微积分课后题答案第九章习题详解

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第九章多元函数微积分及其应用习题参考答案

习题9-1 多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域：（1）ln(z y x =- （2）u =。

解 (1) 函数的定义域为(){}22,,0,1x y y x x xy >≥+<.(2) 函数的定义域为(){}22,0x y z x y ≤+≠.2.求下列各极限：（1）(,)(0,0)limx y →；（2）(,)(2,0)tan()lim x y xy y →.（3）2222()lim()x y x y x y e-+→∞→∞+ （4）()(,0,0limx y →解 (1) 原式()(()(()(,0,0,0,0,0,0441limlim lim 4x y x y x y xy →→→-+====-(2) 原式()()()()()()()()()()(),2,0,2,0,2,0,2,0tan tan tan limlim lim lim 122x y x y x y x y xy xy xy x x yxy xy →→→→⎡⎤==⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦(3) 令22u x y =+，原式1limlim 0u uu u u e e →∞→∞===(4) 令t =23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t xt t t t t t +++→→→--==== 习题9-2 偏导数1.求下列函数的偏导数：（1）2sin()cos ()z xy xy =+；（2）(1)yz xy =+；（3）arctan()zu x y =-. 解 (1)()()()()()cos 2cos sin cos sin 2zy xy xy xy y y xy xy x∂=+⋅-⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ ()()()()()cos 2cos sin cos sin 2zx xy xy xy x x xy xy y∂=+⋅-⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂ (2)()121y z y xy x -∂=+∂; ()()()ln 11ln 11y y xy z xy e xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦. (3) ()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-.（4）设()23y z xy x ϕ=+，其中()u ϕ可导，证明22z z x y xy x y∂∂+=∂∂ 证 ()()222,33z y z yy xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂,左边()()22222233z y y x y x y xy y xy x xy x x ϕϕ∂⎡⎤''=+=-++=+=⎢⎥∂⎣⎦右边2.求下列函数的22z x ∂∂，22z y ∂∂和2zx y∂∂∂.（1）arctany z x=；（2）xz y =. 解 (1) ()22222222212,;1z y y z xy xx x y x y x y x ∂∂⎛⎫=⋅-=-= ⎪∂+∂⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22222222112,;1z x z xy yx x y y y x y x ∂∂⎛⎫=⋅=-=- ⎪∂+∂⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭()()()22222222222222x y y y z y y x x y y x y x y x y +-⋅⎛⎫∂∂-=-=-= ⎪∂∂∂+⎝⎭++. (2) 222ln ,ln x x z z y y y y x x ∂∂==⋅∂∂, ()2122,1x x z z xy x x y y y--∂∂==-∂∂, ()()21ln 1ln x x z y y y x y x y y -∂∂==+∂∂∂. 习题9-3 全微分1.求下列函数的全微分：（1）y xz e =；（2）yzu x =. （3）sin2yz yu x e =++. （4）()222tan z y x u ++=解 (1) 因为2y x z y e x x ∂=-∂, 1y x z e y x ∂=∂,所以()21yxz z dz dx dy e ydx xdy x y x∂∂=+=--∂∂. (2) 因为1,ln ,ln yz yz yz u u u yzx zx x yx x x y z-∂∂∂===∂∂∂,所以 ()1ln yz yz u u udu dx dy dz yzx dx x x zdy ydz x y z-∂∂∂=++=++∂∂∂.(3)11,c o s ,22yz yz u u y uze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂，所求的全微分为 1cos 22yz yz y du dx ze dy ye dz ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.(4) 因为u x ∂=∂，u y ∂=∂u z ∂=∂,所以)du xdx ydy zdz =++.2.求函数yz x=，当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分。

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解

第9章习题9-1．判定下列级数的收敛性：115n n a ∞=⋅∑（＞）； ∑∞=-+1)1(n n n∑∞=+131n n ∑∞=-+12)1(2n nn ∑∞=+11ln n n n∑∞=-12)1(n n∑∞=+11n n n 0(1)21n n n n ∞=-⋅+∑．解：（）该级数为等比级数，公比为1a 且0a > 故当1||1a < 即1a >时，级数收敛，当1||1a≥即01a <≤时，级数发散（）(1n S n =++++1=lim n n S →∞=∞∴1n ∞=∑发散（）113n n ∞=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前项得到的级数，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数113n n ∞=+∑发散（）1112(1)1(1)222n n nn n n n ∞∞-==⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112n n ∞-=∑ 1(1)2m n n ∞=-∑是公比分别为12的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)22n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛（）lnln ln(1)1nn n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+故lim n n S →∞=-∞ 所以级数1ln1n nn ∞=+∑发散（）2210,2n n S S +==-∴lim n n S →∞不存在，从而级数1(1)2n n ∞=-∑发散（）1lim lim10n n n n U n→∞→∞+==≠ ∴ 级数11n n n ∞=+∑发散（） (1)(1)1, lim 21212n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1(1)21n n nn ∞=-+∑发散．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ；∑∞=++1)2)(1(1n n n n∑∞=⋅12sin n n n π0πcos 2n n ∞=∑．解：（）1111, 23n n n n ∞∞==∑∑都收敛，且其和分别为和12，则11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其和为 12 32（）11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++++⎝⎭∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭1lim 4n n S →∞=故级数收敛，且其和为14（）πsin 2n U n n = 而πsinππ2lim lim 0π222n n n U n→∞→∞=⋅=≠，故级数1πsin2n n n ∞=⋅∑发散（）πcos2n n U = 而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞== 42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-故lim n n U →∞不存在，所以级数0πcos2n n ∞=∑发散 ※．设1n n U ∞=∑ ＞加括号后收敛，证明1n n U ∞=∑亦收敛．证：设1(0)n n n U U ∞=>∑加括号后级数1n n A ∞=∑收敛，其和为考虑原级数1n n U ∞=∑的部分和1n k k S U ∞==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=，故存在0n 使11n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim nn S →∞存在，即原级数1n n U ∞=∑亦收敛习题．判定下列正项级数的收敛性：∑∞=++1n n n )2)(1(1 ∑∞=+1n n n1∑∞=++1n n n n )2(2 ∑∞=+1n n n )5(12；111nn a ∞=+∑ ＞ ∑∞=+1n n b a 1＞ ()∑∞=--+1n a n a n 22＞ ∑∞=-+1n n n 1214； ∑∞=⋅1n nn n 23； ※∑∞=1n n n n !∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753 ∑∞=1n n n3；※∑∞=1n n n 22)!(2； ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12∑∞=1πn n n3sin2 ∑∞=1πn n n n 2cos 32．解：（）因为211(1)(2)n n n <++而211n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞=++∑收敛（）因为limlim 10n n n U →∞→∞==≠，故原级数发散（）因为21(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111n n ∞=+∑发散，由比较判别法知，级数12(1)n n n n ∞=++∑发散（）321n<=而n ∞=是收敛的p -级数3(1)2p => 由比较判别法知级数1n ∞=收敛（）因为111lim lim lim(1)111n n n n n n n n a a a a a→∞→∞→∞+==-++ 11112001a a a >⎧⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩而当1a >时，11n n a ∞=∑收敛，故111nn a ∞=+∑收敛当1a =时，11n n a ∞=∑ 11n ∞=∑发散，故111nn a∞=+∑发散当01a <<时1lim101nn a →∞=≠+，故1lim 1n n a →∞+发散综上所述，当01a <≤时，级数1lim1nn a →∞+发散，当1a >时，1lim 1n n a →∞+收敛（）因为1lim lim lim(1)1n n n nn n n nb a a b a b a b b →∞→∞→∞+==-++1111101b b a b >⎧⎪⎪==⎨+⎪<<⎪⎩ 而当1b >时 11n n b ∞=∑收敛，故11nn a b ∞=+∑收敛当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a > 101a <<+∞+ 故11nn a b ∞=+∑也发散当01b <<时，11lim 0n n a b a →∞=≠+故11n n a b ∞=+∑发散综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞=+∑发散当时，级数11nn a b ∞=+∑收敛（）因为lim n n n→∞=0n a ==>而11n n ∞=∑发散，故级数10)n a ∞=>∑发散（）因为434431121lim lim 1212n n n n n n n n →∞→∞++-==-而311n n∞=∑收敛，故级数21121n n n ∞=+-∑收敛（）因为1113233lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n nU n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知，级数132nnn n ∞=⋅∑发散（）因为11(1)!1lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n nU n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+，由达朗贝尔比值判别法知，级数1!nn n n ∞=∑发散（）因为1357(21)(23)4710(31)limlim 4710(31)(34)357(21)n n n n U n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+ 232lim1343n n n →∞+==<+由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛（）因为111311lim lim lim 1333n n n n n n nU n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<，由达朗贝尔比值判别法知，级数13n n n ∞=∑收敛（）因为22221221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n nU n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1lim lim lim 222ln 22ln 2x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅2121lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2121(1)lim lim 012n n n n nU n U ++→∞→∞+==<由达朗贝尔比值判别法知，级数221(!)2nn n ∞=∑收敛（）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛（）因为ππ2sinsin 33lim lim 1π2π33n n nn n n n n→∞→∞==⋅而112233nn n n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=⋅∑仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数1π2sin3n n n ∞=∑收敛（）因为2πcos 322n nn n n ≤而与（）题类似地可证级数12n n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数1πcos 32nn n n ∞=∑收敛．试在，内讨论在什么区间取值时，下列级数收敛：∑∞=1n n n x nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．解：（）因为11lim lim lim 11n n n n n n nU x n nxx U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散当01x <<时，原级数收敛而当1x =时，原级数变为调11n n∞=∑，它是发散的综上所述，当01x <<时，级数1nn x n∞=∑收敛（）因为1313(1)2limlim 22n n n n n nx n U xU x n ++→∞→∞⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即2x >时，原级数发散当012x<<即02x <<时，原级收敛而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3lim n n →∞=+∞知31n n ∞=∑发散，综上所述，当02x <<时，级数31()2n n xn ∞=∑收敛习题．判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：∑∞=--1121)1(n nn 11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑ ∑∞=12sin n n nx４ 111π(1)sin πn n n n ∞+=-∑∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-11210121n n n ； ∑∞=+-1)1(n n x n∑∞=⋅1!)2sin(n n n x ．解：（）这是一个交错级数121n U n =- 1lim lim 021n n n U n →∞→∞==- 1112121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知11(1)21nn n ∞=--∑ 又1111(1)2121n n n n n ∞∞==-=--∑∑，由1121lim 12n n n→∞-= 及11n n ∞=∑发散，知级数1121n n ∞=-∑发散，所以级数11(1)21nn n ∞=--∑条件收敛（）因为2111(1)211(1)22(1)2n n n n n ----+-=+-⋅-⋅ 故11111(1)21111(1)22(1)22(1)2n n n n n n n n n ------+--=+≤+-⋅-⋅-⋅ 1113222n n n-=+= 而112n n ∞=∑收敛，故132n n ∞=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑收敛，所以级数11(1)2(1)2n n n n ∞-=-+-⋅∑绝对收敛（）因为22sin 1,nx n n ≤而级数211n n∞=∑收敛，由比较判别法知21sin n nxn ∞=∑收敛，因此，级数21sin n nxn ∞=∑绝对收敛（）因为121ππ|(1)sin |sin πlimlim 11πn n n n n n n n+→∞→∞-==而211n n∞=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)sin |πn n n n ∞+=-∑收敛，从而级数11π(1)sin πn n n+-绝对收敛（）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+ 而级数112n n ∞=∑收敛的等比级数1()2q = 由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而21111210n n n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法知级数21111210n n n ∞-=-∑收敛，所以原级数21111210n n n ∞-=-∑绝对收敛（）当为负整数时，级数显然无意义；当不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因11n x n∞=+∑发散，故原级数当不为负整数时仅为条件收敛（）因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤ 由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛 1(1)!lim 01!n n n →∞+= ，从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛，所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑，绝对收敛．讨论级数∑∞=--111)1(n p n n的收敛性＞．解：当1p >时，由于11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑收敛，故级数111(1)n p n n ∞-=-∑绝对收敛当01p <≤时，由于111,(1)n n p p u u n n +=>=+ lim 0n n u →∞= 由莱布尼茨判别法知交错级数111(1)n p n n ∞-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑发散，故此时，级数111(1)n p n n ∞-=-∑条件收敛综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛当时，原级数绝对收敛 ※．设级数∑∞=12n n a 及∑∞=12n n b 都收敛，证明级数∑∞=1n n n b a 及()∑∞=+12n n n b a 也都收敛．证：因为2222||||110||222n n n n n n a b a b a b +≤≤=+ 而由已知1nn a ∞=∑及21n n b ∞=∑都收敛，故221111,22n n n n a b ∞∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由正项级数的比较判别法知1n n n a b ∞=∑也收敛，从而级数1n n n a b ∞=∑绝对收敛又由222()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2211,n n n n a b ∞∞==∑∑ 以及1n n n a b ∞=∑收敛，利用数项级数的基本性质知，221(2)nn n n n aa b b ∞=++∑收剑，亦即21()n n n a b ∞=+∑收敛习题．指出下列幂级数的收敛区间：∑∞=0!n n n x ； ∑∞=0!n n n x nn ；∑∞=⋅022n n n n x ； ∑∞=++-01212)1(n n n n x ． ∑∞=⋅+02)2(n n n n x ； ∑∞=-0)1(2n n nx n．解：（）因为111(1)!limlim lim 011!n n n n na n p a n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1!n n x n ∞=∑的收敛区间为(,)-∞+∞（）因为-111lim lim lim 1e 11nnn n n n na n p a n n +→∞→∞→∞⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭，所以收敛半径1e r p == 当时，级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞∞===∑∑，此时11(1)n n n u e u n+=+，因为1(1)n n +是单调递增数列，且1(1)n n+ 所以1n nu u + 从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当时，原级数发散类似地，可证当时，原级数也发散可证lim ||0n n u →∞≠ 综上所述，级数0!nn n n x n ∞=∑的收敛区间为（）因为2111limlim ()212n n n n a n p a n +→∞→∞===+ 所以收敛半径为当2x =时，级数221012n n n n x n n∞∞===⋅∑∑是收敛的一级数（）当时，级数22011(1)2n n n n n x n n ∞∞===-⋅⋅∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛综上所述，级数202nn n x n∞=⋅∑的收敛区间为（）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间令21(1)21n nn x u n +=-+，则22121lim lim 23n n n nu n x x u n +→∞→∞+=⋅=+当21x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛当21x >时，即||1x >时，级数0||n n u ∞=∑发散，从而210(1)21n nn x n +∞=-+∑发散，当1x =时，级数变为01(1)21nn n ∞=-+∑ 当1x =-时，级数变为101(1)21n n n ∞+=-+∑ 它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛综上所述，级数21(1)21n nn x n +∞=-+∑的收敛区间为（）此级数为（）的幂级数因为11limlim 2(1)2n n n n a n p a n +→∞→∞===+ 所以收敛半径12r p==，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散当4x =-时，级数变为01(1)n n n∞=-∑是收敛的交错级数，当时，级数变为调和级数11n n∞=∑ 它是发散的综上所述，原级数的收敛区间为（）此级数（）的幂级数12limlim 21n n n n a np a n +→∞→∞===+ 故收敛半径12r =于是当1|1|2x -<即1322x <<时，原级数绝对收敛当1|1|2x ->即12x <或32x >时，原级数发散当32x =时，原级数变为01n n∞=∑是调和级数，发散当12x =时，原级数变为11(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数综上所述，原级数的收敛区间为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．求下列幂级数的和函数：∑∞=-1)1(n nnn x ； ∑∞=-1122n n nx ；nn x n n ∑∞=+1)1(1； ∑∞=+0)12(n n x n ．解：（）可求得所给幂级数的收敛半径设1()(1)nnn x S x n ∞==-∑ 则1111()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞∞-=='⎡⎤'=-=-=-⎢⎥+⎣⎦∑∑∴001()()d d ln(1) (||1)1xxS x S x x x x x x-'===-+<+⎰⎰ 又当时，原级数收敛，且()S x 在处连续∴1(1)ln(1) (11)nnn x x x n ∞=-=-+-<≤∑ （）所给级数的收敛半经，设211()2n n S x nx ∞-==∑ 当||1x <时，有2121011()d 2d 2d xx xn n n n S x x nxx nx x ∞∞--====∑∑⎰⎰⎰22211nn x xx∞===-∑ 于是22222()1(1)x xs x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭又当1x =±时，原级数发散故 2122122 (||1)(1)n n xnx x x ∞-==<-∑（）可求所给级数的收敛半径为令1111()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞∞====≠++∑∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞==+∑ 则111()1n n g x x x ∞-=''==-∑01()d ()(0)d 1xxg x x g x g x x''''=-=-⎰⎰(0)0,()ln(1)g g x x ''==--()d ()(0)ln(1)d ,(0)0xxg x x g x g x x g '=-=--=⎰⎰所以0()ln(1)d ln(1)ln(1)xg x x x x x x x =--=+---⎰所以1()11ln(1),||1,S x x x x⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭且0x ≠当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞=+∑和11(1)(1)n n n n ∞=-+∑ 它们都收敛且显然有(0)0S =故111ln(1)(1,0)(0,1)()00,1x x S x x x x ⎧⎛⎫+--∈-⋃⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=±⎩（）可求得所给级数的收敛半径为且1x ±时，级数发散，设10()n n S x nx ∞-==∑则001()d .1xn n s x x x x∞===-∑⎰ 于是211()()1(1)S x x x '==-- 即1211(1)n n nx x ∞-==-∑ 所以111(21)2nn n n n n n x x nxx ∞∞∞-===+=+∑∑∑221112(1)1(1)xx x x x +=⋅+=--- (||1)x < ．求下列级数的和：∑∞=125n n n ； ∑∞=-12)12(1n nn ；∑∞=--112212n n n ； 1(1)2n n n n ∞=+∑．解：（）考察幂级数21n n n x ∞=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2n n u n x =，2lim ||lim n n n u n →∞→∞==+∞，因而lim 0n n u →∞≠，故当1x ±时，级数21nn n x ∞=∑发散，故幂级数21n n n x ∞=∑的收敛区间为（，）设21() (||1)nn S x n x x ∞==<∑，则211()n n S x x n x ∞-==∑令2111()n n S x n x ∞-==∑ 则11011()d xnn n n S x x nx x nx ∞∞-====∑∑⎰再令121()n n S x nx∞-==∑ 则201()d 1xn n xS x x x x∞===-∑⎰ 故221()(||1)1(1)x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭，从而有120()d (1)x x S x x x =-⎰ 1231() (||1)(1)(1)x xS x x x x '⎛⎫+==< ⎪--⎝⎭于是 213()() (||1)(1)x x S x xS x x x +==<- 取15x =，则223111()11555()5532115n n n S ∞=+===⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （）考察幂级数21121n n x n ∞=-∑，可求得收敛半径，设2211111() (||1)2121nn n n S x x x x x n n ∞∞-====<--∑∑令21111()21n n S x x n ∞-==-∑ 则221211()1n n S x x x ∞-='==-∑ 1200d 11()d ln 1-21xxx x S x x x x +'==-⎰⎰即 1111()(0)ln (,(0)0)21xS x S s x+-==- 于是 111()ln,(||<1)21xS x x x+=-，从而 11()()ln (||1)21x xS x xS x x x+==<-取x =则11(21)21n n S n ∞===-∑=（）考察幂级数211(21)n n n x ∞-=-∑，可求得其级数半经为因为212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑令2111()2n n S x nx∞-==∑，则221201()d 1xnn x S x x xx ∞===-∑⎰ 所以212222() (||1)1(1)x xS x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭ 于是212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑3222222 (||1)(1)1(1)x x x x x x x x +=-=<--- 取12x =，得3212111()121102212291()2n n n S ∞-=+-⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭-⎪⎝⎭∑（）考察幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑，可求得其收敛半径设1()(1) (||1)n n S x n n x x ∞==+<∑则121011()d xn n n n S x x nxxnx∞∞+-====∑∑⎰又设111()n n S x nx ∞-==∑则101()d 1xn n x S x x x x∞===-∑⎰ 从而121()1(1)x S x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭2212()d ()(1)xx S x x x S x x ==-⎰2232() ||1(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭取12x =，则31121(1)2822112nn n n S ∞=⨯+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑习题．将下列函数展开成的幂级数： 2cos 2x 2sin x ； 2x x -e211x -； πcos()4x -．解：（）2201cos 11cos (1)2222(2)!n n n x x x n ∞=+==+-∑ 211(1) (-)2(2)!nnn x x n ∞==+-∞<<+∞∑ （）2101sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=⎛⎫=--∞<<+∞ ⎪+⎝⎭∑（）22210011e ()(1) ()!!x n n n n n x x x x x n n ∞∞-+===-=--∞<+∞∑∑ （）211111211x x x ⎡⎤=+⎢⎥--+⎣⎦002011(1)221[(1)]2 ||1n n nn n n n n n n n x x x x x x ∞∞==∞=∞==+-=+-=<∑∑∑∑（）πππcos cos cos sin sin 444x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2210sin )(1) ()2(2)!(21)!n n n n x x x x x n n +∞==+⎡⎤=-+-∞<<+∞⎢⎥+⎣⎦∑ ．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：x -31 在＝１；在 3π 3412++x x 在 21x 在＝３．解：（）因为11113212x x =⋅--- 而 0111 (||112212n n x x x ∞=--⎛⎫=< ⎪-⎝⎭-∑即13x -<< 所以100111(1) (13)3222nn n n n x x x x ∞∞+==--⎛⎫=⋅=-<< ⎪-⎝⎭∑∑ 收敛区间为：（，）（）πππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()333333x x x x ⎡⎤=+-=---⎢⎥⎣⎦22100()()133(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n x x n n ππ+∞∞==--=-+-+∑∑221011(1)()[)2(2)!3(21)!3n n n n x x n n ππ∞+=⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦∑ ()x -∞<<+∞ 收敛区间为(,)-∞+∞（）211111111()1143213481124x x x x x x =-=⋅-⋅--++++++ 001111(1)(1)4284n nn n n n x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 223011(1)(1)22n n n n n x ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑由112x -<且114x -<得13x -<<，故收敛区间为（，）（）因为011113(1)()333313n n n x x x ∞=-=⋅=-⋅-+∑ 10(3)(1)3nnn n x ∞+=-=-∑ 而21011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''⎡⎤-⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ 111(1)(3)3nn n n n x ∞-+=-=-⋅-∑1111(1)(3)3n n n n n x +∞-+=-=-∑ 20(1)(1)(3)3n n n n n x ∞+=-+=-∑ 由313x -<得06x << 故收敛区间为（，）。

微积分（刘迎东）第九章习题答案

9.1 二重积分的概念与性质习题9.11. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）()2D x y d σ+⎰⎰与()3Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 为由x 轴、y 轴与直线1x y +=所围成。

解：因为在D 上，()()23x y x y +≥+，所以()()23DD x y d xy d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰。

（2）()2D xy d σ+⎰⎰与()3D xy d σ+⎰⎰，其中积分区域D 为由圆周()()22212x y -+-=所围成。

解：因为在D 上，()()23x y x y +≤+，所以()()23D D x y d xy d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰。

（3）()ln Dx y d σ+⎰⎰与()2ln Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中积分区域D 为三角形闭区域，三顶点分别为()()()1,0,1,1,2,0.解：因为在D上，()()2ln ln xy x y +≥+⎡⎤⎣⎦，所以()()2ln l n DDxy d x y d σσ+≥+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰。

（4）()ln Dx y d σ+⎰⎰与()2ln Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中(){},35,01D xyx y =≤≤≤≤。

解：因为在D上，()()2ln ln xy x y +≤+⎡⎤⎣⎦，所以()()2ln l n DDxy d x y d σσ+≤+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰。

2. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）()DI x y x y d σ=+⎰⎰，其中(){},01,01.D x y x y =≤≤≤≤解：在D 上，()02xy x y ≤+≤，所以0 2.I ≤≤ （2）22s ins inDI x y d σ=⎰⎰，其中(){},0,0.D x y x y ππ=≤≤≤≤解：在D 上，220s in s in 1x y ≤≤，所以20.I π≤≤ （3）()1DI x y d σ=++⎰⎰，其中(){},01,02.D x y x y =≤≤≤≤解：在D 上，114x y ≤++≤，所以28.I ≤≤（4）()2249DI xy d σ=++⎰⎰，其中(){}22,4.D x y x y=+≤解：在D 上，22134925x y ≤++≤，所以52100.I ππ≤≤ 9.2 二重积分的计算法习题9.23. 计算下列二重积分：（1）()22D xyd σ+⎰⎰，其中(){},1,1.D x y x y =≤≤解：()()11122222111282.33Dx yd d x x yd y x d x σ---⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ （2）()32Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域。

微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解

Q Q、c.n -、、n ）发散•n =1ACO A CO A °° 1是调和级数7 1去掉前3项得到的级数，而调和级数、-发散，故原级数—n 仝n n 三n1 +(-1)nQ n4 Q n2 2丿“ 1a （「1）m1而肯，7 （亠是公比分别为1的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知 n 壬2 n 经 2 2(5) T In—In n -ln(n 1) n +1 是 S n =(ln1 -In 2) (In 2-In 3) |"[ln n -ln(n 1)]QO故ng —,所以级数j 亠发散•判定下列级数的收敛性:习题9-1CO __________⑵ ' (、n 1 - n)；n 42 (—1)nn42nCOr'Tn 丄n 1 n 1 「(一1)n2;n T(8)na (-1) nnzo 2n 1解: （1）该级数为等比级数, 1 11公比为一，且a 0,故当|一卜：1,即a 1时，级数收敛，当|一 |亠1即0 ：：： a 乞1a a a时, 级数发散• (2) T S n=（迈- .1）（七- 一 2）川（百-」n ）发散• (3) oOzn 吕n 3(4)cOn -丄n 4j<2 2 收敛，即原级数收敛.Q Q. limS 不存在，从而级数「(-1)n2发散• n—门 n 丄 n +1 (7) T lim U = lim 1 - 0n Y n Y n00n +1.级数D 发散•n 二 n2 .判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和:oOn n故lim U n 不存在，所以级数 7 cos 一发散.n‘：n£2QOoa3 *.设7 U n (U n > 0)加括号后收敛，证明、• U n 亦收敛.n 理 n 』(6) TS2n =0, S2n 1--2U n(-1)n 2n 1i ium丰nA(")nn 2n 1发散.1n(n 1)(n2)cd_n(3) ' n sin - n 仝 2nCO(4) 7 COSn=0解:(1)■ -都收敛，且其和分别为n 吕3n1和1，则二丄•丄收敛，且其和为2 n 吕 2n 3n(2)1_1『12 丄 1]n(n 1)(n 2)2 n n 1 n 2lim S n故级数收敛，且其和为丄.n —*4 4.n sin — (3) U n 二 nsin —，而 limU n =lim - 2= 0 ,2n f re ? n 200冗故级数' n sin 发散.心2 n2n-n =cos 一 2 ，而 k i m U 4k =k i mcos2kn 1，k i m U4k 2 limcos(2 k 1) n -1k —5 -1 2□a,故级数、Zn 4od QO ao QO 证：设7 U n(U n 0)加括号后级数7 A n收敛，其和为S.考虑原级数V U n的部分和S n八，U k,并注n=i n・nd k -1意到U k o(k =1,2,丨1()，故存在n。

交大刘迎东微积分九习题答案

（15）
解：
（16）其中由和围成。
解：
（17）其中由和围成。
解：
（18）
解：
（19）其中由围成。
解：
（20）
解：
（21）其中由围成。
解：
（22）
解：
（23）
解：
（24）
解：
（25）
解：做变换则
(26)
解：做变换则
3.设函数连续且恒大于零，
其中
(1)讨论在区间内的单调性；
解：
7.计算，其中为由平面以及抛物柱面所围成的闭区域。
解：因为积分区域关于平面对称，被积函数关于是奇函数，所以
8.计算其中为由锥面与平面所围成的闭区域。
解：
9.利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）其中为由球面所围成的闭区域；
解：
(2) 其中闭区域由不等式所确定；
解：
10.选用适当的坐标计算下列三重积分：
解：由得所以
（2），其中为由球面所围成的闭区域。
解：由于关于面对称，被积函数关于为奇函数，所以
（3），其中为由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域。
解：旋转面方程为。易得在面上的投影区域，所以
（4），其中为所围。
解：
(5) ，其中为由所围成的闭区域。
解：
（6），其中为由所围成的闭区域。
解：
(7) ，其中为所围成的闭区域。
解：
(8) ，其中为所围成的闭区域。
解：
(9) ，其中为由所围成的闭区域为常数）。
解：由轮换对称性，

高等数学课后习题答案--第九章

9. 设 x n ＞0，
10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)
182
⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼
x sin ; n n =1 ∞ n (−1) n −1 n −1 ; ∑ 3 n =1 n +1 ∞ (−1) ( x > 0 ); ∑ n =1 n + x
∑ (−1)
∞
n +1
⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽
180
(4) (6)
∑
∞
∞
n =1 ∞
∑
n =1
ln n ln n 1 ln n 1 n 1 , = = 3 . 收敛; < 2 2 n n n n n n n2 1 1 1 , < , 收敛; n ln (n + 2) ln(n + 2) 2
n
(5)
收敛;
(7) (8) (13) (14)
∑ (
n =1
n −1
)
n
发散
由于 lim (10
a −1
1 n
n →∞
= ln a , 而 n n − 1 > n a − 1 ;
(11)
发散;
∑
n =1
∞
∞
∑
n =1
( n + 1 − n − 1 ), ( n + 1 − (2n − n + 1 − n − 1) = (n −
2 2 2 2 2
(9) 收敛;
收敛;
5.利用级数收敛的必要条件，证明： nn (1) lim = 0， (2) n →∞ ( n !) 2
∞
n →∞
lim
( 2 n) ! = 0. 2 n ( n +1)

微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解.doc

微积分第九章答案

解：因为在D 上，()()23x y x y +≥+，所以()()23D Dx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰。

（2）()2Dx y d σ+⎰⎰与()3Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 为由圆周()()22212x y -+-=所围成。

解：因为在D 上，()()23x y x y +≤+，所以()()23D Dx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰。

（3）()ln D x y d σ+⎰⎰与()2ln D x y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中积分区域D 为三角形闭区域，三顶点分别为()()()1,0,1,1,2,0.解：因为在D上，()()2ln ln x y x y +≥+⎡⎤⎣⎦，所以()()2l n l n DDxy d x y d σσ+≥+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰。

（4）()ln Dx y d σ+⎰⎰与()2ln D x y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中(){},35,01D xy x y =≤≤≤≤。

解：因为在D上，()()2ln ln x y x y +≤+⎡⎤⎣⎦，所以()()2ln l n DD x y d x y d σσ+≤+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰。

2. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）()DI xy x y d σ=+⎰⎰，其中(){},01,01.D x y x y =≤≤≤≤ 解：在D 上，()02xy x y ≤+≤，所以0 2.I ≤≤ （2）22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中(){},0,0.D x y x y ππ=≤≤≤≤解：在D 上，220sin sin 1x y ≤≤，所以20.I π≤≤（3）()1DI x y d σ=++⎰⎰，其中(){},01,02.D x y x y =≤≤≤≤解：在D 上，114x y ≤++≤，所以28.I ≤≤（4）()2249DI xy d σ=++⎰⎰，其中(){}22,4.D x y xy =+≤解：在D 上，22134925x y ≤++≤，所以52100.I ππ≤≤ 9.2 二重积分的计算法习题9.23. 计算下列二重积分：（1）()22Dxy d σ+⎰⎰，其中(){},1,1.D x y x y =≤≤解：()()11122222111282.33Dx y d dx x y dy x dx σ---⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ （2） ()32Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域。

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第9章习题9-11．判定下列级数的收敛性：(1) 115n n a ∞=⋅∑（a ＞0）； (2) ∑∞=-+1)1(n n n ;(3) ∑∞=+131n n ; (4) ∑∞=-+12)1(2n nn ; (5) ∑∞=+11ln n n n ; (6) ∑∞=-12)1(n n;(7) ∑∞=+11n nn ; (8) 0(1)21n n n n ∞=-⋅+∑．解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1||1a<,即1a >时，级数收敛，当1||1a≥即01a <≤时，级数发散. （2）Q n S =+++L1=lim n n S →∞=∞∴1n ∞=∑发散.（3）113n n ∞=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数113n n ∞=+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)222n n nn n n n ∞∞-==⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112n n ∞-=∑,1(1)2m nn ∞=-∑是公比分别为12的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)22n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛. （5）Q lnln ln(1)1nn n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞=-∞,所以级数1ln1n nn ∞=+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==-∴ lim n n S →∞不存在，从而级数1(1)2nn ∞=-∑发散.（7）Q 1lim lim10n n n n U n→∞→∞+==≠∴ 级数11n n n ∞=+∑发散. （8）Q (1)(1)1, lim 21212n n n n n n U n n →∞--==++∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1(1)21n n nn ∞=-+∑发散.2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ； (2) ※∑∞=++1)2)(1(1n n n n ;(3) ∑∞=⋅12sin n n n π; (4) 0πcos 2n n ∞=∑．解：Q （1）1111, 23n n n n ∞∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其和为1+12=32. （2）Q11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++++⎝⎭∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭1lim 4n n S →∞=故级数收敛，且其和为14. （3）πsin 2n U n n =,而πsinππ2lim lim 0π222n n n U n→∞→∞=⋅=≠，故级数1πsin2n n n ∞=⋅∑发散. （4）πcos 2n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-故lim n n U →∞不存在，所以级数πcos2n n ∞=∑发散. 3※．设1nn U∞=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明1nn U∞=∑亦收敛．证：设1(0)nn n UU ∞=>∑加括号后级数1n n A ∞=∑收敛，其和为S .考虑原级数1n n U ∞=∑的部分和1n k k S U ∞==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=L ，故存在0n ,使11n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim nn S →∞存在，即原级数1nn U∞=∑亦收敛.习题9-21．判定下列正项级数的收敛性：(1) ∑∞=++1n n n )2)(1(1; (2) ∑∞=+1n n n1;(3) ∑∞=++1n n n n )2(2; (4) ∑∞=+1n n n )5(12；(5) 111nn a ∞=+∑ (a ＞0); (6) ∑∞=+1n n ba 1(a , b ＞0); (7)()∑∞=--+1n a n a n22(a ＞0); (8) ∑∞=-+1n n n 1214； (9) ∑∞=⋅1n nn n 23； (10) ※∑∞=1n n n n !; (11) ∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753ΛΛ; (12) ∑∞=1n n n3；(13) ※∑∞=1n n n 22)!(2； (14) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12;(15)∑∞=1πn nn3sin2; (16) ∑∞=1πn n n n 2cos 32．解：（1）因为211(1)(2)n n n <++而211n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞=++∑收敛.（2）因为lim lim10n n n U →∞→∞==≠，故原级数发散. （3）因为21(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111n n ∞=+∑发散，由比较判别法知，级数12(1)n n n n ∞=++∑发散. （4）321n<=,而1n ∞=是收敛的p -级数3(1)2p =>,由比较判别法知,级数1n ∞=收敛.（5）因为111lim lim lim(1)111n n n nn n n na a a a a →∞→∞→∞+==-++11112001a a a >⎧⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩而当1a >时，11n n a ∞=∑收敛，故111nn a ∞=+∑收敛; 当1a =时，11n n a ∞=∑= 11n ∞=∑发散，故111nn a∞=+∑发散; 当01a <<时1lim101n n a →∞=≠+，故1lim1nn a →∞+发散; 综上所述，当01a <≤时，级数1lim 1n n a →∞+发散，当1a >时，1lim 1nn a →∞+收敛. （6）因为1lim lim lim(1)1n n n n n n n n b a a b a b a b b→∞→∞→∞+==-++ 1111101b b a b >⎧⎪⎪==⎨+⎪<<⎪⎩ 而当1b >时, 11n n b ∞=∑收敛，故11nn a b ∞=+∑收敛; 当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a >, 101a <<+∞+,故11nn a b ∞=+∑也发散; 当01b <<时，11lim 0n n a b a →∞=≠+故11n n a b ∞=+∑发散; 综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞=+∑发散;当b >1时，级数11nn a b∞=+∑收敛. （7）因为n n n→∞=0n a ==>而11n n ∞=∑发散，故级数10)n a ∞=>∑发散. （8）因为434431121lim lim 1212n n n n n n n n →∞→∞++-==-而311n n ∞=∑收敛，故级数21121n n n ∞=+-∑收敛.（9）因为1113233lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n nU n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知，级数132nnn n ∞=⋅∑发散. （10）因为11(1)!1lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n nU n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+，由达朗贝尔比值判别法知，级数1!nn n n ∞=∑发散.（11）因为1357(21)(23)4710(31)limlim 4710(31)(34)357(21)n n n nU n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+L L L L232lim1343n n n →∞+==<+,由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.（12）因为111311lim lim lim 1333n n n n n n nU n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<，由达朗贝尔比值判别法知，级数13n n n∞=∑收敛. （13）因为22221221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n nU n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1lim lim lim 222ln 22ln 2x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅2121lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2121(1)lim lim 012n n n n n U n U ++→∞→∞+==<由达朗贝尔比值判别法知，级数221(!)2n n n ∞=∑收敛.（14）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛.（15）因为ππ2sinsin 33lim lim 1π2π33n n nn n n n n→∞→∞==⋅而112233nn n n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=⋅∑仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数1π2sin3n n n ∞=∑收敛. （16）因为2πcos 322n nn n n ≤而与（12）题类似地可证级数12n n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数1πcos 32nn n n ∞=∑收敛.2．试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：(1) ∑∞=1n n n x ; (2) nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．解：（1）因为11lim lim lim 11n n n n n n nU x n nxx U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散; 当01x <<时，原级数收敛; 而当1x =时，原级数变为调11n n ∞=∑，它是发散的. 综上所述，当01x <<时，级数1nn x n ∞=∑收敛.（2）因为1313(1)2limlim 22n n n n n nx n U xU x n ++→∞→∞⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭,由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即2x >时，原级数发散;当012x<<即02x <<时，原级收敛. 而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3lim n n →∞=+∞知31n n ∞=∑发散，综上所述，当02x <<时，级数31()2nn x n ∞=∑收敛.习题9-31．判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1) ∑∞=--1121)1(n nn ; (2) 11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑; (3) ∑∞=12sin n n nx ; (４) 111π(1)sin πn n n n ∞+=-∑; (5) ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-11210121n n n ； (6) ∑∞=+-1)1(n n x n ;(7) ∑∞=⋅1!)2sin(n n n x ．解：（1）这是一个交错级数121n U n =-, 1lim lim 021n n n U n →∞→∞==-, 1112121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知11(1)21nn n ∞=--∑. 又1111(1)2121n n n n n ∞∞==-=--∑∑，由1121lim 12n n n→∞-=,及11n n ∞=∑发散，知级数1121n n ∞=-∑发散，所以级数11(1)21nn n ∞=--∑条件收敛.（2）因为2111(1)211(1)22(1)2n n n n n ----+-=+-⋅-⋅,故11111(1)21111(1)22(1)22(1)2n n n n n n n n n ------+--=+≤+-⋅-⋅-⋅ 1113222n n n-=+=而112n n ∞=∑收敛，故132n n ∞=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑收敛，所以级数11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑绝对收敛. （3）因为22sin 1,nx n n ≤而级数211n n∞=∑收敛，由比较判别法知21sin n nxn ∞=∑收敛，因此，级数21sin n nxn ∞=∑绝对收敛. （4）因为121ππ|(1)sin |sin πlimlim 11πn n n n n n n n+→∞→∞-==而211n n∞=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)sin |πn n n n ∞+=-∑收敛，从而级数11π(1)sin πn n n+-绝对收敛. （5）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+,而级数112nn ∞=∑收敛的等比级数1()2q =;由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而21111210n n n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法知级数21111210n n n ∞-=-∑收敛，所以原级数21111210n n n ∞-=-∑绝对收敛. （6）当x 为负整数时，级数显然无意义；当x 不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因11n x n ∞=+∑发散，故原级数当x 不为负整数时仅为条件收敛.（7）因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛(Q 1(1)!lim 01!n n n →∞+=)，从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛，所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑，绝对收敛.2．讨论级数∑∞=--111)1(n pn n 的收敛性(p ＞0)．解：当1p >时，由于11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑收敛，故级数111(1)n p n n ∞-=-∑绝对收敛. 当01p <≤时，由于111,(1)n n p pu u n n +=>=+ lim 0n n u →∞=,由莱布尼茨判别法知交错级数111(1)n p n n ∞-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑发散，故此时，级数111(1)n p n n∞-=-∑条件收敛. 综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛;当p >1时，原级数绝对收敛.3※．设级数∑∞=12n na及∑∞=12n nb都收敛，证明级数∑∞=1n nn ba 及()∑∞=+12n n nb a也都收敛．证：因为2222||||110||222n n n n n n a b a b a b +≤≤=+ 而由已知1nn a ∞=∑及21n n b ∞=∑都收敛，故221111,22n n n n a b ∞∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由正项级数的比较判别法知1n nn a b∞=∑也收敛，从而级数1n nn a b∞=∑绝对收敛.又由222()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2211,n n n n a b ∞∞==∑∑,以及1n n n a b ∞=∑收敛，利用数项级数的基本性质知，221(2)nn n n n aa b b ∞=++∑收剑，亦即21()n n n a b ∞=+∑收敛.习题9-41．指出下列幂级数的收敛区间：(1) ∑∞=0!n n n x (0!=1)； (2) ∑∞=0!n nn x nn ；(3) ∑∞=⋅022n n n n x ； (4) ∑∞=++-01212)1(n n n n x ．(5) ∑∞=⋅+02)2(n n n n x ； (6) ∑∞=-0)1(2n n nx n．解：（1）因为111(1)!limlim lim 011!n n n n na n p a n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1!nn x n ∞=∑的收敛区间为(,)-∞+∞. （2）因为-111lim lim lim 1e 11n nn n n n n a n p a n n +→∞→∞→∞⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭，所以收敛半径1e r p==. 当x =e 时，级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞∞===∑∑，此时11(1)n n n u e u n+=+，因为1(1)nn +是单调递增数列，且1(1)nn+<e 所以1n nu u +>1,从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当x =e 时，原级数发散.类似地，可证当x =-e 时，原级数也发散(可证lim ||0n n u →∞≠),综上所述，级数0!nnn n x n∞=∑的收敛区间为(-e,e).（3）因为2111limlim ()212n n n n a n p a n +→∞→∞===+,所以收敛半径为r =2. 当2x =时，级数221012n n n n x n n∞∞===⋅∑∑是收敛的p 一级数（p =2>1）;当x =-2时，级数22011(1)2n nn n n x n n ∞∞===-⋅⋅∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛.综上所述，级数202nn n x n∞=⋅∑的收敛区间为[-2,2].（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.令21(1)21n nn x u n +=-+，则22121lim lim 23n n n nu n x x u n +→∞→∞+=⋅=+.当21x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛.当21x >时，即||1x >时，级数0||n n u ∞=∑发散，从而210(1)21n nn x n +∞=-+∑发散，当1x =时，级数变为01(1)21nn n ∞=-+∑;当1x =-时，级数变为11(1)21n n n ∞+=-+∑;它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛.综上所述，级数21(1)21n nn x n +∞=-+∑的收敛区间为[-1,1].（5）此级数为（x +2）的幂级数. 因为11limlim 2(1)2n n n n a n p a n +→∞→∞===+. 所以收敛半径12r p==，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛.当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散.当4x =-时，级数变为1(1)nn n ∞=-∑是收敛的交错级数，当x =0时，级数变为调和级数11n n ∞=∑,它是发散的.综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0).（6）此级数（x -1）的幂级数12limlim 21n n n n a np a n +→∞→∞===+ 故收敛半径12r =. 于是当1|1|2x -<即1322x <<时，原级数绝对收敛.当1|1|2x ->即12x <或32x >时，原级数发散.当32x =时，原级数变为01n n ∞=∑是调和级数，发散.当12x =时，原级数变为11(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数.综上所述，原级数的收敛区间为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 2．求下列幂级数的和函数：(1) ∑∞=-1)1(n n nn x ； (2) ∑∞=-1122n n nx ；(3) nn x n n ∑∞=+1)1(1； (4) ∑∞=+0)12(n n x n ．解：（1）可求得所给幂级数的收敛半径r =1.设1()(1)n nn x S x n ∞==-∑,则1111()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞∞-=='⎡⎤'=-=-=-⎢⎥+⎣⎦∑∑ ∴001()()d d ln(1) (||1)1x x S x S x x x x x x-'===-+<+⎰⎰又当x =1时，原级数收敛，且()S x 在x =1处连续.∴1(1)ln(1) (11)nnn x x x n ∞=-=-+-<≤∑ （2）所给级数的收敛半经r =1，设211()2n n S x nx∞-==∑,当||1x <时，有2121011()d 2d 2d xx xn n n n S x x nxx nx x ∞∞--====∑∑⎰⎰⎰22211nn x xx∞===-∑ 于是22222()1(1)x xs x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭ 又当1x =±时，原级数发散. 故2122122 (||1)(1)n n xnx x x ∞-==<-∑（3）可求所给级数的收敛半径为1.令1111()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞∞====≠++∑∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞==+∑,则111()1n n g x x x ∞-=''==-∑01()d ()(0)d 1xxg x x g x g x x''''=-=-⎰⎰(0)0,()ln(1)g g x x ''==--()d ()(0)ln(1)d ,(0)0xxg x x g x g x x g '=-=--=⎰⎰所以0()ln(1)d ln(1)ln(1)xg x x x x x x x =--=+---⎰;所以1()11ln(1),||1,S x x x x ⎛⎫=+--<⎪⎝⎭且0x ≠. 当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞=+∑和11(1)(1)nn n n ∞=-+∑,它们都收敛.且显然有(0)0S =.故111ln(1)(1,0)(0,1)()00,1x x S x x x x ⎧⎛⎫+--∈-⋃⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=±⎩. （4）可求得所给级数的收敛半径为r =1且1x ±时，级数发散，设1()n n S x nx∞-==∑,则1()d .1xn n s x x x x∞===-∑⎰于是211()()1(1)S x x x '==--,即1211(1)n n nx x ∞-==-∑. 所以111(21)2nn n n n n n xx nxx ∞∞∞-===+=+∑∑∑221112(1)1(1)xx x x x +=⋅+=--- (||1)x <3．求下列级数的和：(1) ∑∞=125n n n ； (2) ∑∞=-12)12(1n nn ； (3) ∑∞=--112212n n n ； (4) 1(1)2nn n n ∞=+∑．解：（1）考察幂级数21nn n x∞=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2nn u n x =，2lim ||lim n n n u n →∞→∞==+∞，因而lim 0n n u →∞≠，故当1x ±时，级数21n n n x ∞=∑发散，故幂级数21nn n x∞=∑的收敛区间为（-1，1）.设21() (||1)nn S x n xx ∞==<∑，则211()n n S x x n x ∞-==∑令2111()n n S x n x∞-==∑,则11011()d xnn n n S x x nx x nx ∞∞-====∑∑⎰.再令121()n n S x nx∞-==∑,则201()d 1xn n xS x x x x∞===-∑⎰. 故221()(||1)1(1)x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭，从而有120()d (1)x x S x x x =-⎰. 1231() (||1)(1)(1)x xS x x x x '⎛⎫+==< ⎪--⎝⎭于是 213()() (||1)(1)x x S x xS x x x +==<- 取15x =，则223111()11555()5532115n n n S ∞=+===⎛⎫- ⎪⎝⎭∑. （2）考察幂级数21121n n x n ∞=-∑，可求得收敛半径r =1，设 2211111() (||1)2121nn n n S x x x x x n n ∞∞-====<--∑∑令21111()21n n S x x n ∞-==-∑,则221211()1n n S x x x ∞-='==-∑. 1200d 11()d ln1-21xxx xS x x x x+'==-⎰⎰即 1111()(0)ln (,(0)0)21xS x S s x+-==-. 于是 111()ln ,(||<1)21xS x x x+=-，从而11()()ln (||1)21x xS x xS x x x+==<-取x =则11(21)21n n S n ∞===-∑=（3）考察幂级数211(21)n n n x∞-=-∑，可求得其级数半经为r =1,因为212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑令2111()2n n S x nx∞-==∑，则22121()d 1xnn x S x x xx ∞===-∑⎰.所以212222() (||1)1(1)x xS x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭,于是212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑3222222 (||1)(1)1(1)x x x x x x x x +=-=<--- 取12x =，得 3212111()121102212291()2n n n S ∞-=+-⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭-⎪⎝⎭∑.（4）考察幂级数1(1)nn n n x∞=+∑，可求得其收敛半径r =1.设1()(1) (||1)nn S x n n xx ∞==+<∑则12111()d xn n n n S x x nxxnx∞∞+-====∑∑⎰.又设111()n n S x nx∞-==∑则101()d 1xn n x S x x x x∞===-∑⎰. 从而121()1(1)x S x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭, 2212()d ()(1)xx S x x x S x x ==-⎰2232() ||1(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭ 取12x =，则 31121(1)2822112nn n n S ∞=⨯+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑习题9-51．将下列函数展开成x 的幂级数： (1) 2cos2x ; (2) 2sin x ； (3) 2x x -e ; (4) 211x -； (5)πcos()4x -．解：（1）2201cos 11cos (1)2222(2)!nn n x x x n ∞=+==+-∑ 211(1)(-)2(2)!nnn x x n ∞==+-∞<<+∞∑ （2）2101sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=⎛⎫=--∞<<+∞ ⎪+⎝⎭∑（3）22210011e()(1) ()!!x nn n n n x x x x x n n ∞∞-+===-=--∞<+∞∑∑（4）211111211x x x ⎡⎤=+⎢⎥--+⎣⎦0002011(1)221[(1)]2 ||1n n nn n n n nn n n x x x x x x ∞∞==∞=∞==+-=+-=<∑∑∑∑（5）πππcos cos cos sin sin 444x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2210(cos sin )2(1) ()2(2)!(21)!n n n n x x x xx n n +∞==+⎡⎤=-+-∞<<+∞⎢⎥+⎣⎦∑ 2．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：(1)x -31,在x 0＝１； (2) cos x,在x 0=3π; (3) 3412++x x ,在x 0=1; (4) 21x, 在x 0＝３．解：（1）因为11113212x x =⋅---,而0111 (||112212nn x x x ∞=--⎛⎫=< ⎪-⎝⎭-∑即13x -<<). 所以100111(1) (13)3222nnn n n x x x x ∞∞+==--⎛⎫=⋅=-<< ⎪-⎝⎭∑∑.收敛区间为：（-1，3）. （2）πππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()333333x x x x ⎡⎤=+-=---⎢⎥⎣⎦22100()()133(1)(1)2(2)!(21)!n n n n n n x x n n ππ+∞∞==--=-+-+∑221011(1)())2(2)!33nn n n x x n ππ∞+=⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦∑ ()x -∞<<+∞ 收敛区间为(,)-∞+∞. （3）211111111()1143213481124x x x x x x =-=⋅-⋅--++++++ 001111(1)(1)4284n nn n n n x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑223011(1)(1)22n n n n n x ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑由112x -<且114x -<得13x -<<，故收敛区间为（-1，3）（4）因为011113(1)()333313n nn x x x ∞=-=⋅=-⋅-+∑ 1(3)(1)3nnn n x ∞+=-=-∑ 而21011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''⎡⎤-⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑111(1)(3)3n n n n n x ∞-+=-=-⋅-∑1111(1)(3)3n n n n n x +∞-+=-=-∑ 2(1)(1)(3)3n nn n n x ∞+=-+=-∑ 由313x -<得06x <<. 故收敛区间为（0，6）.。