(新课程)高中数学《1.5定积分的概念》导学案 新人教A版选修22
【原创】人教A版选修2-2：第一章 1.5定积分的概念
第一章导数及其应用
其中 a 与 b 分别叫做_积__分__下__限__与_积__分__上__限__，区间[a，
b] 叫做 __积__分__区__间___ ， 函数 f(x) 叫做 __被__积__函__数__ ，x 叫 做
__积__分__变__量___，f(x)dx 叫做_被__积___式___．
讲一讲
2．汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度(单位：km/h) 为 v(t)＝t2＋2，那么它在 1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的 路程为多少？
[尝试解答] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间，第 i 个小区间 为1＋i－n 1，1＋ni (i＝1,2，…，n)．
第 i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi≈Δξi′＝v(t)·n1＝v1＋i－n 1·n1＝n3＋2in－2 1＋i－n312，
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
练一练
2．已知作自由落体运动的物体的运动速度 v＝gt，求在 时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解：①分割． 将时间区间[0，t]等分成 n 个小区间，其中第 i 个区间 为i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段 Δt ＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间内物体下落的距离，记作 ΔSi.
b
故 f(ξi)·Δxi<0，从而定积分af(x)dx<0，这时它等于图中 所示曲边梯形面积的相反数，
b
b
即af(x)dx<0＝－S 或 S＝－af(x)dx<0.
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
2
(7)
0
4－x2dx 的几何意义是什么？
提示：是由直线 x＝0，x＝2，y＝0 和曲线 y＝ 4－x2所
人教版数学高一选修2-2(教案)1.5定积分的概念
20 年 月 日 第 课时教学过程：一、自主探究 复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二、交流点拨1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S为函数()f x在区间[,]a b上的定积分。
记为：()baS f x dx=⎰其中()f x成为被积函数，x叫做积分变量，[,]a b为积分区间，b积分上限，a积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx⎰是一个常数，即n S无限趋近的常数S（n→+∞时）称为()baf x dx⎰，而不是n S．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[],a b；②近似代替：取点[]1,i i ix xξ-∈；③求和：1()niib afnξ=-∑；④取极限：()1()limnbia nib af x dx fnξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx=⎰；变速运动路程21()ttS v t dt=⎰；变力做功()baW F r dr=⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()baf x dx⎰的几何意义是介于x轴、函数()f x的图形以及直线,x a x b==之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x=，若()y f x=在[,]a b上可取负值。
2018-2019学年人教A版选修2-2 1.5定积分的概念1 学案
第一章导数及其应用1.5定积分的概念1------------ 学 案一、学习目标1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程． 二、自主学习1.如果函数y ＝f (x )在某个区间I 上的图象是一条 的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．2.由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为 ，如图①．3.把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 .对每个 “以直代曲”，即用 的面积近似代替 的面积，得到每个小曲边梯形面积的 ，对这些近似值 ，就得到曲边梯形面积的 如图②．4.如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t )，那么也可以采用 ， ， ， 的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .1. “以直代曲”的思想求曲边梯形的面积由于没有曲边梯形的面积公式，为计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积． “分割”的目的在于 “以直代曲”，即以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确．当n 越大，所有小矩形的面积和就越趋近于曲边梯形的面积．2.用定积分的定义求定积分的技巧(1)熟记解题的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限；(2) 在“近似代替”中，每个小区间上函数f (x )的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替。
事实上，也可以取区间上的任意点代替，没有统一的要求．为了运算方便，通常取一些特殊点．(3)熟记以下结论：①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，②12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，③13＋23＋33＋…＋n 3＝14n 2·(n ＋1)2.三、合作探究题型一 曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形的面积．思路导析：将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，求它们的和，得到曲边梯形的面积的近似值，当n 趋向于∞，即Δx 趋向于0时，这个近似值就无限趋近于所求的曲边梯形的面积．解析：(1)把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n 把区间[1,2]等分成n 个小区间[1，n ＋1n ]，[n ＋1n ，n ＋2n ]，…，[n ＋i －1n ，n ＋i n ]，…，[n ＋(n －1)n ，2]。
高中数学1.5.3定积分的概念第3课时教案新人教版选修2_2
§1.5.3定积分的概念【学情分析】：前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。
学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。
【教学目标】：（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。
（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.【教学重点】：理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质【教学难点】：对定积分概念形成过程的理解【教学过程设计】：()1i ∑练习与测试： （基础题） 1.函数()f x 在[],a b 上的定积分是积分和的极限，即()baf x dx =⎰_________________ .答案：01lim()niii f x λξ→=∆∑2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 . 答案：被积函数,积分区间,积分变量；3.定积分的几何意义是_______________________ .答案：介于曲线()y f x =,x 轴 ,直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和；4.据定积分的几何意义()a b <，则________;badx =⎰________.baxdx =⎰答案：b a - ， 222b a -（提高题）5.将和式极限表示成定积分 (1). 21lim(12)n n n →∞+++ 解：122011111lim (12)lim lim n nn n n i i i n i xdx nnn n→∞→∞→∞==+++===∑∑⎰ (2).201lim ()ni ii f x λξ→=∆∑，其中{}0121,[,],n i i i i x a x x x b x x Max x ξλ-=<<<<=∈=解：2201lim()()()nbbi i aai f x g x dx f x dx λξ→=∆==∑⎰⎰6. 利用定义计算定积分211.dx x⎰解：在[1,2]中插入分点21,,,n q q q -,典型小区间为1[,]i i q q -，（1,2,,i n =）小区间的长度11(1)i i i i x q q q q --∆=-=-,取1i i q ξ-=，（1,2,,i n =）1111111()(1)nnni i i i i i i i i f x x q q q ξξ--===∆=∆=-∑∑∑1(1)(1)ni q n q ==-=-∑取2nq =即12nq =，11()(21),nniii f xn ξ=∆=-∑1121lim (21)limln 2,1x xx x x x→+∞→+∞--==1lim (21)ln 2,nn n →∞∴-=1210111lim lim (21)ln 2.nn i n i idx x n x λξ→→∞==∆=-=∑⎰。
高中数学1.5.2定积分的概念第2课时教案新人教版选修2_2
§1.5.2汽车行驶的路程
【学情分析】：
学生在上一节学习了求曲边梯形面积之后，对定积分基本思想方法有了初步的了解。
这一节可帮助学生进一步强化理解定积分概念的形成过程。
【教学目标】：
（1）知识与技能：“以不变代变”思想解决实际问题。
（2）过程与方法：强化掌握“分割、以不变代变、求和、取极限”解决问题的思想方法
（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。
【教学重点】：
“以不变代变”的思想方法，再次体会求解过程中蕴含着的定积分的基本思想【教学难点】：
过程的理解．
【教学过程设计】：
b n
n ∑。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念1 新人教A版选修2-2
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n
n＋ 2
2＝141＋n2＋n12，
∴01x3dx＝nli→m∞ 141＋n2＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2 ＝n(n2＋1)2) 因此01x3dx＝41.
规律总结
用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n 等分．
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做
函数 f(x)在区间[a，b]上的___定__积__分_____，记作f(x)dx＝___ln_i→m_∞_i＝_1_[ __n__f_(ξ_i_)]___.
a
这里，a与b分别叫做__积__分__下__限____与___积__分__上__限___，区间 [a，b]叫做__积__分__区__间____，函数f(x)叫做__被__积__函__数____，x 叫做__积__分__变__量____，f(x)dx叫做__被__积__式______． 2．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_____f(_x_)_≥_0___， 那么定积分bf(x)dx 表示由___直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)___，
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或者 ξi＝xi.
n
(3)求和：
i＝1
b－n af(ξi)．(4)求极限：abf(x)dx＝nli→m∞i＝n1
b－n af(ξi)．
跟踪练习 1 (1)定积分af(x)dx 的大小( A ) b
A．与 f(x)和积分区间有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间及 ξi 的取法无关 C．与 f(x)及 ξi 的取法有关，与区间无关 D．与 f(x)、积分区间和 ξi 的取法都有关
人教版高中数学选修2-2学案：1.5.3定积分的概念
1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】 知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割→近似代替→求和→取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________________．记为_______. 其中()f x 称为_________，x 叫做________，[,]a b 为_______，b 叫做积分____，a 叫做积分_____________．说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（２）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰． 2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间)(],[x f b a 上函数连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分⎰ba dx x f )(表示直线x a =,()xb a b =≠,0y =和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.3．定积分的性质：（１）=⎰ba kdx _______（k 为常数）； （２）=⎰ba dx x kf )(____________（其中k 是不为0的常数）； （３）[]=±⎰b a dx x f x f )()(21_______________； （４）=⎰ba dx x f )(__________________（其中bc a <<）． 对点练习：1.下列等于1的积分是（ ）A.dx x ⎰10B.dx x ⎰+10)1(C.dx ⎰101D.dx ⎰1021 3．设⎩⎨⎧<≥=⎰-112)().0(2),0()(dx x f x x x x f x 则的值是（ ） A.⎰-112dx x ⎰-112.dx B x ⎰⎰+-100122.dx dx x C x ⎰⎰+-102012.dx x dx D x 3．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数)(x f 在区间上],[b a 连续且恒有0)(≤x f （即函数图象在x 轴下方）时，定积分⎰ba dx x f )(表示___________________________. 【合作探究】 典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：dx x ⎰-31|2|的值．变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分21(1)x dx+⎰的值．例2.利用定积分的定义，计算⎰103dxx的值．变式练习：计算⎰203dx x 的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（ ）A.［0，2e ］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］2.下列命题不正确的是（ ）．A.若)(x f 是连续的奇函数，则0)(=⎰-a a dx x f B.若)(x f 是连续的偶函数，则⎰⎰=-aa a dx x f dx x f 0)(2)( C.若)(x f 在],[b a 上连续且恒正，则0)(>⎰b a dx x f D.若)(x f 在],[b a 上连续且0)(>⎰b adx x f ，则)(x f 在],[b a 上恒正3.化简求值=+⎰⎰2110xdx xdx ______________＝ _____________ ．4.试用定积分的几何意义说明⎰-2024dx x 的大小．【课时作业】1.已知⎰⎰+=2020]6)([,3)(dx x f dx x f 则=( )A.9B.12C.15D.182.若函数x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 等于（ ）．A.0B.8C.⎰20)(dx x fD.2⎰20)(dx x f3.将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分是（ ） A.dx x ⎰101B.dx x p⎰10 C.dx x p ⎰10)1( D.dx n x p⎰10)(4.利用定积分的性质和几何意义求定积分⎰-302)2(dx x ．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.。
高中数学高中数学选修22公开课教案1.5.3《定积分的概念》
1.5.3 定积分的概念教学目标：1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.2. 理解定积分及几何意义.3. 掌握定积分的基本性质及其计算 教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算教学过程：1. 定积分的定义：2. 怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？ t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？31)(10211⎰⎰===dx x dx x f S 35)2()(102102⎰⎰=+-==dt t dt t v S3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f ba==≠==⎰ 4.4.根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？思考：试用定积分的几何意义说明 1.⎰-224dx x 的大小由直线x =0，x =2，y =0及24x y -=所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的41，.4202π=-∴⎰dx x 2.0113=⎰-dx x5. 例：利用定积分的定义，计算013=⎰dx x 的值.C1O x y ab A BD )(2x f y =)(x f y =6.由定积分的定义可得到哪些性质？ 常数与积分的关系⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()(和差的积分 推广到有限个也成立 ⎰⎰⎰±=±bab ab adx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121区间和的积分等于各段积分和)()()()(b c a dx x f dx x f dx x f bc caba<<+=⎰⎰⎰其中7练习：计算下列定积分⎰-312)2(dx x x高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习目标
1．理解曲边梯形面积的求解思想,
掌握其方法步骤；
2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；
3．明确定积分的几何意义和物理意义；
4．无限细分和无穷累积的思维方法.
学习过程
一、课前准备
（预习教材，找出疑惑之处）
复习1：函数23
(sin)
y x
=的导数是
复习2：若函数2
log(23)
a
y x x
=--的增区间是(,1)
-∞-，则a的取值范围是
二、新课导学
学习探究
探究任务一：曲边梯形的面积
问题：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()
y f x
=的一段，我们把直线x a
=，x b
=()
a b
≠，0
y=和曲线()
y f x
=所围成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积呢？
研究特例：对于1
x=，0
y=，2
y x
=围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？
新知：1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程
分割⇒近似代替⇒求和⇒取极限
2.定积分的定义：
1
()lim()
n
b
i
a n
i
b a
f x dx f
n
ξ
→∞
=
-
=∑
⎰
3.定积分的几何意义：
4.定积分的性质：
（1）()()b b
a a kf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 为常数） （2）1212[()()]()()
b b b
a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （3）()()()
b
c b
a a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中a c
b <<） 试试：求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积.
反思：在求曲边梯形面积过程中，你认为最让你感到困难的是什么？（如何分割，求和逼近是两大难点）
典型例题
例1 利用定积分的定义，计算1
30x dx ⎰的值
变式：计算2
30x dx ⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么？
例2 计算定积分1
20(2)x x dx -⎰
变式：计算定积分2
1(1)x dx +⎰
动手试试
练1. 计算1
30x dx ⎰，并从几何上解释这些值分别表示什么.
练2. 计算0
31x dx -⎰，并从几何上解释这些值分别表示什么.
三、总结提升
学习小结
1. 求曲边梯形的面积；
2. 会计算定积分.
知识拓展
定积分把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题的结果，表示成了同样的形成.这显示这定积分的强大威力，也再一次表明了数学的威力. 学习评价
当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且(())()F x C f x '+=，（C 为常数），则0()()lim x F x x F x x
∆→+∆-=∆（ ）
A ．()F x
B ．()f x
C ．0
D ．()f x '
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上的平均值为（ ）
A ．()()2
f a f b + B ．()b a f x dx ⎰ C ．1()2b a f x dx ⎰ D ．1()b a
f x dx b a -⎰ 3. 设()f x 是连续函数，且为偶函数，在对称区间[,]a a -上的定积分()a
a f x dx -⎰，由定积分的几何意义和性质()a a
f x dx -⎰=（ ） A ．0 B ．0
2()a f x dx -⎰ C ．0()a f x dx -⎰ D ．0()a
f x dx ⎰ 4. 10x e dx ⎰与2
10x e dx ⎰的大小关系为 5. 3531(sin )2
x dx -+⎰=
课后作业。