1定积分的概念
高数定积分定义
高数定积分定义
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一定区间上的
积分结果的确定。
在数学中，积分是微积分中的一种基本概念，定义
了一种反向操作，即由导数得到原函数。
定积分的定义是指在函数y=f(x)的x轴某一区间[a,b]上，将其分割成许多小的矩形，并将这些矩形的面积分别求出。
当分割的小矩形
数趋向于无穷大时，这些小矩形组成的面积总和即为该函数在区间[a, b]上的定积分，用符号∫abf(x)dx表示。
其中dx代表自变量的微元，f(x)代表被积函数，而a和b是积分
的上下限。
上述式子也可以看作是在曲线y=f(x)与x轴之间的面积之
积分。
为了方便计算，往往将上述区间分割成等分的若干小区间，其中
小区间的个数记作n，区间长为Δx。
于是有Δx=(b-a)/n，而小矩形
面积为f(xi)Δx，其中xi为小区间的中点。
将这些面积相加，即可得到该函数在区间[a, b]上的近似定积分。
在极限n趋向于无穷大的情况下，上述近似定积分将趋近于函数
在区间[a, b]上的定积分，即∫abf(x)dx。
因此，定积分又可以描述为曲线y=f(x)在区间[a, b]上与x轴之
间面积大小的确定。
而由于定积分的值只与积分区间及被积函数有关，因此在定积分的计算中，被积函数函数的表达式及积分区间的范围就
成为了最为重要的关键。
定积分在实际问题中的应用非常广泛，例如可以用于求曲线与坐标轴的面积，求函数在某个区间上的平均值，以及求物体在某一时间间隔内的位移等问题。
同时，定积分也是微积分中重要的积分概念之一，有较高的理论和实际应用价值。
1 定积分概念
.1 定积分概念定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a,b]的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有成立，则称I是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。
接下来的问题是：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
.2 牛顿－莱步尼兹公式及实例定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则。
(1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即。
(2)在上式中令x = a，得。
又由Φ (x)的定义式及上节定积分的补充规定知Φ (a) = 0，因此，C = F(a)。
以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的Φ (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。
由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。
为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。
公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。
例1 计算定积分。
解。
例2计算。
解。
例3计算。
解。
例4计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。
1 定积分的概念
§1.定积分的概念※ 学习目标1．理解定积分产生的背景；2．掌握定积分问题的基本思想和解决方法. ※ 学习过程 一、课前准备 复习：导数的的概念；导数在几何、物理上的意义；应用导数在解决数学最值问题上的方法步骤二、研读课本 课本问题1图中阴影部分时由抛物线f(x)=x 2，直线x=1及x 轴所围成的平面图形.试估计这个曲边梯形的面积S.新知总结积分问题的基本思路及步骤 1、分割：将区间[a ，b]插入n －1个点（一般都是均匀插入这些点），使得：a=x 0<x 1<x 2<…<x 1-i <x i <…<x 2-n <x 1-n <x n =b ，则将区间分成了[a ，x 1]，[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，…，[x 1-i ，x i ]，…，[x 2-n ，x 1-n ]，[x 1-n ，b]n 个区间，记第i 个区间[x 1-i ，x i ]长度为△x i （i=1，2，3，…，n ），过每个分点x i 作x 轴的垂线段，则将曲边梯形分割成了n 个小的曲边梯形；2、近似代替：在第i 个区间[x 1-i ，x i ]内任取一个值ξi （一般都是取左端点x 1-i 或者右端点x i ），那么这个曲边梯形可以近似看作是一个矩形，其高为f(ξi )，易知宽为x i －x 1-i =△x i ，那么这个小曲边梯形的面积就可以近似看作S i ≈ f(ξi )·△x i （i=1，2，3，…，n ）；3、求和：S ≈S 1+S 2+ S 3+…+S 1-n +S n = f(ξ1)·△x 1+ f(ξ2)·△x 2+ f(ξ3)·△x 3+…+ f(ξ1-n )·△x 1-n + f(ξn )·△x n =∑=∆ξni i i x f 1)(4、取极限：分割的细度n →∞，则S=∞→n lim∑=∆ξni iif 1)(课本问题二想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s 后停下，在这一过程中，汽车的速度v （单位：m/s ）是时间t 的函数：v （t ）=t 2－10t+25(0≤t ≤5).请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.例 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值： （1）⎰12dx （2）⎰21xdx （3）⎰--1121dx x小结：定积分的几何意义就是求曲边梯形的面积.知识点： 定积分有如下性质：性质1⎰ba dx 1=性质2 ⎰b a dx x kf )(=性质3 ⎰±b a dx x g x f )]()([=性质4 ⎰b ax f )(=⎰cax f )(+⎰bcx f )(三 动手试试 练1. 面积问题：设S 表示由曲线y=x ，直线x=1以及x 轴所围成平面图形的面积.(1）画出该平面图形；（2）试估计该平面图形的面积，并写出估计值的误差.练2. 做功问题一根弹性系数为0.4N/cm 的弹簧，其拉力F 随着弹簧拉伸的长度x 的变化而不断变化，根据胡克定律可知：F=F(x)=0.4x.如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端固定在物体上，在不考虑摩擦力的情况下物体在力F 作用下匀速移动，从原来位置 移动10cm.估计这一过程中拉力所做的功W.练3．用图形表示下列定积分： （1）⎰102dx x （2）⎰21ln xdx （3）⎰-11dx e x※ 总结提升 学习小结1. 积分问题的基本思路及步骤：1、分割；2、近似代替；3、求和；4取极限． 2. 积分的几何意义就是求曲边梯形的面积． ※ 课后练习：（1-4选择题）1．利用定积分的几何意义求下列定积分（1）⎰212xdx （2）⎰-224dx x（3）⎰-11dx x2．已知⎰10dx e x=e ，⎰102dx x ，求下列定积分：（1）⎰+12)(dx x e x（2）⎰-12)2(dx x e x3．如果汽车在某一段时间内的速度函数为v （t ）=20t ，0≤t ≤5，试估计汽车在这段时间内走过的距离，并写出估计值的误差.4．设力F （单位：N ）的方向与抛物线运动的方向一致，力的大小随着物体走过的路程x （单位：m ）而变化，可以表示为F=F(x)=x11,估计力F 在0—10m 这段路程内所做的功，要求误差不超过1N ·m.。
1.5.3《定积分的概念》课件-(1)
5 S v(t )dt (t 2)dt 0 0 3
1 1 2
O
1 1 2 3 j n - 1
t
n n n n
n
注：
1 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
i 1 i
n
i
y y=f ( x)
b
c
b
f (x)dx。
f )( dx x)dx f (x f )( dx x) dx f (x )f dx (x f )( dx x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a a c c c
b
b
c
c
b
b
b
c
b
f (x)dx。
0
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
2
④
（2）在图②中，被积函数 f ( x) x 在[1 ， 2] 解： 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面 积为 A 2 x 2 dx
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 a
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1 定积分的概念
高等数学（上）
定理3 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有界，
且只有有限个间断点，则 f ( x ) 在
区间[a , b]上可积.
定理4 设函数
则
f ( x ) 在区间 [a , b] 上有界且单调，
2
n
2
1 n 2 3 i n i 1
1 n( n 1)(2n 1) 3 n 6
1 1 1 1 2 6 n n
1 因为 max{x1 , x2 , xn } n
高等数学（上）
所以 0 n ，
故有
[a , b ]
上可积。
f ( x)
在区间
例1 设 R, 则
b
a
dx (b a ).
高等数学（上）
例2 利用定义计算定积分
0 x
1
2
dx .
解 由于 f (x) = x2 在 [ 0 , 1 ] 上连续 , 因此可积 .
所以取如下划分:
将
[0,1] 分成 n 等分，分点为
0
1
xdx
n n n (2) lim 2 2 2 2 2 n n 1 n 2 n n n 1 dx 1 1 lim 2 n 0 1 x2 n i i 1 1 n
高等数学（上）
用和式极限表示定积分： ba ba 2(b a ) n(b a ) lim ) f (a ) f (a ) f (a n n n n n
i b a lim f a (b a ) n n n i 1 b 1 n i f a (b a ) f ( x )dx n i 1 n a
定积分的概念和基本思想
定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。
(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。
2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
定积分的定义
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数f()在区间[a,b]上的积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系，一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。
定积分的分类
不定积分
即已知导数求原函数。
若F’()=f()，那么[F()+C]'=f()，（C∈R，c属于常数）也就是说，把f()积分，不一定能得到F()，因为F()+C的导数也是f()（C是任意常数）。
所以f()积分的结果有无数个，是不确定的。
所以一律用F()+C代替，这就称为不定积分。
即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分
定积分就是求函数f()在区间[a,b]中的图像包围的面积。
即由
y=0,=a,=b,y=f()所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
定积分的常用积分法
换元积分法
如果f（）∈c（[a，b]）；=ψ（t）在[a，β]上单值可导；当
a≤t≤β时，a≤ψ（t）≤b，且ψ（a）=a，ψ（β）=b,则∫ba f（）d=∫βa f（ψ（t））ψ’（t）dt
定积分的分点问题
定积分是把函数在一些区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴
的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。
习惯上，人们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δ是相等的。
但是
必须指出，即使Δ不相等，积分值仍然相同。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
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解：积分区间为[0，2]
0
A
2 x
A f ( x)dx
0
2
2
0
xdx
面积A f ( x)dx
a
b
( f ( x) 0)
变速运动的路程 S：
S(t)
记为
vt dt
T2 T1
训练2：一辆汽车以速度v(t)=3t+5(m/s)作直线运 动，试用定积分表示汽车在t1=1s到t2=3s期间所经 过的路程 . 解：
v(t )dt
a
b
两种不同的算法得出的结果应该相同，故有
v(t )dt S (b) S (a)
a
b
或写作
v(t )dt S (t )
a
b
b a
2、微积分学基本公式
设函数F(x)是连续函数f (x)在区间[α ，b]上的 任意一个原函数，则
b
a
f ( x)dx F ( x ) a F (b) F (a)
f x 的最大值。几何演示
sin xdx cos x 0 ( cos ) ( cos0) 2
0
训练：求 | x | dx
1
2
解：
2
1
| x | dx ( x)dx xdx
1
0
2
x 2
2 0
x 2 1
0 2 2
0
1 4 ( 0 ) ( 0) 2 2 1 5 2 2 2
定积分的概念
The Concept of Definite Integral
4.1 积分的概念与性质
Deviation Analysis
知识目标
1、理解定积分的概念和几何意义； 2、掌握定积分的性质; 3、掌握积分基本公式及其应用
能力目标
1、会利用定积分的概念与性质求简单的定积分 2、会用定积分解决生活和专业中的实际问题.
0
y
2
0 -3
x
3
◆定积分的基本性质 性质1（数乘） 被积式中的常数因子可以提到积分 号前面，即
kf ( x)dx k
a
b
b
a
f ( x)dx
y=kf(x)
(k为常数).
y kf(a) y=f(x) f(a) o b
kf ( x)dx
a
b
b a
f ( x)dx
x
a
性质2（加减法） 两个函数代数和的积分等于这两个函数积分的代数 和，即
A?
o
分割
a
b
求
x
取极限
近似
和
定积分(The Definite Integral)的定义
若 I= lim f ( i )x i 存在，则称此极限为
0 i 1
n
函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为
b
a
f ( x)dx ，即
积分上限
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
积分下限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
详细定义见课本略
注：
1 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
i 1 i
n
i
点的取法无关。 2．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
x 轴、直线 x a 、
x b 所围成.
A?
o
a
b x
求曲边梯形的面积 A 的思路如下：
用矩形面积近似取代曲边梯形面积：
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
y
练习 1. 求
2
0
| sin x |dx
x 1, f x 2.设 1 2 x , 2
x 1 x 1
，求
2
0
f x dx
小结：定积分的定义是一种构造性定义，
通过四步骤归结为一个和式的极限. １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
S v(t )dt (3t 5)dt
1 1
3
3
S vt dt
T2 T1
四、几何意义(Geometry significance)
◆定积分的几何意义
1、
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
y
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
a c
c
b
y
c a
f ( x)dx
y=f(x)
b c
f ( x)dx
o
a
c
b
x
性质4
f ( x) 1, 则 如果在区间[a,b]上，
b
a
f ( x)dx b a
y f(x)=1 1
b
b a
1dx
o
a
x
性质5
若在区间[a, b]上，有 f ( x) g ( x),则 f ( x)dx g ( x)dx
a 1
b
2
A3
表示曲线与 x 轴围成的图形面积的代数和。
y f x
a
A1
A2
A3
b
◆定积分的几何意义
若f
( x) 是偶函数，则
a
a
f x dx 2 f x dx
0
a
-a
a
a
若f
( x)是奇函数，则
a
f x dx 0
a
-a
◆定积分几何意义的应用
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 的负值
y a b x
y=f(x)>0 A
0 a
b x
0
A y=f(x)<0
◆定积分的几何意义
2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y
y=f(x)
A1
a 0
A3
A2
b
x
b
a
f ( x)dx A1 A2 A3
◆定积分的几何意义
f x dx A A
b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
b
b
b a 3．规定： f ( x)dx f ( x)dx a b
a
a
f ( x)dx 0
曲边梯形面积A：
A lim f (i )xi
0
i 1
n
记为
b
a
f x dx
4.1 积分的概念与性质 训练1 某工件的形状如图所示，用定积分表示此工 件平面的面积。 y
牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式
b
例4：计算定积分
(1) x 2 dx
1
4
1 解： （ x 3） ' x2 3
0
4
1
1 3 43 13 2 x dx x 21 3 1 3 3
4
(2) sin xdx
解： （ cos x） ' sin x
(ln x) dx （ln x）dx
训练：比较大小
(1) ( 2)
1
0
xdx, x 2 dx
0
1
4 0
cos xdx, 4 sin xdx
0
引例3：求作变速直线运动的物体从时刻a到时刻b所经过 的路程。
（1）若已知路程函数S(t)，那么要求的路程是：S(b)-S(a)
(2)若已知速度函数v(t),则按引例1可知，所求路程为：
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形(Curved edge echelon)的面 积） 何谓曲边梯形？ 请看下列两图形。
平面封闭图形均可 理解成数个曲边梯 形的集合。
如图，有一曲边梯形置于直角坐标系xoy中。
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
y
y f ( x)
分割
求近似
化整为零
以直（不变）代曲（变）
求和
积零为整
取极限
精确值——定积分
引例曲边梯形的面积
exit
估值定理
exit
积分中值定理
exit
牛顿-莱布尼兹公式
返回
再见！
性质6
6
m b a f x dx M b a
a
b
其中 m 是 f x 的最小值，M 是
(1) 3dx 3 (7 1) 18 1
1 (2) 2 xdx (2 8) 3 15 1 2
4
7
8
3 2 1
7 1 4
◆定积分几何意义的应用
(3)
3
3
2
1 9 2 9 x dx 3 2 2
2
(4) sin xdx 0
a a
b
b
y y=f(x) f(a) y=g(x) g(a) o b