定积分在求极限中的应用
利用定积分定义求和式极限问题的探讨
．
上 式 的 和 是 函 数 Ｆ （ｘ，ｙ）＝５ｘ 一１８×２ｙ ＋５ｙ４在 Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）
＝ 击 ．
酬 ＝击 ＋ ＝
。 ＝ ｌ０≤×≤１，０≤ｙ≤１｝上 的一个 积分 和 。该题 在 求解 过程 中将 Ｄ：
｛（ｘ，ｙ）＝１０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝进 行等 分 成 个 ｎ 小 区域 ，按 照 划
＋
这里取ｆ（ｘ）＝ ，区间为［ａ，ｂ】，极限转化为击
Ｊ ｘ ｄ×。若取 分—— 求 和 —— 取 极 限 的 方 法 来进 行 分 析 ，且 已知 函 数 Ｆ（ｘ）
＝ ５ｘ 一侣 ×２ｙ ＋５ｙ 在 整个 闭区域上 是连续 的 ，故二 重积分 存在 ，可
ｆ（ｘ）＝［ａ＋（ｂ—ａ）ｘ】。，区间为［０，１】，极限转化为Ｊ。［ａ＋（ｂ—ａ）×］Ｄｄ×。后 以利用 二重积 分来计 算该极 限和 。
ｆ ｓｉｎ ｓｉｎ
１
椭 【 ０ 叶哥
有些特殊 的和 的极 限可 以利用二重 积分 的定义 求解。
例４ 计算 。。 ∑ ∑（５ｍ 一１８ｍ 。＋５ｋ ）。
ｎ ｍ 。 。
解 ： 。。 ∑ ∑ （５ｍ 一１８ｍ２ｋ２＋５ｋ ）： ∑ ∑
［５ 例２ 求极限 ｓｉｎ ’ ∑［ｎａ＋ｉ（ｂ—ａ）］ （ｐ＞ｏ。ａ＜ｂ）
的 空间 ，让他 们 用手 中的立体 图形和 平面 图形 自由结合 创造 出一 些模 型 、图案 ，然后 让代 表在讲 台前展 示并给 自己的模型 作简 短 的 介绍 ，就这 样把本 节课推 入 了高潮 。
不管是 怎样 的教学模 式 ，本着 “在 活动 中体验 ，在活动 中感 悟 、 在感悟 中成 长”的理 念 ，努 力地 创设 问题 情境 ，使 内容 活动 化 ，活动 内容化 ，使我 们的教学设计 真正 是学生活动 的设计 。让学生在 民主 和谐 的环境 中学 习 ，在激 烈竞争 的环境 中探 索 ，给学 生一 个 自由翱 翔的空 间和发 挥的舞 台，让 学生充分 体验到投 入实践 和探索 的成就 感。让学生没有 理由不爱上数 学 ！带着一种欣 赏的眼光去聆 听学生 们的话语 ，使 你不能不 为孩 子丰富的想象 力 、大胆的创造 力而惊叹 ！
利用定积分求极限的注记
利用定积分求极限的注记
定积分求极限是一种非常有用的数学技术，可以帮助我们轻松解决一些计算机问题。
这种方法可以帮助我们计算函数极限，使得构建计算机模型更加容易，用数学描述更复杂的系统。
1. 什么是定积分求极限？
定积分求极限是一种使用定积分来解决极限问题的技术。
它是一种求解函数极限的方法，通常用来计算函数在某一无穷值的极限值的量。
2. 定积分求极限的步骤
(1) 先选定一个数值模型，确定积分上界和下界；
(2) 绘制函数的图形，得出定积分的基本步骤；
(3) 用积分法计算函数的极限值；
(4) 最后检验计算的极限值是否与实际的极限值符合。
3. 定积分求极限的应用
(1) 计算不可导函数的极限；
(2) 计算计算机系统中复杂的极限；
(3) 在数值计算机中用来近似计算难以求解的极限；
(4) 用于统计学中的样本的检验程序中。
4. 定积分求极限的优势
(1) 可以有效地计算出函数极限；
(2) 基于此方法可以有效地计算出函数在极限值处的近似值；
(3) 算法简单快捷，有助于提高计算机模型的性能；
(4) 具有很好的可视化特性，方便直观地展示函数极限结果。
5. 定积分求极限的缺点
(1) 计算过程比较复杂，不容易掌握；
(2) 犯错的可能性较大，数值计算的准确性不高；
(3) 需要较多的编程知识，数学能力，编程能力才能避免计算错误；
(4) 在求解很大的函数极限时，定积分的效率比较低。
定积分的定义在求无穷和式极限中的应用
度、操作技能的掌握程度、收集整理资料的能力以及观察 问题和分析解决问题的能力等，充分发挥学生的主观能动 性。 ３ 实施方案
（１）根据素质教育要求和教育部“关于进一步深化本 科教学改革全面提高教学质量的若干意见”，结合专业实 际在充分调研的基础上调整好食品质量与安全专业实践教 学体系。
（２）以学科与课程组为单位，编写实验教学大纲和实 习实践教学大纲，在修订实验大纲以及实验教材时，增加 综合性、设计性实验比重，并把学科发展的新成果充实到 教学内容中去。
（６）对已建立协议的教学实习基地要不断加强联系与 交流，建立牢固的长期合作关系，每学年邀请基地领导来 我院共同研究实习基地建设问题，并做好年度实习基地建 设工作总结。继续考察、遴选新的实习基地，加快建立满 足新专业要求的实习基地。
（７）积极开展第二课堂活动，推进导师制，言传身教 使学生在参加科技实践创新活动中，提高实践能力及创新 能力。
在高等数学的教学中，介绍了很多求函数极限的方
法。但是当我们遇到极限为“无穷多个无穷小之和”的形
式（以下简称无穷和式），就不能用这些常规的方法了。
通常是先求出无穷数列前ｎ项的和，再求和式的极限。但当
数列的前ｎ项的和不易求出时，我们就可以考虑用定积分的
定义来求它的极限了。
学过定积分的定义，我们知道定积分是积分和的极
参考文献： ［１］ 常 庚 哲 等 ．数 学 分 析 教 程 （上 ）［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版
社，２００３：３００～３３１． ［２］ 吉米多维奇．数学分析习题集题解（六）［Ｍ］．济南：山东科学技术
出版社，２００２：１０３～１４８． ［３］ 上海财经大学应用数学系．高等数学［Ｍ］．上海：上海财经大学出
（３）出台相应的激励政策，鼓励教师参与实践教学的 改革，并通过实践教学活动和科研有机结合起来，产学研 相长，不断提高实践教学水平。
用极限算定积分的例子
用极限算定积分的例子
，
极限算定积分是近代数学的核心内容之一，它涉及到对定积分的不可积性的检
测和微积分的本质应用。
滴久洛夫使用极限技术证明了定积分未定义方程式和不可积分函数的存在及其变换关系。
极限算定积分主要是指在极限内用极限进行积分计算。
当函数中出现极限极值时，积分结果就不能得到计算，这种情况就需要使用极限算定积分。
极限算定积分有着广泛的应用，尤其是在互联网方面，有许多应用场景都需要
使用极限算定积分去解决问题。
例如，在处理电子商务网站的购物车时，极限算定积分可以有效的优化性能，并减少数据的冗余。
当用户离开购物车时，系统通过使用极限算定积分去识别出有效的信息，然后把它们添加到新的购物车中，这样可以节省大量的存储空间，并使系统运行更加高效。
此外，极限算定积分还被用于互联网推广方面，比如一些基于搜索引擎优化（SEO）的核心算法。
在SEO算法中，数据要求非常复杂，尤其是对大型网站，需
要通过极限算定积分来实现计算，以便让网站的内容和关键词更加吻合搜索引擎的要求，从而更好的推广网站。
以上就是极限算定积分在互联网方面的应用，比如网络商务、搜索引擎优化等，都可以使用极限算定积分来实现对功能优化和精确计算，让互联网应用变得更加灵活、高效、具有竞争力。
定积分定义求数列极限公式
定积分定义求数列极限公式
极限定义是数学中一个重要的概念，它是指当一个变量的值趋近于某一特定值时，函数的值也趋近于某一特定值。
极限定义可以用来求解数列的极限公式。
首先，我们需要确定数列的积分定义。
积分定义是指一个数列的极限公式，它可以用来描述数列的极限行为。
积分定义的一般形式为：
lim n→∞ an = ∑n=1∞ an
其中，an是数列中的第n项，∑n=1∞ an表示从n=1到无穷大的累加和。
接下来，我们可以使用积分定义来求解数列的极限公式。
首先，我们需要将积分定义中的累加和分解为有限项和无限项，即：
lim n→∞ an = ∑n=1N an + ∑n=N+1∞ an
其中，N是一个有限的正整数，∑n=1N an表示从n=1到N的累加和，∑n=N+1∞ an表示从n=N+1到无穷大的累加和。
接下来，我们可以使用数学归纳法来求解数列的极限公式。
首先，我们假设数列的前N项的和为Sn，即：
Sn = ∑n=1N an
然后，我们可以将Sn代入积分定义中，得到：
lim n→∞ an =Sn + ∑n=N+1∞ an
最后，我们可以将Sn和∑n=N+1∞ an分别求和，得到数列的极限公式：
lim n→∞ an = ∑n=1∞ an
以上就是使用积分定义求数列极限公式的过程。
积分定义是一个重要的概念，它可以用来求解数列的极限公式，从而帮助我们更好地理解数学中的概念。
定积分求极限的公式
定积分求极限的公式
定积分求极限的公式是：
1. 当n趋近于无穷大时，n个等差数列的和的极限等于等差数列的首项乘以n再除以2，即：
lim(n->∞) n/2 (a1 + an) = n a1/2
2. 当n趋近于无穷大时，n个等比数列的和的极限等于等比数列的首项乘以等比数列的公比，即：
lim(n->∞) a1/(1-q) (1-q^n) = a1/1-q
3. 当n趋近于无穷大时，n个几何数列的和的极限等于几何数列的首项乘以几何数列的公比再除以几何数列的公比减1，即：
lim(n->∞) a1/(1-r) (1-r^n) = a1/(1-r)
4. 当n趋近于无穷大时，n个调和级数的和的极限等于调和级数的首项乘以调和级数的公比再除以调和级数的公比减1，即：
lim(n->∞) 1/(1-q) (q^n - 1) = 1/(1-q)。
8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体积,不等式)
y
o
x
4.设 y ax与 y x 2 围成图形的面积为s1 , 它们与x 1 围成图形的面积为s2 , 且 0 a 1 (1) 求 a , 使 s1 s2 最小
(2) 求此最小值对应的平面 图形绕 x 轴旋转而得的旋转 体体积. 解 (1) 0 a 1 时, s s1 s2
例
x sin( xt ) f ( x) . lim 2 ，其中 f ( x) 2 dt x x 0 x t
例 : 设f ( x )连续, 且f ( 0 ) 0
求 lim
x0
x
0
( x t ) f (t )dt
x 0
x f ( x t )dt
1 ( ) 2
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
o
x
1 3 1 2 （ ） (1 y 2 y) dy ( y y y ) . 1 S 0 3 3 0 2 2 1 2 2 （2） V ( x) dx ( x 1) dx 0 1 6 2
1 2
1
(3)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
例
.设f ( x)为奇函数，且当 0时，f ( x) 0 x
sin( xt ) f ( x) 0, 其中 f ( x) 2 dt，令 x t
x
F ( x) f ( xt)dt tf (t 2 x 2 )dt,
1 0
1
x
判别F (x)在 ， 上的凹凸性
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。
中公考研培训之如何利用定积分定义求极限
浅析如何利用定积分定义求极限1、定积分的定义设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 内任意插入1n -个分点，0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，这样[],a b 就被分为了n 个小区间，[]1,,(1,2,...,)i i x x i n -=用1i i i x x x -=- 表示各区间的长度，再在每个区间上取一1,i i i i x x ζζ-≤≤作如下和式1()n i i i f x ζ=∑ 令{}max i x λ= ，如果极限01lim ()n i i i f x λζ→=∑ 存在且与[],a b 的划分及i ζ的选取无关，则称()f x 在区间[],a b 上可积，该极限称之为()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()ba f x dx ⎰。
即：01lim ()()n bi i a i f x f x dx λζ→==∑⎰ 其中()f x 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，,a b 分别称为积分下限和积分上限。
注：1）几何意义：()ba f x dx ⎰在几何上表示为由曲线()y f x =，直线,x a xb ==及x 轴围成的曲边梯形面积的代数和。
2）定积分定义的思想方法称之为“微元法”，它是我们用定积分计算几何及物理量的积分思路，其步骤可以总结为：分割、近似、求和、取极限。
3）定积分的本质是极限。
4）常用的定积分可以用牛顿——莱布尼兹公式很容易求到，这样用定积分定义求极限就成为求极限的一种重要方法。
2、定积分定义求极限的“特化”当定积分存在时，一般化的定积分定义形式复杂，不易求得极限，此时区间及i ζ的选取将决定极限的形式是否容易求。
[],a b 的划分特化：当在[]0,1，把[]0,1分成n 等份，[]11,,i i i i x x n n --⎡⎤=⎢⎣⎦，得到n 个长度都为1n，此时无需引入参数λ，只需n →∞即可表示每个小区间足够小。
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. 1 / 16'. 定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,
也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“”型极限的.
泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义:
定积分:设函数()fx在闭区间,ab上有定义,在闭区间,ab内任意插入n-1个分点将
,ab分成n个区间[,]xiixx,记(1,2,,iiixxxinL）,1[,]iixx,作乘积()iifx(称
为积分元),把这些乘积相加得到和式1()niiifx(称为积分形式)设max:1ixin,若01lim()niiifx极限存在唯一且该极限值与区是,ab的分法
及分点i的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()fx在,ab上的定积分,记作b a ()fxdx,即01()lim()nbaiiifxdxfx.否则称()fx在,ab上不可积.
注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.
注2:若()bafxdx存在,区间,ab进行特殊分割,分点i进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理. 2 / 16'. 解. 注3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用
什么字母表示无关,即()()().bbbaaafxdxftdtfudu 仔细观察定积分的定义,我们一定会发现定积分的极限有以下两个特征.第一,定积分是无穷项和式的极限,容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零,否则和式极限不存在.第二,定积分与某一连续函数有紧密的关系,它的一般项受到这一连续函数的约束,它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割,各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累加. 对于极限,大学主要学习了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的自然数的相关极限,而函数的极限则主要用于解决连续函数的相关极限.那么就让我们先一一来回忆它们吧！ 1.3极限的概念 数列的极限
设na为数列, a为实数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当nN时有
||naa, 则称数列na收敛于a,实数a称为数列na的极限,并记作limnnaa或()naan.
(读作:当n趋于无穷大时, na的极限等于a或na趋于a).由于n限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n写成n,即limnnaa或()naan. 若数列na没有极限,则称na不收敛,或称na为发散数列. 注1:关于:①的任意性.定义１中的正数的作用在于衡量数列通项na与常数a的接近程度,越小,表示接近得越好;而正数可以任意小,说明na与常数a可以接近到任何程度;②的暂时固定性.尽管有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出Ｎ;③的多值性.既是任意小的正数,那么2,3,2等等,同样也是任意小的正数,因此定义１中的不等式||naa中的可用2,3,2等来代替.从而“||naa”可用“||naa”代替;④正由于是任意小的正数,我们可以限定小于一个确定的正数. 注2:关于N:①相应性,一般地, N随的变小而变大,因此常把N定义作()N来强调, N是依赖于的;一经给定,就可以找到一个N;②N多值性N的相应性并不意味. 3 / 16'. 着N是由唯一确定的,因为对给定的,若100N时能使得当nN时,有||naa,则101N或更大的数时此不等式自然成立.所以N不是唯一的.事实上,在许多场合下,最重要的是N的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在实际使用中的N也不必限于自然数,只要N是正数即可;而且把“nN”改为“nN”也无妨. 函数的极限
设函数()fx在点0x的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正
数(不论它有多么小),总存在某正数,使得当x满足不等式00xx时,对应的函数值()fx都满足不等式()fxA,那么常数A就叫做函数()fx当0xx时的极限,记为00lim()()()xxfxAfxAxx或当. 可以看出，数列极限与函数极限定义的思想是一致的,都是相应的某个表达上的值无限地接近某个常数值.不同的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是连续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与相应的常数值以任意程度地接近. 2、定积分与极限 2.1定积分在求极限中应用概述 不难看出,无论是数列的极限还是函数的极限,它们都与定积分的定义存在着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥秘吧.
事实上,定积分的定义中蕴含着一列数｛()iifx｝的和,并且只要ix充分地小,和式
1()niiifx就可以任意地接近确定的实数J=()bafxdx,这正是极限思想的存在,即
1lim()J()nbiianifxfxdx.这就为我们求极限提供了一种独特而有力的方法——利
用定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们运用之解决众多类型的和式极限. 2.2定积分求极限中应用思想的形成 先让我们看一个简单的例子:
例1.求极限111lim()122nJnnn….
分析:此极限式的求解,不容易直接用极限的定义解决,因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限结果已经比较明显的问题,因此这里不适合;重要极限的结论显然也在这里没有用武之地,因为形式上根本不同;再考虑洛必达法则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不可能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决连. 4 / 16'. 续函数的极限问题,通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式,以简化形式从而求解,看来这里也不适用.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否定的,事实上,它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的,那么就让我们尝试用定积分的办法来解决这个问题吧！ 解:把此极限式转化为某个积分形式,从而计算定积分.为此做如下变形:
111lim1nniJinn.
不难看出,其中的和式是函数1()1fxx在区间0,1上的一个积分和(这里取得是等量分割,11,[,],1,2,iiiiixinnnnn…).所以, J=11001ln(1=ln21dxxx）. 从该例题的解法中可以看出,本题的关键是将极限和转化为积分和,从而利用了定积分将所求极限迎刃而解.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般方法步骤:
Sept1将和式极限1lim()nnigi经过变形,使其成为积分形式1lim()niinifx.这里常
取11,[,],1,2,iiiiixinnnnn…; Sept2确定积分函数的上下限.
a=lim(ini取第一个值）lim(inbi取最后一个值）; Sept3用x代换i,写出定积分表达式()bafxdx,并求出原极限的值.
通过以上的一般方法步骤,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.现在让我们再来看一个例子,并从中仔细体会以上方法步骤. 例2.求极限222222111lim(12nnnnnn…+）.
解:Sept1 化和式极限为积分形式.
原极限=22211111limlim1(nnnniiininn）.
显然,这里1,(iiixnn即是进行N等分）,被积函数可看成21fx,1,2,.1+inx… Sept2 确定积分函数上下限. 1alim0(,1),lim0(,).iinniniibinnnn取取n