专题1——利用定积分定义求极限(1)
专题1 ---- 利用定积分定义求极限
对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法:
①是n 时的极限
n
②极限运算中含有连加符号
i 1
在定积分的定义中，我们把区间［a,b］平均分成n个小区间
b a
我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为—a
成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n 来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了）
n lim0 f(a .b a、b a i )- n n
表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是
n
lim f (a
n
i 1
baba
i )-
n n
b
f (x) dx ,
a
而不是
（定积分的定义中是任意分割区间［a,b］，
（即定义中的x），这n个小区间分别为
r b a、「b a b a n r
[a, a ] , [a ,a 2 ] , [a n n n
b a b a _ [a (n 2) ,a (n 1) ],
n n [a (n
n
_ b a
2 ,a n
b a
3山],…,
n
1）,b］，在定义中每个小区间上任意取的i我们n
致取为每个小区间的右端点i a（也可以取左端点i a （i 1）），那么定义中
左端点时i） x i就变为 f (a i-
a) b a n
n
，那么lim
n
n
f(a
i 1
b
a f （X）dX。
n
lim f (a
n
i 1
(i
baba b
忖匚a?)
注意：定积分的定义中0表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n也表示把区间分割
,当分割方式为均等分割时，n 就
f (x)dx。
如f(x)在区间［0,1］上的积分可以表示为1f(x)dx lim 1 ° f (-)
0 n n i 1 n i取每个小区间的右端
1
点，或者o f (x)dx
lim1n
n n i 1
心)
n i
取每个小区间的左端点。
举例：求lim
n
分析：函数f （x）x3在区间［0,1］上的定积分的定义可以表示为1x3dx
lim
n
1 i 3
-(―)3(这里i取
n n
的是每个小区间的右端点）1x3dx
lim
n
丄(丄)3
n n
lim
n
.3
厶。所以
4
n
n lim
n
i 1 \3dx
x4
4 |0
对于这个考点的考法应该不会很深（这个方法经常在数学竞赛中用到），给出的极限应该可以化为某个函数在区间［0,1］上的定积分，基于此，遇到这类题时，一定要把给出的极限化为如下形式:
lim n
i f(-) 1lim
1 n n n n i 1
f ()或者lim
n "
7 f(」)hm
n
i 1 n n n n
i 1
f（」），只要化为以上的几种n
形式, 那么给出的极限就是函数f（x）在区间［0,1］上的积分，
即
1
o f (x)dx lim -lim
n n
f(-) lim 丄 fC 】)
i 1 n n i 1 n n
-lim
n n
心)
n
微积分-求极限的方法
求极限方法一：直接代入法 例一：（）=24 例二：（）= 类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。 知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0 知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于 方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘） 普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。类似=（） 下面讲个例 知识点3：=(x-y)() 例三：== 方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式） 例四：= 方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式） 例五：==1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式） 例六：
知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他） 例七：（）=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大） 例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零） ） 例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数 分母最高次数项系数 方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式） 例十：- 知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量） 例十一：（）=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0 所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。
巧用定积分求极限(数学分析)
定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“∞ ∞ ”型极限的. 泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入 n-1个分点将 [],a b 分成 n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=）,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称 为积分元),把这些乘积相加得到和式 1 ()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设 {}max :1i x i n λ=?≤≤,若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法 及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ?,即0 1 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理
专题利用定积分定义求极限
专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ， 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?，而不是01 lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。 如()f x 在区间[0,1]上的积分可以表示为1 01 1()lim ()n n i i f x dx f n n →∞==∑?——i ξ取每个小区间的右端点，或者1 01 11()lim ()n n i i f x dx f n n →∞=-=∑?——i ξ取每个小区间的左端点。 举例：求3 41lim n n i i n →∞=∑
求极限的方法及例题总结
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
专题1——利用定积分定义求极限(1)
专题1 ---- 利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法: ①是n 时的极限 n ②极限运算中含有连加符号 i 1 在定积分的定义中，我们把区间［a,b］平均分成n个小区间 b a 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为—a 成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n 来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了） n lim0 f(a .b a、b a i )- n n 表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是 n lim f (a n i 1 baba i )- n n b f (x) dx , a 而不是 （定积分的定义中是任意分割区间［a,b］， （即定义中的x），这n个小区间分别为 r b a、「b a b a n r [a, a ] , [a ,a 2 ] , [a n n n b a b a _ [a (n 2) ,a (n 1) ], n n [a (n n _ b a 2 ,a n b a 3山],…, n 1）,b］，在定义中每个小区间上任意取的i我们n 致取为每个小区间的右端点i a（也可以取左端点i a （i 1）），那么定义中 左端点时i） x i就变为 f (a i- a) b a n n ，那么lim n n f(a i 1 b a f （X）dX。 n lim f (a n i 1 (i baba b 忖匚a?) 注意：定积分的定义中0表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n也表示把区间分割 ,当分割方式为均等分割时，n 就 f (x)dx。
巧用定积分求极限(数学分析)
定积分在求极限中的应用 欧阳学文 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“”型的极限和“”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的
关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数在闭区间上有定义,在闭区间内任意插入n1个分点将分成n个区间,记 ,,作乘积(称为积分元),把这些乘积相加得到和式(称为积分形式)设 ,若极限存在唯一且该极限值与区是的分法及分点的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数在上的定积分,记作,即 .否则称在上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若存在,区间进行特殊分割,分点进行特
(完整版)关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结
关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结 ()()()()()()b 1 1 b n 0 首先研究一下定积分的定义函数f 如果对a,上一切分割及相应的一切积分和，只要分割的细度趋于0，就有一确定的极限，则称该极限为f 在a,上定积分，记为lim 在求部分数列极限问题中，经常会利用定积分的定义去解决，下面我跟大家讲解的再详细具体实用点,在求解过程中方法1：lim 这种做法是从左端n i i a T i n i i a k ：x b x b f x dx f x f x dx f x ξξ→=-→∞ =??????=???=?∑?∑?()()()()()()()()()b n 1 11b n n 00b 点开始取函数值方法2：lim 这种做法是从右端点收尾取函数值一般在数列极限问题中我们通常是从右边往左边推，但是我发现在考研真题中上面两个等式 还是不实用，因为考试中通常是对区间取等分间隔=，也就是比如 n 方法1：lim =lim 方法2：n i i a k i n n i i a k k a f x dx f x b a x k b a b a f x dx f x f a n n f x ξξ→∞ =--→∞→∞===?-???--=?+ ? ??? ∑?∑∑?()()()()()()()n n 111b n 0lim =lim 易错点：我可以保证基本每个人都错过，就是在解决具体的真题时候，经常忘了乘错误示范：=lim ？具体求数列极限问题中一般是写成右边这个形式，然后去推测相应的f ,和a,具体数值也就是说要推测三个n n i i k k n a k k b a b a dx f x f a n n b a n k b a f x dx f a n x b ξ→∞→∞==-→∞=??--=?+ ? ?????- ? ? ???- ?+ ? ? ?????∑∑?∑?()()()()1 1 100n n 0量，我感觉有点难，所以我想把这个问题变得再详细具体实用点，我发现在具体应用中不管怎么出，我都可以把a=0,b=1去研究 我是有理由的，大家可以思考下为什么我可以敢这样说，这样做题有一个好处就是只需要推测f 这一个量就可以了， 此时把上面两种方法再修改一下：令a=0,b=1 1 方法1：=lim ，方法2：=lim n k k x k k f x dx f f x dx f n n n -→∞→∞==???? ? ??? ??∑??11 现在问题又来了，在考试的时候涉及到关于数列极限的问题时，怎么才能想到是利用 定积分的定义去求呢？ 带着这个疑问，我们再研究一下上面两种方法划横线部分的形式n n ∑
运用定积分求极限
运用定积分求极限 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00 ”型的极限和“∞∞”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入n-1个分点将[],a b 分成n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=） ,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称为积分元),把这些乘积相加得到和式 1()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设{}max :1i x i n λ=?≤≤,若01 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作b a ()f x dx ?,即01 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理解.
浅谈用定积分的定义解决极限问题
浅谈用定积分的定义解决极限问题 王涛 （周恩来政府管理学院 政治学与行政学 0612723） 摘 要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。 关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积 在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。 我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。 要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。 定积分的定义：设函数y =)(x f 定义在区间[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入分点：a =n n x x x x ＜＜＜＜110-?=b ,令i x ?=1--i i x x ，又任取[∈i ξi i x x ,1-], i =1,2,…n .作和式 i n i i n x f I ?∑==)(1 ξ，令{}i n i x x ?=?≤≤m a x 1， 如果当0→?i x 时，和式n I 的极限存在，且此极限与[]b a ,的分法及i ξ的取法无关，则称函数)(x f 在[]b a ,上是可积的，并称该极限值为)(x f 在[]b a ,上的定积分，记作? b a dx x f )(， 即 i n i i b a x x f dx x f ?=∑? =→?)()(1 0lim ξ.
(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)
专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ， 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1 ()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1lim ((1) )()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。
专题1——利用定积分定义求极限 1
专题１—-利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法: ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中,我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间(定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我 们当然可以平均分割）,那么每个小区间的长度为 b a n -(即定义中的i x ?),这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++,……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-,[(1),]b a a n b n -+-,在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑,那么1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下,不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间,这里的原因我是理解的,但是不好表述，你清楚结论就行了)，当分割方式为均等分割时,n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?,而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?.
微积分求极限的方法(完整版)
专题一 求极限的方法 【考点】求极限 1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的 概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、 单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在） 3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理 化，变量代换等等。 4、 两个重要极限0sin lim 1x x x →= 1 01lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第二个式 子1 lim(1)x x x e →+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞ ”的形式的典型求极 限题目。 5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限 （2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解 题，如 11 1 lim x x e -→因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发） （3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法： ①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理 ③用定积分的概念求解。 （4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，而当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也 →0 （5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中方法②③考到的可能性较大。 6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。 7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。 【例题精解·求极限的方法】 方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。 【例1】求极限 11 lim 1 m n x x x →--
定积分的概念
定积分与微积分定理 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?， 而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间 [],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr =? 2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分 ()b a f x dx ? 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）． 分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式 ()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ?+?++?++?L L
专题1——利用定积分定义求极限.doc
专题 1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是 n 时的极限 n ② 极限运算中含有连加符号 i 1 在定积分的定义中， 我们把区间 [ a, b] 平均分成 n 个小区间 （定积分的定义中是任意分割区间 [ a, b] ， 我们当然可以平均分割） ，那么每个小区间的长度为 b a （即定义中的 x i ），这 n 个小区间分别为 n [ a, a b a ] ， [ a b a , a 2 b a ] ， [ a 2 b a , a 3 b a ] ， ， n n n n n [ a (n 2) b a , a (n 1) b a ] ，[ a ( n 1) b a , b] ，在定义中每个小区间上任意取的 i 我们 n n n 一致取为每个小区间的右端点 i a i b a （也可以取左端点 i a (i 1) b a ），那么定义中 n n n f ( i ) x i n f (a i b a ) b a ，那么 lim n i b a ) b a f (x)dx 。（ 取 b i 1 i 1 n n n i 1 n n a n 1) b a ) b a b 左端点时 lim f (a (i f ( x)dx ） n 1 n n a i 注意：定积分的定义中 0 表示的意思是把区间分割为无线个小区间 （ n 也表示把区间分割 成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用 n 来表示把区间分割成无数个小区间，这 里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了） ，当分割方式为均等分割时， n 就 n b a b a b 表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是 limf (a i ) f ( x) dx ，而不是 n n n a i 1 lim n i b a ) b a f ( x)dx 。 b 0 i 1 n n a 1 f ( x) dx lim 1 如 f ( x) 在区间 [0,1] 上的积分可以表示为 n n n i 1
巧用定积分求极限(数学分析)之欧阳歌谷创作
定积分在求极限中的应用 欧阳歌谷（2021.02.01） 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“”型的极限和“”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念.
1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数在闭区间上有定义,在闭区间内任意插入n-1个分点将分成n个区间,记 ,,作乘积(称为积分元),把这些乘积相加得到和式(称为积分形式)设 ,若极限存在唯一且该极限值与区是的分法及分点的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数在上的定积分,记作,即.否则称在上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若存在,区间进行特殊分割,分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理解. 注3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关,即 仔细观察定积分的定义,我们一定会发现定积分的极限有以下两个特征.第一,定积分是无穷项和式的极限,容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零,否则和式极限不存在.第二,
微分中值定理及定积分极限题型
第十二专题讲座-----积分中值定理及定积分极限题型2009 智 轩 一、完整的积分中值定理包含下列全部内容 1．函数平均值 [ ]()1 b a M f f x dx b a = -? 2．第一中值定理 ()1如果函数在积分区间[],a b 上连续，则()()()b a a b f x dx f b a ξξ?≤≤?=-? 。（教材上的描述） ()2如果函数()(), f x x ?在积分区间 [],a b 上连续，且当a x b <<时，()x ?不变号，则 则()()()()b b a a a b f x x dx f x dx ξ?ξ??≤≤? =? ?。 3． 第二中值定理（★超纲内容，仅仅作为理解用） ()1若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b < <时，()x ?单调，则 ()()()()()()00b b a a f x x dx a a f x dx b f d b x x ξ ξ ?ξ???≤-≤=++? ? ??。 ()2若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积， 当且当a x b <<时，()x ?单调递减（广义上）， 且为非负数，则 ()()()()0b a a a b f x x dx a f x dx ξ ξ???≤≤? =+? ?。 ()3若函数()(), f x x ?在积分区间[],a b 上有界并可积， 当且当a x b <<时，()x ?单调递增（广义上）， 且为非负数，则 ()()()()0b b a a b f x x dx b f x dx ξ ξ???≤≤? =-? ?。 二、与积分有关的求极限问题 【例1】求极限1 10 lim 1n n x I dx x →∞=+? 解： 110 110 10100111 lim 1n n n n n n x x x x dx x dx x x n x I dx x →∞ ≤≤?≤ ≤?≤ ≤ = +++?==+? ? ?
应用定积分求和的极限
p.438:4 (3 ) 应用定积分求极限 ∑ =+∞ →n k p p n n k 1 1 lim 。 解： n n k n n k n k p n k n k p p n k p p 11111 1 ???? ??=?=∑∑∑ ===+ ，此式是函数 p x x f =)( 在区间 []1,0 的特殊积分和：区间 []1,0 被分为 n 等分，k ξ 是小区间 ?? ? ? ??-n k n k ,1 的右端点。函数p x x f =)( 在区间 []1,0 可积，因而有：所求极限 1 11lim 11101 1+= += =+=+∞ →?∑ p p x x d x n k p p n k p p n 这一类型题的解题关键一是分离出因式 n 1 ，二是将余下的因式化为 n k 或类似形式的函数。例如本题解答中即是如此。 又如p.438:4 (4 ) ：应用定积分求极限 ()()[]n n n n n n n 111lim -++∞ → 。 本例无求和，只有乘积，因而不能直接应用上述解法；但利用对数性质可将乘积转化为求和，这样，即可分离出因式 n 1 。 解：令 ()()[]n n n n n n y 111-++= ，则 ()()[]()∑-=?? ? ??+=?? ? ?????????????-+??? ??+?=? ? ? ???-++=101ln 111ln 111ln ln n k n n n k n n n n n n n n n n n n n y ∑-=?? ? ??+101ln 1n k n k n 是函数 x x f ln )(= 在区间 []2,1 的特殊积分和：区间 []2,1 被分为 n 等分，k ξ 是小区间 ????? ? +++n k n k 11,1 的左端点。函数 x x f ln )(= 在区间 []2,1 可积，因而有：极限
专题利用定积分定义求极限
专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ， 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1 ()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1 lim ((1) )()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。 如()f x 在区间[0,1]上的积分可以表示为1 01 1()lim ()n n i i f x dx f n n →∞==∑?——i ξ取每个小区间的右端点，或者1 01 11()lim ()n n i i f x dx f n n →∞=-=∑?——i ξ取每个小区间的左端点。 举例：求3 41lim n n i i n →∞=∑ 分析：函数3()f x x =在区间[0,1]上的定积分的定义可以表示为133011lim ()n n i i x dx n n →∞==?∑?（这里i ξ取
定义法求解定积分
万方数据
万方数据
定义法求解定积分 作者：陈莉敏 作者单位：常州工程职业技术学院基础部 刊名： 科技信息（学术版） 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2007(33) 参考文献(2条) 1.盛祥耀高等数学 2003 2.陈传璋数学分析 1983 本文读者也读过(9条) 1.胡汉涛有关周期函数定积分问题的几点探讨[期刊论文]-塔里木农垦大学学报2003,15(3) 2.陈思源.孙爱民.CHEN Si-yuan.SUN Ai-min定积分中两个常见公式的推广与应用[期刊论文]-宜春学院学报2006,28(6) 3.徐志军一类特殊定积分的求法[期刊论文]-川北教育学院学报2001,11(1) 4.周雅丽用微分算子级数法计算三类定积分[期刊论文]-黎明职业大学学报2004(3) 5.刘文娟.吕效国.钱峰.LIU Wen-juan.Lü Xiao-guo.QIAN Feng用Excel计算定积分[期刊论文]-高师理科学刊2007,27(6) 6.张娅莉.杨萌.ZHANG Ya-li.YANG Meng定积分与和式函数极限的求解[期刊论文]-信阳农业高等专科学校学报2006,16(2) 7.陈小蕾利用定积分定义求解极限问题小议[期刊论文]-高等数学研究2008,11(6) 8.胡娟.李冬.Hu Juan.Li Dong残数在定积分中的应用[期刊论文]-科技信息2008(31) 9.基于人工鱼群算法求任意函数的数值积分[期刊论文]-数学的实践与认识2009,39(19) 本文链接：https://www.360docs.net/doc/4d12976535.html,/Periodical_kjxx-xsb200733061.aspx
定积分是确定的和式的极限
第七章 重积分 ∑? =→=n i i i b a x f x x f 1 )(lim d )(?ξλ 现在把这种和式的极限概念推广到定义在平面或空间区域的多元函数，便得到二重或三重积分。 §1二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1、 曲顶柱体的体积 设有一立体，它是以xOy 面上的闭区域D 为底，以D 的边界曲线为准线，母线平行z 轴的柱面为侧面，以曲面),(y x f z =（0),(≥y x f ，) ,(y x f 连续）为顶，这种立体叫做曲顶柱体。 2、 平面薄片的质量 设有一平面薄片在xOy 面上的区域D ，D 上任一点),(y x 的面密度为 ),(y x ρ，设),(y x ρ在D 上连续，求薄片的质量 二重积分的定义：∑??=→=n i i i i D f y x f 1 ),(lim d ),(σ?ηξσλ 二重积分的存在性： 设),(y x f 在闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上的二重积分一定存在。 在??D y x f σd ),(中，σd 是i σ?的象征，叫做区域D 的面积元素。在二重 积分存在时对区域的分划是任意的，为了方便起见，采用平行于坐标的直线段分划D ，这样除了靠近边界外，各个消区域都为小矩形， i i i y x ??σ?=，于是y x d d d =σ，所以在直角坐标系下，二重积分的表达
式为(,)D f x y d σ??=y x y x f D d d ),(??。 二、二重积分的性质 二重积分概念是定积分概念的推广，故有类似的性质。 性质1：线性性质 ????=D D y x f k y x kf σσd ),(d ),( ??????±=±D D D y x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d )],(),([ 性质2：对区域可加性 设21D D D +=，1D 与2D 只有公共边界， 则y x y x f y x y x f y x y x f D D D d d ),(d d ),(d d ),(2 1 ??????+= 性质3：规范性 若1),(=y x f ，D y x ∈),(，则σσ=??D y x f d ),(（D 的面积） 性质4：单调性 设),(),(y x g y x f ≤，D y x ∈),(，则??D y x f σd ),(??≤D y x g σd ),( 特别地，由|),(|),(|),(|y x f y x f y x f ≤≤ - 则有|d ),(|??D y x f σ??≤D y x f σd |),(| 性质5：估值定理 设M 、m 分别是),(y x f 在D 上的最大和最小值，σ为D 的面积，则有 σσσM y x f m D ≤≤??d ),(