高中数学 1 定积分的概念 新人教A选修-2
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人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容
由此，我们得到求曲边梯形面积的第三步为：
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
1.5.3定积分的概念课件人教新课标2(1)
一点i (i 1, 2,..., n) ，作和式：
S
n i 1
f (i )x
n i 1
ba n
f (i )
当 n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做 函数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分：
S
lim n
n i 1
b
n
a
f
(i
)
b
f (x)dx
a
在区间[a, b]上的定积分，记为
i 1 i n x
nnn
课堂探究
例1.求由直线y 0, x 1与抛物线 y x2
所围成的平面图形的面积 s.
y
问题2：对每个小曲边梯
y x2
形如何“以直代曲”？
O1 2 3 nnn
i 1 i n x
nnn
i 1 i
n
n
课堂探究
例1.求由直线y 0, x 1与抛物线 y x2
所围成的平面图形的面积 s.
问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆 的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？
v
v t2
问题3：能不能类比割圆术 的思想和操作方法把曲边梯
形的面积问题转化为直边图
形的面积问题？进而尽可能
有规律地减小误差，使得直
边图形的面积越来越接近曲
边梯形的面积？
O
曲边梯形
1t
割圆术
思考、讨论，进行交流
积分上限
b a
f
(x)dx
Hale Waihona Puke Slimn0
n i 1
ba n
f (i )
积分下限
被 积
函
数
被 积 表 达 式
《定积分的概念》人教版高中数学选修PPT精品课件
b
（2）若 f(x) ≤ 0, x∈[a,b] ，则
f(x)dx = -A
a
y
y = f(x)
b
y = a f(x)dx
o
y
a o
b x
b
y = -a f(x)dx
y = f(x) x
新知探究
由此可知，若函数f (x)在对称区间[-a ,a]上连续，则
a f
-a
xdx =
2
a f xdx
0
新知探究
Δx1 = x1 - x0 , Δx2 = x2 - x1,, Δxn = xn - xn-1
在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点 ξi (xi-1 ≤ ξi ≤ xi )
作和式：
n
S = f ξi Δxi
i=1
新知探究
积分上限 b
n
积分和
a
f(x)dx
=
lim
n →0
i =1
讲解人： 时间：
都通过“四步曲”——分割、近似代替、求和的极限、取极限来解决问题. 最终的结果都归结为求同一种类型的和式.
新知探究
曲边梯形面积
y
y=ƒ(x) A
B
x=a
x=b
o a y=0 b x
n
n1
S = lim f Δx→∞ i=1
ξi
Δx = lim Δx→∞ i=1
f n
ξi
变速运动的路程
n
课堂练习
设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值则
m
b
-
a
≤
b
a
f(x)dx
≤
M
b
高中数学(新课标)选修2课件1.5.3定积分的概念
bf(x)dx 的几何意义．
a
状元随笔 定积分的物理意义：从物理上看，如果在时间区
间[t1，t2]上
v＝v(t)连续且恒有
v(t)≥0，那么定积分t2v(t)dt t1
表示做
变速直线运动的物体在时间区间[t1，t2]内经过的路程．这就是定积
分tt12v(t)dt 的物理意义．
知识点三 定积分的性质 由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： (1)bkf(x)dx＝___k__bf_(_x_)d_x___(k 为常数)； ((23))aabb[f(fx1()xd)x±＝f2(_x_)_]adc_fx_(x＝_a)_d__xab__f_1_(_＋x_)_d__x__±__cb_fab__(f_x2_(_)_xd__)x_d__x___；_(其中 a<c<b)．
1.5.3 定积分的概念
知识点一 定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－
1<xi<…<xn＝b xi]上任取一点
将ξi(i区＝间1,[2a，，…b]，等n分)，成作n和个式小i＝Σn1区f(ξ间i)Δ，x在＝每__i＝Σ个_n1_小_b_－区n__a间_f(_ξ[_ix)_i－_1_，.
B.1(2x－1)dx 0
C.1(2x＋1)dx 0
D.1(1－2x)dx 0
解析：根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为12xdx－1
0
0
1dx＝1(2x－1)dx.
0
答案：B
3．定积分3(－3)dx＝( )
1
A.－6
B．6
C．－3 D．3
解析：33dx 表示图中阴影部分的面积 1
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念1 新人教A版选修2-2
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n
n＋ 2
2＝141＋n2＋n12，
∴01x3dx＝nli→m∞ 141＋n2＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2 ＝n(n2＋1)2) 因此01x3dx＝41.
规律总结
用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n 等分．
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做
函数 f(x)在区间[a，b]上的___定__积__分_____，记作f(x)dx＝___ln_i→m_∞_i＝_1_[ __n__f_(ξ_i_)]___.
a
这里，a与b分别叫做__积__分__下__限____与___积__分__上__限___，区间 [a，b]叫做__积__分__区__间____，函数f(x)叫做__被__积__函__数____，x 叫做__积__分__变__量____，f(x)dx叫做__被__积__式______． 2．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_____f(_x_)_≥_0___， 那么定积分bf(x)dx 表示由___直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)___，
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或者 ξi＝xi.
n
(3)求和：
i＝1
b－n af(ξi)．(4)求极限：abf(x)dx＝nli→m∞i＝n1
b－n af(ξi)．
跟踪练习 1 (1)定积分af(x)dx 的大小( A ) b
A．与 f(x)和积分区间有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间及 ξi 的取法无关 C．与 f(x)及 ξi 的取法有关，与区间无关 D．与 f(x)、积分区间和 ξi 的取法都有关
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n
n＋ 2
2＝141＋n2＋n12，
∴01x3dx＝nli→m∞ 141＋n2＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2 ＝n(n2＋1)2) 因此01x3dx＝41.
规律总结
用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n 等分．
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做
函数 f(x)在区间[a，b]上的___定__积__分_____，记作f(x)dx＝___ln_i→m_∞_i＝_1_[ __n__f_(ξ_i_)]___.
a
这里，a与b分别叫做__积__分__下__限____与___积__分__上__限___，区间 [a，b]叫做__积__分__区__间____，函数f(x)叫做__被__积__函__数____，x 叫做__积__分__变__量____，f(x)dx叫做__被__积__式______． 2．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_____f(_x_)_≥_0___， 那么定积分bf(x)dx 表示由___直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)___，
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或者 ξi＝xi.
n
(3)求和：
i＝1
b－n af(ξi)．(4)求极限：abf(x)dx＝nli→m∞i＝n1
b－n af(ξi)．
跟踪练习 1 (1)定积分af(x)dx 的大小( A ) b
A．与 f(x)和积分区间有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间及 ξi 的取法无关 C．与 f(x)及 ξi 的取法有关，与区间无关 D．与 f(x)、积分区间和 ξi 的取法都有关
1-5-3 定积分的概念 课件 (人教A版选修2-2)
i －1 ∴f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋ n i －1 ＝2＋ n . ∴ f(ξi)Δx＝
i＝1 n n n
i＝1
i－1 1 (2＋ )· n n
＝
i＝1
2 i－1 (n＋ n2 )
2 1 ＝ · n＋ 2[0＋1＋2＋…＋(n－1)] n n 1 nn－1 ＝2＋ 2· n 2 n－1 1 1 ＝2＋ ＝2＋ － 2n 2 2n 5 1 ＝2－2n. 5 1 5 ∴ (1＋x)dx＝lim (2－2n)＝2. n→∞
解 (1)由y＝ 图．
4－x2 知，x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如下
被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由 定积分的几何意义知，此定积分为半圆的面积，所以
2
-2
2 π·2 4－x2dx＝ 2 ＝2π.
π π (2)∵函数y＝sinx在x∈[－ ， ]是奇函数，由定积分的 2 2
1
0
1 1 2 1－x dx＝ ·π·1 ＝ π. 4 4
2
(2)∵函数y＝sinx＋x3在[－1,1]上为奇函数，
1 3 ∴ (sinx＋x )dx＝0.
-1
技能演练
nLeabharlann 积分下限 积分下限积分区间
答 案
积分变量
被积式 曲边梯形的面积
2.连续 恒有f(x)≥0
b 3.(1)k f(x)dx
a
b b (2) f1(x)dx± f2(x)dx
a c a
b (3) f(x)dx
名师讲解
正确理解定积分的概念及其几何意义 (1)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积 函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无
高中数学1.5.3定积分的概念教学设计新人教A版选修2_2
§1.5.3定积分的概念教案一、教学目标⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景； ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义； 教学过程： 二、预习导学1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 三、问题引领，知识探究1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
高中数学1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念课件新人教A版选修2_2
答案:
2 x2 dx -4 2
3.定积分的基本性质 ������ ������ (1) a ������������(x)dx = ������ a ������(x)dx(������为常数); (2)
������ a �������2(x)]dx =
c
1.5.3 定积分的概念
1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
1.定积分的概念 一般地,如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ ������(������t)Δx = ∑ n ������(������t), 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做 i=1 函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
n
轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( A. lim ∑ B. lim ∑
������
1 (������∈[0,2])及 x 1+������2
=
(3)取极限
2 1
13 3 13 (3x + 2)dx = lim ������n = lim = . n →∞ n →∞ 2 2n 2
题型一
题型二
反思利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、 取极限”这一过程.其中,将“近似代替、求和”作为一个步骤处理条 理性更强.
【变式训练 1】 在等分区间的情况下,f(x)=
������ ������ ������ (u)du = ������(t)dt = ⋯(称为积分形式的不变性), a a ������ 另外定积分 a ������(x)dx 的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 1 分区间,所得的值可能也不同,例如 0 dx 与 3 (x2 + 1)dx 的值就不同. 0 n ������ a
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轴所围成图形的面积的代数和．
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• [解析] (1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以 及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
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(3x＋1)dx 表示由直线 x＝－1，x＝3，y＝0 以及 y ＝3x＋1 所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下 方的面积，
∴ (3x＋1)dx ＝12×3＋13×(3×3＋1)－12－13＋1·2 ＝530－23＝16.
积．从定积分的几何意义不难理解定的积 分性质，即曲边梯实形用文面档 积的和与差．
3．当 f(x)在区间[a，b]上 f(x)<0 时，bf(x)dx 表示的含 a
义是什么？ 当 f(x)在区间[a，b]上值小于零时，bf(x)dx 表示由 y＝
a
f(x)，x＝a，x＝b，y＝0 所围成的图形的面积的相反数．
• [答案] C
D.112dx 0
• [解析] 由积分的几何意义可知选C.
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二、填空题 4．由正切曲线 y＝tanx，直线 x＝0 和 x＝π4，x 轴所 围成的平面区域的面积用积分表示为________．
[答案] [解析]
tanxdx
由
定
积
分
的
几
何
意
义
可
知
应
表
示
为
∫
π 4
0tanxdx.
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可得大小关系．
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三、解答题 6．利用定积分的几何意义说明下列等式成立．
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5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
(1)1xdx________1x2dx(图 1)；
0
0
(2)1xdx________2xdx(图 2)；
0
1
(3)2 4－x2dx________22dx(图 3)．
0
0
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• [答案] (1)> (2)< (3)< • [解析] 根据定积分的几何意义，结合图形
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• [分析] 由题目可获取以下主要信息： • ①被积函数形式上较为复杂；②积分的上、
下限明确； • 解答本题可先根据积分的几何意义求出相
关函数的定积分，再根据定积分的性质进 行加减运算．
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• [解析] (1)如图，
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[点评] 求定积分时应注意利用定积分的性质及几何
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• 1．定积分的概念
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• 定积分的性质①②称为定积分的线性性质．
• 定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加
性，这个性质表明：求f(x)在区间[a，b]上的定 积分，可以通过f(x)在区间[a，c]与[c，b]上的
定积分去实现． 实用文档
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[例 1] [分析]
求1x3dx. 0
• (3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、 下限；
• (4)根据积分的性质写出结果．
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画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面 积．
(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5. (2)y＝log12x，y＝0，x＝12，x＝3.
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[解析] (1)曲线所围成的平面区域如图所示．
B．[0,2]
• C．[1,2]
D．[0,1]
•
[答案]
[解析]
B解方程组yy＝＝e1x
，yx＝ ＝e2x
可得xy＝＝01 ，xy＝＝2e2
所以积分区间为[0,2]，实故用文应档选B.
• 2．下列式子中不成立的是 ( ) A．∫2aπ＋asinxdx＝∫2bπ＋bcosxdx
B． sinxdx＝ cosxdx
C.πsinxdx＝πcosxdx
0
0
D.π|sinx|dx＝π|cosx|dx
0
0
• [答案] C
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[解析]
由定积分的几何意义知
π
sinxdx>0，
π
cosxdx
0
0
＝0，所以C不成立，故应选C.
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3．下列值等于 1 的是
()
A.1xdx 0
B.1(x＋1)dx 0
C.11dx 0
设此面积为S，则S＝5|sinx|dx 2
或S＝πsinxdx＋5(－sinx)dx
2
π
＝πsinxdx－5πsinxdx. 2
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• 一、选择题
• 1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲 边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分
区间为 ( )
• A．[0，e2]
法是任意的，不一定是等分，只要保证每 一个小区间的长度都趋向于0就可以，采 用等分的方式是为了便于作和．
• ②关于ξi的取法也是任意的，实际在用定
积分的定义计算定积分时为了方便，常把
ξi都取为每个小区间的左(或右)端点． • 2．定积分的几何意义即由直线x＝a，x＝
b，x轴和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面
这里的被积函数 f(x)＝x3 显然是连续函数．现
按定义中包含的几个步骤来求1x3dx. 0
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[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1. (2)近似代替：作和 1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.
n
＝
i＝1
ni 3·1n.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们 此处将 ξi 取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
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(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n(n＋ 2 1)2
＝141＋2n＋n12，
∴1x3dx＝linm→∞ 0
141＋2n＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2
＝n(n2＋1)2)
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因此1x3dx＝14. 0
• [点评] 求定积分的四个步骤：分割、近似 代替、求和、取极限，关键环节是求 和．体现的基本思想就是先分后合，化曲 为直，通过取极限，形成整体图形的面 积．
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利用定积分的定义求b2dx 的值． a
[解析] 令 f(x)＝2. (1)分割： 在区间[a，b]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[a， b]等分成 n 个小区间a＋(b－an)(i－1)，a＋(b－n a)i (i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为b－n a.
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(2)近似代替、作和： 取 ξi＝a＋(b－n a)i(i＝1,2，…，n)，
积，故由定义可求，但注意被积函数及积 分上、下限特点可采用几何意义解决．
• [解析] ∵y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数， 图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方 部分面积与在x轴下方部分面积相等，由 积分的几何意义知 (x3＋3x)dx＝0.
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• [点评] 当曲边梯形在x轴下方时，积分值 为负，在x轴上方时，积分值为正，故定积 分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与x
∴A1＝1[ x－(－ x)]dx， 0
A2＝4[ x－(x－2)]dx， 1
∴S＝12 xdx＋4( x－x＋2)dx.
0
1
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• [点评] 用定积分表示曲线围成的平面区 域的面积的步骤是：
• (1)准确画出各曲线围成的平面区域； • (2)把平面区域分割成容易表示的几部分，
同时要注意x轴下方有没有区域；
意义．
(1)定积分的性质的推广
①b[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx a
＝bf1(x)dx±bf2(x)dx±…±bfn(x)dx；
a
a
a
②bf(x)dx＝ f(x)dx＋ a
cc12f(x)dx＋…＋
f(x)dx(其中 n∈N＋)．
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(2)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分 ①若奇函数 y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a －af(x)dx＝0. ②若偶函数 y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a －ag(x)dx＝2ag(x)dx.
意义进行表示．
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[解析] (1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积
为 S，则 S＝2( x－0)dx＝2 xdx
0
0
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(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，
S＝A1＋A2，A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成；
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成．
•
1．5.3 定积分的概念
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• 通过求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程， 了解定积分的背景，借助于几何直观体会 定积分的基本思想，了解定积分的概念， 能用定义求简单的定积分．
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• 本节重点：定积分的定义与性质． • 本节难点：定积分定义的理解．
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• 1．定积分定义中①关于区间[a，b]的分
0
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• [例4] 利用定积分的性质和定义表示下列 曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝ x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2. [分析] 由题目可获取以下主要信息：
①y＝ x图象为抛物线的一部分；
②x＝y2 为一条抛物线；
③y＝x－2，y＝0，x＝2 均为直线．
解答本题可先准确作出函数图象，再根据图象及几何
则 Sn＝i＝n1fa＋(b－n a)i·b－n a＝i＝n1 2(b－ n a)＝2(b－a)．
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• [解析] (1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以 及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
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(3x＋1)dx 表示由直线 x＝－1，x＝3，y＝0 以及 y ＝3x＋1 所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下 方的面积，
∴ (3x＋1)dx ＝12×3＋13×(3×3＋1)－12－13＋1·2 ＝530－23＝16.
积．从定积分的几何意义不难理解定的积 分性质，即曲边梯实形用文面档 积的和与差．
3．当 f(x)在区间[a，b]上 f(x)<0 时，bf(x)dx 表示的含 a
义是什么？ 当 f(x)在区间[a，b]上值小于零时，bf(x)dx 表示由 y＝
a
f(x)，x＝a，x＝b，y＝0 所围成的图形的面积的相反数．
• [答案] C
D.112dx 0
• [解析] 由积分的几何意义可知选C.
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二、填空题 4．由正切曲线 y＝tanx，直线 x＝0 和 x＝π4，x 轴所 围成的平面区域的面积用积分表示为________．
[答案] [解析]
tanxdx
由
定
积
分
的
几
何
意
义
可
知
应
表
示
为
∫
π 4
0tanxdx.
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可得大小关系．
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三、解答题 6．利用定积分的几何意义说明下列等式成立．
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5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
(1)1xdx________1x2dx(图 1)；
0
0
(2)1xdx________2xdx(图 2)；
0
1
(3)2 4－x2dx________22dx(图 3)．
0
0
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• [答案] (1)> (2)< (3)< • [解析] 根据定积分的几何意义，结合图形
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• [分析] 由题目可获取以下主要信息： • ①被积函数形式上较为复杂；②积分的上、
下限明确； • 解答本题可先根据积分的几何意义求出相
关函数的定积分，再根据定积分的性质进 行加减运算．
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• [解析] (1)如图，
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[点评] 求定积分时应注意利用定积分的性质及几何
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• 1．定积分的概念
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• 定积分的性质①②称为定积分的线性性质．
• 定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加
性，这个性质表明：求f(x)在区间[a，b]上的定 积分，可以通过f(x)在区间[a，c]与[c，b]上的
定积分去实现． 实用文档
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[例 1] [分析]
求1x3dx. 0
• (3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、 下限；
• (4)根据积分的性质写出结果．
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画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面 积．
(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5. (2)y＝log12x，y＝0，x＝12，x＝3.
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[解析] (1)曲线所围成的平面区域如图所示．
B．[0,2]
• C．[1,2]
D．[0,1]
•
[答案]
[解析]
B解方程组yy＝＝e1x
，yx＝ ＝e2x
可得xy＝＝01 ，xy＝＝2e2
所以积分区间为[0,2]，实故用文应档选B.
• 2．下列式子中不成立的是 ( ) A．∫2aπ＋asinxdx＝∫2bπ＋bcosxdx
B． sinxdx＝ cosxdx
C.πsinxdx＝πcosxdx
0
0
D.π|sinx|dx＝π|cosx|dx
0
0
• [答案] C
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[解析]
由定积分的几何意义知
π
sinxdx>0，
π
cosxdx
0
0
＝0，所以C不成立，故应选C.
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3．下列值等于 1 的是
()
A.1xdx 0
B.1(x＋1)dx 0
C.11dx 0
设此面积为S，则S＝5|sinx|dx 2
或S＝πsinxdx＋5(－sinx)dx
2
π
＝πsinxdx－5πsinxdx. 2
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• 一、选择题
• 1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲 边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分
区间为 ( )
• A．[0，e2]
法是任意的，不一定是等分，只要保证每 一个小区间的长度都趋向于0就可以，采 用等分的方式是为了便于作和．
• ②关于ξi的取法也是任意的，实际在用定
积分的定义计算定积分时为了方便，常把
ξi都取为每个小区间的左(或右)端点． • 2．定积分的几何意义即由直线x＝a，x＝
b，x轴和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面
这里的被积函数 f(x)＝x3 显然是连续函数．现
按定义中包含的几个步骤来求1x3dx. 0
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[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1. (2)近似代替：作和 1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.
n
＝
i＝1
ni 3·1n.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们 此处将 ξi 取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
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(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n(n＋ 2 1)2
＝141＋2n＋n12，
∴1x3dx＝linm→∞ 0
141＋2n＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2
＝n(n2＋1)2)
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因此1x3dx＝14. 0
• [点评] 求定积分的四个步骤：分割、近似 代替、求和、取极限，关键环节是求 和．体现的基本思想就是先分后合，化曲 为直，通过取极限，形成整体图形的面 积．
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利用定积分的定义求b2dx 的值． a
[解析] 令 f(x)＝2. (1)分割： 在区间[a，b]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[a， b]等分成 n 个小区间a＋(b－an)(i－1)，a＋(b－n a)i (i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为b－n a.
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(2)近似代替、作和： 取 ξi＝a＋(b－n a)i(i＝1,2，…，n)，
积，故由定义可求，但注意被积函数及积 分上、下限特点可采用几何意义解决．
• [解析] ∵y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数， 图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方 部分面积与在x轴下方部分面积相等，由 积分的几何意义知 (x3＋3x)dx＝0.
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• [点评] 当曲边梯形在x轴下方时，积分值 为负，在x轴上方时，积分值为正，故定积 分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与x
∴A1＝1[ x－(－ x)]dx， 0
A2＝4[ x－(x－2)]dx， 1
∴S＝12 xdx＋4( x－x＋2)dx.
0
1
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• [点评] 用定积分表示曲线围成的平面区 域的面积的步骤是：
• (1)准确画出各曲线围成的平面区域； • (2)把平面区域分割成容易表示的几部分，
同时要注意x轴下方有没有区域；
意义．
(1)定积分的性质的推广
①b[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx a
＝bf1(x)dx±bf2(x)dx±…±bfn(x)dx；
a
a
a
②bf(x)dx＝ f(x)dx＋ a
cc12f(x)dx＋…＋
f(x)dx(其中 n∈N＋)．
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(2)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分 ①若奇函数 y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a －af(x)dx＝0. ②若偶函数 y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a －ag(x)dx＝2ag(x)dx.
意义进行表示．
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[解析] (1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积
为 S，则 S＝2( x－0)dx＝2 xdx
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(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，
S＝A1＋A2，A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成；
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成．
•
1．5.3 定积分的概念
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• 通过求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程， 了解定积分的背景，借助于几何直观体会 定积分的基本思想，了解定积分的概念， 能用定义求简单的定积分．
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• 本节重点：定积分的定义与性质． • 本节难点：定积分定义的理解．
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• 1．定积分定义中①关于区间[a，b]的分
0
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• [例4] 利用定积分的性质和定义表示下列 曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝0，y＝ x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2. [分析] 由题目可获取以下主要信息：
①y＝ x图象为抛物线的一部分；
②x＝y2 为一条抛物线；
③y＝x－2，y＝0，x＝2 均为直线．
解答本题可先准确作出函数图象，再根据图象及几何
则 Sn＝i＝n1fa＋(b－n a)i·b－n a＝i＝n1 2(b－ n a)＝2(b－a)．