武忠祥辅导讲义不定积分例十三

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高等数学第四章不定积分讲义

第四章不定积分讲义【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理． 2．熟练掌握不定积分的基本公式．3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间I上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin )cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个原函数．函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．4．不定积分的性质（1）设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．（2）设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()()k f x d x k f x d x=⎰⎰． 5．不定积分与导数的关系（1）由于()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰ 或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ ．（2）由于()F x 是()F x '的原函数，故()()F x d x F x C '=+⎰ 或()()dF x F x C =+⎰ ．二、基本积分公式1．kdx kx C =+⎰ （k 是常数）2．11x x dx C μμμ+=++⎰ （1μ≠-）3．1ln dx x C x =+⎰4．21arctan 1dx x C x =++⎰5．arcsin dx x C =+⎰6．cos sin xdx x C =+⎰ 7．sin cos xdx x C =-+⎰8．221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰9．221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C =+⎰11．csc cot csc x xdx x C =-+⎰ 12．xxe dx e C =+⎰13．ln xxa a dx C a=+⎰ *14．tan ln cos xdx x C =-+⎰ *15．cot ln sin xdx x C =+⎰*16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ *17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰*18．2211arctan xdx C a x a a =++⎰*19．2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰*20．arcsin xC a =+*21．ln(dx x C =++ *22．ln x C =++说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．2．常用凑微分公式（1）1()()dx d x b d ax b a=+=+ （a ，b 均为常数且0a ≠）（2）11()1aa xdx d x b a +=++ （a ，b 均为常数且1a ≠-）2211()()22xdx d x d x b ==+2dx d = （3）1(ln )(ln )dx d x d x b x==+ （4）()()xx x e dx d e d e b ==+（5）11()()ln ln xxx a dx d a d a b a a==+（6）sin (cos )(cos )xdx d x d x b =-=-+ （7）cos (sin )(sin )xdx d x d x b ==+（8）2sec(tan )(tan )xdx d x d x b ==+（9）2csc(cot )(cot )xdx d x d x b ==+（10(arcsin )(arcsin )dx d x d x b ==+（11）21(arctan )(arctan )1dx d x d x b x==++ （12）22211[ln(1)][ln(1)]122x dx d x d x b x =+=+++ 四、第二类换元法定理：设()f x 连续，()x t ϕ=及()t ϕ'都是连续函数，()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=存在且可导，并且[()]()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎰，则1()[()]f x dx F x C ϕ-=+⎰．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形：（1sin x a t =；（2tan xa t =；（3sec x a t =．五、分部积分法1．公式的推导设函数()uu x =及()v v x =具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为()uv u v uv '''=+，移项，得()uv uv u v '''=-，对这个等式两边求不定积分，得u v d x u v u v d ''=-⎰⎰，为简便起见，上述公式也写为udv uv vdu =-⎰⎰ ．2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u ，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u （有时也可利用变量代换）．（3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为x 的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．或u ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】【例4-1】计算下列不定积分． 1．2x xedx ⎰．解：222211()22x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰．2．21xdx x +⎰．解：2222111(1)ln(1)1212x dx d x x C x x =+=++++⎰⎰．3．221(1)x x dx x x +++⎰．解：2222221111(1)(1)(1)1x x x x dx dx dx dx dx x x x x x x x x +++=+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰arctan ln x x C =++．4．ln x dx x ⎰．解：2ln 1ln (ln )ln 2x dx xd x x C x ==+⎰⎰．5．1ln dx x x ⎰．解：11(ln )ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．解： 2sec (sec tan )secsec tan x x x dx xdx x xdx -=-⎰⎰⎰t a n s e c x x C=-+． 7．2sin xdx ⎰．解：21cos211sin cos2222x xdx dx dx xdx -==-⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =-+． 8．2cos xdx ⎰．解：21cos211cos cos2222x xdx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =++． 9．2tan xdx ⎰．解：222tan (sec 1)sec tan xdx x dx xdx dx x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰． 10．2cot xdx ⎰．解：222cot (csc 1)csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰．11．11x dx e +⎰．解：11(1)1111x x x xx x x x e e e e dx dx dx dx dx e e e e +-==-=-++++⎰⎰⎰⎰⎰1(1)ln(1)1x xxdx d e x e C e=-+=-+++⎰⎰． 12．21825dx x x -+⎰．解：22211114825(4)99()13dx dx dx x x x x ==--+-++⎰⎰⎰211414()arctan 43333()13x x d C x --==+-+⎰．13．25sin cos x xdx ⎰．解：原式2242sincos (sin )sin (1sin )(sin )x xd x x x d x ==-⎰⎰246(sin 2sin sin )(sin )x x x d x =-+⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++． 14．cos3cos 2x xdx ⎰．解：111cos3cos2(cos cos5)sin sin52210x xdx x x dx x x C =+=++⎰⎰．【例4-2】计算下列不定积分． 1．cos x xdx ⎰．解：cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．2．x xe dx ⎰．解：()(1)x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e C x e C ==-=-+=-+⎰⎰⎰． 3．ln x xdx ⎰．解：222221ln ln ()ln (ln )ln 22222x x x x x x xdx xd x d x x dx x==-=-⋅⎰⎰⎰⎰ 222ln ln 2224x x x x x dx x C =-=-+⎰．说明：此题也可用变量代换解，即令ln xt =，则t x e =，t dx e dt =，故原式2222111()222t t t t t t e t e dt te dt td e te e dt =⋅⋅===-⎰⎰⎰⎰ 2222221111ln ln 242424t t x xte e C x x x C x C =-+=⋅-+=-+．4．arctan x xdx ⎰．解：222arctan arctan ()arctan (arctan )222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰ 22222111arctan arctan (1)221221x x x x dx x dx x x =-⋅=--++⎰⎰ 211arctan arctan 222x x x x C =-++．5．ln xdx ⎰．解：1ln ln (ln )ln ln xdx x x xd x x x x dx x x x C x=-=-⋅=-+⎰⎰⎰．6．arctan xdx ⎰．解：2arctan arctan (arctan )arctan 1x xdx x x xd x x x dx x =-=-+⎰⎰⎰ 2221(1)1a r c t a n a r c t a nl n (1)212d x x x x x x C x+=-=-+++⎰． 7．cos xe xdx ⎰．解：原式(sin )sin sin sin (cos )x x x x xe d x e x x e dx e x e d x ==-⋅=+⎰⎰⎰sin cos cos x x x e x e x x e dx =+-⋅⎰，所以1cos (sin cos )2xxe xdx e x x C =++⎰．8．sin(ln )x dx ⎰．解：1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰sin(ln )x x =- 1cos(ln )sin(ln )cos(ln )[sin(ln )]x dx x x x x x x dx x =-+-⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，故1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x x C =-+⎰．说明：此题也可用变量代换法求解，即令ln t x =，则t x e =，t dx e dt =，则原式sin sin ()sin cos t t t tt e dt td e e t e tdt =⋅==-⎰⎰⎰s i n c o s ()s i n c o s(s i n t t t t te t t d e e t e t e t d t=-=-+-⎰⎰，故原式11(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t t e t e t C x x x x C =-+=-+．【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．解：被积函数的分母分解成(2)(3)x x --，故可设215632x A Bx x x x +=+-+--，其中A 、B 为待定系数．上式两端去分母后，得 1(2)(3)x A x B x +=-+-，即1()23x A B x A B +=+--．比较此式两端同次幂的系数，即有 1A B +=，231A B +=-，从而解得4A =，3B =-，于是2143()4ln 33ln 25632x dx dx x x C x x x x +=-=---+-+--⎰⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．解：设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++，则 22(1)()(21)x A x x B x C x +=+++++，即22(2)(2)x A B x A B C x A C+=++++++，有 20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ 解得 2,1,0.A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩于是2222()(21)(1)211x xdx dx x x x x x x +=-++++++⎰⎰22221(21)11(1)1ln 21ln 211321212()24x d x x dxx dx x x x x x x +-++=+-=+-+++++++⎰⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-++++．3．dx x⎰．u =，于是21x u =+，2dx udu =，故22221222(1)111u u dx udu du du x u u u=⋅==-+++⎰⎰⎰⎰2(arctan )arctan u u C C =-+=-+．4．．解：为了去掉根号，可以设u =，于是32x u =-，23dx u du =，故22313(1)3(ln 1)112u u du u du u u C u u ==-+=-+++++⎰⎰3ln 1C =-+++．【例4-4】设()arcsin xf x dx x C =+⎰，求1()dx f x ⎰．解：对等式()arcsin xf x dx x C =+⎰ 两边对 x 求导，可得()xf x =，则()f x =故211()(1)()2dx x f x ==--⎰⎰⎰ 332222121()(1)(1)233x C x C =-⋅-+=--+．【例4-5】已知sin xx是()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰．解：因为sin xx是 ()f x 的一个原函数，所以 2sin cos sin ()()x x x x f x x x -'== 且 s i n ()xf x dx C x=+⎰，故根据不定积分的分部积分法可得2cos sin sin ()()()()x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x C x x-'==-=⋅-+⎰⎰⎰cos sin sin 2sin cos x x x x xC x C x x x-=-+=-+．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是（A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ （B ）()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ （C ）()()F x dx f x '=⎰ （D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 解：选项（A ）正确；()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰，故选项（B ）和选项（D ）均不正确；()()F x dx F x C '=+⎰，故选项（C ）错误．故选（A ）． 2．（2007年，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（A ）2x C + （B ）ln x C + （C）C + （DC + 解：令2xt =，因0x >，故x =21()f x x '= 变为()f t '=，该式两边对x取不定积分得，()f t C ==+，即()f x C =+．选（C ）． 3．（2006年，2分）若11()xxf x edx e C --=+⎰，则()f x =（A ）1x （B ）1x - （C ）21x （D ）21x -解：等式11()xxf x e dx e C--=+⎰两边对x 求导得，1121()xxf x ee x --=⋅，故21()f x x =．选项（C ）正确．4．（2005年，3分）ln sin tan xd x =⎰（A ）tan lnsin x x x c -+（B ）tan lnsin x x x c ++ （C ）tan lnsin cos dx x x x -⎰ （D ）tan lnsin cos dxx x x +⎰解：ln sin tan tan ln sin tan (ln sin )xd x x x xd x =-⎰⎰cos tan lnsin tan tan lnsin sin xx x x dx x x x C x=-=-+⎰．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分()df x =⎰．解：根据不定积分与微分的关系可得，()()df x f x C =+⎰．2．（2009年，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰．解：由题意，()x f x e -=，则()x f x e -'=-，那么ln 1(ln )x f x e x-'=-=-，于是2(ln )11f x dx dx C x x x'==-+⎰⎰．三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．解：2ln 11ln 11(ln 1)()()(ln 1)x x dx x d d x x x x x--=--=----⎰⎰⎰21ln 11ln 1ln x x x dx C C x x x x x --=+=-+=-+⎰．2．（2009年，5分）求不定积分．解：ln (ln )xd x x ==-⎰⎰x x C =-=-+⎰． 3．（2006年，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．解：等式2()f x dx x C =+⎰两边对x 求导，可得 ()2f x x =，则22(1)2(1)f x x -=-，从而223241(1)2(1)(22)2xf x dx x x dx x x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰． 4．（2005年，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．解：2222sec 2(tan )11222cos 12cos 2sec 3tan222x xd dx dx dx x x x x ===++++⎰⎰⎰⎰令tan 2xt =，则原式22222233[1]]dt dt t t ===+++⎰⎰tan x C C ⎛⎫ ⎪=+=+⎝⎭．四、应用题或综合题 1．（2008年，8分）设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．解：因ln x 是()f x 的一个原函数，故1()(ln )f x x x '==，211()()f x x x''==-，从而2321111()()()2f x f x dx dx dx C x x x x'=⋅-=-=+⎰⎰⎰．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下．因2()()()()()()()f x f x dx f x df x f x f x f x dx ''==-⎰⎰⎰，故2221111()()()222f x f x dx f x C C C x x⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰．。

2010海天冲刺班讲义-武忠祥-

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αxα 8 = 则α = 1 + x tan x − cos x 3
.
m
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解由
lim
x →0
1 0
f ( x) = A 知 lim f ( x ) = 0 知 x →0 x
x
0
lim ∫
x →0
∫ f ( xt )dt xt = u lim
x →0
f (u )du x
= lim f ( x) = 0
x →0
则原极限为“ 1∞ ”型. 又
lim
x →0
∫
1 0
f (tx)dt
sin x
x
= lim
x →0
∫
x
0
f (t )dt
= lim
x→0
∫
x
0
f (t )dt x
2
x sin x
=e .
A 2
= lim
x →0
f ( x) A = . 2x 2
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2010 年考研冲刺班讲义（高等数学）主讲：武忠祥
一、函数、极限、连续例 1 设有数列 xn 与 yn ，以下结论正确的是（A）若 lim xn yn = 0 ，则必有 lim xn = 0 或 lim yn = 0 ；
f (0 + 0) = 0.
1 1 + a2 = (1 + a ) lim 1 = (1 + a ) lim =− 1 x →1 x →1 e 1 x x e −e − 2e x
2
lim f ( x) = lim
x →1 x →1

高等数学不定积分课件

公式
f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
x a
)
1
(
x a
)2
d u arcsinu C 1u2
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例4. 求解:
sin cos
x dx x
dcos x cos x
类似
cos x dx sin x
d sin x sin x
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例5. 求
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
例6. 求
解: 原式 =
x (1 x x(1 x2
2
)
)
dx
1 1 x2
dx
1 x
dx
arctan x
ln
x
C
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例7. 求
x4 1 x2
dx
.
解: 原式 =
(
第四章不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质
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一、原函数与不定积分的概念

数学强化班(武忠祥)-高数第九章多元函数积分学

第九章多元积分学及其应用第一节三重积分1定义 ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k k d v f z y x f 1,0),(lim dV ),,(ξηξ.2性质: 3计算:1)直角坐标: i) 先一后二; ii)先二后一. 2)柱坐标: z V d d d d θρρ= 3)球坐标:θϕϕd d d sin d 2r r V = 4)利奇偶性若积分域Ω关于xoy 坐标面对称,),,(z y x f 关于z 有奇偶性,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥Ω.),,(0.),,(d ),,(2d ),,(0是奇函数关于是偶函数关于z z y x f z z y x f Vz y x f V z y x f z D5)利用变量的对称性.题型一计算三重积分例9.1计算⎰⎰⎰ΩV z d 2,其中Ω由)0(2,2222222>≤++≤++R Rz z y x R z y x 所确定.解原式52222220248059d )(d )2(R z z R z z z Rz z RR Rπππ=-+-=⎰⎰. 例9.2计算V z d ⎰⎰⎰Ω,其中Ω由z z y x ≥++222和z z y x 2222≤++所确定.解法1 原式⎰⎰⎰==ϕϕπππϕϕϕθcos 2cos 22020.45dr sin cos d d r r解法2 设z z y x z z y x 2:,:22222221≤++Ω≤++Ω，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ-=21zdV zdV zdV .由于⎰⎰⎰Ω2zdV 与⎰⎰⎰Ω1zdV 的计算方法完全一样，以下仅以⎰⎰⎰Ω2zdV 说明其三种较简单的计算方法：方法1 直角坐标下先二后一：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=zD zdxdy dz zdV 22（其中2222:z z y x D z -≤+）ππ34)2(202=-=⎰dz z z z .方法2 由形心计算公式得⎰⎰⎰Ω⋅=2V z zdV （其中z 为2Ω的形心z 坐标）)(343412的体积为Ω⋅=⋅=V ππ方法3 利奇偶性.注意2Ω关于平面1=z 上下对称，则0)1(2=-⎰⎰⎰ΩdV z从而有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==+-=22234]1)1[(πdV z zdV . 例9.3计算,=I ⎰⎰⎰Ω+V y x d )(22其中Ω由曲线⎩⎨⎧==022x zy ，绕oz 轴旋转一周而成的曲面和平面2=z ，8=z 所围的立体. 解法1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=823422082320202.336d d d d d d ρπππρρθρρθz z I解法2 .336d d d 2032082πρρθπ==⎰⎰⎰zz I例9.4 计算⎰⎰⎰Ω++V nz ly mx d )(2,.:2222a z y x ≤++Ω 解2222222()()m x l y n z d V m x l y n z d V ΩΩ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（奇偶性） 222222()3m l n x y z dV Ω++=++⎰⎰⎰ （变量对称性） 2225242220004s i n ()315a m l n a d d r d r m l n πππθϕϕ++==++⎰⎰⎰例9.5设)(t f 连续,=)(t F ⎰⎰⎰Ω++V y x f z d )]([222, 其中Ω由222t y x ≤+,h z ≤≤0所确定.求20)(lim ,d d tt F t F t →.解 ρρρπρρρθπd hf h dz f z d d t F tht)](31[2)]([)(230202020+=+=⎰⎰⎰⎰322()2()3h F t t h t f t ππ'=+. 32320022()()3lim lim (0)23t t h t htf t F t h hf t t ππππ++→→+==+. 题型二更换三重积分次序例9.6计算=I ⎰⎰⎰-y x z z zy x 0210d )1(sin d d解先交换y 和z 的次序，则1122000sin ()sin (1)(1)xxx zz x z z I dx dz dy dx dz z z -==--⎰⎰⎰⎰⎰. 111200()sin 11sin (1cos1)(1)22z x z z dz dx zdz z -===--⎰⎰⎰ 第二节对弧长的线积分（第一类线积分）计算方法 1．直接法：1)若⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x C ，βα≤≤t ，则t t y t x t y t x f s y x f Cd )()())(),((d ),(22⎰⎰'+'=βα.2) 若)(:x y y C = ，b x a ≤≤，则x x y x y x f s y x f baCd )(1))(,(d ),(2⎰⎰'+=3) 若)(:θρρ=C ，βθα≤≤，则θρρθρθρβαd )sin ,cos (d ),(22⎰⎰'+=f s y x f C2.利用奇偶性.1) 若积分曲线C 关于y 轴对称, 则.⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当x y x f x y x f x C Cs y x f s y x f2)若积分曲线C 关于x 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当y y x f y y x f y C Cs y x f s y x f 3．利用对称性若积分曲线关于直线x y =对称,则⎰Cs y x f d ),(=⎰Cs x y f d ),(特别的 ⎰⎰=CCds y f ds x f )()(题型计算对弧长的线积分例9.7设L 是椭圆13422=+y x ，其周长为a ，则.d )432(22=++⎰s y x xy C解 =++⎰s y x xy C d )432(22s y x Cd )43(22⎰+ （奇偶性）a s y x C 12d )34(1222=+=⎰例9.8计算⎰++=Cs y x I d ])1([22,其中C 为).0(22>=+R Rx y x解: ⎰+++=Cs x I 1)d 2y y (22R xds R Cπ+=⎰ R R ππ+=23其中计算积分⎰Cxds 可以用直接法，以下介绍两种简单方法方法1 ⎰Cxds ⎰⎰=+-=C Cds ds RR x ]2)2[( （奇偶性）22R π=方法2 ⎰Cxds l x ⋅= （形心公式）22R π=例9.9 计算⎰=Cs y I d ||,其中C 为双纽线).0)(()(222222>-=+a y x a y x 解双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x 的极坐标方程为.2cos 22θa r =⎰=402sin 4πθθd aI )221(42-=a 例9.10计算⎰=Cs x I d 2,其中C 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x 。

海天武忠祥强化数学讲义第三章

第三章一元函数积分学第一节不定积分1．两个概念:1）原函数：)()(x f x F =′2）不定积分：∫+=Cx F x x f )(d )(2．基本积分公式：∫∫∫∫∫x x x x x x x x x x x e nnnxd arcsin )(p ,d tan arc )(p ,d ln )(p ,d cos βα4．三类常见可积函数积分1）有理函数积分∫xx R d )(（1）部分分式法（一般方法）；（2）简单方法（凑微分绛幂）；2)三角有理式积分∫xx x R d )cos ,(sin（1）万能代换（一般方法）令t x =2tan（2）简单方法（三角变形，换元，分部）3)简单无理函数积分x dcx bax x R nd ),(∫++令t dcx bax n=++例一基本题例3.1∫−=)4(x x dx I 解法1∫∫+−=−−=−=c x x dxx x dxI 22arcsin)2(4422解法2∫+=−=c x xx d I 2arcsin24)(2例3.2cos ∫=xx dxI 解∫∫∫∫−=−===xx d x x x d xx xdx x x dx I 222sin 1sin 2)sin 1(sin sin cos cos sin cos dt t t t t dt t dt t x 1111()1)(1(212 sin 22224++−=+−=−=∫∫∫令例3.3∫+=dxxx I 25解法1令，则 tan t x =tdtdx 2sec =∫∫∫=⋅⋅=⋅=)(sec tan )sec (tan tan sec sec tan 4425t td dt t t t ttdtt I )sec ( )1()(sec )1(sec 2222t u du u t d t =−=−=∫∫=c u u u ++−253251=c x x x +++−242)348(151解法2∫∫+=+=)(2124224x d x x dx x I =dxx x x x ∫+−+23244=)1(]1)1[(222224x d x x x x ++−+−+∫=cx x x x ++++−+2224)1(34)1(54例3.4e xe I xx ∫−=1解I121212∫∫−−−=−=dx e e x e xd x x x （令）dt t t dx e x∫∫+=−22121t e x =−1=Ct t +−arctan 22则I c e e e x x x x +−+−−−=1arctan 41412例3.5∫+xxx d ln 解法1原式=∫+xxd ln 2=xxx x ∫+−+2ln 2dt t t t x dx x x ∫∫−=++121122=∫∫−+1222t dtdt =C t t t ++−+11ln2原式=Cx x x x x +++−+−+−+11ln 24ln 2解法2令，则t x =+1原式=dt t tdt tt ∫∫−=−)1ln(22)1ln(22=t t t t ∫−−−122)1ln(2222=Cx x x x x +++−+−+−+11ln 24ln 2例3.6∫xe e x xd arctan 2解法1原式=∫−−xx de e 2arctan 21=ee e e xx xx ∫++−−−22121arctan 21=∫++−−)1(21arctan 21222x xx xx e e de e e =Ce e e e x x x x +++−−−]arctan arctan [212解法2令，则t e x =原式=∫∫−=231arctan 21arctan t tdt t =∫++−dt t t t t )1(1212arctan 222=c t t t t +−−−arctan 21212arctan 2=Ce e e e x x x x +++−−−]arctan arctan [212例3.7∫+=dx xx I 91解法1（令）∫∫∫+=+=+= )1(81)1()1(8878u u dux x dx x x x dx I u x =8解法2∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=++=dx x x x x x dx x x I 8788811)1()1(解法3c x x dx xx dx I ++−=+−=+=∫∫−−−|1|ln 81181)11(88889例3.8∫∫∫∫+++=++−+=++=63262246413111111x dx x dxdx x x x x dx x x I例3.9∫+=xdx I sin 1解法1∫∫∫+=−=x x d x x x I 222cos cos cos 1cos sin 1解法2C x x dx x dx I +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=∫∫42tan 24cos 22cos 12πππ解法3令2212sin 12 2tant t x t dt dx t x+=+==C x C t t dt t t t dt I ++−=++−=+=++⋅+=∫∫2tan 1212)1(2121112222例3.10∫++x x xcos sin 1d 解令，则t x=2tan 原式=∫+−+++2222211212t t t t dt =∫++=+C t tdt)1ln(1=Cx++)2tan 1ln(例3.11∫⋅=xx dxI 4cos sin 解法1（令）I ∫∫∫−−=−=⋅= )1(cos )cos 1(cos cos sin sin 424242u u duxx x d x x xdx u x =cos ∫−+−−=4244)1()1(u u u u 解法2∫∫∫∫⋅++=+=⋅+=cos sin cos sin 3cos 1cos sin cos sin cos sin cos sin 222324422dx xx x x x x x dx dx x x x x x x I ∫∫++=xdxx xdx x sin cos sin cos 3123例3.12∫+=dxxb x a I 2222cos sin 1解1）若∫+−===≠c x ax a dx I b a ctg 1sin 0 ,02222)若∫+==≠=cx b dx x b I b a tg 1cos 1 0 ,02223）若（令）)tg (cos 0 ,02222222∫∫+=+=≠≠u a b dux a b x dx I b a u x =tan 例3.13。

2012武忠祥数学基础班讲义

2012年考研数学基础班讲义（高等数学）第一章函数极限连续一、函数1 函数的概念：2 函数的性态：单调性奇偶性周期性有界性有界性：定义：;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃ 3 复合函数与反函数 (函数的复合,求反函数) 4 基本的初等函数与初等函数 1）基本初等函数:将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本初等函数。

了解它们定义域,性质,图形. 2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 常考题型：1。

函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2。

复合函数；例1 是)(e |sin |)(cos +∞<<−∞=x x x x f x （A）有界函数. （B）单调函数. （C）周期函数（D）偶函数. 例2 已知[],1)(,sin )(2x x f x x f −==ϕ则______)(=x ϕ的定义域为._______解：； )1arcsin(2x −].2,2[−例3 设则⎩⎨⎧≥−<=⎩⎨⎧>+≤−=0,,0,)(,0,2,0,2)(2x x x x x f x x x x x g [].________)(=x f g解=)]([x f g ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x 二、极限 1 极限概念1) 数列极限: A a n n =∞→lim ：0 ,0>∃>∀N ε,当时，恒有N n >ε<−||A a n .2）函数极限: ： A x f x =∞→)(lim 0 ,0>∃>∀X ε,当时，恒有X x >||ε<−|)(|A x f .类似的定义 A x f x =+∞→)(lim ，A x f x =−∞→)(lim 。

A x f x =∞→)(lim ⇔ =+∞→)(lim x f x A x f x =−∞→)(limA x f x x =→)(lim 0：0 ,0>∃>∀δε,当δ<−<||00x x 时，恒有ε<−|)(|A x f 。

(3月27日公开课)计算不定积分的常用方法-武忠祥

计算不定积分的常用方法主讲武忠祥教授微博：@武忠祥考研微信公众号：武忠祥考研（一）不定积分的基本公式（二）3 种主要积分法（三）3 类常见可积函数的积分（一）不定积分的基本公式⎰=Cdx 0C x dx x ++=+⎰111αααC x dx x +=⎰ln 1C a a dx a x x +=⎰ln 1) 2)3)4) Ce dx e x x +=⎰⎰+-=C x xdx cos sin ⎰+=C x xdx sin cos C x xdx +=⎰tan sec 2 5）6） 7）8）C x xdx +-=⎰cot csc 2⎰+=C x xdx x sec tan sec C x xdx x +-=⎰csc cot csc C x dx x +=-⎰arcsin 112 9）10） 11）12）C x x dx +=+⎰arctan 12C a x x a x +=-⎰arcsin d 22C a x a x a x +=+⎰arctan 1d 22⎰++-=-.||ln 21d 22C a x a x a a x x 13）14）15）16） ⎰+++=+C a x x a x x )ln(d 2222⎰+-+=-C a x x ax x ||ln d 222217） 18）.|tan sec |ln d sec ⎰++=C x x x x ⎰++-=.|cot csc |ln d csc C x x x x 19） 20）（二）3 种主要积分法1）第一类换元法（凑微分法） C u F u u f +=⎰)(d )( 若【例1】计算积分 ⎰+24x x dx⎰'x x x f d )())((ϕϕ 则Cx F +=))((ϕ【例2】计算积分 ⎰+2)ln ()ln 1(x x dx x【例3】计算积分 ⎰++dx xe x x x )1(1【例4】计算积分 ⎰+dx xx 4sin 12sin2）第二类换元法：⎰xx f d )()cos (sin ,1)22t a t a x x a =-x dt t t f ⎰')())((ϕϕC t F +=)()(t x ϕ=C x F +=-))((1ϕta x x a tan ,2)22=+ta x a x sec ,3)22=-【例1】计算积分 dx x x x ⎰-231arccos C x x x x x ++-+--)6(91arccos )2(1312223）分部积分法 ⎰⎰-=vduuv udv “适用两类不同函数相乘”⎰⎰⎰,cos )(p ,d sin )(p ,d )(p xdx x x x x x e x n n x n ααα⎰⎰⎰.arcsin )(;arctan )(;ln )(xdx x P xdx x P xdx x P n n n ⎰⎰.cos ;sin xdx e xdx e x x ββαα⎰+x x x d )1(tan e 22⎰⎰+=xx x x x x d tan e 2d sec e 222⎰⎰+-=x x x x x x x x d tan e 2d tan e 2tan e 222【例1】(1997年2）计算【解】原式 ⎰⎰+=xx x xx d tan e 2tan d e 22.tan e 2C x x+=._________d arcsin =⎰x xx x d x x xx ⎰⎰=arcsin 2d arcsin ⎰--=xdxx x 1arcsin 2Cx x x +-+=12arcsin 2【例2】(2000年4）【解】.d arctan 122⎰+=x x x x I ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x I d arctan 111222)(arctan 21d 1arctan x x x x x x -+-=⎰.)(arctan 21)1ln(21arctan 22C x x x x +-+-=【例3】(1991年5）求不定积分【解】 ⎰⎰-=)d(arctan arctan d arctan x x x x.d e arctane 2⎰x x x⎰⎰--=)d(e arctane 21d e arctane 22x x x xx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰-)e 1(e de arctane e 21222x x xx x []C e e x x x x +++-=--arctan arctane e 212【例4】(2001年1）求【解】⎰xdx 3sec )]tan sec ln tan [sec 21(C x x x x +++【例5】（四）三类常见可积函数积分1) 有理函数积分 x(R d)x（1）一般法（部分分式法）；（2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）；⎰+31xdx ⎰⎰+-+=+)1)(1(123x x x dx x dx dx x x C Bx dx x A ⎰⎰+-+++=112))(1()1(12C Bx x x x A ++++-=32,31,31=-==C B A dxx x x dx x x dx ⎰⎰⎰+---+=+12311131123dx x x x x ⎰+----+=13)12(611ln 312C x x x x +-++--+=2321arctan 31)1ln(611ln 312C x x x x +-++--+=312arctan 31)1ln(611ln 312【例1】计算【解】dx x x ⎰+31dx x x ⎰++311dxx x ⎰+-311⎰⎰+-=++11123x x dx dx x x C x +-=312arctan 32【例2】计算【解】先计算和 ⎰+-=43)21(2x dx dx x x x x dx x x ⎰⎰+-+-=+-32231)1(11⎰⎰+-+=331311x dx x dx C x x ++-+=31ln 311ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=+⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x x 3331111211⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=+⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x 33311112111dx x x x x ⎰++-+)1()1(6322【例3】(2019年2）求不定积分1)1(1)1()1(632222++++-+-=++-+x x D Cx x B x A x x x x 1,2,3,2===-=D C B A 【解】令2) 三角有理式积分 ⎰xx x R d )cos ,(sin （1）一般方法(万能代换）令t x =2tan （2）特殊方法（三角变形，换元，分部）dt t t t t t R x x x R 222212)11,12(d )cos ,(sin ++-+=⎰⎰),cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R -=-;cos x u = i)若则令),cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R -=-;sin x u = ii)若则令),cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =--.tan x u =iii)若则令dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1【例1】计算dx xx x x ⎰+cos sin cos sin 【例2】计算dx xx dx cos sin 3【例3】计算x dcx b ax x R n d ),(⎰++t dcx b ax n =++3)简单无理函数积分令【例1】dx xx ⎰-+11._________1arcsin 2=-⎰dx e e x x 【例1】(2018年3）Ce e e x x x +---2211arcsin【例2】(2018年1,2）求不定积分dx e e x x 1arctan 2-⎰C e e e e x x x x +-+--1)2(611arcsin 212。

高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法

还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a

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武忠祥辅导讲义不定积分例十三
【原创实用版】
目录
一、引言
二、不定积分的概念和性质
三、分部积分公式
四、运用分部积分公式的技巧
五、有理函数的积分
六、三角函数的积分
七、万能代换
八、实际题目解答
九、结论
正文
一、引言
本文主要讲解武忠祥辅导讲义中的不定积分例十三。

不定积分是微积分中的一个重要概念，其目的是求出一个函数在某一区间内的累积效果。

通过不定积分，我们可以得到许多实际问题中的解，如求解变化率、面积、体积等。

二、不定积分的概念和性质
不定积分是指对一个函数 f(x) 在某一区间 [a, b] 上进行积分，求其累积效果。

不定积分的结果称为原函数，记作 F(x) ，即：F(b) - F(a) = ∫[a, b] f(x)dx
三、分部积分公式
分部积分公式是求解不定积分的一种方法，其公式为：
∫udv = uv - ∫vdu
其中，u 和 v 是两个可积函数，【u】和【v】分别表示它们的原函数。

四、运用分部积分公式的技巧
在使用分部积分公式时，需要注意以下几点：
1.选择适当的可积函数 u 和 v，使得被积式容易积分。

2.观察被积函数的性质，如奇偶性、周期性等，以便选择合适的积分方法。

3.注意积分区间的变化，避免出现错误的积分结果。

五、有理函数的积分
有理函数是指形如 f(x) = p(x) / q(x) 的函数，其中 p(x) 和q(x) 是多项式函数。

有理函数的积分方法相对简单，可以直接运用分部积分公式进行求解。

六、三角函数的积分
三角函数是指形如 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x) 等函数。

对于三角函数的积分，可以利用一些特殊的三角恒等式进行求解，如：∫sin(x)dx = -cos(x) + C
∫cos(x)dx = sin(x) + C
七、万能代换
万能代换是一种求解不定积分的技巧，适用于许多复杂的被积函数。

其核心思想是将复杂的被积函数替换为一个简单的可积函数，从而简化积分过程。

万能代换的方法有很多，如代换 x = sin(t) 或 x = cos(t) 等。

八、实际题目解答
以例十三为例，求解不定积分：
∫(x^2 + 3x - 2)e^x dx
解：首先，将被积函数拆分为两个部分：
∫(x^2 + 3x)e^x dx - ∫2e^x dx
然后，分别对两个部分进行积分：
∫(x^2 + 3x)e^x dx = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + C1
∫2e^x dx = 2e^x + C2
最后，将两个积分结果相减，得到原函数的解：
(1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 2e^x + C = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 2e^x + C1 - C2
其中，C 和 C1、C2 分别为积分常数。

九、结论
通过以上讲解，我们可以看到，不定积分在求解实际问题中具有重要作用。

掌握好不定积分的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决实际问题。