大学物理第六章静电场习题答案

第六章 静电场习题6-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。

试问：（1）在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零）？（2）这种平衡与三角形的边长有无关系？解：（1）如图任选一点电荷为研究对象，分析其受力有1230F F F F =++=合 y 轴方向有()()21322002032cos 24243 3304q qQF F F a a q q Q a θπεπεπε=+=+=+=合得 33Q q =-（2）这种平衡与三角形的边长无关。

6-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ，如图所示。

设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量。

解：对其中任一小球受力分析如图所示，有⎪⎩⎪⎨⎧===220)sin 2(π41sin cos θεθθl q F T mg T e解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 6-3 在氯化铯晶体中，一价氯离子Cl －与其最邻近的八个一价铯离子Cs +构成如图所示的立方晶格结构。

（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作晶格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。

（1）由对称性可知 F 1= 0（2）291222200 1.9210N 43q q e F r aπεπε-===⨯ 方向如图所示6-4 长l ＝15.0 cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度95.010C m λ-=⨯的正电荷。

试求：（1）在导线的延长线上与导线B 端相距1 5.0cm a =处P 点的场强；（2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距2 5.0d cm =处Q 点的场强。

解：（1）如图所示，在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为20)(d π41d x a xE P -=λε2220)(d π4d x a x E E llP P -==⎰⎰-ελ]2121[π40l a l a +--=ελ)4(π220l a l -=ελ 用15=l cm ，9100.5-⨯=λ1m C -⋅，5.12=a cm 代入得21074.6⨯=P E 1C N -⋅ 方向水平向右（2）同理 2220d d π41d +=x xE Qλε 方向如图所示 由于对称性可知⎰=l QxE 0d ，即Q E只有y 分量22222220dd d d π41d ++=x x xE Qyλε22π4d d ελ⎰==lQyQy E E ⎰-+2223222)d (d l l x x2220d 4π2+=l lελ以9100.5-⨯=λ1cm C -⋅, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得21096.14⨯==Qy Q E E 1C N -⋅ 方向沿y 轴正向*6-5 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。

解：取平面S ’与半球面S 构成闭合曲面，因其内部无电荷，根据高斯定理有 d d d 0e S S S E S E S E S Φ'=⋅=⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d cos eS S S E S E S R E R E Φπππ'=⋅=-⋅=-=⎰⎰⎰⎰6-6 边长为a 的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy 、Oyz 和Ozx 平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立方体置于电场强度()12E E kx i E j +=+（k ，E 1，E 2为常数）的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。

解：由题意知场强E 的方向在Oxy 平面内，即0OABC DEFG ΦΦ== ()22121()OAFE OAFE E S E i E j a i E a Φ=⋅=⋅-=-+()22121()BCDG BCDG E S E ka i E j a i E ka a Φ=⋅=+⋅=+⎡⎤⎣⎦+ ()22122(-)OCDE OCDE E S E kx i E j a j E a Φ=⋅=+⋅=-⎡⎤⎣⎦+ ()22122ABGF ABGF E S E kx i E j a j E a Φ=⋅=+⋅=⎡⎤⎣⎦+整个立方体表面222231122()e E a E ka a E a E a ka Φ=-++-+=*6-7 一个内外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，总电荷为Q 1，球壳外同心罩一个半径为R 3的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2，求电场分布。

解：由对称性分析可知，电场成球对称分布。

可应用高斯定理1d SE S q ε⋅=∑⎰⎰ 过场点作与球壳同心的球形高斯面，有2d 4 πS E S r E ⋅=⎰⎰r<R 1时，0q =∑，24 π=0, 0r E E =得；R 1<r<R 2时，33113321r R q Q R R -=-∑，333321111332330210214 π=, 4 πr r R Q Q r R r E E e R R r R R εε--=--得 R 2<r<R 3时，1q Q =∑，211204 π=, 4 πr Q Q r E E e r εε=得r>R 3时，12q Q Q =+∑，212122004 π=, 4 πr Q Q Q Q r E E e rεε++=得 6-8 均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为53210C m -⨯。

试求距球心5cm ，8cm 及12cm 的各点的场强。

解：由高斯定理01d SE S q ε⋅=∑⎰⎰，得214R E q πε=∑ 当5=r cm 时， 0=∑q ， 0=E8=r cm 时， ∑q 3π4p =3(r )3内r - ()2023π43π4rr r E ερ内-=41048.3⨯≈1C N -⋅，方向沿半径向外 12=r cm 时， 3π4∑=ρq -3(外r ）内3r ()420331010.4π43π4⨯≈-=r r r E ερ内外 1C N -⋅，方向 沿半径向外 6-9 在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空腔球心O ′的矢量用a 表示，如图所示。

试证明球形空腔中任一点的电场强度为a E3ερ=。

解：采用补偿法求解。

空腔等效为电荷体密度为ρ和-ρ的两个带电体。

腔内任一点的电场强度等于电荷体密度为ρ的大球和电荷体密度为-ρ的小球所产生的电场强度的矢量和。

由高斯定理可知，均匀带电球内任一点的电场强度为30043qr r E R ρπεε==空腔内任一点的电场强度()00003333O O O O O O r r E E E r r a ρρρρεεεε'''-=+=+=-=*6-10 半径为R 1和R 2（R 1<R 2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ，试求：（1）1r R <；（2）12R r R <<；（3）2r R >处各点的场强。

解：由对称性分析可知电场成轴对称分布。

可应用高斯定理1d S E S q ε⋅=∑⎰⎰选取同轴闭合圆柱形高斯面，有d d =2πS s E S E S rhE ⋅=⋅⎰⎰⎰⎰侧面r<R 1时，0, 2π0, 0q rhE E ===∑R 1<r<R 2时，00, 2π, 2πr h q h rhE E e rλλλεε===∑r>R 2时，0, 2π0, 0q rhE E ===∑6-11 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强。

解：设向右为正方向。

两面间，n E )(21210σσε-= 1σ面外， n E )(21210σσε+-= 2σ面外， n E)(21210σσε+= *6-12 如图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为＋q ，－q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力做的功。

解：0104O q q V R R πε⎛⎫=-= ⎪⎝⎭001436C q q q V R R R πεπε⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ()00006OC O C qq A q U q V V Rπε==-= 6-13 如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷，两段直导线的长度和半圆环的半径都等于R 。

试求环中心O 点处的场强和电势。

解：（1）由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =，则θλd d R q =产生O 点Ed 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向。

220002d d cos sin sin 42224y R E E R R R ππλθλππλθπεπεπε-⎡⎤⎛⎫===--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰ （2）AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U ⎰⎰===A B 200012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ同理CD 产生 2ln π402ελ=U 半圆环产生 0034π4πελελ==R R U032142ln π2ελελ+=++=U U U U O 6-14 在一半径为R １的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B 。

已知球壳B 的内、外半径分别为R 2，R 3。

设球A 带有总电荷Q A ，球壳B 带有总电荷Q B 。

（1）求球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势；（2）将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地，求金属球A 和球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势。

解：（1）根据空腔导体的静电性质，球壳B 内、外表面上所带的电荷量分别为Q B 内=-Q A ，Q B 外=Q A +Q B根据均匀带电球壳电势特点及电势叠加原理可得010203444A A A BA Q Q Q Q V R R R πεπεπε-+=++0003034444A A A B A BB Q Q Q Q Q Q V r r R R πεπεπεπε-++=++=（2）球壳B 接地则030,=04ABB A B Q Q V Q Q R πε+'==+得 即球壳外表面电荷为零，内表面电荷-Q A 不变。

断开后球壳带电BA Q Q '=- 球A 接地则 010*******A A A A A Q Q Q Q V R R R πεπεπε'''--'=++= 得 12122313AA R R Q Q R R R R R R '=+- 根据空腔导体的静电性质，球壳B 内、外表面上所带的电荷量分别为12122313=--AA B R R Q Q Q R R R R R R ''=+-内132312122313122313()=A AA A AB R R R R Q R R Q Q Q Q Q R R R R R R R R R R R R -''-=-=+-+-外断开后球壳电势13230303122313()44()B AB Q R R R R Q V R R R R R R R R πεπε'-''==+-外*6-15 半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q 。