高等数学 定积分及其应用复习题

第五、六章 定积分及其应用
（１）
一．判断题
（ ）1．函数)(x f 在区间],[b a 上有界，则)(x f 在],[b a 上可积．
（ ）2．若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）3．设)(x f 在),(+∞-∞内连续，则⎰
=x a
dt t f x G )()(是)(x f 的一个原函数.
（ ）4．
⎰
⎰=b
a
b a
dx x f k dx x kf )()(,⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(都对.
（ ）5．函数)(x f 在],[b a 上有定义，则存在一点],[b a ∈ξ，使
)()()(a b f dx x f b a
-=⎰
ξ． ( ).
二．填空题 1．设⎰=
x
x tdt x f 2
ln )(，则=')2
1(f . 2．⎰=x tdt dx d 1sin , dx d ⎰b a
x 2
s i n dx = . 3．若),1(2)
(0
2x x dt t x f +=⎰
则=)2(f .
4．1
1xdx -⎰
＝ .
5．
⎰
+21
42
)1
(dx x x ＝ , ⎰-10241dx x ＝ .
三．计算题 1．
⎰
-e e
dx x 1
ln 2．dx x x ⎰-π
53sin sin
3．设⎪⎩⎪⎨
⎧>-≤=1
,
11,
)(2
x x x x x f ，求
⎰
20
)(dx x f ．
4．dt t
dx d x x ⎰+32411 5．20
0arctan lim x tdt x
x ⎰→ 四．对任意x ，试求使
⎰
-+=x a
x x dt t f 352)(2成立的连续函数)(x f 和常数a ．
五．证明题：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)('≤x f ，证明
函数⎰-=
x a
dt t f a x x F )(1
)(在),(b a 内单调递减．
第五、六章 定积分及其应用
（２）
一．判断题
（ ）1．⎰⎰⎰---+-=⋅+=+112
11
221
12)1
()(111)(111x
d x
dx x x x dx
2
1arctan
1
1
π
-
=-=-x ．
（ ）2．
2)2(10
=+⎰
dx k x ，则1=k .
（ ）3．设函数⎰-=
x
dt t y 0
)1(，则y 有极小值2
1
. （ ）4．设
2
1
)(21)(0
-=
⎰
x f dt t f x ，且1)0(=f ，则x e x f 2)(=. （ ）5．只要)(x f 可积，则
0)(11
2=⎰
-dx x xf ．
二．计算题
1．dx x x ⎰+1
021arctan 2．⎰+20ln 1e x x dx 3．dx x ⎰-π03
)sin 1(
4．
dx e x ⎰
-2
ln 1
1 5．⎰
-51
1
dx x
x 6．⎰-2ln 01dx e x
7．
⎰
-20
224dx x x 8．
⎰
10
arctan xdx x 9．
⎰
2
cos π
xdx e x
10．
dx x
x ⎰
+3
1
2
11
三．证明题 (1) ⎰⎰
-=-1
10
)1()1(dx x x dx x x m n n
m )0,0(>>n m ；
(2)
⎰⎰
-+=b
a
b a
dx x b a f dx x f )()(；并由此计算dx x x x
⎰-3
6
2)
2(cos π
π
π
第五、六章 定积分及其应用
（３）
一．填空题 1．dx x ⎰
∞+1
4
1
＝ . 2．
dx xe
x
⎰
∞
+-0
2＝ ，
dx xe
x ⎰
∞+-0
22
＝ ，
dx e
x x ⎰
∞+-0
222
＝ .
3．写出下列各图中阴影部分面积的公式．
图)(a 图)(b 图)(c
图)(a 的为 ， 图)(b 的为 ， 图)(c 的为 . 二．计算题 1．
dx x x ⎰
∞+1
2arctan 2．dx x x ⎰∞++12)
1(1
3．
btdt e
at
cos 0
⎰
∞+- )0(>a 4．
dx x ⎰1
)sin(ln
三．当k 为何值时，广义积分dx x x k
⎰
∞+2
)
(ln 1
收敛?当k 为何值时，广义积分发散? 四．求由曲线3
x y =及直线0,2==y x 所围成的平面图形分别绕x 轴及y 轴旋转所得旋转
体的体积．
五．已知某产品生产x 个单位时，总收益R 的变化率(边际收益)为
100
200)(x
x R R -
='=' （0≥x ） （1）求生产了50个单位时的总收益；
（2）如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益．。