利用定积分定义求和式极限的方法初探
XX年考研资料数学：利用定积分的定义求极限.doc
2018考研数学：利用定积分的定义求极限对于多项求和再取极限的题目初次接触往往会觉得无从下手，考试中高度紧张的情况下甚至会选择直接放弃。
像下面这样，多项的乘积求和的形式统称为“积和式”.在学过定积分的定义后，会发现积和式的形式与定积分“分割、近似、求和、取极限”类似，当遇到积和式求极限的题目，自然想到能不能将其转化为求函数的定积分来简化计算。
由以上例子可知，利用定积分的定义来计算“积和式”的极限，大大减少了计算量，从而有效节省了解题时间.这类题目不仅考查数列极限的知识点，而且考查了定积分的定义，因此，在历年考试中受到出题人的“青睐”，在复习过程中应该特别引起重视，相信会得到很好的复习效果，对大家的复习大有帮助!赠送以下资料数学解题方法与技巧全汇总，考试就能派上用场！很多同学总是特别头疼数学成绩，要知道数学题只要掌握了方法，就能够迅速提升。
距离高考还有99天，小编特地为大家整理了一份高中数学老师都推荐的数学解题方法，这里面的21种方法涵盖了高中数学的方方面面，可以说是高中数学解题方法大综合，各位同学一定要记得收藏哦！解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
定积分的计算方法与技巧解析
出定积分的值。
2.5 利用被积函数的性质及积分区间的特点求解定积分
在求解定积分时，有时候被积函数具有奇偶性和周期性，
而积分区间也比较特殊，这时可利用性质求解[1-2]：
（1）若函数 在区间
上连续且为奇函数，
则
；
（2）若函数 则：
在区间
上连续且为偶函数，
①
；②
（3）若 在上 可积，且是周期为 的周期函数， 为 任意实数，则有[3]：
定积分的换元法主要针对当被积函数中含有
等因子时，可
令
消去根号，或通过作三角代换消去根号，再进行求解，值得注意的是换元必
相应改变定积分的上下限。
例3 求
。
解令
，则
。当
时， ；当
时， 。
例4 解令
。 ，则
。当
时，
；当 时， 。
2.4 利用分部积分法 分部积分法主要用于求解当被积函数是两类函数的乘积的形式的定积分，分部积分法 的关键是要正确选择 和 。分部积分法在解题过程中可以多次使用，但应注意在多次 使用分部积分法时要“从一而终”，即若第一次选取指数函数作为 ，那么后面再次使用③
， 为自然数；④正弦函
数在周期区间上的积分值为0，余弦函数在半周期区间上的积分 值为0。
定积分数学概念和其应用于探求无穷和式极限的研究分析
定积分数学概念和其应用于探求无穷和式极限的研究分析【摘要】目前我国的理工类院校，基本都开设了高等数学学科，而极限作为重要的数学学科重要基础内容之一，其中无穷和式极限计算研究具有非常高的价值，而且应用范围十分广泛，但是也成为了高等数学中的学习难点。
为了正确分析无穷和式极限计算方法，使用了定积分计算法则进行演示，希望为无穷和式极限研究者提供思路。
【关键词】定积分；无穷和式极限；连续函数在进行高等数学的学习过程中，有多种函数极限求值方法，但是如果计算“无穷个无穷小数之和”时，往往无法使用常规计算方法。
正常解题方法，主要先解出前n项无穷数列综合，之后在进行合适极限求解，但是在前n项和无法求出时，就需要使用定积分数学概念进行解析，求出其极限值。
1.定积分概念与分析定积分的概念主要为：预设函数f（x）在规定区间[a，b]上有界和定义，随机取一组分点b=xn>...x2>x1>x0=a，而且需要将[a，b]区间分为数量为n的区间[a，b]=U■■x■，x■，i小区具体长度为△xi=xi-xi-1，（i=1，2，，，，n）.在不同小区的[xi-1，x1]上随机取点ζ1，（i=1，2，，，，n），根据点得出和式∑■■f（ζ■）△x■，该和式可以作为f（x）在区间[a，b]上的积分总和，将其记作‖△x‖=max1<i<n△x1.在‖△x‖→0的情况下，积分和存在极限并且结果相同，可以称函数f（x）与[a，b]区间可积，并且可以称该极限为[a，b]区间上的f（x）函数定积分，可以记作■f（x）dx，以此推导出■f（x）dx=lim■∑■■f（ζ■）△x■。
根据定积分定义可以分为两层含义：其一是f（x）在区间[a，b]上可积，前期是f（x）在区间[a，b]上有界，而且∑■■f（ζ■）△x■与‖△x‖→0必须存在极限，但是f（x）并不需要在区间[a，b]上连续，由此可以证明，如果f（x）与积分区间存在有限或连续的第一类断点，那么就可以证明f（x）在区间[a，b]上是必然可积的。
定积分的定义在求无穷和式极限中的应用
［Ｊ］．河南教育学院学报（自然科学版），２００８，１７（１）：６０～６２． ［２］ 朱正伟，刘东燕，何 敏．进一步加强高校实践教学环节的思考
［Ｊ］．高等理科教育，２００８（２）：７４～７６． ［３］ 励建荣，邓少平，顾振宇等．我国食品质量与安全专业人才教育
。
通过上述四个例题的分析，我们知道数列的ｎ项之和的
分析：此题所研究的和式为ｎ项和的形式，却不易求出 极限可以通过定积分的定义来计算。下面举例说明含有三
该数列的前ｎ项和，所以不能像例１那样先求和再求极限， 角函数数列的ｎ项之和的极限的求法。
而应该用定积分的定义来求。如能找到函数ｆ（ｘ）和区间
例５：求极限
要改变从过去考核实验和实习报告为主的传统考评方法向将来的考核放在学生在实践教学过程中所表现出来的主动性与创新性的综合能?为主的考评方法过渡即对学生的考核包括实验报告和实践总结的撰写水平实验?论的书面考核实践过程的态度操作技能的掌握程度收集整?资?的能?以及观察问题和分析解决问题的能?等充分发挥学生的主观能动性
度、操作技能的掌握程度、收集整理资料的能力以及观察 问题和分析解决问题的能力等，充分发挥学生的主观能动 性。 ３ 实施方案
（１）根据素质教育要求和教育部“关于进一步深化本 科教学改革全面提高教学质量的若干意见”，结合专业实 际在充分调研的基础上调整好食品质量与安全专业实践教 学体系。
（２）以学科与课程组为单位，编写实验教学大纲和实 习实践教学大纲，在修订实验大纲以及实验教材时，增加 综合性、设计性实验比重，并把学科发展的新成果充实到 教学内容中去。
模式的思考与实践［Ｊ］．中国食品学报，２００４，（４）：１０９～１１２．
浅谈用定积分的定义解决极限问题
浅谈用定积分的定义解决极限问题王涛（周恩来政府管理学院 政治学与行政学 0612723）摘 要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。
我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。
有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。
本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。
关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。
微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。
我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。
而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。
然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。
下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。
我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。
但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。
用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。
要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。
定积分的定义：设函数y =)(x f 定义在区间[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入分点：a =n n x x x x ＜＜＜＜110-⋯=b ,令i x ∆=1--i i x x ，又任取[∈i ξi i x x ,1-], i =1,2,…n .作和式i ni i n x f I ∆∑==)(1ξ，令{}i ni x x ∆=∆≤≤m a x 1，如果当0→∆i x 时，和式n I 的极限存在，且此极限与[]b a ,的分法及i ξ的取法无关，则称函数)(x f 在[]b a ,上是可积的，并称该极限值为)(x f 在[]b a ,上的定积分，记作⎰b adx x f )(，即i ni i b ax x f dx x f ∆=∑⎰=→∆)()(10lim ξ.其中函数)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[]b a ,称为积分区间。
(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)
专题1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：① 是n →∞时的极限② 极限运算中含有连加符号1n i =∑在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为b a n-（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n--++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n-+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i ii f x ξ=∆∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。
（取左端点时1lim((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑⎰）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n→∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n nλ→=--+=∑⎰。
最新和式极限的几种求法 毕业论文名师资料汇编
和式极限的几种求法摘要 和式极限是分析学的基础和重要工具，也是高等数学教学中一个难点.本文着重介绍了利用数列部分和公式求和式极限，利用定积分定义求和式极限，利用幂级数的展开式求和式极限，利用数项级数收敛性等几种求和式极限的方法.关键词 和式极限 数列 积分 无穷级数 1 引言极限是数学分析中非常重要的概念，极限思想始终对于解决分析学中的许多问题起着非常关键的作用，而且和式极限是极限论中的重难点问题.对于如何计算无限多项和式的极限问题，虽然在很多数学教材里均有所涉及，但是少有专题研究它的求法.当我们遇到极限为“无穷多个无穷小之和”的形式(简称无穷和式),就不能用这些常规的方法了.通常是先求出无穷数列前项n 的和,再求和式的极限.但当数列的前n 项的和不易求出时,我们就可以考虑用定积分的定义来求它的极限是微分学的灵魂，极限的计算是极限理论的重要内容.本文将详细地归纳出求解和式极限的几种基本方法和运用相关定理求解和式极限的方法. 2 求解和式极限的几种方法一般而言，求解和式极限有求和、夹逼准侧、定积分的定义以及无穷级数展开式求和等方法，以及应用托布利兹（Toeplitz ）定理和施笃兹（Stolz ）定理求解相关问题，下面以例题的形式介绍一下这几种方法的具体应用. 2.1利用求和的方法求和式极限是指使用初等的方法——数列求和、裂项相消等——求出1nkk a=∑的和，然后再求其极限.例1 求极限222333112(1)lim []nn k n nn n →+∞=-++⋅⋅⋅+∑. 解 222333112(1)lim []nn k n n n n →+∞=-++⋅⋅⋅+∑31(1)(21)lim []6n n n n n →+∞--=⋅13=. 例2 求极限111lim[]1223(1)n n n →+∞++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+.解1111,12223=-⋅⋅11,23=-,⋅⋅⋅1(1)n n ⋅+111n n =-+叠加得111223+⋅⋅1(1)n n +⋅⋅⋅+⋅+11n+1=- 所以lim n →+∞11[1223++⋅⋅⋅+⋅⋅1](1)n n ⋅+ lim n →∞=1(1)n+1-1=. 2.2利用夹逼准则求和式极限需要构造两个和式或数列将要求极限的和式夹在中间，并使得两边的极限相等，这时往往使用放缩的方法.例3 求极限n lim →+∞+⋅⋅⋅+.解≤≤且limn lim1n ==所以n lim 1→+∞⋅⋅⋅+=.例4 求极限lim 0)n x ≥.解（1）当01x ≤≤时，01nx ≤≤，20()12nx ≤≤则1≤又lim1n =，所以当01x ≤≤时，1n = （2）当12x <≤时，01x <<，202x x <≤则x ≤，lim n x →+∞=所以当12x <≤时lim n x = （3）当2x >时，2012x <<，202x x <<则22x ≤≤ 又2lim 2n x = 所以当2x >时2lim 2n x =综上所述21,01lim ,12,22n x x x x x ⎧⎪≤≤⎪=<≤⎨⎪⎪>⎩. 2.3利用定积分的定义求解和式极限和式极限是一个基本的数学问题,由于解法的多样性,也是一个难题.讨论一类用定积分定义求和式极限的方法,同时这种方法充分表现了和式极限与积分这两个不同的数学概念之间的紧密联系,也表现出求和式极限的多样性与灵活性.和式极限是一类基本的极限,其一般的方法是先求和,然后取极限.但是,有些和式求和并非易事,而有些和式甚至不能求和,怎么求它的极限呢?我们知道,“和”与“积分”是有紧密联系的,有些和式极限,在满足特定的条件下,可以转化为积分.一般需要将极限化为11lim ()n n k kf n n →∞=∑的形，然后根据定积分的定义将极限转化为积分1()x f x d ⎰计算.例5求lim n →+∞+⋅⋅⋅+.解 设n S=+1n=+⋅⋅⋅+=11n i n =由此可知，n S可看作()f x =在[0,1]上的积分和式1()niii f x ξ=∆∑其中i ξ=,i n i x ∆=1n,(1,2,),i n =⋅⋅⋅于是 原极限1x ==⎰1ln(xln(1=.例6求极限limn 解令n a ==则11ln ln(1)n n k k a n n==+∑有11lim lim ln(1)n n n n k ka n n →+∞→+∞==+∑10ln(1)2ln 21x x d =+=-⎰所以limn2ln 214e e -==.2.4利用幂级数展开式求和式极限讨论由幂级数列0{()}n n a x x -所产生的函数项级数200102000()()()()nn nn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑ (1)它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它是可以看作室多项函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别是在应用它表示函数方面，使我们对它的作用有很多新的了解和认识.下面将着重讨论00x =.即：20120nn n n n a xa a x a x a x ∞==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑（2） 的情形，因为只要把（2）中的x 换成0x x -，就得到（1）.（阿贝尔定理）若幂级数（2）在0x x =≠收敛，则对满足不等式||||x x <的任何x ，幂级数（2）收敛而且绝对收敛；若幂级数（2）在x x =时发散，则对满足不等式||||x x <的任何x ，幂级数（2）发散.在函数的幂级数(特别是麦克劳林)展开式中，选取适当的x 值，即可能转化为通过论数列级数的收敛性求和极限.例7 计算12lim[]2!3!(1)!n n n →+∞++⋅⋅⋅++即计算1lim (1)!nn k kk →+∞=+∑.解 21112!!xn e x x x n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ 2001112!!x x xn x x e d x x x d n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⎰⎰211112!!(1)!n n x x x x n n +=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 1x e =-在上两式中令1x =得111112!3!!e n =++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅01!k k ∞==∑ （3）01111112!3!!(1)!k e n k ∞=-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=+∑ （4）（3）—（4）得001111lim ()!(1)!(1)!n k k k kk k k ∞∞∞→∞====-=++∑∑∑ 所以12lim[]12!3!(1)!n nn →+∞++⋅⋅⋅+=+.例8 求2331313(1)3lim[()()()()]43454214n n n n →+∞--+⨯-⨯+⋅⋅⋅+⨯-，收敛域[.解 令 211(1)3()()214n n n n s x x n ∞-=-=⨯-∑2101(1)3[()]'214n xn n x n x d n ∞-=-=⨯-∑⎰ 220113[(1)()]4xn n x n x d x ∞==-⨯∑⎰ 222013()34xx x d x x -=+⎰x = 取1x =，即得1(1)3(1)()214n nn s n ∞=-=⨯-∑x =. 2.5利用傅里叶级数展开式求和式极限一般地说，若f 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数，则可按公式1()cos ,0,1,2n xa f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰ 1()sin ,0,1,2n xb f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰计算出n a 和n b ，它们称为函数f （关于三角函数系）的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑称为f （关于三角函数系）的傅里叶级数，记作01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=→++∑.这里的记号“→”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数.由公式知道，若01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑得右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数f 的傅里叶级数，即此时01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=→++∑中的“→”号换成等号.然而，若从以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数f 出发，按公式:1()cos ,0,1,2n xa f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰1()sin ,0,1,2n xb f x nxd n πππ-==⋅⋅⋅⎰求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=→++∑，这时还需要讨论此级数是否收敛.如果收敛，是否收敛于f 本身.在函数的傅氏（特别是正、余弦）展开式中在其收敛域内选取适当x 的值，即可转化为通过对数项级数收敛的讨论求和式极限.例9 求211limnn k k→+∞=∑. 解 将()2||f x x =+在[1,1]-展开成余弦级数1002(2)5x a x d =+=⎰102(2)cos()n x a x n x d π=+⎰1cos()x x n x d π=⎰222(cos 1),(0,1,2)n n n ππ-==⋅⋅⋅因为所给函数在[1,1]-上满足狄氏收敛定理 因此()2||f x x =+22152(cos 1)cos()2n n n x n πππ∞=-=+∑22154cos(21)2(21)n k xk ππ∞=+=-+∑ [1,1]x ∈- 令0x =时，则22154cos(21)22(21)n k xk ππ∞=+=-+∑ 所以2201(21)8k k π∞==+∑ 222000111(21)(2)k k k n k k ∞∞∞====++∑∑∑ 2201111(21)4k n k n ∞∞===++∑∑ 故22001413(21)k k nk ∞∞===+∑∑ 2438π=⋅26π=. 例10 计算121(1)lim k nn k k +→+∞=-∑. 解 将2()2f x x =在[,]ππ-展开成余弦级数22002423x a x πππ=⎰d =220282cos (123)nn x a x nx n nππ==⋅⋅⋅⎰d =(-1)，，， 且该余弦级数在[,]ππ-满足狄利克莱充分条件，因此:22128()(1)cos 3n f x nx n π∞==+-∑ [,]x ππ∈-令0x =，则0=22128(1)3n n π∞=+-∑ 所以122111(1)12n n n π∞+=-=∑ 故121(1)lim k nn k k +→∞=-∑2112π=. 另外，2211lim (21)8nn k k π→+∞==-∑，2211lim 6nn k kπ→+∞==∑. 2.6利用数项级数收敛性求和式极限1nn u∞=∑收敛的充分必要条件是lim n n S →∞存在.因此可以通过讨论数项级数的收敛性和式n S的极限.一般地，可以将所给和式扩充为一个级数来讨论，也可以通过讨论某级数的收敛性来求和式的极限.例11 计算2lim (cos cos 2cos )nn q q q n ααα→+∞++⋅⋅⋅+及2lim (sin sin 2sin )n n q q q n ααα→+∞++⋅⋅⋅+(||1)q <.解 首先讨论1nim n qe α∞=⋅∑的收敛性：因为1nim n qeα∞=⋅∑为等比数列，且||||||1i r qe q α==<所以1nim n qe α∞=⋅∑收敛且其和为(cos sin )1(1cos )sin i i qe q i Z qe q iq αααααα+==--- 2222{(1cos )cos sin (1cos )sin qq q q q ααααα=---- [(1cos )sin cos sin ]}i q q αααα+-+222cos sin 12cos 12cos q q q iq q q q αααα-=++-+- 又11(cos sin )nim n n n qeq n i n ααα∞∞==⋅=⋅+∑∑22(cos cos2cos )(sin sin 2sin )n n q q q n i q q q n αααααα=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅22lim (cos cos 2cos )lim(sin sin 2sin )n n n n q q q n i q q q n αααααα→+∞→∞=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+所以222cos lim (cos cos 2cos )12cos nn q q q q q n q q ααααα→+∞-++⋅⋅⋅+=+- 22sin lim (sin sin 2sin )12cos n n q q q q n q q ααααα→+∞++⋅⋅⋅+=+-.2.7利用等价无穷小替换求和式极限定理 若()0F x >0(),lim1,()x F x f x →=则当,,0k n n a →∞→时 ,,11lim ()lim ()n nk n k n n n k k F a f a →∞→∞===∑∑.例12 求)n n →∞.解因为n1)1)1)=++⋅⋅⋅+11)nk==∑令1()1,()2F x f x x==则()lim1()xF xf x→=当,2,0,(1,2,,)k nkn a k nn→∞=→=⋅⋅⋅故原式)nn→∞211lim1)lim2n nn nk kkn→∞→∞====∑∑2(1)lim4nn nn→∞+=14=.例13求22212lim()nn n nna a a n→∞++⋅⋅⋅+-(0)a>.解因为22212nn n na a a n++⋅⋅⋅+-12(1)(1)(1)nn n na a a=-+-+⋅⋅⋅+-21(1)knnka==-∑令()1,()lnxF x a f x x a=-=则()lim1()xF xf x→=当,2,0,(1,2,,)k n kn a k n n→∞=→=⋅⋅⋅ 故原式2211lim(1)lim ln k nnn n n k k ka a n→∞→∞===-=∑∑2(1)1ln lim ln 22n n n a a n →∞+==. 2.8构造母函数求和式极限母函数法是一种生产函数法，它充分具体现了由特殊到一般及由一般到特殊的关系，把问题“化整为零”，把分散的问题归总起来，可收“事半功倍”之效.例14 求证123lim[]22482n n n→∞+++⋅⋅⋅+=. 证明 构造1,2,,,n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的母函数，即231()23nnn f x x x x nx nx∞==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=∑，亦即()f x 是1nn nx∞=∑的和函数由,11()n n f x x nx ∞-==∑有=11()n n f x nx x ∞-=∑积分得1100111()1()1xx x n n n x x x n n n f x d nx d nx d x x x ∞∞∞--=======-∑∑∑⎰⎰⎰ (||1)x < 再微分得21(),(1)f x x =-故有2()(1)xf x x =- (||1)x <取1,2x =即得 21111232()lim lim[]21222482(1)2k n n n n k n f ∞→∞→∞===+++⋅⋅⋅+==-∑. 2.9利用托布利兹（Toeplitz ）定理求和式极限托布利兹（Toeplitz ）定理 若()lim1()n x x φϕ→∞=其中()0x ϕ>且当n →∞时，20(1,2,).ik i n n→=⋅⋅⋅则有1212lim[()()()]lim[()()()]n n nn n n nn n n a a a a a a φφφϕϕϕ→∞→∞++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.例15 求极限2222lim[sinsin sin ]n k k nkn n n →∞++⋅⋅⋅+.解 因为sin lim 1,x x x →∞=而且当n →∞时，20(1,2,)iki n n→=⋅⋅⋅又因为2222lim[sin sin sin ]n k k nk n n n →∞++⋅⋅⋅+2(1)2lim 2n n n kk n →∞+== 由利用托布利兹（Toeplitz ）定理即得：2222lim[sinsin sin ]n k k nk n n n →∞++⋅⋅⋅+2k=. 例16 求极限22212lim()nn n n n a a a n →∞+++- (0)a >.解 我们知道11lim()1ln x x a x a→∞-⋅= 当n →∞时2ln 0(1,2,)ia i n n →=⋅⋅⋅ 又因为222121lim[()ln ]ln 2n n a a n n n →∞++⋅⋅⋅+= 因而由由利用托布利兹（Toeplitz ）定理即得222121lim()ln 2nn n n n a a a n a →∞+++-=. 2.10利用施笃兹（Stolz ）定理求和式极限施笃兹（Stolz ）定理设{}n x 和{}n y 是两个数列，若满足条件： 1)存在自然数，当0N n >时 1;n n y y +> 2) lim n n y →∞=+∞;3) 11limn nn n nx x y y +→∞+--存在（有限或者是±∞）.则11limlim n n n n n n n nx x x y y y +→∞→∞+-=-.例17 求极限1111lim(1).ln 23n n n →∞+++⋅⋅⋅+解 令1111,ln 23n n x y n n=+++⋅⋅⋅+=由施笃兹（Stolz ）定理即得1111lim(1)ln 23n n n →∞+++⋅⋅⋅+11lim lim n n n n n n n nx x x y y y +→∞→∞+-==-11lim ln(1)ln n n n n→∞+=+-111lim11ln ln(1)n n en→∞+===+.结束语本文系统地阐述了求解和式极限的几种方法，并以例题的形式给出示范.正文中主要提到10种求解方法，前面8种是常见的基本方法，而后面两种是通过对托布利兹（Toeplitz ）定理和施笃兹（Stolz ）定理的巧妙应用来求解和式极限的.当然求解和式极限的方法远远不止这10种，所以需要大家共同去探索研究.参考文献[1] 华东师范大学数学系,数学分析[M],北京:高等教育出版社,2001. [2] 钱吉林,数学分析题解精粹[M],武汉:崇文书局,2003.[3] 朱小红,关于和式极限求法的探讨[J],武汉工程职业技术学院学报,19：1(2007),74-76. [4] 翟龙余,一类和式极限的求解[J],宜春学院学报,30：4(2008),20-22. [5] 陈传璋,数学分析[M], 复旦大学出版社,1983.[6] 佐里奇,Mathematical Analysis [M],世界图书出版公司2006.Several Ways to Evaluate the Sum LimitAbstract The sum limit is the foundation and an important tool of analysis, it is also a difficult point in higher mathematics teaching. This paper mainly introduces several ways to evaluate the sum limit , namely, the evaluation by using the partial sum formula of sequence of number, the evaluation by using the definition of definite integral, the evaluation by using the expanded form of power series, the evaluation by using the convergence of series of constant term, etc.Keywords sum limit sequence of number integration infinite series。
定积分定义中的黎曼和,其极限就是后面的定积分
定积分定义中的黎曼和,其极限就是后面的定积分标题：定积分定义中的黎曼和及其极限一、引言数学是一门抽象的科学，它以符号语言表达出对自然现象的理解。
在高等数学中，定积分是其中的一个重要概念，其背后蕴含着深厚的理论基础与丰富的实际应用。
本文将以定积分定义中的黎曼和作为主题，探讨其与定积分的关系以及它们在数学领域中的重要性。
二、黎曼和的概念黎曼和，是以德国数学家伯恩哈德·黎曼命名的一种求和方法，它是计算定积分的基础。
对于一个函数f(x)在[a,b]区间上的黎曼和，我们可以将其分割成n个小区间，并取每个小区间的左端点或右端点为参照点，然后用函数值乘以小区间的宽度，最后将所有这些乘积相加起来，就得到了黎曼和。
三、黎曼和与定积分的关系定积分是对函数曲线下面积的精确计算，而黎曼和则是这个过程的一个近似计算方法。
当我们将区间[a,b]分割得越来越细，即n越来越大时，黎曼和就会越来越接近于函数曲线下面积的真实值，这就是定积分的定义。
简单来说，定积分就是黎曼和的极限。
四、定积分的定义根据上述讨论，我们可以给出定积分的正式定义。
设f(x)是一个定义在闭区间[a,b]上的函数，如果存在一个实数A，使得对于任意正数ε，都存在一个正数δ，只要将区间[a,b]分割成n个小区间，且每个小区间的长度小于δ，那么对应的黎曼和与A的差的绝对值小于ε，那么我们就称A为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_a^b f(x)dx=A。
五、黎曼和的性质黎曼和具有以下一些重要的性质：1. 线性性：若f(x)和g(x)在[a,b]上可积，那么cf(x)+dg(x)也在[a,b]上可积，且有∫_a^b (cf(x)+dg(x))dx=c∫_a^b f(x)dx+d∫_a^b g(x)dx。
2. 非负性：若f(x)≥0，则∫_a^b f(x)dx≥0。
3. 保号性：若f(x)≤g(x)，则∫_a^b f(x)dx≤∫_a^b g(x)dx。
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作者简介 ! 兰光福 %)531, &" 男 " 畲族 " 福建省南平工业技术学校讲师 " 主要从事数学教学与研究 )
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