?1?lim?（????1）n????1???n??1???o???n??n???由于极限存在，故????1。