微积分第二版课后习题答案

【篇一：微积分(上册)习题参考答案】

0.1

1.（a）是（b）否（c）是（d）否

2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是

1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.

f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{

{2,3,4},{1,2,3,4}.

4. a?b

5. a?b

6~15. 略。

16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,

②如果x?c，则x?b，所以x?a

a-(b-c)?(ab)惹(ac).

再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).

若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.

①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是

x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).

综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。 20. cda.

21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};

禳1镲

xx?r,睚

2镲铪

参考答案

禳禳11镲镲

，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚

镲镲44铪铪禳1镲

a=睚-1,-,0,1,2,7.

镲4铪

xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.

b-c

b-c;

(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹

a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};

b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}

22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0

23~25. 略。

26. (a)f不是a到b的映射，因为a中元素4没有b中的元素对应；（b）f不是a到b的映射，因为a中的元素2有两个b内的元素a

和e对应；

(c)f是a到b的一个映射；

（d）f是a到b的映射。 27. f1:a?b:f(x)

x＃1,0

y＃1,0

z 1}

0,f(y)=0,f(z)=0

f2:a?b:f(x)0,f(y)=0,f(z)=1 f3:a?b:f(x)0,f(y)=1,f(z)=0

f4:a?b:f(x)0,f(y)=1,f(z)=1 f5:a?b:f(x)1,f(y)=0,f(z)=0

f6:a?b:f(x)1,f(y)=0,f(z)=1 f7:a?b:f(x)1,f(y)=1,f(z)=0

f8:a?b:f(x)1,f(y)=1,f(z)=1

共有8种映射

28. (a)此映射为满射，但非单射；（b）此映射双射，其逆映射为f

-1

(y)=y-c；

(c)此映射为双射，其逆映射为f-1:b?a f-1(x)=

（d）此映射为单射，但非满射，当然不是双射。 29. f:z?a，

f(x)=2x ； f

-1

； 2

x. 2

:a?z+f-1(x)=

?,当偶数时.?2+

?-n+1

,当n为奇数时.??2

31.（a）m3n（b）m￡n （c）m=n 32.g?f(a)=b,

g?f(b)=c,g?f(c)=c,g?f(d)=b. g?f(x)x.

33. g?f:a?c,

34. 证明：因为对x a，必有(x,y)未ab（因为b非空）使p1(x,y)=x，所以p1为满射.同理可证p2为满射。

p1为单射的充要条件是b只有一个元素；p2为单射的充要条件是

a只有一个元素。

习题0.2

xx0}1. {.2. xx3 或 x-1. 3. x4kpx(4k+2)p,k ?.

4. xx2.

5.严格单调减少.

6.严格单调增加.

7.单调减少.

8.严格单调增加.

9.偶函数.10.奇函数.11.奇函数. 12.非奇非偶函数. 13.证明：若

x11

{}{}

{}

x2，则有f(x1)=

，f(x2)=，所以，f(x1)1x1x2

f(x2)，因此f是

一对一的. f(x)=

11-1

的反函数为f(y)=，所以，反函数为其自身。定义域为{x,x10}.

14. f

-1

(x)=-x?(0, ).

15.证明：若x11x2，则f(x1)=

1-x11-x2

，f(x2)=，反证，如果f(x1)=f(x2)?2x1

1+x21+x1

f(x2)，即f是一对一的.

2x2，

即x1=x2矛盾，所以，f(x1)1由y=

1-y1-x1-x-1

得x=，因此f的反函数为f(x)=，即为其自身，定义域为

1+y1+x1+x1}.

{xx?

16. f

-1

(x)=-x (0,1).17.略. 18.提示：按奇函（偶）数定义证明.

19.证明：反证，假设f为严格单调增加的偶函数，则对x1x2，有

f(x1)f(x2) 另一方面：-x1-x2，所以有f(x1)=f(-x1)f(-x2)=f(x2)，矛盾。

20.非周期函数. 21.略 22. 是。例如，f(x)=

sin,g(x)=x，在(0,+ xx

)皆无界，但f(x)g(x)=sin

在x

(0,+ )有界.

23.证明：对m0，存在x0=上无界。 24. f(g(x))=2;

x0)=m+1m使f( (0,1)，

m+1

，所以f(x)在(0,1)

g(f(x))=2x.

骣111

=25. f(f(x))=1-， f(f(f(x)). =)，x ff(x)xx桫

26. f(x)=arccosu,u=v,27. f(x)=logbu+e，u=

v=cosw,w=ex+lnx.

122

，wt=1+x，v=s，s=tanx. w

28. f(x)=e,u=-x+2v,v=sinx.

29. f(x)=cotu，u=e，v=wt,w=,t=lnx.

1. 数列的极限

习题1.1

1.不能，例如取an=(-1),a=0,e=2,3,4,5,6,?.

2.不能，例如取

an=1+(-1),n=1,2,3,?,a=0. 3.能，因为对e0，必存在正整数k，使

4.存在一个e00，对任何n0，总存在n0n，使an0-a e0.

5.提示：利用数列极限定义.

6~11. 略。 12.提示：按极限定义，可取e=

13.提示：利用极限定义，可取e=

a-b

. 14.提示：按极限定义证明. 2

15.提示：利用极限定义.16.反之不一定成立. 17.当{yn}无界时，有以下各种情况：（1）{xnyn}极限仍为零，例如，xn=

1,n2

yn=n,n=1,2,3,?； 1

,yn=n,n=1,2,3,?； n

（2）{xnyn}极限存在，但非零，例如，xn=（3）{xnyn}极限不存在，例如：xn=

或 xn=

,yn=n2,n=1,2,3,? n

1+(-1)n,n=1,2,3,? ，yn=轾臌n

2k+1

18.提示：根据数列与子数列极限之间的关系证明.

11119.利用极限的定义. 20. {(2k+1)(-1)}:1,,,?,,?.

2k+1

21.利用极限的定义. 22.根据夹逼定理证明.

23.（1）1. （2）1.（3）0.（4）9. （5）0. 24. （1）0. （2）

. （3）0.（4）4. （5）.（6）0. 2311a+b

（7）. （8）.（9）-. （10）1.

522

n+1

25.不一定，例如：xn=1+(-1),yn=1+(-1)26.不一定，例如xn=(-1),yn=(-1)

,n=1,2,3,?.

27. {xn+yn}必发散。反证，因为若{xn+yn}收敛，则有

yn=(xn+yn)-xn 与已知矛盾.

28.不一定，例如xn=1+(-1),yn=1+(-1)

n+1

{yn}收敛，

,n=1,2,3,?.

an(-1)n

=1，例如：an=,n=1,2,3,?. 29.必有liman+1=a，但不能推出lim n?n?ann+1

30.当pq时，为￥；当p=q时，为

apbq

；当pq时，为0.

【篇二：微积分2习题答案】

p(x)?6x3

lim?3，则p(x)??21．设p(x)是x的多项式，且lim，2x?0x??xx ?322

2．limx?x?x))? 6x?2x?3x↑

x???6

??2?

3．lim?1??? e3

x??x??

x3?ax?x?4

?a，则有a? ，a?4，－2 4．设lim

x?1x?1

2sinx

5．设f(x)?xsin?，则limf(x)? 2

x??xx

x2?sin3x?sin

x? 1 6．lim

x?033x2

7．函数y?的间断点是x?1

(x?1)(x?2)

8．为使函数f?x???tanx在点x?0处连续，应补充定义f?0??x3 ?x?x?0在x?0处连续，则参数k? e?3 9．设函数

y??(1?x)?x?0?k

?x?ax?0

10．函数f(x)??x在点x?0处连续，则a? 2

?e?1x?0

二、单项选择题

1．设xn?0，且limxn存在，则limxn②

n??

①?0②?0 ③?0④?0 2．极限lime

x?1

1?③

①?②1 ③不存在④0 3．lim(1?x)

?④

x?0x??x

?1?1

①e；②e；③e?1；④e?1

?limxsin

x?3

的连续区间是__________________②

x?1x?2①???,?2????2,?1????1,??? ②?3,???

③???,?2????2,??? ④???,?1????1,???

x?x?1

5．函数y?的不连续点有③

?x?1x?1

4．y?

①2个②3个③4个④4个以上

6．下列函数中，.当x?0时，与无穷小量x相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，②

①1?cosx ②x?x ③

x④sin2x

7．当x?0时，sinx与|x|相比是②

①高阶无穷小量②低阶无穷小量③同阶但不等价的无穷小量④等价无穷小量

8．当x?0时，1?cos2x与x2相比是②①高阶无穷小量②同阶但不等价的无穷小量

③低阶无穷小量④等价无穷小量

?sin3x??,x?0

9．设f?x??? 为连续函数，则k =_______________ ② x

?kx?0?

① 1②－3③ 0 ④ 3

10．函数f?x?在点x0处有定义是f?x?当x?x0时极限存在的④①充分但非必要条件②必要但非充分条件

③充分必要条件④既非充分又非必要条件

11．当x?0时，下列函数中比x高阶的无穷小量是②

①x?sinx ②x?sinx③ln1?x ④ln?1?x? 12．当x?0时，下列函数中为无穷小量的是②①x?sin

1111

②x?sin③?sinx ④?sinx xxxx

13．当x??时，下列函数中为无穷小量的是③

1111

②x?sin③?sinx ④?sinx xxxx

14．设在某个极限过程中函数f?x?与g?x?均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷

①x?sin

大量③① f?x??g?x? ② f?x??g?x?③ f?x??g?x? ④

x?x0

f?x??b，limf?x??c，则函数f?x?在点x0处连续的充分必要15．设f?x0??a，lim??

条件是④

①a?b②a?c ③b?c ④a?b?c

f?x? gx?x2?1x1

?1?

16．x?1是f(x)??x?1e

?0?

x?1的④ x?1

①连续点②跳跃间断点③可去间断点④无穷间断点三、求下列极限

1．lim(x?1?x)?lim

x???

1x?1?x

x???

2．lim(x?1?x)???

x???

3．lim(x?2x?2?

x???

x2?2x?2)

?lim

x???

x?2x?2?x?2x?2

?lim

2222

?2???2xxxx

x???

4．lim?arctanx?arcsin??0

x??

?1?x?

7(x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2

5．lim（?）

x??2(10x?1)(11x?1)

nnn

?2???2)6．lim(2

n??n?1n?2n?n

nnn

?2???2[解] 记xn?2 n?1n?2n?nnnnnnn

?2???2?xn?2?2???2因为 2

n?nn?nn?nnnnnn?xn?1，由于lim?1，所以由夹逼定理，得limxn?1 即

n??n??n?1n?1

7．设lim??2006，求?,?

n??n?(n?1)?

[解] 原式左端?lim

n??

??1??1?1????n1?1???o???n?1??1????n?n??????n???

n?1

?lim?（????1）

n????1???n??1???o???n?

?n???

由于极限存在，故????1。

1200511?1??，????1? ??2006 ???

200620062006?

四、分析题

|sinx|

1．讨论极限lim

x?0x|sinx||sinx|

?1lim??1，故原极限不存在。 [解] 因为lim，

x?0?x?0?xxx2?1

2．求y?2的间断点，并判别间断点的类型。

x?3x?2

x2?1x2?12

??2，lim2?? [解] 因为x?3x?2?(x?1)(x?2)，而lim2

x?1x?3x?2x?2x?3x?2

因此有间断点：x?1为可去间断点，x?2为无穷间断点。.

3．求函数y?6x?的连续区间，若有间断点，试指出间断点的类型。

[解] 函数的连续区间为(??,0)?(0,??)，点x?0为函数的第二类无穷

间断点。

n??

?lim

4．讨论函数f(x)?lim?

?x?1?

?t?xt?1??

tx?t

的连续性。

t令y?x?t

t?1x?t

x?yx?t??x?1??

[解]

f(x)?lim?lim?1?y?y(x?1)?ex?1 ??lim?1???t?xt?1t?xy?0t?1????在点x?1处没有定义，是间断点，故f(x)的连续区间为

(??,1)?(1,??)，点x?1为f(x)的第二类无穷间断点。

?cosxx?0

在点x?0处的连续性。

?x?1x?0f(x)?limcosx?1，limf(x)?lim(x?1)?1 [解] ?lim????

5．讨论函数f(x)??

x?0

∴ f(x)在点x?0处连续性。

?a?a?x

x?0??x6．设函数y?f?x??? （a?0）

cosx?x?0??x?2

（1）当a取何值时，点x?0是函数f?x?的间断点？是何种间断点？（2）当a取何值时，函数f?x?在???，???上连续？为什么？

1cosx1

f(x)?lim?， [解]（1）在点x?0处，f(0)?，lim??

x?0x?02x?22

a?a?x11

lim f(x)?lim?lim??

x?0?x?0?x?0xa?a?x2a

f(x)?limf(x)，所以点x?0是f?x?的跳跃间当a?0且a?1时，由于lim??

x?0

断点。

f(x)?limf(x)?f(0)，则f?x?在点x?0处连续。（2）当a?1时，由于lim??

又因为在(??,0)或(0,??)上，f?x?为初等函数，所以连续。故当a?1时，函数f?x?在???，???上连续。

x?0

?x?1x?0??

0?x?1 7．设函数y?f?x???x

??a1?x?4??

（1）求函数f?x?的定义域；

（2）讨论函数f?x?在点x?0处的极限是否存在？为什么？

（3）a为何值时，函数f?x?在点x?1处连续？并求函数f?x?的连续区间；

（4）画出函数y?f?x?的图形。 [解]（1）df?(??,?1)?(?1,4]

f(x)?limx?0，所以limf(x)不存在 ?1，lim

x?0x?0?x?0?x?0x?0x?1

f(x)?limx?1，limf(x)?lima?a，（3）在点x?1处，f(1)?a，lim????f(x)?lim （2）因为lim??

f(x)?limf(x)?f(1)，所以，当a?1时，lim即函数f?x?在点x?1处连续。 ??

此时，f?x?的连续区间为：(??,?1)?(?1,4]

（4）略五、证明题

1．证明方程x?7x?4在区间(1,2)内至少有一个实根。

[证] 设f(x)?x?7x?4，f(x)在[1,2]上连续，

x?1

x?1x?1

x?1

又f(1)??10?0，f(2)?14?0，由零点定理知，在(1,2)内至少存在一点?，

使得f(?)?0，即?5?7??4?0，故方程x?7x?4在区间(1,2)内至少有

一

个实根。

2．证明：方程x?2sinx?k（k?0）至少有一个正根。 [证] 设

f(x)?x?2sinx?k?c[0,??)

因为f(0)??k?0，f(k?3)?3?2sin(k?3)?0

故由零点定理知，???(0,k?3)，使得f(?)?0，所以方程x?2sinx?k

至少有一正根。

3．证明方程x?asinx?2（a?0）至少有一个正根，并且不超过a?2。[证]设f(x)?x?asinx?2，下面分两种情形来讨论：

情形1 若 sin(a?2)?1，则因为a?0，故a?2是方程x?asinx?2

（a?0）的正根，并且不超过a?2。

情形2 若sin(a?2)?1，则因a?0，故f(a?2)?a[1?sin(a?2)]?0，

f(0)??2?0，又因f(x)在[0,a?2]上连续，故由零点定理知，

???(0,a?2)，使得f(?)?0，因此?是方程x?asinx?2（a?0）的正根，并且不超过a?2。

4．设n为正整数，函数f(x)在[0,n]上连续，且f(0)?f(n)，证明存在

数a,a?1?[0,n]，使得f(a)?f(a?1)。

[证] 若n?1，即f(0)?f(1)，取a?0，a?1?1?[0,1]，结论成立。

f(x)在[0,n?1]上连续，因为

f(0)?f(1)???f(n?1)

?[f(1)?f(0)]?[f(2)?f(1)]?[f(3)?f(2)]???[f(n)?f(n?1)]

?f(n)?f(0)?0

则n个实数f(0),f(1),?,f(n?1)全部为零或同时有正数与负数，

（1）若这些数全部为零，即f(0)?f(1)???f(n?1)?0，则结论成立。（2）若这些数中有正数与负数，即有某个

f(i)?0,f(j)?0,(i?j,0?i,j?n?1)于是由零点定理可知，在i与j之间存在

一点a（显然a,a?1?[0,n]），使得

f(a)?0，即 f(a)?f(a?1) ###

【篇三：《微积分》上册部分课后习题答案】

txt>习题五（a）1．求函数 f x ，使f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x c 3 2 1 5 23 f 1 0 6 c 0 c 3 2 6 1 5 23 f x

x3 x 2 6 x 3 2 6 12．一曲线 y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为 x 3e x ，求 f x . 2 1解： f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x c 4 f 0 2 3

c 2 c 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知 f x 的一个原函数为 e x ，求f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x c 2 xe x c dx4．一质点

作直线运动，如果已知其速度为 3t 2 sin t ，初始位移为 s0 2 ，求 s 和 t 的函 dt数关系.解： s t 3t 2 sin t s t t 3 cos t cs 0 2 1 c 2 c 1 s t t 3 cos t

15．设ln f x′ 1 ，求 f x . 1 x2解： ln f x′ 1 ln f x arctan x c1 1 x2

f x earctan x c1 cearctan x c gt 0 1 16．求函数 f x ，使f ′ x e 2 x

5 且 f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解： f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x

c 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0c 0 c 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫

d t（1） dx （2）x a t 1 x2 1 ∫

∫x m n（3） x dx （4） dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）

∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x

（7） dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10） cos 2 sin 2

x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16） e

x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin

2 x dx x

3 x 1 x

4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 3

5 ∫

2 2解：（1） x 2 x 2 d x x 2 x 2 c

3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2） . 1 t 1 2 c

a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m c m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3） x m dx

in x c m n dx x c ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x c x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x c sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos

x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x c cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x c 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8） 2 dx 2 1

dx tan x c x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x c cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x （10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x c 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11） 2 2 dx 2 2 dx 2 tan x c sin x cos x

x ∫（12） e x 1 dx e x x c x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 c ∫ ∫ 8 5

ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x c 5 2 ln 5 5 ln 2（15）

e x dx e x ln x c ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16） e x 6 x 2 x 3e x dx e x c ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17） dx 2 dx 2 arcsin x c 1 x 2 1 x2

x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x c 5 x 2 1 x 2 ∫ 1

（19） dx arcsin x c 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20） dx

1dx tan x c 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21） dx 2 x dx ln x arctan x c x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2

dx x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x c8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2） 3x 28 dx .