(完整版)关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结

关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结

()()()()()()b

n 0

首先研究一下定积分的定义函数f 如果对a,上一切分割及相应的一切积分和，只要分割的细度趋于0，就有一确定的极限，则称该极限为f 在a,上定积分，记为lim

在求部分数列极限问题中，经常会利用定积分的定义去解决，下面我跟大家讲解的再详细具体实用点,在求解过程中方法1：lim

这种做法是从左端n

i i a

T i

n i i a

：x b x b f x dx f x f x dx f x ξξ→=-→∞

=??????=???=?∑?∑?()()()()()()()()()b

n 1

11b

n n 00b

点开始取函数值方法2：lim

这种做法是从右端点收尾取函数值一般在数列极限问题中我们通常是从右边往左边推，但是我发现在考研真题中上面两个等式

还是不实用，因为考试中通常是对区间取等分间隔=，也就是比如

方法1：lim =lim 方法2：n

i i a

i n n i i a k k a f x dx f x b a

x k b a b a f x dx f x f a n n f x ξξ→∞

=--→∞→∞===?-???--=?+ ? ???

∑?∑∑?()()()()()()()n n 111b

n 0lim =lim 易错点：我可以保证基本每个人都错过，就是在解决具体的真题时候，经常忘了乘错误示范：=lim ？具体求数列极限问题中一般是写成右边这个形式，然后去推测相应的f ,和a,具体数值也就是说要推测三个n n i i k k n a k k b a b a dx f x f a n n b a n k b a f x dx f a n x b ξ→∞→∞==-→∞=??--=?+ ? ?????- ?

? ???- ?+ ? ? ?????∑∑?∑?()()()()1

100n n 0量，我感觉有点难，所以我想把这个问题变得再详细具体实用点，我发现在具体应用中不管怎么出，我都可以把a=0,b=1去研究

我是有理由的，大家可以思考下为什么我可以敢这样说，这样做题有一个好处就是只需要推测f 这一个量就可以了，

此时把上面两种方法再修改一下：令a=0,b=1

方法1：=lim ，方法2：=lim n k k x k k f x dx f f x dx f n n n -→∞→∞==???? ? ???

??∑??11

现在问题又来了，在考试的时候涉及到关于数列极限的问题时，怎么才能想到是利用

定积分的定义去求呢？

带着这个疑问，我们再研究一下上面两种方法划横线部分的形式n

∑

()1

011

0n-1n-10n-1

第一项是f =f 0,第二项是f ,1

1n n 1n-1第一项是f ,第二项是f ,n-1

我们发现这两种方法选取的第一个点和最后的一个点自变量相减都是，1

而且这两种方法中每一项都有n 和

,这也告诉我们如果在求数列极限问题中n

如果发现每一项都含有n ，那n k n

k k f n n n n n n n k f n n n n n n n n

-==??????-= ? ? ?????????????-= ? ? ???

????∑∑么此时可以考虑下利用定积分的定义去做一下

()1

n n 111例1：lim n 1n 22n 分析：所求此数列每一项都含有n ，感觉好像可以利用定积分的定义，但是问题又来了

要想利用定积分，每一项要含有，可是这个数列不是啊，所以要想=lim

到转化喽

1111n =现在问题又来了，n 1n 22n n n 1n 22n 感觉括号里面还是找不到对应的规律啊，因为要出来n k f x d n n x f →∞→∞

+++ ?++??

++++++ ?++++??? ???g g g g g g g g g 11111n =

n 1

n 2

2n n n 1

n 2

2n 11111=大家注意为了找规律，所以最后一项不要写成12n n 211

0123

也就是说要出来

，说的更详细点也就是每一项要出现,,,之类11+的，n 那么对括号里面再进一步转化一下1

这样再看括号里面就会很容易的猜测f (x)=,

1n 1n n

k n

n n n

k n n n n

=??

+++

++++??

? ??

+++

? ???

?++ ??+??

?+∑g g g g g g g g g ()()()

()

1103

:n 3333

3330111n 22n 1

变形1：lim

分析：看到各项都含有n,有的学员可能不赞同，说括号里面没有每一项都含有n 啊？

可是外面不是公共的吗？呵呵，然后想到定积分，首先把提出来，

1112n 12=+++n n n n 为了找11

相应的函数ln 1ln ，也就是每2项1中0一n n

n n f x dx dx x x →∞

==+??+++= ?+??++???+??++???+??? ??+?

=??g g g 012

要出现,,,

n n n

()(

)()333

33333

3334

:n 1

12n 112n 把式子继续转化

+++=+++n

n n n n n n n 这样很显然看出函数是f 1

lim

12x x n f x dx x dx

n →∞

????????

?? ?

?????? ? ? ? ? ???????????

=++???+=

()()()()()()()()()()()()222:n 222

222222222222

111变形2：lim n +++n+1n+2n+n 1

分析：看到各项都含有n,然后想到定积分，首先把

提出来，n

1111n +++=+++n n+1n+2n+n n+1n+2n+n 012

为了找相应的函数，也就是每一项中要出现,,,

n 下面要继续转化一下：

1+++n n+1n+2n+n n n n n n

n n n →∞??

???????????????????????????????

????()222222

22222:n 1n n n =+++n 1211111+++很明显看出函数f 12n 1111111变形3：lim n +++n 1n 22n 分析：看到各项都n n n n x n x n n n →∞???????????????? ? ? ???+++???????????

??????????? ? ? ?????=???= ? ? ? ???+?? ? ? ?+++ ? ? ????

???????????? ?++??2222222222

222222222221

含有n,然后想到定积分，首先把

提出来，n

1111n +++=+++n n 1n 22n n 1n 22n 012

为了找相应的函数，也就是每一项中要出现,,,下面要继续转化一下：

n 11111+++=+++n n n 1n 22n 12111n n n n n

n n n n n n n ?????????? ? ?++++???

??????????? ?++????????+++ ? ? ????????()2

很明显看出函数f 1x x ??

?????????=

()():n 11

2变形4：lim

sin +sin

++sin n

1分析：看到各项都含有n,然后想到定积分，而且这个题已经把提出来了，n

很明显看出函数f sin n n n n x x πππ

→∞??

-??? ? ??

= 上面这几个题一定要好好领悟，把基础打死，总结关键点和易错点，但是考研真题上面一般不会出，因为考察方式太单一，下面我们看几道比较容易考的题，这几道题华南理工大学，南京师范大学都出过类似的题。

()():n 1例2：lim

分析：看到这个题直觉告诉我们不可能会利用定积分，因为定积分是涉及到连加的，不是连乘，但是其实我感觉在数学中加和乘没有多大的区别，取对数不就行了吗？1下面就算上面的

n ln ln 1ln 211ln

ln n n

写到这我又哭了，因为最后突然出现了一个ln n n n n →∞+++???---()()

()()()()()()()

，那么我再转化一下ln ln 1ln 21ln ln 1ln 21-n ln n

ln =

ln ln ln 1ln ln 21-ln n n

121ln ln ln 012为了每一项中要出现,,,n n 下面要继续转化一下：1210ln

ln ln ln 1+n =

n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n

n n n n n +++???-+++???---++-+???-=

????+-++??? ? ?????=

?????+-++??? ? ?????

()(

)(

n 2ln 21:n 11ln 1ln 1n

很明显看出函数f ln 1,1lim ln

ln 12ln 21

lim

n 总结：这个题是先取对数，然后再利用积分,最后非常容易错的是最后一步，别忘了取对数以后再取回来，这点非常容易忘n n n x x x dx e

→∞

-→∞?????

-+++???+

? ? ???????=++=-=

?? ????

(

)

()

()()()

ln1ln2ln

例3：求极限lim

这是华东师范第四版数分上册43页第四大题第五小题，我想换种方法做

分析：看到这个题是连乘，因此我想取对数变为连加

n ln n ln1ln2ln

ln1ln2ln

ln=

ln ln1ln ln2ln ln

ln ln ln

=写到这区找每

n n

n n n n

n n

→∞

++???+

-++???+

++???+

-+-+??-

++???+

()

012

一项是否有,,

n n n

有人说这个题没有，正好都反了，怎么办？凉拌

很容易看出函数f(x)=ln ln（这个函数用心品味）

ln1ln2ln

lim ln=f ln1

ln这个不是定积分，是瑕积分，可是又怎样？它收敛啊，其实如果我要是不强调是瑕积分，估计很多人都察觉不到，而且这个积分怎么做我就不需要讲了吧但是一定要

n x dx xdx

xdx

→∞

++???+

-=-=

??-

? ???

注意这不是最终答案，你取了对数以后别忘了再取回来，这点非常容易错lim=e

例4：设x1,求J=lim x

这个题不管会不会起码题要读懂，而且看到符号要适应

分析：因为每一项x1含有n,所以想到定积分，但是每一项并没有

出来,所以转化一下x1=1

n n

下

nk nk

→∞

???

=--

???

∑

面我要让式子中出现这个整体有关的东西，不然没法利用定积分去做

111

x1=

n n n

n n

???

=-=

???

11k

写到这我又哭了，因为我实在是找不到跟

这个整体有关的东西，而且看着这个式子

很复杂特别是分母，那我把分母放缩一下2n 1

11此时看看什么效果，

x n n

n 2n

121x n 2n

n 2n

11x n 2n n 2n 211x n 2n nk nk n

nk k

k k

nk k k n

n n

k k n

=====≤+≤+≤=

≤

≤≤

≤

∑∑∑∑

∑11

:n 1

n 2n 11

2lim

,lim 1

n 2n 2

41由迫敛性法则得：J=lim

x =

大家这个题一定要细细品味，多思考几次，我能理解大家刚开始接触会比较吃力但是考试就喜欢这种结合定积分定义和数列迫敛性法则去出真题1

2例5：lim

12分析：这个题每一项是，含有n,所以想1

n n k

nk n k k

k n

k k

dx n

=→∞

→∞

=→∞

=?? ???+

∑∑?

∑∑111111

n 1

到定积分，然后在这一项中找跟

整体有关的东西，分子显然满足，但是分母比较复杂不满足怎么办，我想试着

2把分母放缩一下，111,则

111

11121

22211111+11+1n n 1lim 2k k k n

k k k k k k n

n n n

k k k k k k

k n n k n

n kn

n n n n n n

kn kn

n ======→∞=≤+

≤+

≤

≤+

???≤≤?≤≤ ???++∑∑∑∑∑∑∑()1100n :n 1

12112,lim 1

1ln 2ln 201+n

21由迫敛性法则得：lim

ln 2

f x dx dx n

→∞→∞

======+

??∑

()

(

)

()

()()

()

(

)()()

()

(

)(

)

()

222

n 1

2ln

222221

22222222221

例6：求极限lim

分析：看到连乘取对数

ln 1ln 2ln 21

4ln ln 1ln 2ln 24ln ln 12ln ln 22ln ln 2n

i n

n i n n

n i

n n n n n i

n n n n n n n

n n n n n =→∞

=+==+∏+++++???+++=

-++++???++-=

+-++-+???++=

∏∏∏()

(

)()()2

222

222222222

2ln 212ln ln ln 212ln 1ln 1ln 1122ln 1ln 1ln 1写到这我们发现每一项是n n

n n n n n n n n

n n n n n

-??+????++ ?++???+ ? ? ???????=

?????? ?++++???++ ? ? ???????=

???????????? ? ? ?++++???++ ? ? ? ? ? ?????????????=

()()

()

()()

n 1

1232,,,此时要超级小心，认真观察，n 12第一项

0，末项2，会发现这个被积函数是f ln 1n 这个积分区间不是0,1了，而是0,2这个一定要小心，这个题的意思

是把0,2平均分成2n 份，所以每份小区间长度是,所以第一份是，n n

211第二份是，最后一份是2n ，lim ln n n ln 1n

n n n

x x n

n i

f x dx

n x →∞=???→→=+?????????????+=

+∏?

()

(

)

222

2ln

22ln 542arctan 22arctan 24

n n 1

2ln 542arctan 2

但是注意这不是最终答案1

lim

=lim e

=e 25n

i n

n i n n

i dx n

e n =+-+-→∞

→∞

==-+∏+=?

∏

例7：设x ,0,求J=lim

x 1分析：看到连加，想到定积分，然后每一项要出现n

1x n 1

1==n n 11n

1写到这我发现式子中不能完全转化成跟相关的东西，

跟n

nk nk n k

nk a k n

n →∞

>==???=??+

∑()()10k 1

k 1k 10

是有巨大的差别的，所以想到放缩11

11x n n n 11

lim n 2

1111111lim lim n n n n nk n

n n

n n n

k k a a n n k a a x dx a n k k n a a a a n n n n a x →∞

=→∞

→∞==????

+?+≤=?≤?+ ?

?????

???+=+=+

???????????++?+=?+-?++?+ ? ? ? ?????????

+∑

?∑

∑()()

888

777

:n 1111lim

lim n n 1

002

大家要用心品味一下为什么我要加一项又减一项，我是在严格套定积分定义1

由极限的迫敛性法则得：J=2

12例8：lim

12分析：这个题刚开始看没有思路，然后我们再观察分子和分母，有没有可能分子和分母分别定积分算呢，呵呵，根本不可能，因为分子中不n n n dx a a n n a a n n n →∞

→∞→∞

????

+-?++?+ ? ?????

+++++???++???+?

()()

8888

777777777

是每一项都含有n 的，所以不能利用定积分，但是如果分子和分母都除以n 呢？121212n =

121212n n

n n n n n n n n n n n n n ??????

++???+++???+ ? ? ?++???+??????=+???++???+??????++??? ? ? ???????

()

888

:n 7

170:n 888777

:n 121

lim 9

121

lim 81

1289lim 19128

n x dx n n n n x dx n n n n n n →∞

→∞→∞??????++???+==

? ? ???????

??????++???==

? ? ???????++???+==+???+?

暑假的时候统一讲的时候再给大家介绍一个模型

微积分-求极限的方法

求极限方法一：直接代入法例一：（）=24 例二：（）= 类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0 知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。类似=（）下面讲个例知识点3：=(x-y)() 例三：== 方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）例四：= 方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）例五：==1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）例六：

知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）例七：（）=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零））例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数分母最高次数项系数方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）例十：- 知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）例十一：（）=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0 所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。

高中数学复习――数列的极限

●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n 1 =0;③∞ →n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝，当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则；（2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2

数列极限的概念(经典课件)

第二章数列极限引言: 在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。 §１数列极限的概念教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：数列极限的概念。教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。教学方法：讲授为主。教学学时：2学时。一、数列概念：１．数列的定义：简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,, n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。２．数列的例子：（1）(1)111:1,,,, 234n n ??---???? ；（2）11111:2,1,1,1,435 n ? ?+ +++???? （3）{}2 :1,4,9,16,25, n ；（4）{}1 1(1) :2,0,2,0,2, n ++- 二、数列极限的概念：１．引言：对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下 12，第２天截下2111222?=，第３天截下23111222?=，…，第n 天截下1111 222 n n -?=，… 得到一个数列：? ?? ?? ?n 21： 231111 ,,,,,2222n 不难看出，数列12n ?? ? ??? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零。一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。

巧用定积分求极限(数学分析)

定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“∞ ∞ ”型极限的. 泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入 n-1个分点将 [],a b 分成 n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=）,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称为积分元),把这些乘积相加得到和式 1 ()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设 {}max :1i x i n λ=?≤≤,若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ?,即0 1 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理

专题利用定积分定义求极限

专题1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?，而不是01 lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。如()f x 在区间[0,1]上的积分可以表示为1 01 1()lim ()n n i i f x dx f n n →∞==∑?——i ξ取每个小区间的右端点，或者1 01 11()lim ()n n i i f x dx f n n →∞=-=∑?——i ξ取每个小区间的左端点。举例：求3 41lim n n i i n →∞=∑

求极限的方法及例题总结

1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。注：本题也可以用洛比达法则。例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以。例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

专题1——利用定积分定义求极限(1)

专题1 ---- 利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法: ①是n 时的极限 n ②极限运算中含有连加符号 i 1 在定积分的定义中，我们把区间［a,b］平均分成n个小区间 b a 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为—a 成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n 来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了） n lim0 f(a .b a、b a i )- n n 表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是 n lim f (a n i 1 baba i )- n n b f (x) dx , a 而不是（定积分的定义中是任意分割区间［a,b］，（即定义中的x），这n个小区间分别为 r b a、「b a b a n r [a, a ] , [a ,a 2 ] , [a n n n b a b a _ [a (n 2) ,a (n 1) ], n n [a (n n _ b a 2 ,a n b a 3山],…, n 1）,b］，在定义中每个小区间上任意取的i我们n 致取为每个小区间的右端点i a（也可以取左端点i a （i 1）），那么定义中左端点时i） x i就变为 f (a i- a) b a n n ，那么lim n n f(a i 1 b a f （X）dX。 n lim f (a n i 1 (i baba b 忖匚a?) 注意：定积分的定义中0表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n也表示把区间分割 ,当分割方式为均等分割时，n 就 f (x)dx。

巧用定积分求极限(数学分析)

定积分在求极限中的应用欧阳学文 1、知识准备 1.1绪论微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“”型的极限和“”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的

关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数在闭区间上有定义,在闭区间内任意插入n1个分点将分成n个区间,记 ,,作乘积(称为积分元),把这些乘积相加得到和式(称为积分形式)设 ,若极限存在唯一且该极限值与区是的分法及分点的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数在上的定积分,记作,即 .否则称在上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若存在,区间进行特殊分割,分点进行特

(完整版)关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结

关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结 ()()()()()()b 1 1 b n 0 首先研究一下定积分的定义函数f 如果对a,上一切分割及相应的一切积分和，只要分割的细度趋于0，就有一确定的极限，则称该极限为f 在a,上定积分，记为lim 在求部分数列极限问题中，经常会利用定积分的定义去解决，下面我跟大家讲解的再详细具体实用点,在求解过程中方法1：lim 这种做法是从左端n i i a T i n i i a k ：x b x b f x dx f x f x dx f x ξξ→=-→∞ =??????=???=?∑?∑?()()()()()()()()()b n 1 11b n n 00b 点开始取函数值方法2：lim 这种做法是从右端点收尾取函数值一般在数列极限问题中我们通常是从右边往左边推，但是我发现在考研真题中上面两个等式还是不实用，因为考试中通常是对区间取等分间隔=，也就是比如 n 方法1：lim =lim 方法2：n i i a k i n n i i a k k a f x dx f x b a x k b a b a f x dx f x f a n n f x ξξ→∞ =--→∞→∞===?-???--=?+ ? ??? ∑?∑∑?()()()()()()()n n 111b n 0lim =lim 易错点：我可以保证基本每个人都错过，就是在解决具体的真题时候，经常忘了乘错误示范：=lim ？具体求数列极限问题中一般是写成右边这个形式，然后去推测相应的f ,和a,具体数值也就是说要推测三个n n i i k k n a k k b a b a dx f x f a n n b a n k b a f x dx f a n x b ξ→∞→∞==-→∞=??--=?+ ? ?????- ? ? ???- ?+ ? ? ?????∑∑?∑?()()()()1 1 100n n 0量，我感觉有点难，所以我想把这个问题变得再详细具体实用点，我发现在具体应用中不管怎么出，我都可以把a=0,b=1去研究我是有理由的，大家可以思考下为什么我可以敢这样说，这样做题有一个好处就是只需要推测f 这一个量就可以了，此时把上面两种方法再修改一下：令a=0,b=1 1 方法1：=lim ，方法2：=lim n k k x k k f x dx f f x dx f n n n -→∞→∞==???? ? ??? ??∑??11 现在问题又来了，在考试的时候涉及到关于数列极限的问题时，怎么才能想到是利用定积分的定义去求呢？带着这个疑问，我们再研究一下上面两种方法划横线部分的形式n n ∑

数学分析-数列极限

第二章数列极限 §1 数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。教学内容：一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得：

对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称该数为收敛数列，a 为它的极限。例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明（1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。（2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．

运用定积分求极限

运用定积分求极限 1、知识准备 1.1绪论微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00 ”型的极限和“∞∞”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入n-1个分点将[],a b 分成n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=） ,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称为积分元),把这些乘积相加得到和式 1()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设{}max :1i x i n λ=?≤≤,若01 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作b a ()f x dx ?,即01 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理解.

浅谈用定积分的定义解决极限问题

浅谈用定积分的定义解决极限问题王涛（周恩来政府管理学院政治学与行政学 0612723）摘要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。定积分的定义：设函数y =)(x f 定义在区间[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入分点：a =n n x x x x ＜＜＜＜110-?=b ,令i x ?=1--i i x x ，又任取[∈i ξi i x x ,1-], i =1,2,…n .作和式 i n i i n x f I ?∑==)(1 ξ，令{}i n i x x ?=?≤≤m a x 1，如果当0→?i x 时，和式n I 的极限存在，且此极限与[]b a ,的分法及i ξ的取法无关，则称函数)(x f 在[]b a ,上是可积的，并称该极限值为)(x f 在[]b a ,上的定积分，记作? b a dx x f )(，即 i n i i b a x x f dx x f ?=∑? =→?)()(1 0lim ξ.

(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)

专题1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1 ()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1lim ((1) )()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。

专题1——利用定积分定义求极限 1

专题１—-利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法: ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中,我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间(定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割）,那么每个小区间的长度为 b a n -(即定义中的i x ?),这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++,……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-,[(1),]b a a n b n -+-,在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑,那么1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下,不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间,这里的原因我是理解的,但是不好表述，你清楚结论就行了)，当分割方式为均等分割时,n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?,而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?.

微积分求极限的方法(完整版)

专题一求极限的方法【考点】求极限 1、近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在） 3、要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理化，变量代换等等。 4、两个重要极限0sin lim 1x x x →= 1 01lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第二个式子1 lim(1)x x x e →+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞ ”的形式的典型求极限题目。 5、一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如：（1）利用归结原则将数列极限转化为函数极限（2）函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解题，如 11 1 lim x x e -→因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）（3）遇到无限项和式求极限时想三种方法： ①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理 ③用定积分的概念求解。（4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，而当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也 →0 （5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中方法②③考到的可能性较大。 6、有关求极限时能不能直接代入数据的问题。 7、闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。【例题精解·求极限的方法】方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。【例1】求极限 11 lim 1 m n x x x →--

专题1——利用定积分定义求极限.doc

专题 1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是 n 时的极限 n ② 极限运算中含有连加符号 i 1 在定积分的定义中，我们把区间 [ a, b] 平均分成 n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间 [ a, b] ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a （即定义中的 x i ），这 n 个小区间分别为 n [ a, a b a ] ， [ a b a , a 2 b a ] ， [ a 2 b a , a 3 b a ] ，， n n n n n [ a (n 2) b a , a (n 1) b a ] ，[ a ( n 1) b a , b] ，在定义中每个小区间上任意取的 i 我们 n n n 一致取为每个小区间的右端点 i a i b a （也可以取左端点 i a (i 1) b a ），那么定义中 n n n f ( i ) x i n f (a i b a ) b a ，那么 lim n i b a ) b a f (x)dx 。（取 b i 1 i 1 n n n i 1 n n a n 1) b a ) b a b 左端点时 lim f (a (i f ( x)dx ） n 1 n n a i 注意：定积分的定义中 0 表示的意思是把区间分割为无线个小区间（ n 也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用 n 来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时， n 就 n b a b a b 表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是 limf (a i ) f ( x) dx ，而不是 n n n a i 1 lim n i b a ) b a f ( x)dx 。 b 0 i 1 n n a 1 f ( x) dx lim 1 如 f ( x) 在区间 [0,1] 上的积分可以表示为 n n n i 1

巧用定积分求极限(数学分析)之欧阳歌谷创作

定积分在求极限中的应用欧阳歌谷（2021.02.01） 1、知识准备 1.1绪论微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“”型的极限和“”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念.

1.2定积分的概念下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数在闭区间上有定义,在闭区间内任意插入n-1个分点将分成n个区间,记 ,,作乘积(称为积分元),把这些乘积相加得到和式(称为积分形式)设 ,若极限存在唯一且该极限值与区是的分法及分点的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数在上的定积分,记作,即.否则称在上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若存在,区间进行特殊分割,分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理解. 注3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关,即仔细观察定积分的定义,我们一定会发现定积分的极限有以下两个特征.第一,定积分是无穷项和式的极限,容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零,否则和式极限不存在.第二,

函数与数列极限的定义区别

导读：极限是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).关键词：极限，数列，函数极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心. 数列极限 1．定义设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列. 上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）. 对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的

N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 2．性质收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性；（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；（5）保序性，即若，且AN1时an

数学分析数列极限分析解析

第二章数列极限 §1 数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。教学内容：一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得：对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛；

{}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε =10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明（1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。（2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．．的，只要存在一个N ，就会存在无穷多

微分中值定理及定积分极限题型

第十二专题讲座-----积分中值定理及定积分极限题型2009 智轩一、完整的积分中值定理包含下列全部内容 1．函数平均值 [ ]()1 b a M f f x dx b a = -? 2．第一中值定理 ()1如果函数在积分区间[],a b 上连续，则()()()b a a b f x dx f b a ξξ?≤≤?=-? 。（教材上的描述） ()2如果函数()(), f x x ?在积分区间 [],a b 上连续，且当a x b <<时，()x ?不变号，则则()()()()b b a a a b f x x dx f x dx ξ?ξ??≤≤? =? ?。 3．第二中值定理（★超纲内容，仅仅作为理解用） ()1若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b < <时，()x ?单调，则 ()()()()()()00b b a a f x x dx a a f x dx b f d b x x ξ ξ ?ξ???≤-≤=++? ? ??。 ()2若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ?单调递减（广义上），且为非负数，则 ()()()()0b a a a b f x x dx a f x dx ξ ξ???≤≤? =+? ?。 ()3若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ?单调递增（广义上），且为非负数，则 ()()()()0b b a a b f x x dx b f x dx ξ ξ???≤≤? =-? ?。二、与积分有关的求极限问题【例1】求极限1 10 lim 1n n x I dx x →∞=+? 解： 110 110 10100111 lim 1n n n n n n x x x x dx x dx x x n x I dx x →∞ ≤≤?≤ ≤?≤ ≤ = +++?==+? ? ?