【红对勾】2015-2016学年人教版高中数学必修一课件 第2章 2.1.1.2 指数与指数幂的运算
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【红对勾】高中数学 2.2.1.1对数课件 新人教版必修1
og4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的 值．
解：(1)∵log2(log3(log4x))＝0， ∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3. ∴x＝43＝64.同理可得y＝24＝16. ∴x＋y＝80.
提高篇03
－2
通法提炼 指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式logaN ＝x与指数式ax＝Na>0，且a≠1的互化过程中，要特别注 意a，x，N的对应位置.
将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式． (1)54＝625；(2) ＝－3；
1 －2 (3)(4) ＝16；(4)log101000＝3.
对数的基本性质
1．对数的性质 (1)
负数和零 没有对数；
(2)loga1＝ 0 (a>0，且a≠1)； (3)logaa＝ 1 (a>0，且a≠1)．
2．对数恒等式 ＝ N .
4．为什么零与负数没有对数？ 提示：因为x＝logaN(a>0，且a≠1)⇔ax＝N(a>0，且 a≠1)，而a>0且a≠1时，ax恒大于0，即N>0，故0和负数没 有对数．
求下列对数的值： 1 (1)log28；(2)log9 ；(3)ln e；(4)lg1. 9
解：(1)设log28＝x，则2x＝8＝23. ∴x＝3.∴log28＝3. 1 1 x (2)设log9 ＝x，则9 ＝ ＝9－1，∴x＝－1. 9 9 1 ∴log99＝－1. (3)ln e＝1. (4)lg1＝0.
对数基本性质的应用
【例3】
计算：
(1)log2(log55)；
【解析】
解答本题可利用对数的性质及对数恒等式
alogaN＝N来化简求值．
【解】
解：(1)∵log2(log3(log4x))＝0， ∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3. ∴x＝43＝64.同理可得y＝24＝16. ∴x＋y＝80.
提高篇03
－2
通法提炼 指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式logaN ＝x与指数式ax＝Na>0，且a≠1的互化过程中，要特别注 意a，x，N的对应位置.
将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式． (1)54＝625；(2) ＝－3；
1 －2 (3)(4) ＝16；(4)log101000＝3.
对数的基本性质
1．对数的性质 (1)
负数和零 没有对数；
(2)loga1＝ 0 (a>0，且a≠1)； (3)logaa＝ 1 (a>0，且a≠1)．
2．对数恒等式 ＝ N .
4．为什么零与负数没有对数？ 提示：因为x＝logaN(a>0，且a≠1)⇔ax＝N(a>0，且 a≠1)，而a>0且a≠1时，ax恒大于0，即N>0，故0和负数没 有对数．
求下列对数的值： 1 (1)log28；(2)log9 ；(3)ln e；(4)lg1. 9
解：(1)设log28＝x，则2x＝8＝23. ∴x＝3.∴log28＝3. 1 1 x (2)设log9 ＝x，则9 ＝ ＝9－1，∴x＝－1. 9 9 1 ∴log99＝－1. (3)ln e＝1. (4)lg1＝0.
对数基本性质的应用
【例3】
计算：
(1)log2(log55)；
【解析】
解答本题可利用对数的性质及对数恒等式
alogaN＝N来化简求值．
【解】
【红对勾】高中数学 2.2.2.1对数的概念、图象及性质课件 新人教版必修1
方法二
首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平
面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除 A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相 反，排除D.只有B中图象符合．
预习篇01
新知导学
对数函数的概念
1．一般地，我们把函数 y＝logax 叫做对数函数，其中x是自变量．
(a>0，且a≠1)
2．对数函数y＝logax的定义域为 (0，＋∞) ，值域 为R.
1．为什么在对数函数中要求a>0，且a≠1? 提示：根据对数式与指数式的关系知，y＝logax可化为 ay＝x，联想指数函数中底数的范围，可知a>0，且a≠1.
奇偶性，并求出f(x)>0的解集．
【解析】
先去掉绝对值符号，画出y轴右边的图象，
再由对称性作出另一部分，最后结合图象求解集．
【解】
lgx，x>0， f(x)＝lg|x|＝ lg－x，x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，所以将函数y＝ lgx(x>0)的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lgx(x>0)的图象合 起来得函数f(x)的图象，如图所示．由图知：此函数是偶函 数，f(x)>0的解集为(1，＋∞)∪(－∞，－1)．
通法提炼 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合， 求与对 数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自 变量在真数上， 则必须保证真数大于 0； 若自变量在底数上， 应保证底数大于 0 且不等于 1.
求下列函数的定义域． 1 (1)f(x)＝ ；(2)f(x)＝ 1－log3x－1
1－x>0 (2)要使函数式有意义，需 1－x≠1
【红对勾】2015-2016学年人教版高中数学必修一课件 第2章 2.1.2.1 指数函数及其性质
(1)下列函数中是指数函数的是( ) A．y＝3x－2 B．y＝2·5x C．y＝5x＋2 D．y＝(a＋2)x(a>－2，且a≠－1)
(2)函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，且a≠1)是指数函数， 则k＝________，b＝________.
解析：(1)由指数函数定义知选D.
k＋2＝1 (2)2－b＝0
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的概念、图象及性质
预习篇 课堂篇 提高篇
巩固篇 课时作业
学习目标 1.能说出指数函数的定义； 2.记住指数函数的图象与性质； 3.会用指数函数的图象与性质解答有关问题.
重点难点 重点：指数函数的概念、图象、性质； 难点：指数函数性质的概括总结.
由指数函数的性质知，y＝ y>0，故此函数的值域为(0,1]．
≤(13)0＝1，且
通法提炼 本题中的函数都不是指数函数，但都与指数函数有关. 根据指数函数的定义域为R，值域为0，＋∞，结合前一 章求函数定义域和值域的方法，可以求解一些简单函数的 定义域和值域.在求解中要注意正确运用指数函数的单调性. 在求值域问题时，既要考虑指数函数的单调性，还应注意 指数函数的值域为0，＋∞.
，kb＝＝－2 1
.
答案：(1)D (2)－1 2
指数函数的图象
【例2】 如图，曲线C1，C2，C3，C4是，13，
5，π，
则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是 ________，________，________，________.
【解析】 函数y＝ax的图象过点(1，a)，可根据各图 象上横坐标为1的点的位置确定a的大小．
《红对勾》2015-2016学年人教版高中数学必修一课件第1章1.2.1.2函数的概念
通法提炼 当函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域就确 定了，求值域常用的方法有观察法、换元法、分离常数 法、配方法、图象法等.
求下列函数的值域： (1)y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}； (2)y＝x＋x 1； (3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)．
解：(1)∵y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}， ∴y∈{1,3,7,9}． (2)∵y＝x＋x 1＝x＋x＋11－1＝1－x＋1 1，且x＋1 1≠0， ∴函数y＝x＋x 1的值域为{y|y≠1}． (3)配方，得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5)，∴结合函数的图 象可知，函数的值域为{y|2≤y<11}．
通法提炼 因为 fgx就是用 gx代替了 fx中的 x，所以 gx的取 值范围与 fx中的 x 的取值范围相同.若已知函数 fx的定义 域为[a，b]，则函数 fgx的定义域是指满足不等式 a≤gx≤b 的 x 的取值范围；而已知 fgx的定义域是[a， b]，指的是 x∈[a，b]，要求 fx的定义域，就是求 x∈[a， b]时 gx的值域.
【例2】 求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝2xx－＋31.
【解析】
(1)
分别求x为1，2，3，4， 5时相应的y值
→
y的所有取 值即为值域
(2) 对二次函数进行配方 → 结合图象求值域
将函数式进 利用反比例函数 (3) 行等价变形 → 的图象求值域
自我超越
——易错警示系列—— 用换元法求值域时忽视中间变量的取值范围 【典例 1】 求函数 y＝x＋ 2x＋1的值域．
【错解】 令 2x＋1＝t，则 x＝t2－2 1， 所以 y＝t2－2 1＋t＝12(t2＋2t－1)＝12(t＋1)2－1. 所以值域为[－1，＋∞)．
【红对勾】2015-2016学年人教版高中数学必修一课件 第2章 2.2.1.2 对数与对数运算
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第二章·2.2·2.2.1·第2课时
计算下列各式的值： 1 32 4 (1) lg － lg 8＋lg 245； 2 49 3 2 (2)lg5 ＋3lg8＋lg5· lg20＋(lg2)2.
2
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第二章·2.2·2.2.1·第2课时
合作探究
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第二章·2.2·2.2.1·第2课时
对数运算性质的应用
【例1】
2 3 lg3＋5lg9＋5lg 27－lg 3 化简：(1) . lg81－lg27
(2)lg25＋lg2lg50＋
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第二章·2.2·2.2.1·第2课时
【解】
解：(1)法一 1 43 1 原式＝ (5lg2－2lg7)－ ·lg2＋ (2lg7＋lg5) 2 32 2 5 1 ＝2lg2－lg7－2lg2＋lg7＋2lg5 1 1 1 1 1 ＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.
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第二章·2.2·2.2.1·第2课时
法二
4 2 原式＝lg 7 －lg4＋lg(7 5)
4 2×7 5 1 ＝lg ＝lg( 2× 5)＝lg 10＝2. 7×4 (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5＋lg2)2 ＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.
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第二章·2.2·2.2.1·第2课时
3．换底公式有哪些常见的推论？
n 提示：①logn b a ＝logab；
n m n ②loga b ＝ logab，特别logab＝ m ③logab· logba＝1； ④logab· logbc· logcd＝logad.
【红对勾】2015-2016学年人教版高中数学必修一课件 第2章 2.2.2.2 对数函数及其性质
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第二章·2.2·2.2.2·第2课时
5．观察指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝ logax(a>0，且a≠1)的图象，它们之间有怎样的关系？ 提示：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对 称．
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第二章·2.2·2.2.2·第2课时
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第二章·2.2·2.2.2·第2课时
2．若a>1，且logam>logan，则m与n的大小关系是 ________； 若0<a<1，且logam>logan，则m与n的大小关系是 ________． 提示：m>n m<n
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第二章·2.2·2.2.2·第2课时
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第二章·2.2·2.2.2·第2课时
2．对于y＝logax，若a>1，当x>1时，y>0，当0<x<1 时，y < 0；若0<a<1，当0<x<1时，y > 0，当x>1时， y < 0.
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第二章·2.2·2.2.2·第2课时
1．若a>1，且m>n，则logam与logan的大小关系是 ________． 若0<a<1，且m>n，则logam与logan的大小关系是 ________． 提示：logam>logan logam<logan
反函数
x y ＝ a 函数y＝logax(a>0，且a≠1)与 (a>0，且a≠1) 互为反函数，其图象关于直线 y＝x 对称．
【红对勾】2015-2016学年人教版高中数学必修一课件 第2章 2.1.2.2 指数函数及其性质
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第二章·2.1·2.1.2·第2课时
由表可知，原函数在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋ ∞)上是减函数．
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第二章·2.1·2.1.2·第2课时
解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如 果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂 的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.
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第二章·2.1·2.1.2·第2课时
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第二章·2.1·2.1.2·第2课时
通法提炼 比较幂的大小的常用方法： 1对于底数相同， 指数不同的两个幂的大小比较， 可以 利用指数函数的单调性来判断.2对于底数不同，指数相同 的两个幂的大小比较， 可以利用指数函数图象的变化规律来 判断.3对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则 应通过中间值来比较.
解析：∵y＝0.8x 是减函数，∴a＝0.80.7>0.80.9＝b，且 a ＝0.80.7<0.80＝1.又 c＝1.20.8>1，∴c>a>b.故选 D.
答案：D
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第二章·2.1·2.1.2·第2课时
解简单的指数不等式
【例 2】
1 2 (1)解不等式(2)x －2≤2.
2
∴y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数． ∴x>1－x. 1 解得x>2. 1 ∴x的取值范围是{x|x>2}．
【红对勾】高中数学 2.1.1.2指数幂及运算课件 新人教版必修1
指数幂的运算
通法提炼 1进行指数幂运算的一般方法为化负数为正数，化根 式为分数指数幂，化小数为分数. 2一般情况下，指数的底数是大于0的，但具体题目要 具体对待，一定要注意底数的正负！
计算或化简下列各式(其中式子中的字母均为正数)．
条件求值问题
通法提炼 条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已 知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条 件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.本题若 通过a ＋a
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2.1
指数函数
2．1.1
指数与指数幂的运算
第2课时课时作业 提高篇
学习目标
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意 义，掌握根式与分数指数幂的互化 2.掌握有理数指数幂的运算性质
重点难点
重点：根式与分数指数幂的互化 难点：运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值
2 4
1 1 2
5．若a∈R，α、β∈Q.(aα)β一定等于(aβ)α吗？试举例说 明． 提示：不一定相等．如[(－2)2] ＝2，而[(－2) ] 是没 有意义的．
1 2 1 2 2
无理指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个 确定的实数． 有理数指数幂 无理数指数幂． 的运算性质同样适用于
预习篇01
新知导学
分数指数幂的意义
有理指数幂的运算性质
(1)a a ＝
r s
ar＋s
(a>0，r，s∈Q)； (a>0，r，s∈Q)； (a>0，b>0，r∈Q)．
rs (2)(ar)s＝ a r r a b (3)(ab) ＝
r
4．在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a>0? 提示：(1)若a＝0，∵0的负数指数幂无意义， ∴(ab)r＝ar· br，当r<0时不成立， ∴a≠0. (2)若a<0，(ar)s＝ars也不一定成立， 如[(－4) ] ≠(－4) ， ∴a<0时不成立．因此规定a>0.
【红对勾】2015-2016学年人教版高中数学必修一课件 第2章 2.2.1.1 对数与对数运算
学习目标
1.记住对数的定义，会进行指数式与对数式的互化； 2.记住对数的性质，会利用对数的性质解答问题.
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第二章·2.2·2.2.1·第1课时
重点难点
重点：对数的概念及对数的性质； 难点：对数概念的理解及对数性质的应用.
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第二章·2.2·2.2.1·第1课时
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第二章·2.2·2.2.1·第1课时
4．为什么零与负数没有对数？ 提示：因为x＝logaN(a>0，且a≠1)⇔ax＝N(a>0，且 a≠1)，而a>0且a≠1时，ax恒大于0，即N>0，故0和负数没 有对数．
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第二章·2.2·2.2.1·第1课时
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第二章·2.2·2.2.1·第1课时
【解析】
本题主要考查指数式与对数式的互化．在
利用ax＝N⇔x＝logaN进行互化时，要分清各字母分别在指 数式和对数式中的位置．
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第二章·2.2·2.2.1·第1课时
【解】
1 1 (1)因为3 ＝9，所以log39＝－2.
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第二章·2.2·2.2.1·第1课时
(3)若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在，当N＝1时， 则logaN有无数个值，与函数定义不符， 因此，规定a≠1.
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第二章·2.2·2.2.1·第1课时
2．任意式子ax＝N都可以直接化为对数式吗？ 提示：并非任意式子ax＝N都可以直接化为对数式，如 (－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9，只有符合a>0，a≠1且 N>0时，才有ax＝N⇔x＝logaN. 3．能否将ax＝N与x＝logaN理解为“互为逆运算”？ 提示：能．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称 为求幂运算；而如果已知a和N求x就是对数运算，两个式子 实质相同而形式不同，互为逆运算．
【红对勾】2015-2016学年人教版高中数学必修一课件 第1章 1.2.1.1 函数的概念
第一章
集合与函数的概念
第一章
集合与函数的概念
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1.2
函数及其表示
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第一章
集合与函数的概念
1．2.1
函数的概念
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第一章
集合与函数的概念
第1课时 预习篇
函数的概念
巩固篇
课堂篇
课时作业 提高篇
RJA版· 数学· 必修1来自进入导航第一章·1.2·1.2.1·第1课时
3．函数的记法
y＝f(x)，x∈A f ： A → B 集合A上的函数可记作： 或
.
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第一章·1.2·1.2.1·第1课时
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？ 提示：不能．只有非空数集之间才能建立函数关系．
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第一章·1.2·1.2.1·第1课时
2．对于一个函数y＝f(x)，在定义域内任取一个x值， 有几个函数值与其对应？ 提示：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x， 只有一个函数值与其对应．
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第一章·1.2·1.2.1·第1课时
3．f(x)与f(a)的区别与联系是什么？ 提示：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常 量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变 量， f(a)是f(x)在x＝a时的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x ＋4，当x＝8时， f(8)＝3×8＋4＝28是一个常量．
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第一章·1.2·1.2.1·第1课时
区间及有关概念
集合与函数的概念
第一章
集合与函数的概念
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1.2
函数及其表示
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第一章
集合与函数的概念
1．2.1
函数的概念
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第一章
集合与函数的概念
第1课时 预习篇
函数的概念
巩固篇
课堂篇
课时作业 提高篇
RJA版· 数学· 必修1来自进入导航第一章·1.2·1.2.1·第1课时
3．函数的记法
y＝f(x)，x∈A f ： A → B 集合A上的函数可记作： 或
.
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第一章·1.2·1.2.1·第1课时
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？ 提示：不能．只有非空数集之间才能建立函数关系．
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第一章·1.2·1.2.1·第1课时
2．对于一个函数y＝f(x)，在定义域内任取一个x值， 有几个函数值与其对应？ 提示：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x， 只有一个函数值与其对应．
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第一章·1.2·1.2.1·第1课时
3．f(x)与f(a)的区别与联系是什么？ 提示：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常 量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变 量， f(a)是f(x)在x＝a时的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x ＋4，当x＝8时， f(8)＝3×8＋4＝28是一个常量．
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第一章·1.2·1.2.1·第1课时
区间及有关概念
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第二章·2.1·2.1.1·第2课时
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第二章·2.1·2.1.1·第2课时
通法提炼 条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已 知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条 件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.本题若 通过a ＋a
1 2 － 1 2
第二章·2.1·2.1.1·第2课时
4．在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a>0? 提示：(1)若a＝0，∵0的负数指数幂无意义， ∴(ab)r＝ar· br，当r<0时不成立， ∴a≠0. (2)若a<0，(ar)s＝ars也不一定成立， 如[(－4) ] ≠(－4) ， ∴a<0时不成立．因此规定a>0.
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第二章·2.1·2.1.1·第2课时
学习目标
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意 义，掌握根式与分数指数幂的互化 2.掌握有理数指数幂的运算性质
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第二章·2.1·2.1.1·第2课时
重点难点
重点：根式与分数指数幂的互化 难点：运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值
2 4
1 1 2
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第二章·2.1·2.1.1·第2课时
5．若a∈R，α、β∈Q.(aα)β一定等于(aβ)α吗？试举例说 明． 提示：不一定相等．如[(－2)2] ＝2，而[(－2) ] 是没 有意义的．
1 2 1 2 2
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有理指数幂的运算性质
(1)a a ＝
r s
ar＋s
(a>0，r，s∈Q)； (a>0，r，s∈Q)； (a>0，b>0，r∈Q)．
rs (2)(ar)s＝ a r r a b (3)(ab) ＝
r
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通法提炼 1进行指数幂运算的一般方法为化负数为正数，化根 式为分数指数幂，化小数为分数. 2一般情况下，指数的底数是大于0的，但具体题目要 具体对待，一定要注意底数的正负！
＝3解出a的值代入求值，则非常复杂.
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计算或化简下列各式(其中式子中的字母均为正数)．
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条件求值问题
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
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2.1
指数函数
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2．1.1
指数与指数幂的运算
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
第2课时 预习篇
指数幂及运算
巩固篇
课堂篇
课时作业 提高篇
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无理指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个 确定的实数． 有理数指数幂 无理数指数幂． 的运航
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6．为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底 数是正数？ 提示：底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如a＝ －1，则(－1)α是1还是－1就无法确定了，规定后就清楚 了．
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预习篇01
新知导学
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分数指数幂的意义
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课堂篇02
合作探究
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根式与分数指数幂的互化
【例1】 b>0)： (1)a2 a；
用分数指数幂表示下列各式(a>0，
(2) a a；
3
(3) a · a ；
3
2
(4)( a)2· ab3.
3
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1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的； 无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底 数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底 数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式 表示，便于用指数运算性质．
【解析】
把根式转化为分 运用分数指数幂 → 数指数幂的形式 的运算性质化简
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【解】
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通法提炼 当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般 由里向外用分数指数幂依次写出.
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2．根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指 数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过 程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运 用运算性质准确求解．
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下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是 ________(只要求填写序号)．
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指数幂的运算