微积分--课后习题答案
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第2章
xn a xn a
由数列极限的定义得 考察数列
即
xn a
lim xn a
n
n n
xn (1) n ，知 lim xn 不存在，而 xn 1 ， lim xn 1 ，
n
xn 0
由数列极限的定义可得 4. 利用夹逼定理证明：
即 xn
即 xn 0
lim xn 0
n
1
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微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案
微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案
又 所以
xn 1 xn xn ( 2 xn ) ，而 xn 0 , xn 2 ， xn 1 xn 0
即
xn 1 xn ，
即数列是单调递增数列。 综上所述，数列 xn 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。 （3）由数列 xn 单调递增， yn 单调递减得 xn x1 ， yn y1 。 又由 lim( xn yn ) 0 知数列 xn yn 有界，于是存在 M >0，使 xn yn M ,
即xn 1 xn
所以 xn 为单调递减有下界的数列，故 xn 有极限。 （2）因为 x1
2 2 ，不妨设 xk 2 ，则
xk 1 2 xk 22 2
故有对于任意正整数 n，有 xn 2 ，即数列 xn 有上界，
2
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lim
2n 0 n n !
《微积分》课后习题答案
习题五 （A ）1．求函数)(x f ，使)3)(2()(x x x f --='，且0)1(=f .解：6x 5x )(f 2++-='xC x x x x f +++-=⇒62531)(236230625310)1(=⇒=+++-⇒=C C f 62362531)(23+++-=x x x x f2．一曲线)(x f y =过点（0，2），且其上任意点的斜率为x x e 321+，求)(x f .解：x e x x f 321)(+=C e x x f x ++=⇒341)(21232)0(-=⇒=+⇒=C C f1341)(2-+=⇒x e x x f 3．已知)(x f 的一个原函数为2e x，求⎰'x x f d )(.解：222)()(x x xe e x f ='=⎰+=+='C xe C x f dx x f x 22)()(4．一质点作直线运动，如果已知其速度为t t dtdxsin 32-=，初始位移为20=s ，求s 和t 的函数关系.解：t t t S sin 3)(2-=C t t t S ++=⇒cos )(31212)0(=⇒=+⇒=C C S1cos )(3++=⇒t t t S5．设[]211)(ln x x f +='，求)(x f .解：[]1arctan )(ln 11)(ln C x x f x x f +=⇒+=')0()(arctan arctan 1>==⇒+C Ce e x f x C x6．求函数)(x f ，使5e 1111)(22+--++='x x x x f 且0)0(=f .解：C x e x x x f e x x x f x x ++-++=⇒--++=+521arcsin 1ln )(1111)(252 21002100)0(=⇒=++-+=C C f 21521arcsin 1ln )(2++-++=⇒x e x x x f x7．求下列函数的不定积分 （1）⎰-x xx x d 2（2）⎰-)1(t a dt（3）⎰mnx x d （4）⎰+-x xx d 1122（5）⎰++x x x d 114 （6）⎰++x xx xd cos sin 2sin 1（7）⎰+x x x x d cos sin 2cos （8）⎰++x xxd 2cos 1cos 12（9）⎰x x x xd cos sin 2cos 22 （10）x x x d sin 2cos 22⎰⎪⎭⎫⎝⎛+ （11）⎰-x xx x d cos sin12cos 22（12）⎰+-x xx d 1e 1e 2 （13）⎰⨯-⨯x xxx d 85382 （14）x xx x d 105211⎰-+-（15）⎰-x xx -x x d )e (e （16）⎰++x xx x d )31)(2e ( （17）x x x xx d 1111⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+ （18）⎰----x x x x x x d 151)1(222（19）x xx d 1142⎰-+ （20）⎰-+-x xx xd sincos 1cos 1222（21）⎰+-+x x x x x d )1(1223 （22）⎰+-x x x x d 1224解：（1）=⎰+-=-C x x dxx x 252323215232)( （2）=⎰+-=--C tatt d a2121)1(2)1()1(.1（3）=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+=≠-≠++=⎰⎰⎰+0 0, m C x dx n m C x In dx x m n m C x m n m dx x m n m m n m n（4）=⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-C x x dx x arctan 2 121（5）=C x x x dx x x x x ++-=++-+⎰arctan 2311)1(32222（6）=⎰⎰++=+++dx xx x x dx xx xx x x cos sin )cos (sin cos sin cos sin 2cos sin 222=⎰+-=+C x x dx x x cos sin )cos (sin（7）=⎰⎰-=+-dx x x dx xx xx )sin (cos cos sin sin cos 22=C x x ++cos sin （8）=⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+C x x dx x dx xx2tan 21 1cos 121cos 2cos 1222 （9）=⎰⎰+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-C x x dx x x dx x x xx tan cot cos 1sin 1cos sin sin cos 222222 （10）=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++dx x x dx x x 122cos 2cos 22cos 121cos =C x x x +-+2sin 41sin 21（11）=⎰⎰+-=-=---C x dx x dx xx xx x x tan 2cos 12cos sin sin cos sin cos 2222（12）=()⎰+-=-C x e dx e x x 1（13）=⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x dx dx xx85ln 85328532（14）=⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--C dx dx x x xx22ln 5155ln 22151512（15）=⎰+-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x e dx x e x x ln 1（16）=[]⎰+++++=+++C e e dx e e xx x xxxxx6ln 63ln l )3(2ln 2)3(26（17）=⎰⎰+=-=--++C x dx xdx xx x arcsin 211211122（18）=⎰+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---C x x x dx x xx arcsin 5ln 21151222 （19）=⎰+=-C x dx xarcsin 112（20）=⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-C x x dx x dx xx2tan 211cos 121cos 2cos 1222 （21）=⎰⎰+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+-+C x x x dx x x x dx x x x x arctan 1ln 1111)1(1)1(22222 （22）=⎰⎰++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++--C x x x dx x x dx x x x arctan 22312212)1(13222248．用换元积分法计算下列各题. （1）⎰+-x x x d 24 （2）⎰-x x d )23(8（3）x xxd e 3e 42⎰+ （4）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos d 2πx x（5）⎰-x xx d 432 （6）⎰+-52xd 2x x（7）⎰-+xxxe ed （8）⎰--xxxe e d（9）⎰-1tan cos d 2x xx（10）⎰)ln -(1d x x x（11）⎰-xx x2ln 1d （12）⎰-x xx d e9e 2（13）⎰+x xxx d sin2cos sin （14）⎰-x x x d 212（15）x xx x d 1arctan 2⎰++ （16）⎰+xxe1d（17）x x x d 11arctan2⎰+ （18）⎰+--x x x x d e )1(422（19）⎰+x xx d 1335（20）⎰+x xxx d ln 2ln（21）⎰+x xx d sin 1sin 2 （22）⎰+-x x xx d 2sin 1cos sin（23）⎰+2)cos 2(sin d x x x（24）⎰x xx xd cos sin tan ln（25）⎰+xx x22cos 3sin d （26）⎰-++1212d x x s（27）⎰+++3)1(1d x x x（28）⎰++52d 24x xxx（29）⎰+x x x x d )ln 1( （30）x x x x d 12⎰-+（31）⎰+)1(ln ln d 2x x x x（32）x x x xd )1(arcsin ⎰-（33）⎰xx x x cos sin d （34）x x x d )1(x arctan ⎰+（35）⎰+x xxd cos 1cos 2（36）⎰xdx x 3cos 2sin（37）x x x x ⎰-d 2cos )sin (cos （38）x xxx d sin1cos sin 4⎰+ （39）⎰x xd sin14（40）⎰xdx 3tan解：（1）=C x x x d x x dx x x ++-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+⎰⎰2123)2(12)2(32)2(262262（2）=⎰+-=--C x x d x 98)23(271)23()23(31 （3）=()()⎰+=+C e e e d x xx3arctan3213212222（4）=C x x x d +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰32tan 2132cos 32212πππ （5）=⎰⎰+--=---=-C x x x d x x d 333334324)4(314)(31（6）=C x x x d +-=+--⎰21arctan 214)1()1(2（7）=⎰+=+C e ee d x xx arctan 1)(2（8）=C e e e e d x x x x ++-=-⎰11ln 211)(2（9）=⎰+-=--C x x x d 21)1(tan 21tan )1(tan（10）=C xx d +--=---⎰lnx 1ln ln 1)ln 1(（11）=⎰+=-C x x x d ln arcsin ln 1)(ln 2（12）=C e e e d x x x +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰3arcsin2922222（13）=C x xx d x x xd ++=++=+⎰⎰2222sin 2ln 21sin 2)sin 2(21sin 2)(sin sin （14）=C x x x d +--=---⎰222212121)21(41（15）=C x x x d x x x d +++=+++⎰⎰23222)(arctan 32)1ln(21)(arctan arctan 1)1(21（16）=⎰⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++-=+=+C e e e e d e e d e e e d dx e e e x x xx xx xxx xxx 1ln 1)1()()1()()1( （17）=C x d x xx d x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰221arctan 211arctan 1arctan 1111arctan （18）=⎰+=+-+-+-C e x x d e x x x x 422422221)42(21 （19）=)(131)(131333333t d tttx x d xx ⎰⎰+=+令⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+=-)()1()()1(31)(1113131323t d t t d t t d t t C x x C t t ++-+=++-+=3233533235)1(21)1(51)1(21)1(51（20）⎰⎰+=+=tt td txx xd 2)(ln ln 2)(ln ln 令⎰⎰⎰++-++=+-+=tt d t d t tt d t 2)2(2)2()2(2)(2221C x x C t t ++-+=++-+=21232123)ln 2(4)ln 2(32)2(4)2(32 （21）⎰+-=--=C x xx d 2cos arcsincos 2)(cos 2（22）C x x x x x x d ++=++-=-⎰12)cos (sin )cos (sin )cos (sin（23）C x x x d ++-=++=-⎰12)2(tan )2(tan )2(tan（24）⎰⎰+===C x x xd x d x x 2)tan (ln 21)tan (ln tan ln )(tan tan tan ln （25）⎰⎰+=+=+=C x x x d xx d )tan 3tan(31)tan 3(1)tan 3(31tan31)(tan 22（26）C x x dx x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=--+=⎰2323)12(32)12(324121212C x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=2323)12()12(61（27）⎰⎰+=+++++=dt t t tt x x x x d 3321)1(1)1(令⎰++=+=+=C x C t dt t1arctan 2arctan 21122（28）⎰++=+++=C x xx d 21arctan 414)1()1(212222 （29）()⎰⎰+=+==+=C x C e e d dx x e x x x x x x x ln ln ln l )ln 1( （30）⎰⎰⎰++-=++-=+-=C x x x d x dx x dx x x x 23232222)1(3131)1(121)1(（31）⎰⎰+=+=)1()(ln 令)1(ln ln )(ln 22tt t d tx x x d⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=C t t t t d t t d 1ln 211)1()(21222222 C x x C x x ++-=++=)1ln(ln 21ln ln 1ln ln ln 2122（32）t x ==arcsin 令，则tdt t dt cos sin 2=⎰⎰+=+==C x C t dt t tdt t tt t 232322)(arcsin 34342cos sin 2cos sin（33）⎰⎰+===C x xx d x x x d tan ln 2tan )(tan cos sin)(2（34）⎰⎰+==+=Cx x d x x d x x22)(arctan arctan arctan 2)(1arctan 2（35）⎰+-+=-=C xx xx d sin 2sin 2ln221sin2)(sin 2（36）⎰⎰+-=-==C x x xd xdx x x 543cos 52cos cos 2cos cos sin 2 （37）⎰⎰---=+-=)sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos 22x x d x x dx x x x xC x x +--=3)sin (cos 31（38）⎰+=+=C x x x d 242sin arctan 21sin 1)(sin 21（39）⎰⎰⎰+--=+-=-==C x x x d x xx d dx xx cot cot 31)(cot )1(cot sin )(cot sinsin 132（40）⎰⎰⎰+-=-=-=C x x xdx x xd xdx x cos ln )(tan 21tan tan tan tan )1(sec 229．求下列函数的不定积分 （1）⎰+)1(d 7x x x（2）⎰-x x x d 12（3）⎰+-x x d 3211 （4）⎰+x x x-1)(1d（5）⎰+3d xx x （6）⎰-+x x xx d 21 （7）x x xd 11632⎰++ （8）x x d e 1⎰+ （9）⎰+-+x x x x d 4222（10）x x x d )1(3⎰-解：（1）⎰⎰++-=+=+=C x x x x dx dx x x x 77777761ln 71ln )1(71)1(（2）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 16-=-=⎰⎰+++-=+--=--=C t t t dt t t t dt t t t )315271(2)2(2)2()1(3572462（3）令t x =-21，则tdt dx t x -=-= , 212⎰⎰++-+--=+++-=+---+=C x C t t dt t dt t t 321ln 3213ln 3)331()(31 （4）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 12-=-=⎰⎰+---+-=+-+-=-=--=C xx C tt tdtdt tt t1212ln221.222ln221.222).2(222（5）令t x =6，则dt t dx t x 566 , ==⎰⎰⎰+-+-=+=+=dt t t t dt t t dt tt t 11)1(616623235C t t t t ++-+-=)1ln 2131(623 C t t t t ++-+-=1ln 663223（6）令t x =-2，则tdt dx t x 2 , 22=+=⎰⎰++=++=++=C t t dt t tdt tt 2arctan22)211(22.23222C x x +-+-=22arctan222（7）令t x =+312)1(，则dt t xds 232=⎰⎰+++-=++-=+=C t t t dt t t dt t t )1ln 21(9111919222C x x x +++++-+=1)1(ln )1()1(29312312322 （8）令t e x =+1，则12 , )1ln(22-=-=t tdt dx t x⎰++++-++=++-+=-=C e e e C t t t dt t t x x x)1111ln 211(2)11ln 21(21222（9）令t x =-1，则dt dx t x =+= , 1⎰⎰⎰+++++=+++=++=C t t tdt t dt t t dt t t 3ln 3)3(333332212223C x x x x x ++-+-++-=421ln 3)42(2212（10）令t x =2，则t x =⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=-+--=-=dt t t dt t t dt t t 3233)1(1)1(121)1(1121)1(21 C t t C t t +-+-=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=22)1(141)1(21)1(1211121Cx x C x x +--=+-+-=222222)1(412)1(141)1(2110．设⎰⎰+=+=x xb x a xx x xb x a xx F d cos sin cos )G( ， d cos sin sin )(求)()(x bG x aF +；)()(x bF x aG -；)(x F ；)(x G .解：⎰+=++=+C x dx xb x a xb x a x bG x aF cos sin cos sin )()(⎰⎰++=++=+-=-C x b x a dx xb x a x b x a d dx xb x a xb x a x bF x aG cos sin ln cos sin )cos sin (sin sin sin cos )()(C bx x b x a a b a x G +++-=⇒)cos sin ln (1)(22C ax x b x a b b a x F +++--=)cos sin ln (1)(2211．用三角代换求下列不定积分. （1）⎰-221x d x x（2）⎰32)-(1d x x（3）⎰-x x x d 122（4）⎰-x xa x d 22 （5）⎰-322)1(d x xx（6）x x x d )1(2101298⎰-解：（1）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dx⎰⎰+--=+-=+-===C x x C x C t t dtdt tt t2221)cot(arcsin cot sin cos sincos（2）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC xx C x C t tdtdt tt+-=+=+===⎰⎰2231)tan(arcsin tan cos cos cos（3）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC t t dt t tdt dt t t t +-=-===⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin cos cos sin 22 C x x x C x x +--=+-=2141arcsin 21)(arcsin 2sin 41arcsin 21 （4）令t a x sec =，则t a dx tan sec =，)20(π<<t⎰⎰⎰+-=-===C t a dt t a tdt a dt ta tt a t a )1(tan )1(sec tan sec tan sec .tan 22C saa a x C xa a a x a +--=+--=arccos )arccos (2222（5）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-===dt t t dt t t dt t t dt tt t22222232cos 1cos 11cos )cos 1(1cos sin1cos sincosC xx x x C t t +---=++-=2211tan cot （6）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+====C x x C td dt t dt tt t 992999810098101981991tan 991tan tan cos sin cos cos sin12．用分部积分法计算下列积分.（1）⎰++x x x x d e )31(2 （2）⎰--x x x d e 1 （3）⎰-x x x x d )sin (cos e （4）⎰x x x d cos （5）⎰x x d arcsin （6）⎰+x x d )4ln(2 （7）⎰x x x x d cos sin 4 （8）x x d l arctan 2⎰- （9）⎰x xx d )ln(ln （10）⎰x x x d sec 22 （11）⎰x x x d arctan 2 （12）x x d )(arccos 2 （13）⎰+-x x xxd 44ln 2（14）⎰+x x xx d arctan 122（15）⎰+x x x x d arctan )1(632 （16）⎰x x xd cos tan ln（17）⎰∙x x x d sin sec ln （18）⎰∙x x x d tan ln 2sin（19）x x x x d ln 32ln 22⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （20）⎰x x x d arctan 2解：（1）⎰⎰+-++=++=dx x e e x x de x x x x x )32()31()31(22⎰++-++=dx e x e e x x x x x 2)32()31(2（2）C ex C dx e xe xde e x x x x ++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=+----⎰⎰)1()1(311 （3）⎰⎰⎰⎰-=-=xdx e xde xdx e xdx e x x x x sin cos sin cos⎰⎰+=-+=C x e xdx e xdx e x e x x x x cos sin sin cos（4）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x sd cos sin sin sin sin（5）⎰⎰--+=--=2221)1(21arcsin 1arcsin xx d x x xx x xC x x x +-+=21arcsin（6）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=+-+=+=dx x x x dx x x x x dx x 2222224412)4ln(42)4ln()4ln( C xx x x ++-+=2arctan 42)4ln(2（7）⎰⎰+--=+-=-=C x x x xdx x x x xd 2sin 212cos 2cos cos 2cos（8）⎰⎰---=-+---=dx x x s dx x xx x x x 111arctan )1(121121.1arctan 222222C x x x x +-+--=1ln 1arctan 22（9）⎰⎰+-====C t t t tdt e x t x x d x tln ln ln )(ln )ln(lnCx x C x x x +-=+-=)1)(ln(ln ln ln )ln(ln .ln（10）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos ln 2tan 2tan 2tan 2)(tan 2 （11）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=++-=-=dx x x x xxdx x x x x xxd 11arctan 111arctan )1(arctanC x x x x ++-+-=)1ln(21ln arctan 2 （12）⎰⎰-=--===tdt t t t tdt t tdtdx tx .cos 2cos sin sin arccos 22⎰⎰+--=--=-=C t t t t t tdt t t t t t td t t cos 2sin 2cos )sin sin (2cos sin 2cos 222C x x x x x +---=21arccos 2arccos 2（13）⎰⎰⎰-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=dx x x x x x xd dx x x21.121.ln 21ln )2(ln 2 C xx x x dx x x x x +-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--+--=⎰2ln 212ln 121212ln（14）⎰⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=xdx xxdx xdx x arctan 11arctan arctan 11122⎰⎰-+-=)(arctan arctan 1arctan x xd dx x xx xC x x x x +-+-=22arctan 21)1ln(21arctan（15）()()()dx xx x x x xd 223232311.1arctan 11arctan ++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰()⎰+++-+=dx x x x x x112arctan 13623()⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+=dx x x x x x x x 1212arctan 122423()()C x x x x x x x +++--+-+=1ln 3151arctan 1223523 （16）⎰==t x x xd tan )(tan tan ln 令⎰+-=+-==C x x x C t t t tdt tan tan ln .tan ln ln（17）()⎰⎰+-=-=xdx xx x x x x xd tan .cos 1.cos .cos cos .sec ln cos sec ln ⎰+--=+-=C x xdx x x cos sec ln .cos sin cos .sec ln ()C e x x ++=22121（18）()⎰⎰-==dx xx xx x x xd cos sin 1sin tan ln .sin sin tan ln 222⎰++=-=C x x x xdx x x cos ln tan ln .sin tan tan ln .sin 22（19）()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x x x x x x x d x x 1321.ln 231ln 32ln 31ln 32ln 3132332 ⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x xdx x x x x 222392ln 32ln 32ln 31 ()⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x xd x x 232392ln 92ln 32ln 31 ⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x dx x x x x x 2232392.ln 92ln 32ln 31 C x x x x x x x +=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23323ln 31.ln 92ln 32ln 31 （20）()⎰⎰+-==dx x xx x x x d x 233.21.1131arctan 31arctan 31 ⎰⎰⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--=+-=dx x x x x x x x dx x x x x 1161arctan 31161arctan 312121233253C x x x x x x ++-+-=arctan 313191151arctan 31212325313．计算下列有理函数的不定积分. （1）⎰+x x x d )31(1 （2）⎰---)32)(1)((d x x x x（3）x x x x x d )2()1(12---- （4）⎰-++x x xx d 32322（5）⎰-1d 4x x（6）⎰++++x x x xx d 25412 （7）⎰-+-x x x xxd 123（8）⎰+---x x xx x d )1)(1(122（9）⎰+++x x x xx d 14 （10）⎰+---x x x x x d )2()1(18332解：（1）C xC x x dx x x++=++-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰311ln31ln ln 311313 （2）C x x x dx x x x +---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+-=⎰2)2()3)(1(ln 21)3(2121)1(21 （3）C x x dx x x +---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎰112ln 21)2(12（4）C x x dx x x +--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎰1ln 453ln 43)1(45)3(43（5）⎰+--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=C x x x dx x x arctan 2111ln 4111112122 （6）C x x x dx x x x ++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++-=⎰2ln 51ln 41225)1(2142 （7）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-=dx x x x x dx x xx)1(2111121)1(21)1(21222()C x x x +-+++-=1ln 21arctan 211ln 412 （8）⎰⎰⎰⎰+-++----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-=dx x xdx x x x dx x dx x x x x 1123121111211222C x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++---=312arctan 31ln 211ln 2 （9）()()()()⎰⎰⎰++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-=dx x dx x x x x dx x x x 121121211111222()⎰⎰++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1ln 2111211141212222x dx x x x d x x ()C x x x x x +++-++-=arctan 211ln 411ln 212122（10）()()⎰⎰⎰+--+-=--+-+--=C x x x dx x dx x dx x 21ln 1121111223（B ）1．填空题（1）设x x f 21)(ln +='，则)(x f = . （2）设函数)(x f 满足下列条件 ①2)0(=f ，0)2(=-f ；②)(x f 在1-=x ，5=x 处有极值；③)(x f 的导数是x 的二次函数，则)(x f = . （3）若C x x x xf x +=⎰e d )(2，则⎰x x f xd )(e = . （4）设2ln)1(222-=-x x x f ，且[]x x f ln )(=ϕ，则=⎰x x d )(ϕ .（5）设x x f ln )(=，则='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-x f x x x x d )e (e-2e e 43 .（6）='⎰x x f xx f d )(ln )(ln .（7）设)(x f 的一个原函数为xxsin ，则='⎰x x f x d )2( . （8）若⎰⎰-=x x f x f x x x f d )(cos )(sin d )(sin ，则=)(x f .解：(1)()C e x x f x ++=2()()()C e x x f e x f e x x f x x x ++=⇒+='⇒+=+='2212121ln ln(2)215623+--x x x由已知可设d cx bx ax x f +++=23)( 有()C bx ax x f ++='232()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==+-=-'=+-+-=-==⇒2156101075502310248220d c b a c b a f c b a f d c b a f d f()215623+--=⇒x x x x f（3）C x ++2ln()()()x x x x x xe e x f e x xe x xf C e x dx x xf +=⇒+=⇒+=⎰2222⎰⎰++=+=⇒C x dx xdx x f e x2ln 21)( （4）C x x +++1ln 21)(1)(ln 11ln)(1111ln2ln)1(22222-+⇒-+=⇒--+-=-=-x x x x x f x x x x x f ϕϕ ⎰⎰⎰+-+=-+=-+=⇒-+=⇒C x x dx x dx x x dx x x x x 1ln 2)121(11)(11)(ϕϕ （5）C e e e x x x ++-+--22ln24121222⎰⎰++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---C e e e dx e e e dx ee e e x x x x x x x x x x 22ln 2412121.222242243原式 （6）C xf +)(ln 2C x f x f x f d +==⎰)(ln 2)(ln ))(ln (原式（7）C xxx +-42sin 42cos ⎰-=⇒+=2sin cos )(sin )(xxx x c f C x x dx x f C x xx x x x x x x x dx x f x xf x f xd +-=--=-==⎰⎰42sin 42cos 22sin 4142sin 2cos 2.21)2(41)2(21))2((21原式 （8）x ln⎰⎰'-=dx x f x f x x f x dx x g )()(cos )(sin )(sinC x x f xx f +=⇒='∴ln )(1)(，取x x f ln )(=2．选择题（1）设x x f 2cos )(sin ='，则⎰=dx x f )(（ B ） A ．C x x +-331 B ．1421212C Cx x x ++- C ．C x x ++421212 C ．C x x ++421212（2）设)()( , )(1)()( , )(1)()(2x g x F x f x f x g x f x f x F ='+=-=，且14=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则=)(x f （ A ）A ．x tanB ．x cotC ．x arctanD ．x arc cot（3）若⎰+=C x x x f 2sin d )(，则⎰=--dx x x xf 12)12(22（ B ）A ．C x +22sin 41B ．C x +-)12sin(212 C ．C x +-)12(sin 2122 D ．C x +-)12sin(412 （4）设⎰⎰+∙=xdx x f x g dx xx f 22cot )()(sin)(，则)(x f ，)(x g 分别是（ D ）A ．x x f cos ln )(=，x x g tan )(=B ．x x f cos ln )(=，x x g cot )(-=C ．x x f sin ln )(=，x x g tan )(=D ．x x f sin ln )(=，x x g cot )(-= 解：（1）BC +-=⇒-='⇒-=='322x 31x )x (f x 1)x (f x sin 1x cos )x (sin f⎰++-=⇒142C x x 1212x f(x)dx C（2）A根据1)4f(=π，首先排除C 、D ，再将选项A 、B 分别代入原条件中，得A（3）B)1x 2sin(1x 2212x f 2xsinx f(x)2222--=-⇒= ⎰⎰+--=--=-=⇒C )1x 2sin(21)1d(2x )1x 2sin(2.41dx )1xsin(2x 22222原式，得B （4）D⎰⎰-=cotx)f(x)d(dx x sin f(x)取cotx g(x)-=则⎰+=xdf(x)cot f(x)g(x)上式 与条件比较，得cotxg(x) ,lnsinx f(x)cotx df(x)-==⇒=，得D3．计算下列不定积分（1）x xx x d 11ln 112-+-⎰（2）x x x x d cos 1)sin 1(e ⎰++（3）⎰+)e1(e d 2xxx（4）x xx d cos sin144⎰（5）⎰x x x x d cos e （6）⎰+++x x x x d 112（7）⎰xxcos d （8）⎰++x aax x xd 22（9）⎰-+293d x x （10）⎰-xx1 （提示 令t x 2sin =）（11）x x x d 283⎰++ （12）⎰-x xxxd 1arcsin 22（提示 令t x =arcsin ，t x sin =，再用分部积分法） （13）⎰x x x d )(arctan 2 （14）x xxx d e 1arctan arctan 2⎰+（15）⎰+x xxx d )3(ln 22（16）x x x d )sin(ln ⎰（提示 经过两次分部积分，又出现原积分形式，移项后便可得到所要结果）解：（1）C xxx x d x x ++-=+-+-=⎰11ln 41)11(ln 11ln 212 （2）dx x tg x tg e dx x xx e x x )2221(212cos )2cos 2(sin222++=+=⎰⎰⎰⎰++=dx e x tg dx e x tg e x x x 2212212 ⎰⎰+=++-+=C x tg e dx e x tg dx x tg e e x tg e x x x x x 2221)12(2122122 （3）⎰⎰+-=+=x xde eee ede )111()1(C e e x x +--=-arctan（4）C x x dx x +--==⎰cot cot 31sin 134C x x C x x x d x +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰2cot 382cot 82cot 2cot 31822sin 183134 （5）=[]c x x x x e x++-cos sin )1(21 （6）⎰⎰⎰+++++++=++-+=dx x x x x x d dx x x x 22222)23()21(1211)1(2112121C x x x x x C x x x x x ++++++++=++++++++=121ln 211121ln 2112.212222 （7）⎰⎰++=+==C x x x d x x d x32tan 31tan tan )tan 1()(tan cos 1（8）⎰⎰⎰++-+++++=++-+=dx aax x a aax x a ax x d dx a ax x aa x 222222221)2()(2122C a ax x ax a a ax x +++++-++=22222ln 2（9）t x sin 3==令，20π<<t 则⎰⎰⎰+-=+=+dt tdt t t dt t t )cos 111(cos 1cos cos 33cos 3⎰+-=-C tt t d t t 2arctan )2(2cos 12 C x x x C xx+-+-=+-=2933arcsin 23arcsintan3arcsin（10）t x 2sin ==令，20π<<t ，则⎰⎰⎰+==dt ttdt tdt t t t 22cos 12cos 2cos sin 2sin cos 2 C x x x t t dt t +-+=+=+=⎰2arcsin 2sin 21)2cos 1( （11）C x x x dx x x dx x x x ++-=++=++++=⎰⎰4342)42(2)42)(22(232（12）t x =arcsin 令，t x sin =，则⎰⎰⎰⎰+-=-===tdt t t t td dt tttdt tt tcot cot )cot (sincos cos sin22C x x xx C t t t ++--=++-=ln arcsin 1sin ln cot 2（13）xdx x x x x x d x arctan 1)(arctan 21)()(arctan 21222222⎰⎰+-==⎰⎰++-=xdx x xdx x x arctan 11arctan )(arctan 21222 C x x x x x x ++++-=2222)(arctan 21)1ln(21arctan )(arctan 21 （14）⎰⎰==dt te t x x d xe t x arctan )(arctan arctan arctan 令⎰⎰+-=+-=-==C e x C e t de te tde x t t t t arctan )1(arctan )1(（15）⎰⎰⎰+++-=+-=++=dx xx x x x xd x d x x )3(1213ln 21)31(ln 21)3()3(ln 21222222C x x x x dx x x x x ++-++-=+-++-=⎰)3ln(121ln 613ln 21)311(613ln 212222 （16）⎰⎰+-=-=dx xx x x x d x 322ln cos 21)sin(ln 21)1()sin(ln 21 dx x xx xx x⎰---=322ln sin 41ln cos 41)sin(ln 21[]C x x x ++-=⇒ln cos ln sin 251原式。
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第11章
t t 1 t 1 1 1 yt (1)i 2t i 1 2t 1 ( )i 2t 2 3 i 0 i 0
由 (11 2 4) 式，得所给方程的通解
1 yt A(1)t 2t 3
(A 为任意常数)
*
(4)对应齐次差分方程为 yt 1 yt 0 ，其通解为 yt A ， 设原方程特解为
yt 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 代入原方程得：
2t 1[ B1 cos π(t 1) B2 sin π(t 1)] 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 2t cos πt
yt 1
1 4 yt ，其中 3 3
1 4 a ， b ，由通解公式 (11 2 7) 得原方程的通解为： 3 3
1 yt y A (t ) yt A( )t 1 (A 为任意常数) 3 1 3 t 1 3 1 (2)方程可化为 yt 1 yt ，其中 a ， b0 ， b1 ，故由通解公式 2 2 2 2 2 2 (11 2 9) 得方程的通解为： 3 1 1 1 t 1 7 t yt A( ) 2 2 2 t 即 yt A( )t . 1 1 1 2 9 3 2 1 (1 ) 2 1 2 2 2
t
(4) a 4 ， π ， b1 0 ， b2 3 ， D (4 cos π) sin π=9 0 ，且
2 2
由公式 (11 2 14) 得 = [0 (4 cos π) 3 sin π]=0 ， = [3(4 cos π) 0 sin π]=1 ， 方程通解为 yt A(4) sin πt ，以 t 0 时 y0 1 代入上式，得 A 1 ，故原方程特解为：
微积分课后题答案高等教育出版社习题七
习 题 七 （A ）1．在空间直角坐标系中，下列方程表示什么形状的图形. （1）22y x z +=（2）042222=+-++y x z y x （3）2x y = （4）124222=++z y x （5）0222=-+y z x （6）2222z y x =+ （7）0)1(222=++-z y x （8）x z y =-22解：（1）旋转抛物面.（2）以（1,2,0）为原点5为半径的球面. （3）抛物线柱.（4）以2) , 2 , 1(为中心的椭球面. （5）旋转抛物面. （6）圆锥面. （7）一个点（8）双曲抛物面.2．给定两点3) ， 1- ， 2(1P ，5） ， 0 ， 3(2-P ，求 （1）1P 与2P 之间距离21P P； （2）线段21P P 的垂直平分面的方程； （3）以2P 为中心，21P P 为半径的球面方程.解：（1）30)()()(22122122121=-+-+-=z z y y x x P P .（2）中点4) , , 21(021P --；垂直向量2) , 1 , 1(；方程为：0)2(2)21()21(=-++++z y x .（3）30)5()3(222=-+++z y x .3．求下列函数定义域，并画出定义域示意图.（1）2241y x z -+-= （2）)ln(22y x z -=（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1arcsin xyz （4）2221)ln(y x x y z --+-=（5）)1ln(4222y x y x z ---= （6）y x z -=2（7）yx yx z --+=11 （8）94122y x z --=解：（1）⎩⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-2211010122y x ：y x 定义域 （2）022>-y x 定义域：y x >（3）200111≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠≤-≤-x y x xy （4）⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->-1010222222y x xy y x x y （5）⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≠-->--41041101222222222y x y x y x y x y x （6）4200x y y y x ≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥- （7）y x y x y x >⇒⎩⎨⎧>->+00且y x ->（8）⎩⎨⎧≤≤-≤≤-⇒≤+≥--332236499412222y x y x y x4．设xy y x y x y x f -+=-+22) , (，求) , (y x f解：令y x v ,y x u +=+=；434)()(2)()().(222222v u y x y x y x y x v u f +=--++-++= 所以43） ， (22y x y x f +=5．设x x y x y x x x y x f ln )ln (ln ,ln 2+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛，求),(y x f .解：令xyu ,lnx u == 则u u ve y e x ==，所以u v ve ue ve v e e v uf u u u u u ++=++=ln ln )(2，所以yx y e y x f x ++=ln )(，6．计算下列函数在给定点处的偏导数； （1）xyz arctan =，求)1 , 1( , )1 , 1(-'-'y x z z ； （2）yx yx z +-=，求)2 , 1( , )2 , 1(y x z z ''； （3）2e y x z +=，求)0 , 1( , )0 , 1(y x z z ''；（4）z xy u )1(+=，求3) , 2 , 1(x u '，3) , 2 , 1(y u '，3) , 2 , 1(z u '； （5）3tan )1(xyx xy z -+=，求0) , 1(x z '，0) , 1(y z '； （6）yx xy y x z sin sin 1cos cos ++-=，求0) , 0(x z '，0) , 0(y z '.解：（1）21)1,1(1.)(11)1,1(2=-+=-'x xy z x 21)1,1(1.)(11)1,1(2=-+=-'x xy z y （2）94)2,1()()()2,1(2=+--+='y x y x y x z x 92)2,1()()()()2,1(2-=+--+-='y x y x y x z y（3）e e z y x x =='+)1,0()1,0(20)1,0(2.)1,0(2=='+y e z y x y（4）54)3,2,1()1()3,2,1(1=+='-yxy z u z x27)3,2,1()1()3,2,1(1=+='-xxy z u z y3ln 27)3,2,1()ln()1()3,2,1(=++='xy x xy z u zz（5）)0,1()(31).((s co 1).1(tan )0,1(2343133xyx y x y xy x xyy z x--'-++='-- 1)0,1(1)(31(s co 1).1()0,1(343=-'-+='-x x y xyx x z y （6）1)sin sin 1(cos )cos cos ()sin sin 1)(sin (cos )0,0(2=++--+++='y x xx y y x y x x y y z x1)sin sin 1(cos )cos cos ()sin sin 1)(cos sin ()0,0(2-=++--++--='y x yx y y x y x x y x z y7．求下列函数的一阶偏导数 （1）yx xy z 2+= （2）y x z arctan =（3）3⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x z （4）)ln ln(y x z +=（5）)sin(tan xy x y z •= （6）xyyx z -+=1arctan（7）xyy x z )sin (+= （8）zy x u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=解：（1）22,2yx x z y x y z y x -+='+='（2）2222222)1( , )1(1y x x yx y xz yx y yx y z y x +-=+-='+=+='（3）436232233.,3y x y y x z y x z y x -=-='='（4）)ln ln(y x z +=y x x z ln 1+=∂∂ yy x y z 1.ln 1+=∂∂ （5）)sin(.tan xy xyz =)cos(.tan .)sin()..(sec 22xy x yy xy x y x y x z +-=∂∂ )cos(tan sec ).sin(.12xy xyx x y xy x y z +=∂∂ （6）xyyx -+1arctan22211)1()).(()1(.)(11x xy y y x xy xy x y x x z +=--+---++=∂∂ 22211)1())(()1()1(11y xy x y x xy xyy x y z +=--+--+-++=∂∂ （7）xy y x z )sin (+=)sin 1.)sin ln(..()sin ln(yx xy y x y e x z y x xy +++=∂∂+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=y x xy x y x y xy sin )sin ln(.)sin .( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∂∂+y x y xy y x x e y z y x xy sin cos .)sin ln(..)sin ln( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=y x y y y x y x x xy sin cos )sin ln()sin .( （8）zy x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11...1--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂z z zy x y z x z y x uz y x y z y u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂. yx y x z u zln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂ 8．设xyy x y x z ln +-=，验证方程0=∂∂+∂∂yz y x z x解：证明：=∂∂+∂∂yzy x z x01..ln )()()(..ln )()()(222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++--+-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-++--+x y x y x y x x y y x y x y x y x y x y y x y x x y y x y x y x x9．设)(by ax f z +=，f 可导，验证方程0=∂∂-∂∂yz a x z b解：证明：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂=∂∂-∂∂fb by ax y f a fa by ax x f b y z a x z b)()( 0)()(='-'abf abf10．设2e y xz =，验证方程02=∂∂+∂∂yzy x z x解：证明：021.224222=-+=∂∂+∂∂y xy ye y xe y z y x z x y xy x11．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=y x f z 1ln ，其中f 为可微函数，验证方程 02=∂∂+∂∂yzy x z x解：证明：=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂=∂∂+∂∂2221)1(ln 1)1(ln y f y x y f y x f y x x f x y z y x z x0='-'f f12．设)tan tan ln(tan z y x u ++=，验证方程22sin 2sin 2sin =∂∂+∂∂+∂∂z zu y y u x x u解： 证明：=∂∂+∂∂+∂∂z zu y y u x x u 2sin 2sin 2sin=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++z z y y x x z y x 2sin cos 12sin cos 12sin cos 1tan tan tan 1222 2tan tan tan tan tan tan 2=++++zy x zy x13．求下列函数的二阶编导数y x zyz x z ∂∂∂∂∂∂∂22222 , , （1）22y x x z +=（2）xyz arctan= （3）)ln(y x x z += （4）xy e y x z sin)(cos += （5）y x y x y x z arctan arctan 22-= （5）2222y x y x z +-= 解：（1）32222223222223222222)()3(2 , )()3(2 , )()3(2y x y x x y z y x y x y y x z y x y x x x z +--=∂∂+-=∂∂∂+-=∂∂ （2）2222222222222222)(2 , )( , )(2y x xyy z y x x y y x z y x xyx z+-=∂∂+-=∂∂∂+=∂∂ （3）22222222)( , )( , )(2y x xy z y x y y x z y x y x x z +-=∂∂+=∂∂∂++=∂∂ （4）)sin cos 3sin 3cos (e 3222x y x y x y x xz xy ++--=∂∂)sin cos 2sin sin 2cos 2(e 22x xy x xy x x x y x y x zxy ++-+=∂∂∂ []x x x y x x yz xy cos sin )2(e 2222++=∂∂ （5）22222222222222arctan 2 , , 2arctan 2y x xy y x y z y x y x y x z y x xy x y x z ++-=∂∂+-=∂∂∂+-=∂∂ （6）3222222232222232222222)()3(4, )()(8 , )()3(4y x x y x y z y x y x xy y x z y x x y y x z +-=∂∂+-=∂∂∂+-=∂∂14．求下列函数的全微分 （1）xyz =（2）x y z arcsin =（3）xy x z y 2-= （4）yx yx z -+=arctan（5）y y x z cos += （6）)sin(e 22xy xy z y x ++=（7）xyy x z e 122+= （8）2222arctany x y x z +-=（9）yz xy u e e += （10）xy z u =（11）z xy u )(= （12）xyy x z arctan-22e )(+=解：（1）dy x x y dx xy x y dy y z dx x z dz 1)(21.)(212122-+-=∂∂+∂∂=（2）dy xxy dx x yxy dy yz dx x z dz 1)(11)(11222-+--=∂∂+∂∂=（3）dy y x x x dx x y yx dy yzdx x z dz y y )ln ()(21211----+-=∂∂+∂∂=（4）dy y x y x y x yx y x dx y x y y x y x dy y z dx x z dz 2222)(.)(11)(2.)(11-++-+-++--+-+=∂∂+∂∂=（5）dy y y x y y x ydx y x dy y z dx x z dz ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+++=∂∂+∂∂=--sin cos )(21cos )(212121（6）dy xy x xy x e dx xy y y xy e dy yzdx x z dz y x y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∂∂+∂∂=)cos(2.)cos(2.2222 （7）dy y x xe y x ye dx y x ye y x xe dy y z dx x z dz xy xy xy xy ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-=∂∂+∂∂=2222222222)(2)(2 （8）dz y e dy ye x e dx x e dz z u dy y u dx x u du x yx yx yx y1)1.1(1.22+-++=∂∂+∂∂+∂∂=（9）++--++-+-+=∂∂+∂∂=-dx xy x y x y x x y x y x y x y x dy yzdx x z dz 2)()()(2)(21.1122222222122222222dx yy x y x y x y y x y x y x y x 2)()()(2)(21.1122222222122222222+--+-+-+-+-（10）dz xyz zdy xz zdx yz dz zudy y u dx x u du xy xy xy 1ln ln -++=∂∂+∂∂+∂∂= （11）dz xy z dy xy xy x dx xy xy y dz zu dy y u dx x u du z z z 1)()ln()()ln()(-++=∂∂+∂∂+∂∂=（12）+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-++=∂∂+∂∂=--dx x y x y e y x xedy y z dx x z dz x yx y 22arctan 22arctan .)(11)(2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++--dy x x y e y x yex yx y 1.)(11)(22arctan 22arctan dy ey x dx e y x x yx yarctanarctan)2()2(---++15．求下列函数在给定点的全微分（1）e) , (2ln y x z = （2）0) , (4 cos y x z = （3）0) , (0 )sin(y x x z +=，⎪⎭⎫⎝⎛4 , 4ππ （4）2) , 1 , (0)ln(32z y x u ++=解：（1）[]dy yx y xdx x dy y z dx x z dz y y 1.(ln 1)ln ln -+=∂∂+∂∂=当2x =，e y =时.dy edx dz 12+=(2)ydy x ydx x dy y z dx x z dz sin cos 2121-=∂∂+∂∂=-当4x =，0y =时.dx dz 41= (3)[]dy y x x dx y x x y x dy yz dx x z dz )cos()cos()sin(+++++=∂∂+∂∂=当0x =，0y =时.0=dz ；当4π=x ，4π=y 时dx dz =(4)dz zy x z dy z y x y dx z y x dz z u dy y u dx x u du 3223232321++++++++=∂∂+∂∂+∂∂=当0x =，1y =时.dz dy dx du 349291++=16．求函数22y y x z +=在点（2，1）当1.0=∆x ，2.0-=∆y 时的全增量和全微分.解：0.8321) , (20.8) , 1.2(),(),(0000-=-=-∆+∆+=∆f f y x f y y x x f zy x xzxy x z 2 , 22+=∂∂=∂∂ 8.0)2.1(4.0)2(202000=-+=∆++∆=y y x x y x dz17．求函数22yx x z +=在给定点与给定x ∆，y ∆的全微分（1）点（0，1），1.0=∆x ，2.0=∆y ； （2）点（1，0），2.0=∆x ，1.0=∆y .解：（1）01.01.02.212212222222222=+=∆++-+∆++-+=y y x y x x x x y x yx x xx y dz（2）1.01.002.212212222222222-=-=∆++-+∆++++=y y x y x x x x y x yx x xx y dz18．用全微分求下列各数的近似值.（1）33)97.1()02.1(+ （2）05.4)02.1(解：（1）令33y x +令02.0=∆x ，03.0-=∆y ，10=x ，20=y213212) , 1( , 32) , 1(332=+='=y x x f f x ， 23212) , 1( , 32) , 1(332=+='=yx y f f y95.206.001.032) , 1(2) , 1(2) , 1()97.1()02.1(33=-+=∆'+∆'+=+∴y f x f f y x（2）令y x z =令10=x ，40=y ，02.0=∆x ，05.0=∆y4)4,1()4,1(1=='=-y x yx f f 0ln )4,1(=='x x f y y所以08.102.041)02.1(05.4=⨯+=19．已知一长为8米，宽为6米的矩形，当宽增加5厘米，长减少10厘米时，求矩形对角线长度变化的近似值.解：设长为x ，宽为y 对角线长22y x z +>.6).2.( 12122dy y dx zx yx dz ++-=)05.0(62)1.0(82(10121-⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯-=dz)6.06.1(201+--= 201=20．用圆锥体形变时，它的底半径R 由30厘米增到30.1厘米，高h 由60厘米减到59.5厘米，试求体积变化的近似值.解：令体积303102==hx R v π，600=y ，1.0=∆x ，5.0-=∆yππ1200)60,30(,1800)60,30(='=R f fπππ30031)60,30(,1800)60,30(2=='=R f f k变后的体积y f x f v k R ∆'+∆'=∆)60,30()60,30()5.0(3001.01200-+⨯=ππ 330cm π=21．用水泥做一个长方形无盖水池，其外形长5米，宽4米，深3米，侧面和底均厚20厘米，求所需水泥的精确值和近似值.解：精确值2.0)22.04()2.02(52.03)22.04(22.03521⨯⨯-⨯⨯-+⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯=v634.12312.332.46=++= 近似值z f y f x f v x y x ∆'+∆'+∆'=)3,4,5()3,4,5()3,4,5(22.0204.0154.012⨯+⨯+⨯= 8.14=22．求下列复合函数的偏导数或全导数 （1）)arcsin(y x z -=，t x 3=，34t y =，求dtdz ； （2）)e e ln(y x z +=，3x y =，求dxdz ； （3）21)(e a z y u ax +-=，而x a y sin =，x z cos =，求dxdu ； （4）v u z ln 2=，x y u =，22y x v +=，求xz∂∂，y z ∂∂；（5）yx z 2=，v u x 2-=，u v y 2+=，求u z ∂∂，y z ∂∂；（6）uv z e =，22ln y x u +=，x y v arctan =，求xz∂∂，y z ∂∂；（7）v u z =，y x u cos =，x y v cos =，求xz∂∂，y z ∂∂；（8）y x z =，t x sin =，t y cos =，求dtdz.解：（1）[])123()43(11)43arcsin(2233t t t dt t t d dt dz ---=-=（2）)3..(1)ln(2333x e e e e dt e e d dx dz x x xx x x ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= （3）[])sin cos ()cos sin (111)cos sin (22x x a e x x a ae adt a x x a e d dx du ax ax ax +=-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-= x e ax sin =（4）2222224222222)ln(2.)ln(y x x x y y x x x y x y x x y x z +++-=∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∂=∂∂222222222222)ln(1)ln(y x y x y y x x y y x x y y z +++=∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∂=∂∂ （5）2222)2()3)(2(2)2()2(2)2)(2(22)2(v u v u v u v u v u v u v u u u v u u u z ++-=+--+-=∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-∂=∂∂ 222)(y x y y x y z -=∂∂=∂∂ （6）)ln arctan 2.()(222222arctan.ln arctan.ln 2222y x yy x x y yx x exe xz x y y x x y y x +-+++=∂∂=∂∂++ )ln arctan 2.()(222222arctan.ln arctan.ln 2222y x xy x x y yx y eyeyz x y y x x y y x ++++=∂∂=∂∂++ （7）2)cos (sin cos cos cos )cos cos (x y x y yx x y y x x y yx xz+=∂∂=∂∂ =--=∂∂=∂∂2)cos (cos cos cos sin )cos cos (x y x y x x y x y x y yx yz2)cos (cos cos cos sin x y xy x x y xy --（8）[])ln(sin sin )(sin cos )(sin cos 1cos cos t t t t dtt d dt dz t t t+==-23．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x f u , ，f 可微，求x u ∂∂，y u∂∂. 解：令yxv =则yv x f v x f x u v u x u x u v x 1). , () , ('+'=∂∂∂∂+∂∂=∂∂ 2) , (yx v x f y u u u y u v -'=∂∂∂∂=∂∂24．)e , (22xy y x f z -=，f 可微，求xz∂∂，y z ∂∂.解：令22y x u -=y e v u f x v u f x v v z x u u z x z xy v u .).,(2).,('+'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ x e v u f y v u f yu v z y u u z y z e v xy v u xy .).,()2).(,('+-'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂==25．设))(1ln(22222y x y x z ++++=，求dz .解：dy y x y x yy x y x y dx y x y x xy x y x x dy uz dx x z dz )(12).(2)(11212)(12).(2)(112122222222222222222+++++++++++++++++=∂∂+∂∂=26．设xyy x y x z 22e )(22++=，求dz .解：+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++=∂∂+∂∂=++dx xy y y x y x e y x xe dv y z dx x z dz xyy x xy y x 222222)()(2.)(22222 dy xy y y x y x xy y x e y x ye xyy x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++++22222222)()(2.)(22227．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z y y x f u , ，其中f 可微，求u d .解：令zy v yx w == , dz zu v u z w w u dy y u v u y w w u dx x v v u x u w u dz z u dy y u dx x u du )()()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂= dz z y v w f dy z u w f dx y v w f v v w 2),(1).,(1).,(-'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=28．设)(u xF xy z +=，其中F 可微，而xyu =，证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂.解：证明：)1).(()).()((2x u F x x y xy u F x u F y x y z y x z x'++-'++=∂∂+∂∂ xy z y u F xy y u F u xF xy +='++'-+=)()()(29．设)(32xy xy z ϕ+=，且ϕ可微，证明022=+∂∂-∂∂y y z xy x z x .解：证明： 22y yz xy x z x +∂∂-∂∂ 2222).(32).()3(3y x xy x y xy y xy x y x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'+-=ϕϕ 0)(32)(3122222=+'--'+-=y xy y x y xy y x y ϕϕ30．设⎪⎭⎫⎝⎛=x y xe f z y sin , ，其中f 可微，求x z ∂∂，yz ∂∂.解：令y xe u =，xy v sin = 则)(cos ),(),(2xy x y v u f e v u f x v v z x u u z x z v y u -'+'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )1(cos ),(),(xx y v u f xe v u f y v v z y u u z y z v y u '+'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂31．v u z =，22ln y x u +=，xyv arctan =，求z d .解：dy yv v z y u u z dx x v v z x u u z dy y z dx x z dz )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂=dy xy x u u y x y vu dx xyxyuu y x x vu v v v v ))(11ln ())(1ln (222122221+++++-++=--dy y x x uu yx y vu dx yx y uu yx x vu v v v v )ln ()ln (2222122221+++++++=--32．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x x xy z ,)sin(ϕ，求y x z∂∂∂2，其中),(v u ϕ有二阶编导数.解：y x v x u yz y yz yzz y z y y z =='-'-=∂∂⇒,)(2)()(令ϕϕϕyy v u v u xy y y u z vu ∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+∂=∂∂∂1).,(),()cos(2ϕϕ 221),("1),("1),(")sin()cos(y v u y v u yv u xy xy xy uv vv uv -+++-=ϕϕϕ33．已知),(v u f z =，y x u +=，xy v =，且),(v u f 的二阶偏导数都连续，求yx z∂∂∂2.解：ayv u yf v u f y x z v u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'∂=∂∂∂),(),(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+'+'+'=y v u f v u f y v u f v u yf v u f vv uu v uv uu ),(),(),(),(),( ),(),("),(")(),("v u f v u xyf v u f y x v u f v vv uv uu '+'++++=34．设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)(21,),(22y x xy f y x g求2222y g x g ∂∂+∂∂.解：令)(21,22y x v xy u -==[][][]='=---+'++++=∂∂+∂∂v vv vu uv uu v vv vu uv uu f y f x f y y f x f x f x f y f x x f y f y y g x g )""(""""""22222222)"")((y x f f y x vv uu +=++35．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+y z y z x ϕ22，其中ϕ为可微函数，求y z∂∂.解：)).(()(2)(22z yzy z y z y y z yzyz y z x -∂∂'+=∂∂⇒=+ϕϕϕ )()()(2yzz y z y y z y z y yz ϕϕϕ'-=∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⇒)(2)()(yz y yz yz z y z y y z ϕϕϕ'-'-'=∂∂⇒36．已知)()(z yg z xf xy +=，0)()(≠'+'z g y z f x ，其中),(y x z z =是x 和y 的函数，求证[][]yz z f y xz z g x ∂∂-=∂∂-)()(解：)()(z yg z xf xy +=对等式两边分别微分得： [])1()()()(xz z g y z f x z y y ∂∂'+'=- 同理可得：[])2()()()(yzz f x z g y z g x ∂∂'+'=- 两式相乘得：[][]xz z g x y z z f y ∂∂-=∂∂-)()(37．设函数),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-所确定，求u d .解：z y x ze ye xe =-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-='++='⇒⎪⎩⎪⎨⎧'+'=+-'+'=+⇒z x y z x x y z y z y x z x z x e z e y z e z e x z z ze z e y e z ze z e x e )1()1()1()1(·)1(··)1( 所以dy yzz u y u dx x u z u x u du )()(∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂= dy e z e y f f dx e z e x f f z y zg z x z x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-'+'+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++'+'=)1()1()1()1(38．求下列方程所确定的隐函数的导数dxdy （1）0)sin(=+xy xe y （2）xy y x 2222=+ （3）y x x y = （4）y x xy y x ++=+)ln(22解：（1）)cos()cos(xy x xe xy y e xF z Fdx dg y y ++-=∂∂∂∂-=（2）令xy y x y x F 2),(22-+=则y x xy x y y x x F z F dx dy 22422--=---=∂∂∂∂-=（3）令y x x y y x F -=),(则x x xy yx y y xF z F dx dy y x y x ln ln 11---=∂∂∂∂-=--（4）令y x xy y x y x F ---+=)ln(),(22则12122222--+--+-=∂∂∂∂-=x y x y y yx x x F z F dxdy39．求下列方程所确定的隐函数),(y x z z =的全微分 （1）)arctan(yz xz = （2）x z xyz +=e（3）1sin cos sin 222=++z y x （4）)(32e z y x z y x ++-=++解：（1）令)arctan(),,(yz xz z y x F -=则y z xy x zz y y x z x F z F dx dz -+-=+--=∂∂∂∂-=22221 所以yy x x zdydx z y y z x x z dy x z dx x z dz -+-++-+-=∂∂+∂∂=222222)1( （2）令x z e xyz z y x F +-=),,(则z x z x z x e xy xz zF yFy e xy z e yz zF x Fx z +++--=∂∂∂∂-=∂-∂--=∂∂∂∂-=∂∂ 所以dy e xy xzdx e xy e yz dy y z dx x z dz zx z x z x +++--+---=∂∂+∂∂=（3）令1sin cos sin ),,(222-++=z y x z y x Fz x z z x x z F x F x z 2sin 2sin cos sin 2cos sin 2-=-=∂∂∂∂-=∂∂ z y z z y y zF y F y z 2sin 2sin cos sin 2cos sin 2-=--=∂∂∂∂-=∂∂ （4）令)(32),,(z y x e z y x z y x F ++--++=)(2)(31z y x z y x e z e z F x F x z ++-++-++-=∂∂∂∂-=∂∂ )(2)(32z y x z y x e z e y zF y F y z ++-++-++-=∂∂∂∂-=∂∂ 所以dy ez e y dz e z e dy y z dx x z dz z y x z y x z y x z y x )(2)()(2)(3231++-++-++-++-++-++-=∂∂+∂∂=40．求下列函数的极值，并判断是极大值还是极小值 （1）y x y xy x y x f +-+-=2),(22（2）0,0,ln 2ln 2),(22>>--+=y x y x y x y x f （3）1232),(23+--=y x xy y x f （4）25126),(23+-+-=y x x y y x f （5）)2(e ),(22y y x y x f x ++=（6）[])2,0(),2,0( )cos(cos sin ),(ππ∈∈-++=y x y x y x y x f （7）22e )(),(xy x y x f +=（8）)2)(2(),(22y by x ax y x f --=解：（1）令022),(0000=--='y x y x f x ，012),(0000=++-='y x y x f y0,100==⇒y x因为2),(" 1),(",2),("000000==-====y x f C y x f B y x f A yy xy xx所以02<-=AC B Ω 又因为02>=A所以（1，0）是极小值。
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第三章
第三章习题3-11．设s =12gt ２，求2d d t s t =．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==--21lim (2)22t g t g →=+=2．设f (x )=1x，求f '(x 0)(x 0≠0)．解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。
解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x x x -=-。
由已知直线过点(3,8),得00082(3)y x x -=-(1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x =(2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。
也即440x y --=或8160x y --=。
4．下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1)0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2)f (x 0)=0,0limx x →0()f x x x-＝A ；(3)0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x xx →-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=-(2)000000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=--- 0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+-- 00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+=02()A f x '∴=5．求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)y2．解：(1)12y x==11221()2y x x -''∴===(2)23y x-=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y x x xx-==15661()6y x x -''∴===6．讨论函数y在x =0点处的连续性和可导性．解：00(0)x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-∴函数y =在0x =点处连续但不可导。
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习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）（2） （3） （4）4（1）1limy x →→（2）lim1→→y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 0020==-+→→=→y yy x y x y y x y所以极限不存在。
（2）证明 如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0(则1lim )(lim 4402222200==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim )(lim 244022222020=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。
6．指出下列函数的间断点：（1）xy xy y x f 22),(2-+=； （2）y x z -=ln 。
解 （1）为使函数表达式有意义，需022≠-x y ，所以在022=-x y 处，函数间断。
（2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。
习题1—2 1．（1）x y y x z +=,21x y y x z -=∂∂，21y xx y z -=∂∂. (2))]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y xz-=-=∂∂ )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x yz-=-=∂∂(3)121)1()1(--+=+=∂∂y y xy y y xy y xz, lnz=yln(1+xy)，两边同时对y 求偏导得,1)1ln(1xyxy xy y z z +++=∂∂]1)1[ln()1(]1)1[ln(xyxy xy xy xy xy xy z y zy ++++=+++=∂∂; (4))(2213323y x x y x x y x x y x z +-=+-=∂∂,;11322y x x y x x y z +=+=∂∂ (5)x x zy z ux x z y u x z y x u z yz yz yln ,ln 1,21-=∂∂=∂∂=∂∂-; (6)z z y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-, z z y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-,zz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂; 2.(1)0,1,0,,=====yy xy xx y x z z z x z y z ;(2) ),(2sin ),(2sin by ax b z by ax a z y x +=+=)(2cos 2),(2cos 2),(2cos 222by ax b z by ax ab z by ax a z yy xy xx +=+=+=.3 2222,2,2x yz f z xy f xz y f z y x +=+=+=,,2,2,2z f x f z f yz xz xx ===0)0,1,0(,2)2,0,1(,2)1,0,0(=-==yz xz xx f f f .4)2(2cos ),2(2cos 2),2(2sin ),2(2sin 2tx z t x z t x z t x z tt xt t x --=-=-=--=0)2(2cos 2)2(2cos 22=-+--=+tx t x z z xt tt .5.(1) x yx e x y z 2-=, x y y e x z 1=,=dz +-dx e xy x y 2dy e x x y1;(2) )ln(2122y x z +=,22yx x z x +=,22y x y z y +=,dy y x y dx y dz 2222x x +++=;(3)2222)(1y x y x y x y z x +-=+-= , 222)(11y x x xy x z y +=+= ,22y x xdy ydx dz ++-=; (4) ,1-=yz x yzxu x zx u yz y ln =,x yx u yz z ln =, =du xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1++-.6. 设对角线为z,则,22y x z +=22yx x z x +=,22yx y z y +=, =dz 22yx ydy xdx ++当1.0,05.0,8,6-=∆=∆==y x y x 时,2286)1.0(805.06+-⨯+⨯=≈∆dz z =-0.05(m).7. 设两腰分别为x 、y,斜边为z,则,22y x z +=22yx x z x +=，22yx y z y +=, =dz 22yx ydy xdx ++,设x 、y 、z 的绝对误差分别为x δ、y δ、z δ,当1.0,1.0,24,7=≤∆=≤∆==y x y x y x δδ时, 2524722=+=z222471.0241.07+⨯+⨯≤≤∆dz z =0.124,z 的绝对误差124.0=z δz 的相对误差≈∆z z %496.025124.0=. 8. 设内半径为r ，内高为h ，容积为V ，则h r V 2π=,rh V r π2=,2r V h π=,dh r rhdr dV 22ππ+=,当1.0,1.0,20,4=∆=∆==h r h r 时,)(264.551.0414.31.020414.3232cm dV V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=≈∆.习题1—31.=∂∂+∂∂+∂∂=dxdz z f dx dy y f dx dx x f dx du ++2)(1z xy z y +⋅+ax ae zxy z x2)(122)(1z xy z xy +-)1(2+⋅ax a=222)]1(2[y x z ax axy axz z y ++-+=axax ex ax x a e ax 22422)1()1()1(++++. 2.x f x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ηηξξ=4432224arcsin 11y x x y x x+⋅+----ξξη=))(1()ln(1arcsin 422224444223y x y x y x x y x y x x +--+-+--y f y f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ηηξξ=4432224arcsin 11y x y y x y+⋅+----ξξη=))(1()ln(1arcsin 422224444223y x y x y x y y x y x y +--+-+--.3. (1)xu ∂∂=212f ye xf xy +, y u ∂∂=212f xe yf xy+-.(2)x u ∂∂=11f y ⋅, y u ∂∂=2121f z f y x +⋅-,z u∂∂=22f zy ⋅-.(3)xu∂∂=321yzf yf f ++,y u ∂∂=32xzf xf +,z u ∂∂=3xyf .(4)x u ∂∂=3212f yf xf ++y u ∂∂=3212f xf yf ++,z u∂∂=3f .4 .(1)1yf xz=∂∂,21f xf y z +=∂∂, 11222f y x z =∂∂,12111121112)(yf xyf f f xf y f yx z ++=++=∂∂∂, 2221121122)(f xf f xf x yz +++=∂∂=22121122f xf f x ++ (2)2122xyf f y xz+=∂∂,2212f x xyf y z +=∂∂, 2222123114222212212112222442)2(22)2(f y x f xy f y yf xyf f y xy yf xyf f y y xz +++=++++=∂∂.1222223113212222121221121252222)2(22)2(2f y x yf x f xy xf yf f x xyf xy xf f x xyf y yf y x z++++=+++++=∂∂∂ 2241231122122221212211122442)2()2(22f x yf x f y x xf f x xyf x f x xyf xy xf y z +++=++++=∂∂ 5 yux u t y y u t x x u t u y u x u s y y u s x x u s u ∂∂+∂∂-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2123,2321, 222)(4323)(41)(y u y u x u x u s u ∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂,222)(4123)(43)(yu y u x u x u t u ∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∂∂, 2222)()()()(yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∴. 6 (1) 设)(),,(z y x ez y x z y x F ++--++=, )(1z y x x e F ++-+=,)(1z y x y e F ++-+=,)(1z y x z e F ++-+=,1-=-=∂∂z x F F x z ,1-=-=∂∂zy F F y zxz y x y x zy x y x z y x x F yx z y x z z y x F x 2))(21(sec tan,tan ),,()2(23222222222222222---------=---=设=222222tany x xz yx z yx x -+---222secyx z -,)2())(21(sectan2322222222222yz y x y x zy x yx zyx yF y --------=- =222222tany x yz yx z yx y -----222secyx z -,-=1z F 22222sec yx z y x --221yx -=222tanyx z --,=∂∂x z )cot 1(cot 222222222y x z y x xz y x z y x x F F z x -+-+---=-,=∂∂y z ).cot 1(cot 222222222yx z yx yz y x z y x y F F z y -+-----=-(3) 设xyz z y x z y x F 22),,(-++=,x yz F x -=1yxzF y -=2zxyF x -=1, =∂∂xzz x F F -=xy xyz xyz yz --,=∂∂yzz y F F -=xyxyz xyz xz --2.(4) 设y z z x y z z x z y x F ln ln ln ),,(+-=-=,y F z F y x 1,1==z zx F z 12--=, =∂∂x z z x z F F z x +=-,=∂∂y z )(2z x y z F F z y +=-, 7.设)32sin(232),,(z y x z y x z y x F -+--+=,),32cos(21z y x F x -+-=)32cos(42z y x F y -+-=,)32cos(63z y x F z -++-=,∴=∂∂x z31=-z x F F ,=∂∂y z 32=-z y F F ,∴+∂∂x z =∂∂yz1. 8.设2121,,),,(),,(φφφφφb a F c F c F bz cy az cx z y x F z y x --===--=,=∂∂x z211φφφb a c F F z x +=-,=∂∂y z ,212φφφb a c F F z y +=- ∴+∂∂xzac y z b =∂∂. 9. (1)方程两边同时对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=,0642,22dx dzz dx dy y x dx dy y x dx dz 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=13,)13(2)16(z x dx dy z y z x dx dy(2) 方程两边同时对z 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0222,01z dz dyy dz dx x dz dydz dx 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=.,yx xz dzdy yx zy dz dx(3) 方程两边同时对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=,sin cos 0,cos sin 1x v v u v x u x u e x v v u v x u x u e u u 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=∂∂+-=∂∂.]1)cos (sin [cos ,1)cos (sin sin v v e u e v x v v v e v x u u uu 同理方程两边同时对y 求偏导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=,sin cos 1,cos sin 0y v v u v y u y u e yvv u v y u y u e u u解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=∂∂+--=∂∂.]1)cos (sin [sin ,1)cos (sin cos v v e u e v x v v v e v x u u uu000000022200012141(1)23,(1,1,0),(1,1,2)22,44,60,4*((2)(),(1,1,1),(2,1,1);()()p p p p p p p pz z p p ul u x y z p l u x x u y y u zzl u l yu p l x u y yz x x x --∂∂=++=-∂==∂∂==∂∂==∂=∂∴=+=∂==-∂=-=∂习题。