第一节 不定积分的概念与性质
高等数学第五章 不定积分
例 6 求下列积分：
(1)
x2
1
a2
dx；(2)
3 x dx；(3) 4 x2
1 1 ex
dx；
(4) sin 2
xdx；
(5)
1
1 cos
x
dx；(6)
sin
5x
cos
3xdx．
解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被
积函数做适当变形．
1
x
2
1
a
2
dx
1 2a
x
1
a
x
1
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
2 sin xdx 3 cos xdx
2cos x 3sin x C (C 为任意常数).
例 9 求下列不定积分:
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x2 x2
1dx 1
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx
x
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
f (u )du
回代
F (u ) C
F [ ( x )] C .
这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫 第换一元积分法，也称凑微分法．
第一节 不定积分的概念与性质
因[x 为 arx ct 1la n 1 n x (2)]arx c, tan 2
所以 xarcxta 1ln n1 (x2)是 arcx的 tan一个原 2
= =
微分运算与求不定积分的运算是互逆的:
d
F(x)F(x),dF(x)
F( x)C f(x), f(x)dx
由此可知：
(1)d d xf(x)dxf(x), d [f(x)d x]f(x)d x;
(2)F(x)dxF(x) +C, dF(x)F(x)+C.
( 2)
例3 d x x C.
二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本 积
0dxC 1dxxC
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1.
证明
arc 2 x s1 )ia ,nr(c 1 c 2 x)o 和 2 s a(rcx tan 1 x
都是 1 的原函. 数 xx2
2. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，
记 为 f ( x ) d . x
高等数学 第五章 第1节 不定积分的概念与性质(中央财经大学)
定义
定理
, I )( 则它上的原函数存在在区间若x f 则它的所的一个原函数为若 , )( )( x f x F
. )( 的形式有原函数可表示为C x F +
) . ,(为任意常数其中C
.仅相差一个常数的任意两个原函数之间
结论结论结论
定义上的全体原函数的集合
在区间 I )(x f }
I , )()( | )({∈=′x x f x F x F 记为
上的不定积分在称为 , I )( x f ) ( )(d )(为任意常数C C x F x x f +=∫的一个原函数；
为其中 )( )( ,x f x F 称为被积表达式；称为被积函数 d )( , )(x x f x f 称为不定积分号；∫
. 称为积分常数C 一. 不定积分的概念
性质 1
),()d )((x f x x f =′∫,
d )(d )(d x x f x x f =∫,
)(d )(C x f x x f +=′∫
∫
+=.)()(d C x f x f
逆运算三.不定积分的基本性质
性质 2
则
设 (I),)( ),( 21R x f x f ∈,d )(d )(d )]()([2121∫∫∫+=+x x f b x x f a x x bf x af
. , ,为常数其中b a
.函数的和的形式该性质可推广至有限个
线性性质
解
解
解
利用加一项、减一项的方法.
解
利用加一项、减一项的方法.
解
部分分式法
解
下面看另一种解法
.
解
两个解法答案不同，你
有何想法？
利用平方差公式解
解
1。
微积分--不定积分
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第四节 几种特殊类型函数的积分
设Pm(x)和Qn(x)分别是m次和n次实系数多项式,则
形如
Pm ( x ) Qn ( x )
的函数称为有理函数.当m<n时,称为真分式,否则称 为假分式.
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最简真分式(其中A、B为常数)：
(1) A xa A ( x a)
2 k
( a为常数); ( k 1为整数，a为常数); ( p, q为常数, 且p 4q 0)
2
1 x 1
2
x 1是
1 x 1
2
在(1,)内的一个原函数 .
返回
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一个函数具有原函数时,它的原函数 不止一个 .
定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连 续,则在区间I上存在可导函数F(x),使对任意x∈I,都有 F(x)=f(x)．
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则在区间 I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任 意常数)的形式 . 证 (1)已知F(x)是f(x)的一个原函数,故F(x)=f(x)． 又[F(x)+C]= F(x)= f(x),
x a x a
2 2
1
ln | sec t tan t | C , ln | | C
a x a | C
2 2
ln | x
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例21 解
求
dx x 2x 3
2
.
x
dx
2
2x 3
( x 1)
1 2
1
2
( 2)
2
ch04-不定积分
a sec ttgt atgt
dt
sec tdt
ln(sec t
tgt )
C
又 sec t x , tgt x2 a2
a
a
故
dx ln( x
x2 a2
a
x2 a
a2
)
C1
ln(
x
x a时,设x sec t(0 t )
2
故 dx ln( x x2 a2 ) C x2 a2
从而 x 3 5 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
法2：由法1,有x 3 A( x 3) B( x 2)
令x 2,得A 5;令x 3,得B 6。
同样有： x 3 5 6
( x 2)( x 3) x 2 x 3
n m时，此有理函数是真分式；
n m时，此有理函数是假分式；
由于假分式可化作一多项式与真分式之和，
所以以下仅讨论真分式的积分。
求较复杂的真分式的积分，可将较复杂的真 分式化成简单的分式之和，再积分。
以下通过一些具体的实例，说明将复杂真分 式化为简单分式的方法。
例1将 x 3 分解成简单分式。 ( x 2)( x 3)
故有同样的结果。
例3将
(1
1 2 x )(1
x2
)
分解成简单分式。
解：设 (1
1 2 x )(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
通分，比较后，有1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x)
不定积分的定义和性质
F ( x) G( x) C（C为任意常数）
不定积分的定义：
在区间 I 内，函数 f ( x ) 的带有任意常数项的原函数 称为 f ( x )在区间 I 内的不定积分，记为
f ( x)dx 。
即：
积分号
f ( x)dx F ( x) C
积分常数
被积 函数 积分 变量
求不定积分的中心问题是 寻求被积函数f ( x ) 的一个 原函数。
（1）积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条，例如， 曲线 y F ( x) 沿y轴平行移 C 位而得到。当 C 0 时向上移动； 当 C时，向下移动。 0 y f ( x) （2）由于 [ F ( x) C ]' F ' ( x) f ( x) ，即横坐标相同点x处， o x f (x) 每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于 ，从而 使相应点的切线平行。
现证(1) f ( x)dx g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx f ( x) g ( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
例5
求积分 (
3
2
3
2
1 x 2
x x
(6)
cos xdx sin x C; sin xdx cos x C;
cos
sin
dx
2 2
(12)
(7)
(13)
a dx
x
a
x
C;
ln a
(8)
x
sec xdx tan x C ;
csc xdx cot x C;
不定积分讲解课件
个常数. 证明: (1)因为[F(x)+C]’=F’(x)=f(x).所以F(x)+C也是f(x)的 原函数 (2)设F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数,由于 [G(x)-F(x)]’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 所以 G(x)-F(x)=C, G(x)=F(x)+C 。这表示f(x)如果存在原函数,则所有的原 函数只相差一个常数.
4
4
24
1sin2x,1cos2x,1cos2x.是同一函数的原函数.
2
4
2
所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致, 但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数
二、基本积分表
由于微分和积分是互为逆运算, 所以把第二章中的
基本微分公式逆写, 就得到基本积分表。
例5
d x
x
3
解 :d x3 xx 3 d xx 3 3 1 1C 2 x 1 2C
下面的问题是已知原函数的存在,怎样求? 定理1 若函数 f (x)在区间 I上连续,则它在 I上存在 原函数F(x), 即对于任意的x∈I，都有 F ’(x) = f (x).
例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续, 它们都有原函数。
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(x)+C
代入初值条件，得到 2=1+C，C=2-1=1 f(x)=x2+1
[ f ( x ) d x ] f ( x ) d f ( x ) d x f ( x ) d x f(x )d x f(x ) C df(x ) f(x ) C
由此可见, 微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后 求导, 则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵 消后相差一个常数.
4.1 不定积分的概念与性质
11
නcsc cot d = − csc + ;
(12)
13
第一节 不定积分的概念与性质
第一节 不定积分的概念与性质
නe d = e + ;
+ ;
න d =
ln
(14)
නsinh d = cosh + ;
(15)
නcosh d = sinh + .
= ln | | +
第一节
第一节 不定积分的概念与性质
不定积分的概念与性质
第四章
第四章 不定积分
不定积分
(4)
(5)
1
න
d = arctan + ;
2
1+
1
න
d = arcsin + ;
1 − 2
(6)
නcos d = sin + ;
(7)
නsin d = − cos + ;
第一节 不定积分的概念与性质
′ = 2的积分曲线族
第四章 不定积分
例4 质点在距地面0 处以初速0 铅直上抛, 不计阻力, 求其运动规律.
解
取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上,
质点抛出时刻为 = 0, 此时质点位置为0 , 初速为0 .
设时刻质点所在位置为 = (), 则
不定积分.
′ () = ()
න()d = () +
积 被
分 积
号 函
数
第一节 不定积分的概念与性质
被
积
表
达
式
积
分
变
量
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第一节 不定积分的概念与性质
一．原函数与不定积分的概念
1.原函数的概念
引例 设x x f cos )(=',求)(x f . 解 因为x x cos )(sin =',所以c x x f +=sin )(.
此时称x sin 为x cos 的一个原函数.
定义 如果在区间I 上,可导函数)(x F 的导函数为)(x f ,即I x ∈∀,有 )()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)
则称)(x F 为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的一个原函数.
如x arctan 是211x +的原函数;211x +是)1ln(2x x ++的原函数.
什么样的函数具有原函数呢?有
定理(原函数存在定理) 连续函数必有原函数.即
如果函数)(x f 在区间I 上连续,则在区间I 上存在可导函数)(x F ,使得对I x ∈∀,有 )()(x f x F ='
即)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数.
其证明见289P . 注意 (1)由原函数的定义可知:如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数,则C x F +)(也是)(x f 的原函数,即)(x f 若有原函数,则)(x f 有无限多个原函数.
(2)设)(x F 和)(x Φ都是)(x f 在区间I 上的原函数,则)(x F =C x +Φ)(.事实上 0)()()()(])()([=-=Φ'-'='Φ-x f x f x x F x x F
所以)(x F C x =Φ-)(,即)(x F =C x +Φ)(.
2.不定积分的概念 定义 在区间I 上, )(x f 的原函数的全体,称为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的不定积分,记作
⎰dx x f )(.
其中:‘⎰’——积分符号; )(x f ——被积函数;dx x f )(—被积表达式;x ——积分变量.
显然,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则 ⎰dx x f )(C x F +=)(.
因此,求)(x f 的不定积分归结于求)(x f 的一个原函数)(x F .
如x arctan 是211x +的一个原函数,所以 ⎰+=+C x dx x arctan 112. 又如211
x +是)1ln(2x x ++的一个原函数,则
=+⎰dx x 211
C x x +++)1ln(2.
例1 求⎰dx x 1.
解 当),0(+∞∈x 时,x x 1)(ln =
',所以C x dx x +=⎰ln 1. 当)0,(-∞∈x 时, x x 1])[ln(='-,所以C x dx x +-=⎰)ln(1. 综上,有 C x dx x +=⎰ln 1.
例2 设,2cos )(sin x x f ='求)(x f .
解 ,c o s 21)(s i n 2x x f -='故221)(t t f -='.因为 2321)3
2(t t t -='- 所以33
2t t -是221t -的一个原函数,故 ⎰+-=-C t t dt t 323
2)21( 即
)(x f =C x x +-332. 例3 设曲线过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
解 设曲线方程为)(x f y =,则
x dx
dy 2=. 所以C x y +=2.又2|1==x y ,所以C +=12,从而1=C .故所求曲线方程为12+=x y .
3.不定积分与微分的关系
(1)⎰=dx x f dx x f d )()( 或⎰=')(])([x f dx x f ; (2)⎰+=C x F x dF )()( 或⎰
+='C x F dx x F )()(. 即先积后微,形式不变;先微后积,添个常数.
二.基本积分表
1.⎰+=C kx kdx (k 是常数);
2.⎰++=+C x dx x 11
1μμμ (1-≠μ); 3. C x dx x +=⎰ln 1; 4. ⎰+=+C x dx x arctan 112; 5.⎰
+=-C x dx x arcsin 112; 6.⎰
+=C x xdx sin cos ;
7.⎰+=C x xdx cos sin ; 8.⎰⎰+==C x xdx dx x tan sec cos 122; 9.⎰⎰+-==C x xdx dx x cot csc sin 122;
10.⎰+=C x xdx x sec tan sec ;
11.⎰
+-=C x xdx x csc cot csc ; 12.⎰+=C e dx e x x ; 13.⎰+=C a a dx a x x ln ; 14.⎰
+=C chx shxdx ;
15.⎰
+=C shx chxdx .
例4 ⎰⎰+==C x dx x dx x x 2725272.
三.不定积分的性质
性质1 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. 性质2 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( (k 是常数).
例5 求dx x
x ⎰-23
)1(. 解 原式⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=dx x
dx x dx xdx dx x x x 221133)133( C x
x x x +++-=1ln 3322. 例6 ⎰⎰++=+==C e C e e dx e dx e x
x x x x x 1
2ln 2)2ln()2()2(2. 例7 ⎰⎰⎰++=+++=+++dx x x dx x x x x dx x x x x )111()
1()1()1(122222 ⎰⎰++=++=C x x dx x dx x arctan ln 1112
. 例8 ⎰⎰⎰++-=++-=+dx x
x dx x x dx x x )111(11)1(1222424 C x x x ++-=arctan 3
13.
例9 ⎰⎰+-=-=C x x dx x xdx tan )1(sec tan 22.
例10 ⎰⎰⎰+-=-=-=C x x dx x dx x dx x )sin (21)cos 1(212cos 12sin
2. 例11 ⎰⎰⎰+-====C x xdx dx x dx x x cot 4csc 4sin 142cos 2sin 1222
2.
例12 ⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x dx x x )sec (csc sin cos sin cos sin cos 122222222
C x x +-=cot tan .。