数学：15《定积分的概念》PPT课件新人教A版-选讲义修2-2
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数学：15定积分的概念-PPT课件新人教A版-选修2-2
1x2dx
0
(1x3) 3
1 0
1 3
积分、定积分的几何意义．
• 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
注：
b
1. f (x)dx 与 f (x)dx 的差别 a
f (x)dx是 f (x) 的全体原函数 是函数
b
f (x)dx是一个和式的极限 a
a
f (x规定：1 a f xdx0 a 2a bfxdxbafxdx
a
x+dx x b
例2 求下列定积分
1 x2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
1.5《定积分的概念》
教学目标
• ⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，
了解定积分的背景；
• ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积
分的概念，能用定积分法求简单的定积分．
• 3．理解掌握定积分的几何意义； • 教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定
是一个确定的常数
n
2
.当
i 1
f
( )x i
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
f(x) 及积分区间 [a,b有] 关，而与区间 a,b 的分法及
i
点的取法无关。
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
b
b
af(x)d xaf(t)d taf(u)du
《定积分的概念》人教版高中数学选修PPT精品课件
b
（2）若 f(x) ≤ 0, x∈[a,b] ，则
f(x)dx = -A
a
y
y = f(x)
b
y = a f(x)dx
o
y
a o
b x
b
y = -a f(x)dx
y = f(x) x
新知探究
由此可知，若函数f (x)在对称区间[-a ,a]上连续，则
a f
-a
xdx =
2
a f xdx
0
新知探究
Δx1 = x1 - x0 , Δx2 = x2 - x1,, Δxn = xn - xn-1
在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点 ξi (xi-1 ≤ ξi ≤ xi )
作和式：
n
S = f ξi Δxi
i=1
新知探究
积分上限 b
n
积分和
a
f(x)dx
=
lim
n →0
i =1
讲解人： 时间：
都通过“四步曲”——分割、近似代替、求和的极限、取极限来解决问题. 最终的结果都归结为求同一种类型的和式.
新知探究
曲边梯形面积
y
y=ƒ(x) A
B
x=a
x=b
o a y=0 b x
n
n1
S = lim f Δx→∞ i=1
ξi
Δx = lim Δx→∞ i=1
f n
ξi
变速运动的路程
n
课堂练习
设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值则
m
b
-
a
≤
b
a
f(x)dx
≤
M
b
最新 人教A版 选修2-2数学 公开课课件：1.5《定积分的概念》ppt课件
牛刀小试
1 ．求由曲线 y ＝ ex ，直线 x ＝ 2 ， y ＝ 1 围成的图形的面积
时，若选择x为积分变量，则积分区间为( A．[0，e2] B．[0,2] )
C．[1,2]
[答案] B
[解析]
x y＝e 解方程组 y＝1
D．[0,1]
x＝0 ，可得 y＝1
，
所以积分区间为[0,2]，故应选B.
么定积分
b a
曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积． _____________
3．定积分的性质
a
b k f(x)dx b a ① kf ( x )d x ＝ __________________( k为常数)；
b f1(x)dx± f2(x)dx b a ② [ f f ； 1(x)± 2(x)]dx＝________________ b a
π π
5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
1 1 2 (1) xdx________________ x dx(图1)；
0 0
1 2 (2) xdx________________ xdx(图2)；
0 1
2 2 2 (3) 4 － x d x ________________ 2dx(图3)．
0 0
[答案] (1)> (2)< (3)<
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1. (2)近似代替：作和
高中数学1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念课件新人教A版选修2_2
答案:
2 x2 dx -4 2
3.定积分的基本性质 ������ ������ (1) a ������������(x)dx = ������ a ������(x)dx(������为常数); (2)
������ a �������2(x)]dx =
c
1.5.3 定积分的概念
1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
1.定积分的概念 一般地,如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ ������(������t)Δx = ∑ n ������(������t), 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做 i=1 函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
n
轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( A. lim ∑ B. lim ∑
������
1 (������∈[0,2])及 x 1+������2
=
(3)取极限
2 1
13 3 13 (3x + 2)dx = lim ������n = lim = . n →∞ n →∞ 2 2n 2
题型一
题型二
反思利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、 取极限”这一过程.其中,将“近似代替、求和”作为一个步骤处理条 理性更强.
【变式训练 1】 在等分区间的情况下,f(x)=
������ ������ ������ (u)du = ������(t)dt = ⋯(称为积分形式的不变性), a a ������ 另外定积分 a ������(x)dx 的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 1 分区间,所得的值可能也不同,例如 0 dx 与 3 (x2 + 1)dx 的值就不同. 0 n ������ a
高中数学 1.5.3定积分的概念课件 新人教A版选修2-2
������ =1
1 ������
������ ������
, ,…,
������-1 ������ ������
,
������
,…,
������-1 ������
,1 ,
������
������
∑ f(ξ i)Δx= ∑
������
n
1 ������ 2 1 = 3 ∑ i +2= ������ ������=1 6 1
做一做
在区间[a ,b]上的函数 f(x)<0,如图,若阴影部分面积为 S,则 ������ f(x)d x= . ������
解析 :∵f(x)<0,∴-f(x)>0,根据图象的对称性,有 ������ ������ ������ S= ������ [-f(x)]d x=- ������ f(x)d x.∴ ������ f(x)d x=-S. 答案 :-S
1 ������
Δ������→0������=1
1
������ →∞ 6
2+
1
������
+ 2 = +2= .
3 3
1
7
首页 探究 一 探究 二 探究 三 探究 四
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
探究二利用定积分的几何意义求定积分
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
3.定积分的基本性质 (1) (2) (3)
������ ������ ������ ������ ������ ������
1 ������
������ ������
, ,…,
������-1 ������ ������
,
������
,…,
������-1 ������
,1 ,
������
������
∑ f(ξ i)Δx= ∑
������
n
1 ������ 2 1 = 3 ∑ i +2= ������ ������=1 6 1
做一做
在区间[a ,b]上的函数 f(x)<0,如图,若阴影部分面积为 S,则 ������ f(x)d x= . ������
解析 :∵f(x)<0,∴-f(x)>0,根据图象的对称性,有 ������ ������ ������ S= ������ [-f(x)]d x=- ������ f(x)d x.∴ ������ f(x)d x=-S. 答案 :-S
1 ������
Δ������→0������=1
1
������ →∞ 6
2+
1
������
+ 2 = +2= .
3 3
1
7
首页 探究 一 探究 二 探究 三 探究 四
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探究二利用定积分的几何意义求定积分
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3.定积分的基本性质 (1) (2) (3)
������ ������ ������ ������ ������ ������
2015高中数学 1.5.3定积分的概念 课件(人教A版选修2-2)(1)
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
[问题3] 两个数值相同是巧合吗？
[提示3] 不是．
[问题4] 说明了什么问题？
[提示 4] 定积分 f(x)dx(f(x)≥0)的值等于直线 x＝a， x＝b，
b a
(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的面积．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间 [a ， b] 上函数 f(x) 连续且恒有
f(x)≥0 ，那么定积分 f(x)dx 表示由 ____________________ 直线x＝a，x＝b(a≠b)， _______
2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
定积分的几何意义
利用定积分的几何意义，求：
(1)
4 － 4
16－x2dx；
(2) (2x＋1)dx.
3 0
[思路点拨] 求出定 ―→ 积分
确定被 确定积 画出 用几何法 ―→ ―→ ―→ 积函数 分区间 图形 求面积
b a 2
解析： 利用公式 kf(x)dx＝k f(x)dx可知 3exdx
0
＝3 exdx＝3e2－3.
2 0
答案： B
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
2．图中阴影部分的面积用定积分表示为( A． 2xdx B． (2x－1)dx C． (2x＋1)dx
《15定积分的概念》课件选修讲义2-2
精品
《15定积分的概念》课件选修 2-2
【课标要求】 1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．3．了解定积分的概念． 4．了解定积分的几何意义和性质． 【核心扫描】 1．“以直代曲”、“以不变代变”的思想的考查．(热点) 2．学会求定积分．(重难点)
.
3．正确理解定积分的概念 (1)求汽车行驶的路程实际上也是求时间－速度坐标系中的曲边 梯形的面积，“以直代曲”，“以不变代变”，近似值代替精 确值求和，无限细分逼近精确值的思想方法是它们共同的本质 特征，定积分的概念就是从这一共同的本质特征抽象提炼出来 的，这样我们就更容易理解定积分的几何意义和物理意义．
自学导引
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，
那么就把它称为区间I上的
连函续数．
2．曲边梯形的面积 (1)求曲边梯形面积的思想：如图①所示，我们求y＝f(x)与x轴 所围成的在区间[0,1]上的曲边梯形的面积，我们可以采用分割， 以直代曲、作和，逼近的思想方法求出其面积．
bf(x)dx＝
．
a
其中 a 与 b 分别叫做 积分下限 和 积分上限 ，区间[a，b]叫 做 积分区间 ，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做 积分变量 ， f(x)dx 叫做 被积式 ．
5．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分b
a
f(x)dx 表示由 直线x＝a ， x＝b ， y＝0 和 y＝f(x)所围成 的曲边梯形的面积． 想一想：当 f(x)在区间[a，b]上且 f(x)<0 时，bf(x)dx 表示的含义是
a
什么？ 提示 当 f(x)在区间[a，b]上值小于零时，bf(x)dx 表示由 y＝
《15定积分的概念》课件选修 2-2
【课标要求】 1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．3．了解定积分的概念． 4．了解定积分的几何意义和性质． 【核心扫描】 1．“以直代曲”、“以不变代变”的思想的考查．(热点) 2．学会求定积分．(重难点)
.
3．正确理解定积分的概念 (1)求汽车行驶的路程实际上也是求时间－速度坐标系中的曲边 梯形的面积，“以直代曲”，“以不变代变”，近似值代替精 确值求和，无限细分逼近精确值的思想方法是它们共同的本质 特征，定积分的概念就是从这一共同的本质特征抽象提炼出来 的，这样我们就更容易理解定积分的几何意义和物理意义．
自学导引
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，
那么就把它称为区间I上的
连函续数．
2．曲边梯形的面积 (1)求曲边梯形面积的思想：如图①所示，我们求y＝f(x)与x轴 所围成的在区间[0,1]上的曲边梯形的面积，我们可以采用分割， 以直代曲、作和，逼近的思想方法求出其面积．
bf(x)dx＝
．
a
其中 a 与 b 分别叫做 积分下限 和 积分上限 ，区间[a，b]叫 做 积分区间 ，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做 积分变量 ， f(x)dx 叫做 被积式 ．
5．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分b
a
f(x)dx 表示由 直线x＝a ， x＝b ， y＝0 和 y＝f(x)所围成 的曲边梯形的面积． 想一想：当 f(x)在区间[a，b]上且 f(x)<0 时，bf(x)dx 表示的含义是
a
什么？ 提示 当 f(x)在区间[a，b]上值小于零时，bf(x)dx 表示由 y＝
人教A版高中数学选修2-2课件1.5.3定积分的概念.pptx
(1)当
f(x)是偶函数时，a-
f(x)dx＝
a
20af(x)dx；
(2)当 f(x)是奇函数时，-aa f(x)dx＝0.
精彩推荐典例展示
名师解题
利用定积分的几何意义巧求面积
例4 善于思考的小王发现：半径为a，圆心在原点的
圆,如果固定直径AB，把圆内的所有与轴平行的弦都压缩
到原来的b倍，就得到一种新的图形——椭圆．他受祖冲
令 y＝ 1－x－12≥0， 则 (x－ 1)2＋ y2＝ 1(0≤ x≤ 1， y≥ 0)，
由定积分几何意义知 S1＝01 1－ x－12dx
＝1π·12＝π.
4
4
对于
S2＝01 xdx， 由其几何意义知
S2＝12×
1×
1＝1， 2
故01[ 1－ x－12－x]dx＝S1－S2＝π4－12.
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi
－1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个
n
小区间 [xi－1， xi ]上任取一点
ξi(i＝
1,
2，…，
n)，作和
式∑ i＝1
f(ξi)Δx＝___∑ i_＝n_1_b_－_n_a_f_(_ξ_i)____，当 n→∞时，上述和式无 限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上 的 __定__积__分___，
令 g＝ a2－x2(0≤x≤a)， 得 x2＋g2＝a2(0≤x≤a，g≥0)，
依题意，得a 0
a2 － x2dx＝ πa2， 4
∴ S1＝ba0a
a2－x2 dx＝b·πa2＝πab. a4 4
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a
f (x)dx0
a
◆定积分的基本性质
补充规定：1 a f xdx0 a 2a bfxdxbafxdx
a
x+dx x b
例2 求下列定积分
1 x2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
1x2dx
0
(1x3) 3
1 0
1 3
The end
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数学：15《定积 分的概念》PPT课 件新人教A版-选 修2-2
1.5《定积分的概念》
教学目标
• ⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，
了解定积分的背景；
• ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积
分的概念，能用定积分法求简单的定积分．
• 3．理解掌握定积分的几何意义； • 教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定
是一个确定的常数
n
2
.当
i 1
f
(
)x
i
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
f(x) 及积分区间 [a,b有] 关，而与区间 a,b 的分法及
i
点的取法无关。
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
b
b
af(x)d af(x)dx
积分、定积分的几何意义．
• 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
注：
b
1. f (x)dx 与 f (x)dx 的差别 a
f (x)dx是 f (x) 的全体原函数 是函数
b
f (x)dx是一个和式的极限 a