《微积分》讲义

《微积分》讲义
第一章极限
一、函数极限的概念：f＝A
要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。

二、函数极限存在的充分必要条件：
f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？
三、极限的四则运算法则
⑴＝f±g
⑵＝f·g
⑶＝……g≠0
⑷k·f＝k·f
四、例：
⑴
⑵
⑶
⑷
五、两个重要极限
⑴＝1 ＝1
⑵＝e ＝e ………
型
理论依据：
⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，
则：limg＝A
⑵单调有界数列必有极限。

例题：
⑴＝
⑵＝
⑶＝
⑷＝
⑸＝
六、无穷小量及其比较
1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。

2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。

3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）
七、函数的连续性
1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量
x：
⑴x0时，y0。

即：y＝0
⑵f＝f
⑶左连续：f＝f右连续：f＝f
2、函数y＝f在区间上连续。

3、连续函数的性质：
⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、
（g()≠0）在点处连续。

⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，
则复合函数f(j(x)) 在点处连续。

例：＝
＝
＝
4、函数的间断点：
⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。

⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。

⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。

5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：
⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。

⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。

例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。

第二章一元函数微分学
一、导数
1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f
＝A f'＝A ……y'，，。

2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。

3、基本初等函数的导数公式：
⑴＝0
⑵＝n·
⑶＝，＝
⑷＝·lnɑ，＝
⑸＝cosx，＝－sinx
＝x，＝－
＝secx·tanx，＝－cscx·cotx
⑹＝－
＝－
4、导数的运算：
⑴、四则运算法则：
＝±
＝·g(x)＋f(x)·
＝
例：求下列函数的导数
y＝2－5＋3x－7
f(x)＝＋4cosx－sin
y＝
⑵、复合函数的求导法则：
y u，u v，v w，w x y x
'＝''''
例：y＝lntanx
y＝ln
y＝arcsin
⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的
式子，先对y求导，然后y再对x求导。

例1：设方程xy－＋＝0 确的隐函数y＝y(x)，求；
例2、求方程式＋2y－x－3＝0 所确定的隐函数在x＝0处的导数；
5、导数的几何意义：曲线的切线斜率。

例1：问曲线y＝上哪点处的切线与直线y＝3x－1 平行？
例2：求曲线＋＝5在点处的切线方程。

6、函数的可导性与连续性的关系：
可导必连续，但连续不一定可导。

7、高阶导数：y''，y'''，，…
例：求y＝sin5x的三阶导数。

二、微分
1、微分的概念：df(x)＝f'(x)·dx …df(x)＝f'(x)·x
例：求函数y＝当x＝2，x＝0.02 时的微分。

2、微分的几何意义：y 的近似值。

3、基本微分法则：
⑴d(u±v)＝du±dv
⑵d(u·v)＝u·dv＋v·du
⑶d(ku)＝k·d(u)
⑷d＝
例1、y＝sinx，求dy；
例2、y＝ln，求dy；
4、微分在近似计算中的应用
y dy f(＋x)－f()＝
f'()·x
f(＋x)＝f'()·x＋f()
例：求的近似值。

三、导数的应用
1、中值定理
⑴罗尔定理：
⑵拉格朗日定理：
⑶柯西定理：
2、洛必达法则：求末定式“”“”型极限
lim＝lim
⑴基本型：，
：
：
⑵其它末定型：“0·∞”、“∞－∞”、“”、“”、“”
“0·∞”型＝或＝
x·lnx
“∞－∞”型：通分
：
对数式……
：
：
：
三、函数的单调性、极值与凹凸性
1、单调性：
2、极值：
可能的极值点
3、凹凸性：
例求函数y＝3x－的极值、增减区间、凹凸区间。

第三章一元函数积分学
一、不定积分的概念及简单运算
不定积分——求原函数
1、原函数的定义：设f、F在区间I内有定义，且：F'＝f,
则称F为f在区间I内的一个原函数
如：＝是的一个原函数。

＝cosx sinx 是cosx 的一个原函数。

观察：＝
＝
＝
结论：若f有原函数，它的原函数有无穷多个，它们之间相差一
个常量。

即：若F为f在区间I内的一个原函数，则F＋C均为
f在区间I内的原函数。

2、不定积分定义：f在区间I内的所有原函数称为f的不定积分；
记为：f dx
即：若F为f在区间I内的一个原函数，则：f dx＝F＋C；
例：dx＝＋C；cosxdx＝sinx＋C；
3、不定积分的性质：
⑴＝f或d＝f dx
⑵f'dx ＝f＋C 或df＝f＋C
⑶k·f dx＝k·f dx
⑷dx＝f dx±g dx
4、不定积分的基本积分公式：
⑴dx ＝＋C
⑵dx ＝ln＋C
⑶dx ＝＋C
⑷dx ＝＋C
⑸cosxdx ＝sinx ＋C
⑹sinxdx ＝－cosx ＋C
⑺xdx ＝tanx ＋C
⑻xdx ＝－cotx ＋C
⑼secx·tanxdx ＝secx ＋C
⑽cscx·cotxdx ＝－cscx ＋C
⑾dx ＝arcsinx ＋C
⑿dx ＝arctanx ＋C
5、不定积分的简单运算：
例1 dx
例2 dx
例3 dx
例4 xdx
例5 dx
二、不定积分的运算
1、换元积分法
⑴第一类换元积分法——“凑”微分法例1 cos5xdx
例2 dx
例3 x·dx
例4 x dx
例5 dx
例6 dx
例7 tanx dx
⑵第二类换元积分法——去根号
例11 dx
⑶“三角”代换去根号
例14 dx
2、分部积分法：u dv ＝u·v －v du
例18 xcosx dx
例19 x dx
例20 xlnx dx
例23 sinx dx
3、有理函数的积分
例25 dx
例26 dx
三、定积分的概念与性质
1、定积分的概念——几何意义：求曲边梯形的面积
f dx ＝f·
2、定积分的性质：
⑴规定：f dx ＝f dx
⑵规定：f dx ＝0
⑶dx＝f dx ±g dx
⑷k·f dx ＝k·f dx
⑸f dx ＝f dx ＋f dx
⑹若f在对称区间上连续，则：
3、定积分的计算：
⑴微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式
若F是f的一个原函数，则：
f dx ＝F＝F－F
例dx
⑵定积分的换元积分法
例7 dx
例8 dx
⑶定积分的分部积分法——u dv ＝u·v －v du
例10 x dx
例11 sinx dx
4、定积分在几何中的应用：
例1 计算由两条抛物线＝x 和y ＝所围成图形的面积。

例2 计算抛物线＝2x 与直线y ＝x－4 所围成图形的面
积。

四、反常积分——广义积分
例2 dx
例3 x dx
例4 讨论dx 的收敛性。

第四章多元函数微分学
定义：二元及二元以上的函数统称为多元函数。

一、二元函数的极限与连续
1、二元函数的极限：
例1
例2 证明：＝1
2、二元函数的连续性
f＝f
二、偏导数
1、定义：对于二元函数Z ＝f
对x 的偏导数：，，，；
对y 的偏导数：，，，；
例4 求Z＝sin2y 在点的偏导数。

2、二阶偏导数
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
例6 设Z＝＋sin＋1，求它的二阶偏导数。

3、全微分——dZ＝dx＋dy
例1 计算Z＝y＋在点的全微分。

例2 求Z＝的全微分。

4、复合函数的偏导数
Z ＝j，u ＝f，v ＝g
例1 设Z＝f，求，。