专题7：定积分与不定积分【解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

的解集为 ，故有 ，且 得 。
（A） ， 有两个相等实根，
整理得 或 （舍去）， ，所以 。
（B） ，要使 在 上单调递减，只需
在 上恒成立即可，故只需
解得 ，所以 的范围为 。
例6．（武大）已知 是定义在区间 上的可导函数，满足 ，且 。
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ，比较函数 与 的大小。
整理，得 ．
即所求切线方程为
答案：B
10、如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，求点P的坐标．
分析：设直线OP的方程为y＝kx, P点的坐标为(x，y)，
则 (kx－x2)dx＝ (x2－kx)dx，
即( kx2－ x3) ＝( x3－ kx2) ，
，对 不恒成立，故 非奇非偶。
（2）由题意，在 时， ，即 的范围是 。
9.分析与解答：取 ，则 。
令 ，有 。
从而有
累加得 （*）
由 知，对 ，有
对（*）式令 ，有 ，且 时 。
综上， 。
10.分析与解答：（1）令 ，求导得 。当 时， ；当 时， 。所以 在 内为减函数，在 内为增函数。所以 ，即 恒成立。
则称函数 在点 处取得极小值，记作 ，并把 称为函数 的一个极小值点
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
注意：
（1）.函数 的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值；
（2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整个定义域内或所研究问题的整体性质。
2.极值的必要条件：若函数 在 可导，且在 处取得极值，则 。
答案：2
5、分析：令 ，则
6、 分析：作出 ， 及 的图如右
解方程组 得
解方程组 得
所求面积
7、分析：令 ，则 ，
当 时，
当 时，
∴
从而
8、分析：左端
右端
∴
解之 或 。
B组
9、分析：(1)设切点 ，切线斜率为 ，
切线方程为 ，标为 ；
(2)将 代入切线方程，得 ，
整理，得 ．
►分析与解：联立
得交点坐标为 或 。
由对称性，不妨设切线在 处互相垂直。
对 求导，有： ；
对 求导，有： 。
它们切线的斜率分别为 、 ，故 。
例5．（清华）一元三次函数 的三次项系数为 ， 的解集为 。
8.若 有两个相等实根，求 的解析式；
9.若 在 上单调递减，求 的范围。
►分析与解：设 ，则 ，
九．两个重要的极限：
1. ，2.
三、典例精讲
例1．（复旦）设 为正数， ，若 在区间 上大于0，则 的取值范围是（）。
（A） （B） （C） （D）
►答案：A
►分析与解： ，当 时， ，所以 在 上单调递减，所以 在 上大于0，当且仅当 ，即 。
例2．（清华）已知 ，过 的直线与该函数图像相切，且 不是切点，求直线斜率。
五．洛必塔法则：设（1）如果当 时，函数 都趋于零；（2）在 内， 都存在，且 ；（3）极限 存在（或为无穷大）；则 存在，且 。
上述准则称为洛必塔法则。
六．二次曲线在某点处的切线方程：
①设 是圆 上一点，则过 的圆切线方程为 ；
②设 是椭圆 上一点，则过点 的椭圆切线方程为 ；
③设 是双曲线 上一点，则过 的双曲线切线方程为 ；
当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)，
由f′(a)＞0知：a＞ 或a＜0，
故在[0， ]上递减，在[ ，1]上递增．
因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f( )＝ .
综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为 .
六、参考答案
A组
1、分析：
2、分析：原式＝ f(x)dx＋ f(x)dx，
∵原函数为偶函数，
∴在y轴两侧的图象对称，
∴对应的面积相等，即8×2＝16.
答案：D
3、分析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于 (－x2＋2x＋1－1)dx＝ (－x2＋2x)dx＝ .
4、分析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]， 再由 (kx－x2)dx＝( － ) ＝ ＝ 求得k＝2.
即所求切线方程为
答案：B
10、分析：设直线OP的方程为y＝kx, P点的坐标为(x，y)，
则 (kx－x2)dx＝ (x2－kx)dx，
即( kx2－ x3) ＝( x3－ kx2) ，
解得 kx2－ x3＝ －2k－( x3－ kx2)，
解得k＝ ，即直线OP的方程为y＝ x，所以点P的坐标为( ， )．
＝(a2x－ x3) ＋( －a2x)
＝a3－ a3－0＋0＋ －a2－ ＋a3
＝ a3－a2＋ .
当a＞1时，
f(a)＝ (a2－x2)dx
＝(a2x－ x3)
＝a2－ .
∴f(a)＝
(2)当a＞1时，由于a2－ 在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－ ＝ .
（1）对 求导，得 。由（1）知，当 时，
，又 时， 时， ，故 ，所以 恒成立。因为 的定义域为 ，所以 的单调增区间为 。
（2）用数学归纳法证明：对任意 ，都有 。
①当 时， ，由于 ，所以 ，即 。
②假设当 （ ）时结论成立，即 。因为 在 内为增函数，且
（这里用到罗必塔法则，见知识拓展） ，所以
10.（清华） ， 。
（1）求证： 恒成立；
（2）试求 的单调区间；
（3）求证： 为递减数列，且 恒成立。
真题训练答案
1.D 。由题意知 的两根为-1，1，且注意到 在 上递增，故 。
由韦达定理， 。
2.C ，故过 的切线斜率为 ，即所有曲线的切线构成的直线系为
。
又 ，故 时斜率最小，此时 ，切线方程为 ，即 。
答案：D
3、函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合，则该闭合图形的面积是()
A．1 B. C. D．2
分析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于 (－x2＋2x＋1－1)dx＝ (－x2＋2x)dx＝ .
4、已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为 ，则k=________.
6.（上海交大）设 在 处可导，且原点到 中直线的距离为 ，原点到 中曲线部分最短距离为3，试求 的值（ ）。
7.（清华）求 的单调区间及极值。
8.（武大）已知函数 。
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）若 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围。
9.（上海交大）已知函数 满足： ，又 ，求函数 的解析式。
►分析与解：（1） ；
（2）若 ，则 ，显然，当 取最小；
若 ，则 ，当 取最小。
故不妨设 。
。
由（1）知 ，
因 ，
所以 （*）
记 ，
令 ，得 。
即 时， 取最小值。
（3）将 代入（*）式右边，
。
由于 ，所以 。
下面只须证明 即可。
。
令 ，则 ，
注意到函数 是单调递减的，且 。
所以 ，得证。
四、真题训练
解得 kx2－ x3＝ －2k－( x3－ kx2)，
解得k＝ ，即直线OP的方程为y＝ x，所以点P的坐标为( ， )．
11、设f(x)=
(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；
(2)当a≥0时，求f(a)的最小值．
分析：(1)0≤a≤1时，
f(a)＝ |x2－a2|dx
＝ (a2－x2)dx＋ (x2－a2)dx
当 时，
∴
从而
8、已知 ，求常数 。
分析：左端
右端
∴
解之 或 。
B组
9、在曲线 上某一点A处作一切线使之与曲线以及 轴所围成图形的面积为 ，试求：
(1)切点 的坐标；
(2)过切点 的切线方程．
分析：(1)设切点 ，切线斜率为 ，
切线方程为 ，
令 ，得 ．
，
解得 ， 切点 的坐标为 ；
(2)将 代入切线方程，得 ，
又 到直线 距离为 。
由于 在 上单调递增，故在曲线上与原点最近的点为 。
所以 。
7.分析与解答：令 或 （显然不可能）。
时， 单调递增； 时， 单调递减； 时， ， 单调递减。
故 极小值为 （ 时取到）， 在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增。
8.分析与解答：（1）对 进行讨论：
为偶函数；
►分析与解：（1）由于 。所以 在 上单调递减。
（2）当 时，有 。证明如下：
注意到，当 时， ，故由（1）可得 ，即 。
下证 ，即证 。
为此，考虑函数 。
因为，当 时，有 ，
所以 在 上单调减少，故 ，即 。
于是 ，即 。
例7．（复旦）（1）设 ，求 ；
（A）设 ，求常数 ，使得 取得最小值；
（B）设（2）中的最小值为 ，证明 。
1.（武大）如果定义在 上的函数 的单调递增区间为 ，那么实数 的大小关系是（）
（A） （B） （C） （D）
2.（武大）在曲线 的所有切线中，斜率最小的切线方程为（）。
（A） （B） （C） （D）
3.（南大）函数 的单调减区间为。
4.（武大）求常数 的值，使 。
5.（上海交大）若方程 有3个不同实根，求实数 的取值范围。
分析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]， 再由 (kx－x2)dx＝( － ) ＝ ＝ 求得k＝2.