§1 定积分的概念
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《定积分的定义》课件
总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可 乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是 线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积 分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函 数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与 区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度 乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即 函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分， 函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些 性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积 分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以 计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
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微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它 为解决各种实际问题提供了重要的数 学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算 各种函数的定积分，从而解决诸如面 积、体积、长度、平均值、极值等问 题。此外，它也是微分方程求解的重 要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严 谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意 义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和 积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积
定积分的概念-精品文档
区 间 [ x ,x 的长度不趋于 0 . 要 保 证 每 个 区 间 i 1 i]
[ x , x ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) : i 1 i
T m a x x 1 , 2 ,, n . ii
就能保证分割越来越细. 则 当 T 0 时 ,
i
x n1 b
x
i
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边
梯形的面积.
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如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
A , A , , A , 1 2 n
xx , 2 , , x } , 即在 [ a , b ] 上找到 n 1 个分点 { 1 n 1
积.
一分为二
y
y f x
S(A)
O
a
x
1
b
x
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y 一分为四
y f x
S(A)
O
a
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1
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2
x
3
b
x
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y
一分为八
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
3
x 81 b
x
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一分为 n
y
y f x
S(A)
O
a x
1
x i1 x
用 T x , x , , x 或 T = , , 来 记 这 个 分 割 . 0 1 n 0 n
i
[ x , x ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) : i 1 i
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就能保证分割越来越细. 则 当 T 0 时 ,
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可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边
梯形的面积.
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如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
A , A , , A , 1 2 n
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用 T x , x , , x 或 T = , , 来 记 这 个 分 割 . 0 1 n 0 n
i
1 定积分的概念
§1.定积分的概念※ 学习目标1．理解定积分产生的背景；2．掌握定积分问题的基本思想和解决方法. ※ 学习过程 一、课前准备 复习：导数的的概念；导数在几何、物理上的意义；应用导数在解决数学最值问题上的方法步骤二、研读课本 课本问题1图中阴影部分时由抛物线f(x)=x 2，直线x=1及x 轴所围成的平面图形.试估计这个曲边梯形的面积S.新知总结积分问题的基本思路及步骤 1、分割：将区间[a ，b]插入n －1个点（一般都是均匀插入这些点），使得：a=x 0<x 1<x 2<…<x 1-i <x i <…<x 2-n <x 1-n <x n =b ，则将区间分成了[a ，x 1]，[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，…，[x 1-i ，x i ]，…，[x 2-n ，x 1-n ]，[x 1-n ，b]n 个区间，记第i 个区间[x 1-i ，x i ]长度为△x i （i=1，2，3，…，n ），过每个分点x i 作x 轴的垂线段，则将曲边梯形分割成了n 个小的曲边梯形；2、近似代替：在第i 个区间[x 1-i ，x i ]内任取一个值ξi （一般都是取左端点x 1-i 或者右端点x i ），那么这个曲边梯形可以近似看作是一个矩形，其高为f(ξi )，易知宽为x i －x 1-i =△x i ，那么这个小曲边梯形的面积就可以近似看作S i ≈ f(ξi )·△x i （i=1，2，3，…，n ）；3、求和：S ≈S 1+S 2+ S 3+…+S 1-n +S n = f(ξ1)·△x 1+ f(ξ2)·△x 2+ f(ξ3)·△x 3+…+ f(ξ1-n )·△x 1-n + f(ξn )·△x n =∑=∆ξni i i x f 1)(4、取极限：分割的细度n →∞，则S=∞→n lim∑=∆ξni iif 1)(课本问题二想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s 后停下，在这一过程中，汽车的速度v （单位：m/s ）是时间t 的函数：v （t ）=t 2－10t+25(0≤t ≤5).请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.例 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值： （1）⎰12dx （2）⎰21xdx （3）⎰--1121dx x小结：定积分的几何意义就是求曲边梯形的面积.知识点： 定积分有如下性质：性质1⎰ba dx 1=性质2 ⎰b a dx x kf )(=性质3 ⎰±b a dx x g x f )]()([=性质4 ⎰b ax f )(=⎰cax f )(+⎰bcx f )(三 动手试试 练1. 面积问题：设S 表示由曲线y=x ，直线x=1以及x 轴所围成平面图形的面积.(1）画出该平面图形；（2）试估计该平面图形的面积，并写出估计值的误差.练2. 做功问题一根弹性系数为0.4N/cm 的弹簧，其拉力F 随着弹簧拉伸的长度x 的变化而不断变化，根据胡克定律可知：F=F(x)=0.4x.如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端固定在物体上，在不考虑摩擦力的情况下物体在力F 作用下匀速移动，从原来位置 移动10cm.估计这一过程中拉力所做的功W.练3．用图形表示下列定积分： （1）⎰102dx x （2）⎰21ln xdx （3）⎰-11dx e x※ 总结提升 学习小结1. 积分问题的基本思路及步骤：1、分割；2、近似代替；3、求和；4取极限． 2. 积分的几何意义就是求曲边梯形的面积． ※ 课后练习：（1-4选择题）1．利用定积分的几何意义求下列定积分（1）⎰212xdx （2）⎰-224dx x（3）⎰-11dx x2．已知⎰10dx e x=e ，⎰102dx x ，求下列定积分：（1）⎰+12)(dx x e x（2）⎰-12)2(dx x e x3．如果汽车在某一段时间内的速度函数为v （t ）=20t ，0≤t ≤5，试估计汽车在这段时间内走过的距离，并写出估计值的误差.4．设力F （单位：N ）的方向与抛物线运动的方向一致，力的大小随着物体走过的路程x （单位：m ）而变化，可以表示为F=F(x)=x11,估计力F 在0—10m 这段路程内所做的功，要求误差不超过1N ·m.。
数学课件第4章 1.1、1.2 定积分的概念
一、功和能的关系
1．能量 (1)概念：一个物体能够对其他物体___做__功_______，我们就 说这个物体具有能量．
(2)形式：能量有各种不同的形式，如机械能、内能、光能、 化学能、核能等，不同的运动形式对应于不同形式的能．
2．功与能的关系 做功的过程就是__能_量__转__化_____的过程，做了多少功，就有 多少___能_________发生转化，所以功是能量转化的量度．
估计误差不会超过 S－s＝1.32－1.02＝0.3.
利用定积分的几何意义求定积分
用定积分的几何意义求下列各式的值．
1
(1)－1
4－x2dx；
(2) (1＋sin x)dx.
b
[思路点拨] 定积分af(x)dx 的几何意义是介于 x＝a，x＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中 x 轴 上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．
2
∴ 0
f(x)dx＝32＋1＝52.
b
1．由定义可得定积分af(x)dx 是一个常数，它的值仅取决
b
于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即af(x)dx
b
b
＝af(t)dt＝af(u)du.
2．性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立，性质 4 对于
0f(x)dx－0g(x)dx＝－5.
1
两式相加，得 20f(x)dx＝－2.
1
故0f(x)dx＝－1.
b
b
(2)由a2f(x)dx＝2af(x)dx＝5，
得baf(x)dx＝25.
故13ba[2－f(x)]dx＝31ab2dx－abfxdx＝
所以估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72
定积分的概念课件
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。
定积分的概念
04
定积分的应用
面积计算
几何图形面积
定积分可用于计算各种几何图形的面 积，如矩形、圆形、三角形等。通过 选取适当的积分变量和积分区间，可 以将面积表示为定积分的形式，进而 求出面积。
参数方程面积
对于由参数方程定义的曲线所围成的 图形，也可以利用定积分计算其面积。 通过消去参数，将参数方程转化为直 角坐标方程或极坐标方程，再利用定 积分进行计算。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将不定积分的被积函 数拆分成两个或多个函数的乘积，利用 乘积法则进行分部积分，从而简化计算 过程。
VS
详细描述
分部积分法的基本思想是将不定积分的被 积函数拆分成两个或多个函数的乘积，然 后利用乘积法则进行分部积分。这种方法 需要掌握基本的乘积法则和分部积分公式 ，并能够灵活运用以解决复杂的不定积分 问题。
起考虑，以确定函数值的累积结果。
特殊情况的积分上下限
当积分区间是无限区间时，积分上下限可能是无穷大或无穷小 的情况。这些特殊情况的积分上下限需要特殊处理和考虑。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再求和或求差。
具体形式
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换原不定积分中的变量，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分，从而简化 计算过程。
详细描述
换元积分法的基本思想是将原不定积分中的变量替换为另一个变量，使得新的不定积分更易于计算。这种方法需 要灵活运用变量代换技巧，选择合适的代换公式，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。
应用
积分中值定理在解决定积分问题时非 常有用，特别是当我们需要找到一个 特定的点，使得函数在该点的值等于 整个区间的定积分时。
定积分的概念存在条件与性质
定积分的概念、存在条件 与性质
• 定积分的概念 • 定积分的存在条件 • 定积分的性质 • 定积分的应用
01
定积分的概念
定义与背景
定义
定积分是积分的一种，是函数在 区间上各点的定积分值相加的总 和。
背景
定积分是为了解决实际问题而产 生的数学工具，如计算曲线下面 积、变速直线运动的路程等。
定积分的几何意义
计算体积
通过微元法，可以将体积转化为定 积分，从而求出给定立体的体积。
微元法在物理学中的应用
计算做功
利用微元法，可以将力在物体上 做的功转化为定积分，从而求出 做功的值。
计算压力
在流体动力学中，利用微元法可 以将压力转化为定积分，从而求 出压力的值。
计算质心
在质点系中，利用微元法可以将 质心位置转化为定积分，从而求 出质心的位置。
详细描述
如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，那么对于任意实数k和l，函数k*f(x) + l*g(x)在区间[a, b]上也可积， 且
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指对于任意分 割的两个子区间，其对应的定积分之 和等于原函数在整体区间上的定积分。
详细描述
如果[a, b]被分成两个子区间[a, c]和[c, b]，那么∫(b, a)f(x) dx = ∫(b, c)f(x) dx + ∫(c, a)f(x) dx。
绝对收敛
如果定积分存在且其值小于等于某个正数，则该定积分是绝 对收敛的。
定积分存在的必要条件
区间不可分
如果闭区间不能被分成有限个开子区间，则该函数在该闭区间上不可积。
无界
如果函数在闭区间的任意子区间上都无界，则该函数在该闭区间上不可积。
• 定积分的概念 • 定积分的存在条件 • 定积分的性质 • 定积分的应用
01
定积分的概念
定义与背景
定义
定积分是积分的一种，是函数在 区间上各点的定积分值相加的总 和。
背景
定积分是为了解决实际问题而产 生的数学工具，如计算曲线下面 积、变速直线运动的路程等。
定积分的几何意义
计算体积
通过微元法，可以将体积转化为定 积分，从而求出给定立体的体积。
微元法在物理学中的应用
计算做功
利用微元法，可以将力在物体上 做的功转化为定积分，从而求出 做功的值。
计算压力
在流体动力学中，利用微元法可 以将压力转化为定积分，从而求 出压力的值。
计算质心
在质点系中，利用微元法可以将 质心位置转化为定积分，从而求 出质心的位置。
详细描述
如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，那么对于任意实数k和l，函数k*f(x) + l*g(x)在区间[a, b]上也可积， 且
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指对于任意分 割的两个子区间，其对应的定积分之 和等于原函数在整体区间上的定积分。
详细描述
如果[a, b]被分成两个子区间[a, c]和[c, b]，那么∫(b, a)f(x) dx = ∫(b, c)f(x) dx + ∫(c, a)f(x) dx。
绝对收敛
如果定积分存在且其值小于等于某个正数，则该定积分是绝 对收敛的。
定积分存在的必要条件
区间不可分
如果闭区间不能被分成有限个开子区间，则该函数在该闭区间上不可积。
无界
如果函数在闭区间的任意子区间上都无界，则该函数在该闭区间上不可积。
定积分的概念 课件
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,
由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,
所以
2 4 x2 dx 22 2 .
2
2
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(2)
2
sinxdx;
2
y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
f(x)=sinx
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa 0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
y
f(x)=x2
y
2
sin xdx 0
2）.
sin xdx 2
2 sin xdx
0
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
练习4（2）:
计算积分 1 1 x2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：
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2 2 2 3 2 2 3 x (3) 1 dx=3 dx-2 3 x 2 x 1 1 x dx
7 15 1 =3× -2× =- . 3 4 2
利用定积分的性质可以把被积 函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分 问题.
变式训练 2 1:已知
9 3 2 1 dx=3, dx= , 0 x dx=9, 2
将区间[0,1]五等分,则每一小区间的长度为 0.2. s 的过剩估计值 s1 为 2 2 2 2 s1=[(-0 +2)+(-0.2 +2)+(-0.4 +2)+(-0.6 +2)+ 2 (-0.8 +2)]×0.2 =(2+1.96+1.84+1.64+1.36)×0.2 =8.8×0.2 =1.76. s 的不足估计值 s2 为
3 0 3 0
81 x dx= ,求: 4
3 0 3
3 2 (1) 3 4 x 3 x 6x 8 dx; 0
3 2 8 x 21 x 12 x 15 dx. (2) 3 0
3 2 解:(1) 3 4 x 3 x 6x 8 dx 0
3 3 2 3 3 4 x 3 x 6 x = 3 dxdx+ dx-8 0 0 0 0 1 dx
5 2 x 2 而 5 dx=2 0 0 x 2 dx
1 1 5 2 2 =2(S2-S1)=2( ×3 - ×2 )=2× =2 做直线运动,设介质的阻 力与速度成正比且速度等于 10 时的阻力为 2,求物 体从 x=0 到 x=2 阻力所做功 W 的估计值,并求估计值 的误差. 解:设阻力为 f,速度为 v,则由题意知 f=kv, ∵当 v=10 时,f=2,
81 9 =-8× +21×9-12× +15×3 4 2
=-162+189-54+45 =18.
利用定积分的几何意义求定积分
【例 3】 根据定积分的意义求 1 0
1 x 2 x dx 的值.
名师导引:(1)如何求两个函数和的定积分? (由定积分性质 3,可知
1 0
1 2 1 x 2 x dx= 1 dx+ 1 x 0 x dx, 0
一、估计值与精确值
1:在上述实例中,求解第(3)个 阴影部分的面积,分割时,由于不同的算法, 计算的曲边梯形的面积与实际上存在误差, 如何缩小误差呢? (分割越细,误差越小)
1:在解决求曲边梯形面积、变速运动 的路程问题、 变力做功的问题时,其解决过程相似: 通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估 计值.分割得越细,估计值就越接近精确值;当分 割成的小区间的长度趋于 0 时,过剩估计值和不足 估计值都趋于要求的值.
的面积的相反数. ②物理意义:若 y=f(x)表示速度与时间的函数时,则
b a f x dx 可看作物体运动时间从 a 变到 b 时所走过的
路程;若 y=f(x)表示力与力的方向上通过的距离的函
b 数时,则 a f x dx 可看作通过的距离由 a 变到 b 时力所
做的功的大小)
3 3 3 3 3
这是逼近思想的具体化:先分 割,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面 积.过剩估计值利用了小区间的右端点处的函 数值(最大值),而不足估计值则用了小区间的 左端点处的函数值(最小值).
变式训练 1 1:一做变速直线运动的物体速度为 v=-t2+2, 试求它在 0≤t≤1 内的位移 s 的估计值,并求出估计值的 误差. 解:如图所示.
若每次分割后,最大的小区间的长度趋于 0,S 与 s 的差也趋于 0,此时 S 与 s 同时趋于某一个固定的 常数 A,我们就称 A 是函数 y=f(x)在区间[a,b]上的
b 定积分,记作: b dx. 即 x a a x dx=A.
其中 叫作积分号,a 叫作积分的下限,b 叫作积分 的上限,f(x)叫作被积函数.
s2=[-0.2 +2)+(-0.4 +2)+(-0.6 +2)+(-0.8 +2)+ (-12+2)]×0.2 =(1.96+1.84+1.64+1.36+1)×0.2 =7.8×0.2 =1.56. ∴过剩估计值与不足估计值之差为 1.76-1.56=0.2. ∴估计值的误差不会超过 0.2.
2 2 3 3 2 3 解:(1) 0 dx+ 3x3 dx=3 0 x dx=3( 1 x 0 1 x dx)
1 15 =3( + )=12. 4 4
4 2 2 2 2 4 x dx=6( 1 x dx+ 4 x 6 x 2 dx=6 1 (2) 1 dx) 2
7 56 =6( + )=126. 3 3
1:(1)过剩估计值与不足估计值是如何 引起的? (如图(1)分割后按照小矩形的右边长计算得到的 是过剩估计值,而如图(2)分割后按照小矩形左边 长计算得到的是不足估计值)
(2)解决面积问题,路程问题以及做功问题的步 骤和思想是什么? (在解决这三个问题的过程中,可以发现:自变量 的区间分得越大越粗,估计值与精确值之间的差 距越大;但当把自变量的区间划分得越小越细, 那么估计值与精确值之间的差距将会越小;当把 自变量的区间分成长度趋于 0 的小区间时,估计 值与精确值间的差距将趋于 0.这样就能得到精 确值了.其解决的步骤是:(1)分割;(2)计算不足 估计值与过剩估计值;(3)写出估计值的误差)
1 1 ∴k= ,∴f= v. 5 5
4 而 v=x′=(4t )′=8t=4 x ,∴f= x. 5
2
如图所示,把区间[0,2]十等分,则每个小区间的长度为 0.2.
名师导引:求曲边梯形面积的一般步骤是什么? ((1)分割; (2)计算过剩估计值和不足估计值; (3)比较估计值之间的误差,检查是否满足 条件)
解:(1)曲线 y=x 和直线 x=1,y=0 围成的平面图 形如图所示.
3
(2)将区间[0,1]平均分成 5 份, 则所求曲边梯形的过剩估计值为 S1=(0.23+0.43+0.63+0.83+13)×0.2=1.8×0.2=0.36; 所求曲边梯形的不足估计值为 S2=(0 +0.2 +0.4 +0.6 +0.8 )×0.2=0.8×0.2=0.16. 过剩估计值与不足估计值之差为 S1-S2=0.2. 因此无论用 S1 还是用 S2 来表示曲边梯形的面积 S,误 差都不会超过 0.2.
三、定积分的性质
3:根据定积分的几何意义,你发现定积分 有哪些性质? 3:性质 1: b a 1dx=b-a;
b kf x k 性质 2: b dx= a a f x dx ;
b b f x g x f x dx 性质 3: b dx= a a a g x dx ;
二、定积分的概念
2:在实例中求解第(3)个阴影部分 的面积,如果分割区间趋近于零,那么过剩估 计值与不足估计值有什么结果? (会同时趋近于同一个常数 A)
2:已知函数 y=f(x),x∈[a,b],其 图像如图所示.将[a,b]区间分成 n 份,分点 为:a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.第 i 个小区间为 [xi-1,xi],设区间长度为Δ xi,在这个小区间上 取一点ξ i,使 f(ξ i)在区间 [xi-1,xi]上的值最大,设 S=f(ξ 1)Δ x1+f(ξ 2)Δ x2+… +f(ξ i)Δ xi+…+f(ξ n)Δ xn.
2
2
2
2
定积分性质的应用
【例 2】 已知
1 2 3 15 2 2 7 4 2 56 x dx= , 1 x dx= , 1 x dx= , 2 x dx= , 4 4 3 3
1 0 3
2 3x3 dx; 求:(1) 0
4 6 x 2 dx; (2) 1
2 2 3 3 x 2 x (3) 1 dx.
i 1 n
∈[xi-1,xi],Δxi=xi-xi-1. ①几何意义:若把 y=f(x)看作一条曲线,当 f(x)≥ 0 时,则 f x dx 可看作由 y=f(x),x=a,x=b 及
b a
x 轴所围成的曲边梯形的面积;当 f(x)<0 时,则
b a f x dx 表示 y=f(x),x=a,x=b 及 x 轴所围成曲边梯形
c d f x f x dx 性质 4: b dx= a a c f x dx.
3:(1)你能说明性质 3 和性质 4 的含义吗?
b b (①性质 3: b dx= dx ± f x g x f x a a a f x dx 表示
§1
定积分的概念
1.1 定积分的背景—— 面积和路程问题 1.2 定积分
学习目标要求 问题情境导学 课堂互动探究
栏 目 导 航
课堂归纳总结
理解定积分概念形成过程中的基本思想 和定积分的概念及其几何意义,并能用定 积分的几何意义解决简单的定积分计算 问题.
【实例】 微积分在几何上有两个基本问题,第一个是如何 确定曲线上一点处的切线的斜率,第二个是如何求曲线下 方“曲边梯形”的面积.如图所示的三个阴影部分:第(1)个 阴影可以直接求出,第(2)个阴影部分可以分成每一个线段 下方的阴影部分面积之和.而第(3)个阴影部分的求法则需 要我们把图形进行分割,以直代曲再求和.
故原定积分可看成由两部分构成,其定积分值可看作两部 分面积的和) (2)如何求每个函数的定积分? (由定积分的几何意义去求)
7 15 1 =3× -2× =- . 3 4 2
利用定积分的性质可以把被积 函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分 问题.
变式训练 2 1:已知
9 3 2 1 dx=3, dx= , 0 x dx=9, 2
将区间[0,1]五等分,则每一小区间的长度为 0.2. s 的过剩估计值 s1 为 2 2 2 2 s1=[(-0 +2)+(-0.2 +2)+(-0.4 +2)+(-0.6 +2)+ 2 (-0.8 +2)]×0.2 =(2+1.96+1.84+1.64+1.36)×0.2 =8.8×0.2 =1.76. s 的不足估计值 s2 为
3 0 3 0
81 x dx= ,求: 4
3 0 3
3 2 (1) 3 4 x 3 x 6x 8 dx; 0
3 2 8 x 21 x 12 x 15 dx. (2) 3 0
3 2 解:(1) 3 4 x 3 x 6x 8 dx 0
3 3 2 3 3 4 x 3 x 6 x = 3 dxdx+ dx-8 0 0 0 0 1 dx
5 2 x 2 而 5 dx=2 0 0 x 2 dx
1 1 5 2 2 =2(S2-S1)=2( ×3 - ×2 )=2× =2 做直线运动,设介质的阻 力与速度成正比且速度等于 10 时的阻力为 2,求物 体从 x=0 到 x=2 阻力所做功 W 的估计值,并求估计值 的误差. 解:设阻力为 f,速度为 v,则由题意知 f=kv, ∵当 v=10 时,f=2,
81 9 =-8× +21×9-12× +15×3 4 2
=-162+189-54+45 =18.
利用定积分的几何意义求定积分
【例 3】 根据定积分的意义求 1 0
1 x 2 x dx 的值.
名师导引:(1)如何求两个函数和的定积分? (由定积分性质 3,可知
1 0
1 2 1 x 2 x dx= 1 dx+ 1 x 0 x dx, 0
一、估计值与精确值
1:在上述实例中,求解第(3)个 阴影部分的面积,分割时,由于不同的算法, 计算的曲边梯形的面积与实际上存在误差, 如何缩小误差呢? (分割越细,误差越小)
1:在解决求曲边梯形面积、变速运动 的路程问题、 变力做功的问题时,其解决过程相似: 通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估 计值.分割得越细,估计值就越接近精确值;当分 割成的小区间的长度趋于 0 时,过剩估计值和不足 估计值都趋于要求的值.
的面积的相反数. ②物理意义:若 y=f(x)表示速度与时间的函数时,则
b a f x dx 可看作物体运动时间从 a 变到 b 时所走过的
路程;若 y=f(x)表示力与力的方向上通过的距离的函
b 数时,则 a f x dx 可看作通过的距离由 a 变到 b 时力所
做的功的大小)
3 3 3 3 3
这是逼近思想的具体化:先分 割,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面 积.过剩估计值利用了小区间的右端点处的函 数值(最大值),而不足估计值则用了小区间的 左端点处的函数值(最小值).
变式训练 1 1:一做变速直线运动的物体速度为 v=-t2+2, 试求它在 0≤t≤1 内的位移 s 的估计值,并求出估计值的 误差. 解:如图所示.
若每次分割后,最大的小区间的长度趋于 0,S 与 s 的差也趋于 0,此时 S 与 s 同时趋于某一个固定的 常数 A,我们就称 A 是函数 y=f(x)在区间[a,b]上的
b 定积分,记作: b dx. 即 x a a x dx=A.
其中 叫作积分号,a 叫作积分的下限,b 叫作积分 的上限,f(x)叫作被积函数.
s2=[-0.2 +2)+(-0.4 +2)+(-0.6 +2)+(-0.8 +2)+ (-12+2)]×0.2 =(1.96+1.84+1.64+1.36+1)×0.2 =7.8×0.2 =1.56. ∴过剩估计值与不足估计值之差为 1.76-1.56=0.2. ∴估计值的误差不会超过 0.2.
2 2 3 3 2 3 解:(1) 0 dx+ 3x3 dx=3 0 x dx=3( 1 x 0 1 x dx)
1 15 =3( + )=12. 4 4
4 2 2 2 2 4 x dx=6( 1 x dx+ 4 x 6 x 2 dx=6 1 (2) 1 dx) 2
7 56 =6( + )=126. 3 3
1:(1)过剩估计值与不足估计值是如何 引起的? (如图(1)分割后按照小矩形的右边长计算得到的 是过剩估计值,而如图(2)分割后按照小矩形左边 长计算得到的是不足估计值)
(2)解决面积问题,路程问题以及做功问题的步 骤和思想是什么? (在解决这三个问题的过程中,可以发现:自变量 的区间分得越大越粗,估计值与精确值之间的差 距越大;但当把自变量的区间划分得越小越细, 那么估计值与精确值之间的差距将会越小;当把 自变量的区间分成长度趋于 0 的小区间时,估计 值与精确值间的差距将趋于 0.这样就能得到精 确值了.其解决的步骤是:(1)分割;(2)计算不足 估计值与过剩估计值;(3)写出估计值的误差)
1 1 ∴k= ,∴f= v. 5 5
4 而 v=x′=(4t )′=8t=4 x ,∴f= x. 5
2
如图所示,把区间[0,2]十等分,则每个小区间的长度为 0.2.
名师导引:求曲边梯形面积的一般步骤是什么? ((1)分割; (2)计算过剩估计值和不足估计值; (3)比较估计值之间的误差,检查是否满足 条件)
解:(1)曲线 y=x 和直线 x=1,y=0 围成的平面图 形如图所示.
3
(2)将区间[0,1]平均分成 5 份, 则所求曲边梯形的过剩估计值为 S1=(0.23+0.43+0.63+0.83+13)×0.2=1.8×0.2=0.36; 所求曲边梯形的不足估计值为 S2=(0 +0.2 +0.4 +0.6 +0.8 )×0.2=0.8×0.2=0.16. 过剩估计值与不足估计值之差为 S1-S2=0.2. 因此无论用 S1 还是用 S2 来表示曲边梯形的面积 S,误 差都不会超过 0.2.
三、定积分的性质
3:根据定积分的几何意义,你发现定积分 有哪些性质? 3:性质 1: b a 1dx=b-a;
b kf x k 性质 2: b dx= a a f x dx ;
b b f x g x f x dx 性质 3: b dx= a a a g x dx ;
二、定积分的概念
2:在实例中求解第(3)个阴影部分 的面积,如果分割区间趋近于零,那么过剩估 计值与不足估计值有什么结果? (会同时趋近于同一个常数 A)
2:已知函数 y=f(x),x∈[a,b],其 图像如图所示.将[a,b]区间分成 n 份,分点 为:a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.第 i 个小区间为 [xi-1,xi],设区间长度为Δ xi,在这个小区间上 取一点ξ i,使 f(ξ i)在区间 [xi-1,xi]上的值最大,设 S=f(ξ 1)Δ x1+f(ξ 2)Δ x2+… +f(ξ i)Δ xi+…+f(ξ n)Δ xn.
2
2
2
2
定积分性质的应用
【例 2】 已知
1 2 3 15 2 2 7 4 2 56 x dx= , 1 x dx= , 1 x dx= , 2 x dx= , 4 4 3 3
1 0 3
2 3x3 dx; 求:(1) 0
4 6 x 2 dx; (2) 1
2 2 3 3 x 2 x (3) 1 dx.
i 1 n
∈[xi-1,xi],Δxi=xi-xi-1. ①几何意义:若把 y=f(x)看作一条曲线,当 f(x)≥ 0 时,则 f x dx 可看作由 y=f(x),x=a,x=b 及
b a
x 轴所围成的曲边梯形的面积;当 f(x)<0 时,则
b a f x dx 表示 y=f(x),x=a,x=b 及 x 轴所围成曲边梯形
c d f x f x dx 性质 4: b dx= a a c f x dx.
3:(1)你能说明性质 3 和性质 4 的含义吗?
b b (①性质 3: b dx= dx ± f x g x f x a a a f x dx 表示
§1
定积分的概念
1.1 定积分的背景—— 面积和路程问题 1.2 定积分
学习目标要求 问题情境导学 课堂互动探究
栏 目 导 航
课堂归纳总结
理解定积分概念形成过程中的基本思想 和定积分的概念及其几何意义,并能用定 积分的几何意义解决简单的定积分计算 问题.
【实例】 微积分在几何上有两个基本问题,第一个是如何 确定曲线上一点处的切线的斜率,第二个是如何求曲线下 方“曲边梯形”的面积.如图所示的三个阴影部分:第(1)个 阴影可以直接求出,第(2)个阴影部分可以分成每一个线段 下方的阴影部分面积之和.而第(3)个阴影部分的求法则需 要我们把图形进行分割,以直代曲再求和.
故原定积分可看成由两部分构成,其定积分值可看作两部 分面积的和) (2)如何求每个函数的定积分? (由定积分的几何意义去求)