8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体积,不等式)

(考研98 )
2. 积分中值定理
则至少存在一点
使
b
a f
( x) dx
f
( )(b a)
证明下列各题
(1).设f (x)在1,3上连续，在 1,3上可导,
且f (1) 3 x2 f (x)dx。证明 1,3，使 2 2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f (x)在2,4上可导,且
0
例.
1
0 f ( x )dx 0 f ( x )dx,
1
提 示 ： 去 证 明
0
f ( x )dx
0
f ( x )dx ,
1
x
即证 0
f ( x )dx 递减
x
定积分的应用
2.极坐标系
例 : 在摆线x at sin t , y a1 cos t 上
求分摆线第一拱成1 : 3的点的坐标
例:
例: .设有曲线 y x 1，过原点作其切线，
（1）求由该切线与 x轴围成的平面 图形的面积 S;
（2）求该平面图形绕 x 轴旋转而得的旋转体的 体积V；
解 : 设切点为(x0, y0 ) (x0 , x0 1)，
过原点的切线方程为：
y
y 1 x
2 x0 1
将(x0, x0 1)代入得：
例 设f ( x )是连续函数，f (1) 1
若 对的a ,b有 ab f ( t )dt与a无 关,求f ( x ) a
例.
例.
例 .设f ( x )在0,1上连续，在0,1上可导
且f ( 0 ) 0, 0 f ( x ) 1
求
证
:
1 0
f(
x
)dx
2
1 f 3( x )dx
x
1 2
sin
x
0 x
0 x 0或x
求( x)
x
0
f
(t )dt 在 , 上的表示式
例 .设f (x)为奇函数，且当 x 0时，f (x) 0
f (x) 0,其中f (x) x sin(xt) dt，令
x2
t
F (x) 1 f (xt)dt x tf (t 2 x2 )dt,
x0
2，y0
ห้องสมุดไป่ตู้
1
y
1 2
x
o
x
（1）S
1
(1
y2
2y) dy
(y 1
y3
1
y2)
1.
0
3
03
（2） V
2
( 1 x) 2
dx
2
(
x 1)2 dx
0
2
1
6
(3)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
y
o
x
4.设 y ax与 y x2 围成图形的面积为s1,它们与x 1
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d
t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
例. 求
0 0
例. 确定常数 a , b , c 的值, 使
例.
1
例.
t ln tdt
lim
x0
cosx
2
2
s( 1 ) 2 0, 2
故s( 1 ) 2 2 为0 a 1时的最小值.
2
6
(2) Vx
2 1
30
其它积分问题
例．设
S(
x
)
x
0
cos t
dt ，
（1）当 n 为正整数，且 n x ( n 1)时，
证明：2n S( x ) 2( n 1)；
（2）求lim S( x ) . x x
x(arctan
x
)3
例.
x (et2 1 t 2 )2 dt
lim 0
x0 t(arctan t)4
例
.lim f (x) ，其中f (x)
x sin(xt) dt
x0 x2
x2
t
例 : 设f ( x )连续,且f ( 0 ) 0
x
(x t) f (t)dt
求 lim x0
0
x
x
f (x t)dt
围成图形的面积为s2,且0 a 1 (1) 求 a ,使 s1 s2 最小
(2体)求体此积最. 小值对应的平面图形绕yx轴旋转而得的旋转
解 (1) 0 a 1时, s s1 s2
a (ax x2 )dx 1(x2 ax)dx
0
a
s2
a3 a 1
s1
3 23
o
1
x
由s a2 1 0 得, a 1
围 成 图 形 的 面 积.
3a2 8
例: 求下列曲线所围成图形的 公共部分的面积
1 r 3cos 及r 1 cos
2 r 2sin及r 2 cos 2
6
1 2
3
例. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A
1a2 2
2
1 a2 (1 cos )2 d
f (2) 4 (x 1)2 f (x)dx。 3
证明 2,4，使2 f ( ) (1 ) f ( )
(3)
3.变上限积分问题
x
(x) a f (t) d t
x
(x) (a f (t) d t) f (x)
(被积函数中不含自变量x)
变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
若 对的a ,b有 ab f ( t )dt与a无 关,求f ( x ) a
例.设F ( x ) e x2 sint sin tdt ,则F ( x ) x
( A ).为 正 数
( B ).为 负 数
( C ).恒 为 零
( D ).不 是 常 数
( F ( x ) e x2 sint sin tdt F ( 0 ) F ( x )为 常 数 x
面积问题
例 : 求抛物 线y x2 4x 3及
其 在 点0 ,3和3,0处 的 切 线 所
围成的图形的面积
例 : 求下列曲线围成的图形的面积
1.摆 线x at sin t , y a1 cos t 0 t 2与x轴 围 成 图 形 的 面 积
2.星形线x a cos3 t , y a sin3 t
2
1 2
(1
cos
2
)
1 a2 a2 (3 2cos 1 cos 2 )d
2
2
2y
1 a2 a2 (3 2)
2
4
o
a 2a x
例:
4 r asin及r asin cos
旋转体的体积问题
例:
(1)
(2)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
(3)绕直线 y 2旋转所得旋转体的体积. (4)绕直线 y 2旋转所得旋转体的体积.
2
例：求lim x0
1 x3
0（x sitnt－1）d t .
（x 1－cos t 2）dt.
例：求 lim 0
x 0＋
x2 x
（1） 10
例 : 设f ( x )连续,且f ( 0 ) 0
x
(x t) f (t)dt
求 lim x0
0
x
x
f (x t)dt
0
(1) 2
例 设f ( x )是连续函数，f (1) 1
F ( 0 ) e 2 sint sin tdt 2 e sin t d cos t
0
0
e 2 sin t cos2 tdt 0 ) 0
例：f(x)在－a,a上连续，a 0。
求
a
－a
x
f(x)＋f(－x)
dx.
例:
求
2 0
x sin 2x2 1 sin2 x2
dx
例:
已知f
1
0
判别F(x)在 ， 上的凹凸性
提示：1 f (xt)dt 1 x f (u)du 0， 向上凸
1
x x
定积分概念等问题
b
n
a
f
( x) dx
lim
0 i1
f
(i ) xi
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x) dx a f (t) d t a f (u) d u
1. 用定积分求下述极限 :
(5)
lim 1p
n
2p n p1
np
0
(1) 2
例.
例 设隐函数y y( x )由
x3 y2 et2 dt y 0确定, 求y( x ) 0
例
设f ( x )是 以T为 周 期 的 连 续 函 数 ， 证明 ：
对的x有
xT
T
f ( t )dt f ( t )dt
x
0
例 设f ( x )是 a,a内的连续函数，
证 明 若f ( x )为 奇 （ 偶 ） 函 数,则 x f ( t )dt 0 偶（奇）函数