计算不定积分应该注意的几个问题资料

目 录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)引言 (1)1 基本概念、定理及公式 (2)2 直接积分法易犯错误举例剖析 (3)2.1 运算中漏掉“C ”、“⎰” (3)2.2 自创运算法则致误 (3)2.3 对公式1ln dx x C x =+⎰ ()0x ≠的错误运用 (4)2.4 对公式11a a x x dx C a +=++⎰ ()1a ≠-的错误运用 (4)3 第一换元积分法应注意问题 (5)3.1 牢记凑微分公式 (5)3.2 注意解的不同表示方法 (6)4 第二换元积分法中易犯错误剖析 (6)5 分部积分法应注意事项 (8)6 计算某类特殊积分注意事项 (9)6.1 有理函数的不定积分 (9)6.2 分段函数的不定积分 (10)参考文献 (12)致谢 (13)本科生毕业论文1计算不定积分应该注意的几个问题摘要 不定积分是一个非常基本且又十分重要的概念，我们应当灵活地使用各种技巧和被积函数的类型和特点来计算不定积分，由此积分法成为数学教学中富有探索性的一个领域.文章归纳整理了我们在使用各种方法计算不定积分时容易出现的问题，并对这些问题进行了分析和探讨.例如：直接积分法、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法以及特殊积分法.关键词 不定积分 直接积分法 换元积分法 分部积分法 特殊积分法Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several Issues Abstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in exploration.This paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and discussed.such as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method.Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitutionDivision integral method Special integral method引言 不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部分知识.1 基本概念、定理及公式定义1[1] 设函数f 与F 在区间I 上有定义.若()(),,F x f x x I '=∈则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.定义2[1] 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分,记作 (),f x dx ⎰其中称⎰为积分号,()f x 为被积函数,()f x dx 为被积表达式,x 为积分变量.注意 函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视.计算不定积分应该注意的几个问题2定理1 若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数F ，即()(),F x f x x I '=∈.定理2 设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则()i F C +也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；()ii f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数. 定理3 若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，1k 、2k 为两个任意常数，则12k f k g I +在上也存在原函数，且1212[()()]()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰ 常用基本积分公式:()10dx C =⎰. ()2ln xxa a dx C a =+⎰ (0,1)a a >≠-. ()31dx dx x C ==+⎰⎰. ()14cos sin axdx ax C a =+⎰ (0)a ≠. (5)11x x dx C ααα+=++⎰ (1,0)x α≠->. ()16sin cos axdx ax C a =-+⎰ (0)a ≠. ()17ln dx x C x =+⎰ (0)x ≠. ()128arcsin arccos 1dx x C x C x=+=-+-⎰. ()9x x e dx e C =+⎰. ()1210arctan cot 1dx x C arc x C x =+=-++⎰2 直接积分法易犯错误举例剖析直接积分法是根据基本积分公式利用不定积分基本运算法则或通过简单代数、三角恒等变形后再利用基本积分公式的一种方法，这是一种最基本最简单最直接积分方法，这也是我们初学不定积分应该掌握的最基本的计算方法，下面我们将对一些经常出现错误的地方具体举例剖析一下.2.1 运算中漏掉“C ”、“⎰”例1 求3x dx ⎰.错解 434x x dx =⎰.例2 求()34x dx +⎰.本科生毕业论文3错解 ()4334444x x dx x dx dx x C +=+=++⎰.剖析 发生这类错误，有三种可能的情形：1）不定积分概念不清楚以及对“⎰” 意义不清楚；2）对“C ”出现的意义不明确，这应该指的是函数的所有原函数才对并不单独指某一个原函数；3）粗心大意.为减少这类错误的发生，我们再学习这部分内容时，应该注意强调函数的不定积分指的是该函数的所有原函数以及利用一切可能的机会强调符号“⎰”的意义及有关的运算法则，通过一定量的训练让我们能够正确的进行一些基础运算，为后边的内容打下一个坚实的基础.2.2 自创运算法则致误例3 求 ()323x x dx -⎰.错解 ()()432323133343x x x dx x dx x dx x x C ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰. 例4 求421x dx x +⎰. 错解 ()544223151113x x dx x dx C x x dx x x ==++++⎰⎰⎰.剖析 发生这类错误主要是我们根据思维定势自创运算法则造成，我们受之前的 极限四则运算法则及导数四则运算法则的影响，在解题过程中常常不自觉地将这一思维定势迁移到不定积分中认为不定积分也具有四则运算法则，且很容易自创如下错误法则 ()()()()f x g x dx f x dx g x dx =⎰⎰⎰ （1）； ()()()()f x dx g x dx f x dx g x =⎰⎰⎰ （2）. 我们在解题过程中错误的运用这两个运算法则导致很多不该犯的错误就是没有搞清楚实际上不定积分有加减运算法则但没有乘法运算法则也没有除法运算法则，因此我们在计算不定积分时首先应熟记运算法则，不要无中生有以致不该出现的误解.2.3 对公式1ln dx x C x =+⎰ ()0x ≠的错误运用[2]例5 求31dx x⎰. 错解 331ln dx x C x=+⎰. 例6 求21cos dx x⎰.计算不定积分应该注意的几个问题4 错解 221ln cos cos dx x C x=+⎰. 剖析 这种错误主要是源于对公式的特征识别有误，要想真正掌握基本积分公式， 我们再听积分基本公式的推导时要辨别各种公式的模式特点，在做例题时，仔细分析题目，有意识的培养自己识别所解问题是否符合公式模式，对不符合公式模式的寻找其他的解题途径，从理论上和心理上为正确运用公式奠定基础.2.4 对公式11a a x x dx C a +=++⎰ ()1a ≠-的错误运用[2] 例7 求 3sin xdx ⎰.错解 341sin sin 4xdx x C =+⎰. 例8 求2sin sin xd x ⎰.错解 由 ()()1cos sin ,,a a x x x ax -''=-= 32cos sin sin 3x xd x C =-+⎰. 剖析 这类错误主要是对幂函数积分公式的模式识别有误，从题目形式上来看， 第一个例题不能直接用幂函数积分公式，只有当被积表达式化为[]()()a x d x ΦΦ形式时 才能用，但第二个例题正好符合公式，错误主要是没有真正掌握换元思想，下面我们将会介绍换元和公式的结合.总结 以上主要列举了用直接积分法计算不定积分时我们经常出现错误的地方，其实类似这类错误还有很多，如：()21112dx d dx d x x x ==-、像这类系数问题、符号问题也是不定积分中常见的错误，问题出在函数的微分运算上，在这里就不再一一列举，以上所列举的几种类型主要是提醒我们在初学计算不定积分时，必须熟悉基本积分公式、基本运算性质、基本积分方法、一定的解题策略，并能对被积函数进行适当的代数或三角的恒等变形，或对被积表达式进行凑微分、变量置换等变形后化成能用公式直接代入的形式，因此在初学计算不定积分时要细心认真，掌握最基本的为下面计算更加复杂的积分奠定一个良好的基础.3 第一换元积分法应注意问题第一换元积分法[3]若函数()[,]u x D a b ϕ=∈，且()x αϕβ≤≤，[,],u αβ∀∈有本科生毕业论文5()()F u f u '=，则函数[()]()f x x ϕϕ'存在原函数[()]F x ϕ，即[][]()()().f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰第一换元积分法即如何凑成微分形式，然后利用基本积分公式，它是不定积分的基本方法.但是有些凑微分法需要一定的方法技巧，而且往往要多次尝试，我们初学者只有多看多做扩宽视野多积累经验才能熟能生巧，下面将对根据自己所掌握的对利用第一换元积分法计算不定积分需要注意的问题归纳整理，希望对学习不定积分有一定的帮助.3.1 牢记凑微分公式在用第一换元积分法求不定积分时，要牢记常用的凑微分公式，只有这样才能对熟练运用第一类换元积分法起到事半功倍的效果.例9[4] 求ln x dx x⎰. 解 原式=21ln ln ln 2xd x x C =+⎰. 分析 由凑微分公式1ln dx d x x=可以看出中间变量可以确定为ln x ，即可求解. 例10 求tan xdx ⎰.解 sin 1=tan cos ln cos cos cos x xdx dx d x C x x ==-=-+⎰⎰⎰原式. 分析 因为sin tan cos x x x=，sin cos xdx d x =-由凑微分公式可知中间变量为cos x ，其解可根据上述公式求出.从以上可以看出，熟练掌握凑微分公式，对灵活运用第一类换元积分法有较大的作用，但是我们在计算过程中一定要注意保证凑微分过程的准确性，否则将会带来很大的麻烦，易导致最后的结果错误.3.2 注意解的不同表示方法我们在用第一类换元积分法求解时，常常遇到方法正确而解有所不同的地方，这 时不要怀疑方法的正确性，这主要是因为由于中间变量选定的差异 ，可能造成解的形式有差异，但是这些解经过一定的变形后可化成相同形式.例11[4] 求sin cos x xdx ⎰.解法一 原式=21sin sin sin 2xd x x C =+⎰.计算不定积分应该注意的几个问题6解法二 原式=211cos cos cos 2xd x x C -=-+⎰=()2111sin 2x C --+ =2111sin 22x C +- = 21sin 2x C +. 解法三 原式=2111sin 2sin 22cos 2244xdx xd x x C ==-+⎰⎰=()22112sin 4x C --+ =2211sin 24x C +- =21sin 2x C +. 从以上可知三种解法，三个中间变量，得到三种不同形式的解，但最终都可化为 一种形式的解，所以再遇到与别人算的解不一样时不要盲目的认为自己的解不对，要仔细的检查自己选的中间变量是否正确.总结 以上主要列举了用第一换元积分法计算不定积分时最需要注意的两个问题，还有一些细节方面的问题就不再举例了，参考直接积分法就可以了，此类积分法主要就是确定中间变量，一个积分有可能有很多不同的中间变量，我们一定要注意观察，用适合自己的方法解决此类问题.4 第二换元积分法中易犯错误剖析第二换元积分法 设函数[](),,()x t D a t b ϕαβϕ=∈≤≤，且()0t ϕ'≠，函数()f x 在 [][],,,a b t αβ∀∈有定义，有[]()()()G t f t t ϕϕ''=，则函数()f x 在[],a b 存在原函数，且1()().f x dx G x C ϕ-⎡⎤=+⎣⎦⎰第二类换元积分法一般是先做变量代换，然后再求积分，一共分为四个步骤来完成，即换元、整理、积分、回代，其中第一步是关键步骤，下面讲述的一类错误主要就是有关换元过程中忽略一些条件所引起的.例12[5] 求22x a dx x-⎰ (0)a >. 错解 令sec x a t =，则原式可化为原式=tan sec tan sec a t a t tdt a t⎰本科生毕业论文7()()2222tan sec 1tan arccos .a tdta t dt a t t Ca x a a C x ==-=-+=--+⎰⎰剖析 从题目中我们可以看出原来被积函数的定义域是x a ≥，经过变量代换sec x a t =后，t 对应定义域为22t ππ-≤≤，因此2222tan tan x a a t a t -==，但是上述解法却直接把绝对值去了，这就相当于仅考虑了被积函数在x a >的定义域，从而导致只计算了一半把另一半忽略了.例13 求35sin sin x xdx -⎰.错解 ()3532sin sin sin 1sin x xdx x x dx -=-⎰⎰ =322sin cos x xdx ⎰(令sin t x =)32t dt =⎰5225t C =+522sin 5x C =+. 剖析 根据在化简过程可以确定被积函数的定义域x [22]k k π,π+π∈ k z ∈，因此在去绝对值过程中，只考虑了被积函数在第一象限而忽略了在第二象限，导致题目漏解.总结 通过以上两个例题的分析，指出了用第二换元积分法计算不定积分时最容易出现错误的地方，即就是在换元过程中不考虑定义域问题而导致漏解情况，这应该引起我们的重视，因此在遇到类似情况时首先就算一下被积函数的定义域，然后在进行下面过程，这样就很容易避免类似错误发生.5 分部积分法应注意事项分部积分法 若()u x 与()v x 可导，不定积分()()u x v x dx '⎰存在，则()()u x v x dx '⎰ 也存在，并有()()()()()()u x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰分部积分法是积分学的一个宝贵方法，他可以解决某些用换元积分法不能计算的积分，该方法主要是根据两个函数乘积的微分法则建立起来的，但是有时需要连续使用几次分部积分才能得到结果，在计算过程中一定得仔细认真.计算不定积分应该注意的几个问题8 例14[6] 求cos sin x dx x⎰. 错解 原式=1sin sin d x x ⎰ 211sin sin sin sin 11sin cos sin cos 1,sin x xd x xx xdx x x dx x =-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=+⎰⎰⎰ 等式两边消去cos sin x dx x⎰，得 1=0. 剖析 此题错误主要是错在最后一步，不定积分是原函数加上一个任意常数C ,因此不定积分不是一个确定的函数，不可在等式两边消去不定积分，若是按上面做法是求不出结果的，而且消去不定积分得“0=1”更是错误的.注意 有时用分部积分法计算不定积分几次分部后，又出现原积分，可移项求解，此时要求：（1）移项后的相同不定积分系数可合并，但不可为零；（2）移项后等式另一边要加上“C ”.例15 求cos x e xdx ⎰.解 =cos cos sin x x x xde e x e xdx =+⎰⎰原式cos sin cos sin cos x x x x x e x xde e x e x e xdx =+=+-⎰⎰则 2cos (cos sin )x x e xdx e x x C =++⎰从而 (sin cos )cos 22x xe x x C e xdx +=+⎰. 6 计算某类特殊积分注意事项计算不定积分除了以上几个比较常用的方法外，我们在计算过程中可能会遇到更复 杂的不定积分如：有理函数的不定积分、分段函数的不定积分等，这时我们会发现再用平常的积分方法根本解决不了问题，但是不管再复杂，我们还是可以按照一定的步骤计算出来，计算这类特殊积分必须熟记它所代表的类型以及所用的解题方法，下面将列举几个例子来分析一下.本科生毕业论文96.1 有理函数的不定积分有理函数 由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为101101...()()()...n n nm m mx x P x R x Q x x x αααβββ--+++==+++， 其中n ,m 为非负整数，0101,,...,,,...,n m αααβββ与都是常数，且000,0αβ≠≠.根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和，因而问题归结为求那些部分分式的不定积分，因而求此类积分分为以下步骤1）把被积函数作部分分式分解；2）把所求积分化为部分分式不定积分；3）逐一求每一个分式积分，然后合并起来.下面我们将举例具体介绍此类不定积分的解题步骤.例16 求()2261141x x dx x x -+-⎰.解 第一步：设()()2226114111x x A B C x x x x x -+=++--- 有 ()()22611411x x A x Bx Cx x -+=-++-62114A C A B C A +=⎧⎪-+-=-⎨⎪=⎩解得 A =4,B =-1,C =2, 第二步：()()222611442111x x dx dx dx dx x x x x x -+=-+---⎰⎰⎰⎰ 第三步：经过前两步做好后可以直接计算得出结果 ()22611414ln 2ln 111x x dx x x C x x x -+=++-+--⎰. 注意 上述计算不定积分的方法非常通用，但是有时候这种分解会很繁琐的，而且必须是得知道分母根时才能进行这种分解，所以在遇到题目时要灵活，不能死套此做法，要和前面几种方法结合起来才是最好的.例17[7]求421xdx x x ++⎰计算不定积分应该注意的几个问题10解 222=1322x dx x ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰原式222211221322d x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ =21112arctan 23322x C ++=2321arctan .33x C ++6.2 分段函数的不定积分求分段函数的不定积分时，应先求函数在各段对应区间内的不定积分，然后考查 被积函数在各分段点处的连续性.例18[8]令2,0;()sin ,0.x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩求()f x dx ⎰.错解 3212,0;3()sin cos ,0.x x dx C x f x xdx x C x ⎧=+≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰⎰剖析 由于分段函数()f x 在分段点0x =处连续()(),f x ⇒-∞+∞在连续()f x ⇒ 的原函数在(),-∞+∞存在，注意到对每一组确定的12C C ，,显然原函数在0x =连续，故121C C =-+,所以311,0;()3cos 1,0.x C x f x dx x C x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩⎰注意 1）若被积函数在分段点上连续，则该分界点相邻两分段不定积分中的12,C C 相关，根据原函数在该点的连续性，确定出12,C C 的关系；2）若被积函数在分段点上为第一类间断点，则在包含该点的某区域内，不定积分不存在.故该分点相邻两分段内求出的不定积分中的12,C C 是无关的.例19 令0,0;()1,01;2, 1.x g x x x x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩求()g x dx ⎰解 由于0x =为()g x 第一类间断点，则在该点附近原函数不存在，但1x =为()g x 连续点，从而()g x 在(),-∞+∞不存在原函数，()g x 不定积分只能在(),0-∞与()0,+∞得到本科生毕业论文1112223,0;1(),01;2,1.C x g x dx x x C x x C x <⎧⎪⎪=++≤≤⎨⎪⎪+>⎩⎰其中1C 与2C 相互独立，2C 与3C 相关，从而231112C C ++=+，化简得2312C C +=，则：12222,0;1(),01;21, 1.2C x g x dx x x C x x C x ⎧⎪<⎪⎪=++≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰以上我们一共介绍了五种方法在计算不定积分过程中需注意的几个问题，需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数的形式把它表示出来.在这个意义下，但并不是任何初等函数的不定积分都能求出来，例如: 2sin ,,ln x dx xe dx dx x x⎰⎰⎰等等.最后顺便指出我们可以利用现成的积分表来计算有些不定积分，但是作为初学者，我们首先应掌握各种基本的积分方法. 参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001: 176-181. 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