《微积分》讲义
《微积分》讲义
第一章极限
一、函数极限的概念：f＝A
要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：
f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？
三、极限的四则运算法则
⑴＝f±g
⑵＝f·g
⑶＝……g≠0
⑷k·f＝k·f
四、例：
⑴
⑵
⑶
⑷
五、两个重要极限
⑴＝1 ＝1
⑵＝e ＝e ………
型
理论依据：
⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，
则：limg＝A
⑵单调有界数列必有极限。
例题：
⑴＝
⑵＝
⑶＝
⑷＝
⑸＝
六、无穷小量及其比较
1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）
七、函数的连续性
1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量
x：
⑴x0时，y0。
即：y＝0
⑵f＝f
⑶左连续：f＝f右连续：f＝f
2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：
⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、
（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，
则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝
＝
＝
4、函数的间断点：
⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：
⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学
一、导数
1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f
＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：
⑴＝0
⑵＝n·
⑶＝，＝
⑷＝·lnɑ，＝
⑸＝cosx，＝－sinx
＝x，＝－
＝secx·tanx，＝－cscx·cotx
⑹＝－
＝－
4、导数的运算：
⑴、四则运算法则：
＝±
＝·g(x)＋f(x)·
＝
例：求下列函数的导数
y＝2－5＋3x－7
f(x)＝＋4cosx－sin
y＝
⑵、复合函数的求导法则：
y u，u v，v w，w x y x
'＝''''
例：y＝lntanx
y＝ln
y＝arcsin
⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的
式子，先对y求导，然后y再对x求导。
例1：设方程xy－＋＝0 确的隐函数y＝y(x)，求；
例2、求方程式＋2y－x－3＝0 所确定的隐函数在x＝0处的导数；
5、导数的几何意义：曲线的切线斜率。
例1：问曲线y＝上哪点处的切线与直线y＝3x－1 平行？
例2：求曲线＋＝5在点处的切线方程。
6、函数的可导性与连续性的关系：
可导必连续，但连续不一定可导。
7、高阶导数：y''，y'''，，…
例：求y＝sin5x的三阶导数。
二、微分
1、微分的概念：df(x)＝f'(x)·dx …df(x)＝f'(x)·x
例：求函数y＝当x＝2，x＝0.02 时的微分。
2、微分的几何意义：y 的近似值。
3、基本微分法则：
⑴d(u±v)＝du±dv
⑵d(u·v)＝u·dv＋v·du
⑶d(ku)＝k·d(u)
⑷d＝
例1、y＝sinx，求dy；
例2、y＝ln，求dy；
4、微分在近似计算中的应用
y dy f(＋x)－f()＝
f'()·x
f(＋x)＝f'()·x＋f()
例：求的近似值。
三、导数的应用
1、中值定理
⑴罗尔定理：
⑵拉格朗日定理：
⑶柯西定理：
2、洛必达法则：求末定式“”“”型极限
lim＝lim
⑴基本型：，
：
：
⑵其它末定型：“0·∞”、“∞－∞”、“”、“”、“”
“0·∞”型＝或＝
x·lnx
“∞－∞”型：通分
：
对数式……
：
：
：
三、函数的单调性、极值与凹凸性
1、单调性：
2、极值：
可能的极值点
3、凹凸性：
例求函数y＝3x－的极值、增减区间、凹凸区间。
第三章一元函数积分学
一、不定积分的概念及简单运算
不定积分——求原函数
1、原函数的定义：设f、F在区间I内有定义，且：F'＝f,
则称F为f在区间I内的一个原函数
如：＝是的一个原函数。
＝cosx sinx 是cosx 的一个原函数。
观察：＝
＝
＝
结论：若f有原函数，它的原函数有无穷多个，它们之间相差一
个常量。
即：若F为f在区间I内的一个原函数，则F＋C均为
f在区间I内的原函数。
2、不定积分定义：f在区间I内的所有原函数称为f的不定积分；
记为：f dx
即：若F为f在区间I内的一个原函数，则：f dx＝F＋C；
例：dx＝＋C；cosxdx＝sinx＋C；
3、不定积分的性质：
⑴＝f或d＝f dx
⑵f'dx ＝f＋C 或df＝f＋C
⑶k·f dx＝k·f dx
⑷dx＝f dx±g dx
4、不定积分的基本积分公式：
⑴dx ＝＋C
⑵dx ＝ln＋C
⑶dx ＝＋C
⑷dx ＝＋C
⑸cosxdx ＝sinx ＋C
⑹sinxdx ＝－cosx ＋C
⑺xdx ＝tanx ＋C
⑻xdx ＝－cotx ＋C
⑼secx·tanxdx ＝secx ＋C
⑽cscx·cotxdx ＝－cscx ＋C
⑾dx ＝arcsinx ＋C
⑿dx ＝arctanx ＋C
5、不定积分的简单运算：
例1 dx
例2 dx
例3 dx
例4 xdx
例5 dx
二、不定积分的运算
1、换元积分法
⑴第一类换元积分法——“凑”微分法例1 cos5xdx
例2 dx
例3 x·dx
例4 x dx
例5 dx
例6 dx
例7 tanx dx
⑵第二类换元积分法——去根号
例11 dx
⑶“三角”代换去根号
例14 dx
2、分部积分法：u dv ＝u·v －v du
例18 xcosx dx
例19 x dx
例20 xlnx dx
例23 sinx dx
3、有理函数的积分
例25 dx
例26 dx
三、定积分的概念与性质
1、定积分的概念——几何意义：求曲边梯形的面积
f dx ＝f·
2、定积分的性质：
⑴规定：f dx ＝f dx
⑵规定：f dx ＝0
⑶dx＝f dx ±g dx
⑷k·f dx ＝k·f dx
⑸f dx ＝f dx ＋f dx
⑹若f在对称区间上连续，则：
3、定积分的计算：
⑴微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式
若F是f的一个原函数，则：
f dx ＝F＝F－F
例dx
⑵定积分的换元积分法
例7 dx
例8 dx
⑶定积分的分部积分法——u dv ＝u·v －v du
例10 x dx
例11 sinx dx
4、定积分在几何中的应用：
例1 计算由两条抛物线＝x 和y ＝所围成图形的面积。
例2 计算抛物线＝2x 与直线y ＝x－4 所围成图形的面
积。
四、反常积分——广义积分
例2 dx
例3 x dx
例4 讨论dx 的收敛性。
第四章多元函数微分学
定义：二元及二元以上的函数统称为多元函数。
一、二元函数的极限与连续
1、二元函数的极限：
例1
例2 证明：＝1
2、二元函数的连续性
f＝f
二、偏导数
1、定义：对于二元函数Z ＝f
对x 的偏导数：，，，；
对y 的偏导数：，，，；
例4 求Z＝sin2y 在点的偏导数。
2、二阶偏导数
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
例6 设Z＝＋sin＋1，求它的二阶偏导数。
3、全微分——dZ＝dx＋dy
例1 计算Z＝y＋在点的全微分。
例2 求Z＝的全微分。
4、复合函数的偏导数
Z ＝j，u ＝f，v ＝g
例1 设Z＝f，求，。
微积分讲义(高中物理竞赛辅导)
高等数学初步之一
微积分
物理学研究的是物质的运动规律,因此我们以常遇到的物理量大多数是变量,而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.读者在学习基础物理课时若能较早地掌握微积分的一些基本知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是非常有好处的.所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.这里的讲解为将为读者更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法奠定坚实的基础.
§1 函数
本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已经学过了,现在我们只是把它们联系起来复习一下.
1.1 函数 自变量和因数量 绝对常量和任意常量
在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,我们就称y 是x 的函数,并记作:
()y f x = (A.1) 其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把()y f x =也记作()y y x =,如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,我们也可以用其它字母作为函数记号,如()x ϕ、()x ψ等等.
常见的函数可以用公式来表达,例如:。
微积分讲义1
微积分讲义1微积分讲义基础内容：函数⼀．集合1.集合的相关概念1.满⾜共同属性的对象的全体叫做集合，集合的研究对象叫元素.例：军训前学校通知:8⽉15⽇8点,⾼⼀年级学⽣到操场集合进⾏军训.试问这个通知的对象是全体的⾼⼀学⽣还是个别学⽣？每个学⽣与全体⾼⼀学⽣之间的关系？问题：世界上最⾼的⼭能不能构成⼀个集合？世界上的⾼⼭能不能构成⼀个集合？我们把研究的对象统称为“元素”,那么把⼀些元素组成的总体叫“集合”.2.元素与集合的关系有两种：属于∈，不属于?元素的特性（判断是否为集合的依据）：（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何⼀个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.（2）⽆序性：即集合中的元素是没有顺序的.（3）互异性：⼀个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.结论：1、⼀般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…2、元素与集合的关系a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作a∈A ，a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A3.有限集、⽆限集、空集、单元素集N，整数集记作Z, 4.常⽤数集及其记法:⾃然数集记作N,正整数集记作*N或+有理数集记作Q,实数集记作R.注意：（1）)}{ba都是单元素集a},,{(（2）}0{φ的区别},{},{例1 判断以下元素的全体是否组成集合：（1）⼤于3⼩于11的偶数；（）（2）我国的⼩河流； ( )（3）⾮负奇数；（）（4）本校2009级新⽣；（）（5）⾎压很⾼的⼈；（）（6）著名的数学家；（）例题2 下列各组对象不能组成集合的是( )A.⼤于6的所有整数B.⾼中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=图象上所有的点练习1.下列条件能形成集合的是( )A.充分⼩的负数全体B.爱好⾜球的⼈C.中国的富翁D.某公司的全体员⼯2．下列结论中，不正确的是( )A.若a ∈N ，则-a NB.若a ∈Z ，则a 2∈ZC.若a ∈Q ，则｜a ｜∈QD.若a ∈R ，则4、（1） -3 N ；（2） 3.14 Q ；（3） Q ；（4）0 Φ；（5） Q ；（6） R ；（7）1 N +；（8） R 。
经济数学基础(微积分)讲义全
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
大学数学(高数微积分)专题七第讲(课堂讲义)
则x0＝x1＋2 x2＝1＋2k22k2，y0＝k(x0－1)＝1＋－2kk2. 26
热点分类突破
∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，
∴MN⊥PQ，∴kMN·kPQ＝－1.
本
－k
讲 栏 目 开 关
即1＋21k＋22k22－k2 m·k＝－1，∴m＝1＋k22k2＝2＋1 k12，
∵k2>0，∴0<m<12.
因为直线与x轴不垂直，
所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
本
讲 栏 目
由xy2＝＋k2xy－2＝12，， 可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
开
关 显然Δ>0恒成立，∴x1＋x2＝1＋4k22k2，x1x2＝21k＋2－2k22.
设线段PQ的中点为N(x0，y0)，
(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通
本 过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未
讲 栏
知量的方程来解．
目 开
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系
关 问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程
与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要
本
讲 栏 目
由(1)得h′(x)＝1x＋21 x－x＋5452
开
关 ＝2＋2x x－x＋5452<x＋4x5－x＋5452
＝x＋4x5x3＋－52126x.
令 G(x)＝(x＋5)3－216x，则当 1<x<3 时，
18
热点分类突破
G′(x)＝3(x＋5)2－216<0，
微积分ppt讲义3
1 4
lim e x 0
lim x 2 0
x
x x 2 2
x 1
limsin x 0
x k , k 0, 1, 2,
1 lim 0 ln x 1 lim 0 ln tan x
ln tan x ln tan x
例
1 1 求 lim . 0 x 1 x 1
1 解： lim( x 1) 0 lim x 1 x 1 x 1
例 解
x2 1 lim( ax b) 0, 求a , b. x x 1 x2 1 x 2 1 ax 2 ax bx b lim( ax b) lim x x 1 x x 1 (1 a ) x 2 (a b) x b lim 0 x x 1
lim x 2 0
x2
lim x 2 ax b 0
x2
即4 2a b 0.
x 2 ax b x 2 ax 2a 4 从而 lim lim x2 x2 x2 x2 ( x 2 4) (ax 2a ) ( x 2)( x 2) a( x 2) lim lim x2 x2 x2 x2
n 偶数 例：n 是无界变量， 0 奇数 但不是无穷大量
无穷大是某时刻后所有点的函数值都得无限增大,而 无界变量只要某时刻后有一列点是无限增大即可.
1 lim x x
lim e x
lim ln x
x x
lim
x x 0
2). 不要将无穷小量与很小很小的非零常量混淆, 但数“0” 是无穷小量; 而无穷小量却不一定是数“0”, 仅极限值为 0. 2.无穷小量与一般极限的关系
微积分简介.ppt讲义.
集合
论
航
始 开 行
第三
新的发 展
机 危 学 数 次
集
理 合公
化
三、罗素悖论与第三次数学危机
1.康托尔与集合论
康托尔：是19世纪数学发展影响最深的数学家之一 。1845年出生于圣彼得堡，早在学生时代，就显露 出非凡的数学才能。然而，一开始其父亲却希望他 学工程学，他是1862年进入苏黎世大学，学数学的 ，第二年转入柏林大学，1867年以优异成绩获得了 柏林大学的博士学位，其后，一直在哈雷大学教书 。 然而，康托尔的观点并未被同时代所接受，特 别是康托尔的老师克罗内克。他猛烈攻击康托尔的 研究工作，把它看做一类危险的数学疯狂，同时还 竭力阻挠康托尔的提升，不让其在柏林大学获得一 个职位。长期的过渡疲劳和激烈的争吵论战，使得 康托尔的精神终于在1884年春崩溃了，在他一生中 ，这种崩溃以不同的强度反复发生，把他从社会赶 进精神病医院这个避难所。最后于1918年1月，他 在哈雷精神病医院逝世。
微分和积分 (即求切线 与求面积) 是互逆的两 种运算。 这是微积分 建立的关键 所在。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
2. 贝克莱悖论与第二次数学危机
不过，在微积分创立之初，牛顿和莱布尼茨的工作都很不完 善。因而，导致许多人的批评。然而抨击最有力的是爱尔兰主教 贝克莱，他的批评对数学界产生了最令人震撼的撞击。 如贝克莱指出：牛顿在无穷小量这个问题上，其说不一，十 分含糊，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨 的也不能自圆其说。
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
数学之旅二
航
始 开 行
微
的发 分 积
现
贝克莱悖论
数 次 第二
胜利凯 旋
《微积分》第二篇第一章讲义不定积分
二、不定积分的求法
实际上导数和不定积分是两种互逆运算。
求导数 求不定积分
互逆
求导公式 积分公式
互逆
所以类似于求初等函数的导数，求初 等函数的不定积分，也分三个方面: （1）积分的基本公式； （2）不定积分的四则运算法则； （3）不定积分与复合运算的关系.
（一）不定积分的基本公式
实际上都是由求导法则推出来的。
1 3x 2 dx 例4： 求 x 性质1 解： 1 1 3 x 2 d x 3 x d x d x 2 x x 性质2 1 21 1 11 x c 3 x 2 1 11 3 2 1 3 2 1 x x c x c 2 x 2
注意：幂函数求导数会降低幂次，求不定积分 会增加幂次。
例 4 . 1 ：求 x d x 1 1 3 2 2 1 解： xd x c x x c 3 2 1
2
解：
1 1 1 2 1 x x c x c xd 1 1 2
1
求 xdx
例 4 . 2 ：求 a d x （ a 为任意常数
1 (2 x ) c 3
3 2 2
（四）分部积分法
主要是用于处理被积函数是两个函数 相乘的形式的不定积分。
定理1.2（分部积分公式）
设u(x),v(x)是可微函数，则有
写成微分形式：
例5： 求 e3 2d x
x x
x x
e 3 2 d x 3 e d x 2 e d x 解：
x x
3e
x
2e c ln2e
x
2 e 3 e
x
x
《微积分导学讲解》PPT课件
三、注意抓好学习的六个环节
微积分这门课是同学们进入大学后遇到的第一门课，也 是一门最重要的基础课。由于在教学方法上、在对学生能力的 培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学们在一开始会 感到很不适应。为了尽快适应这种环境，要注意抓好下述六个 学习环节。 （1）预习
为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的内容进 行预习。预习的重点是阅读一下要讲的定义、定理和主要公式。 预习的主要目的是：第一，使听课时心里有个底，不至于被动 地跟着教师的“脚后跟”跑；第二，知道哪些地方是重点和自 己的难点疑点，从而在听课时能提高效率；第三，可以弥补由 于基础、理解力上的差异所造成的听课困难。形象地说，预习 就象要到某个名胜游览之前，先买个旅游图及其说明来看一看， 以便在旅游时更主动，收获更大。
7/20
第三阶段：变量数学时期
即“微积分”时期。这个时期以17世纪中叶笛卡 儿的解析几何的诞生为起点，止于19世纪中叶。这个 时期和前一时期的区别在于，前一时期是用静止的方 法研究客观世界的个别要素，而这一时期是运用运动 和变化的观点来探究事物变化和发展的规律。 在这个时期，变量与函数的概念进入了数学，随 后产生了微积分。这个时期虽然也出现了概率论和射 影几何等新的数学分支，但似乎都被微积分过分强烈 的光辉掩盖了它们的光彩。这个时期的基本成果是解 析几何、微积分、微分方程等，它们是现今高等院校 中的基础课程。
“初等”数学与“高等”数学之分完全是按照惯例形成的。 可以指出习惯上称为“初等数学”的这门中学课程所固有的两 个特征。 第一个特征在于其所研究的对象是不变的量（常量）或 孤立不变的规则几何图形；第二个特征表现在其研究方法上。 初等代数与初等几何是各自依照互不相关的独立路径构筑起来 的，使我们既不能把几何问题用代数术语陈述出来，也不能通 过计算用代数方法来解决几何问题。 16世纪，由于工业革命的直接推动，对于运动的研究成 了当时自然科学的中心问题，这些问题和以往的数学问题有着 原则性的区别。要解决它们 ，初等数学以不够用了，需要创 立全新的概念与方法，创立出研究现象中各个量之间的变化的 新数学。变量与函数的新概念应时而生，导致了初等数学阶段 向微积分阶段的过渡。
《微积分入门》课件
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
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微积分的起源可以追溯到古 代数学，如希腊数学家阿基 米德对面积和体积的研究。
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微积分的发展在17世纪取得 了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
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微积分在18世纪和19世纪得 到了进一步的发展和完善， 成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常 积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊 函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
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微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域 有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、 压力、密度等问题。
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微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资 回报率等。
微积分的基本概念
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极限
极限是微积分的基本概念之一 ，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
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微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微 分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化 关系的工具，通过理解问题背景和数学模 型，可以建立微分方程。求解微分方程的 方法包括分离变量法、常数变异法、参数 变异法等，这些方法能够求解各种类型的 微分方程。