自动控制原理考试试题第七章习题及答案

自动控制原理考试试题第七章习题及答案 第七章 非线性控制系统分析 练习题及答案 7-1 设一阶非线性系统的微分方程为 3xxx

试确定系统有几个平衡状态,分析平衡状态的稳定性,并画出系统的相轨迹。 解 令x0 得 xxxxxxx321110()()() 系统平衡状态 xe011,, 其中:0ex :稳定的平衡状态; 1,1ex :不稳定平衡状态。

计算列表,画出相轨迹如图解7-1所示。

可见:当x()01时,系统最终收敛到稳定的平衡状态;当x()01时,系统发散;1)0(x时,xt(); 1)0(x时,xt()。 注:系统为一阶,故其相轨迹只有一条,不可能在整个~xx平面上任意分布。

7-2 试确定下列方程的奇点及其类型,并用等倾斜线法绘制相平面图。 (1) xxx0

(2) 2122112xxxxxx 解 (1) 系统方程为

)0(0:)0(0:xxxxxxxx



令0xx&&&,得平衡点:0ex。

x -2 -1 13 0 13 1 2

x

-6 0 0、385 0 -0、385 0 6

x

11 2 0 1 0 2 11

图解7-1 系统相轨迹 自动控制原理考试试题第七章习题及答案 系统特征方程及特征根: 21,2

21,2

13:10,()22:10,1.618,0.618()sssjsss稳定的焦点

鞍点 (,),,xfxxxxdxdxxxxdxdxxxxxx11

1







)0(11:II)0(11:Ixx



计算列表  -∞ -3 -1 -1/3 0 1/3 1 3 ∞

x011: -1 -2/3 0 2 -∞ -4 -2 -4/3 -1

x011: -1 -4/3 -2 -4 ∞ 2 0 -2/3 -1

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2(a)所示。

图解7-2(a)系统相平面图 (2) xxx112 ① 自动控制原理考试试题第七章习题及答案 2122xxx ②

由式①: xxx211 ③ 式③代入②: ()()xxxxx111112 即 xxx11120 ④ 令 xx110

得平衡点: xe0 由式④得特征方程及特征根为

414.0414.2

0122,12ss(鞍点)

画相轨迹,由④式 xx

dx

dxxxx1111112

xx112



计算列表  2 2、5 3 ∞ 1 1、5 2

=1/(-2) ∞ 2 1 0 -1 -2 ∞

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2(b)所示。 7-3 已知系统运动方程为 sinxx0,试确定奇点及其类型,并用等倾斜线法绘制相平面图。 解 求平衡点,令xx0 得 sinx0 平衡点 xkke(,,,012)。 将原方程在平衡点附近展开为台劳级数,取线性项。 设 Fxxx()sin0 FxxF

xxxxee0

cosxxxe0 自动控制原理考试试题第七章习题及答案 ),5,3,1(0),4,2,0(0kkxxxkkxxx

ee





特征方程及特征根: k为偶数时 sj21210, (中心点) k为奇数时 s212101, (鞍点) 用等倾斜线法作相平面 sinsinsinxdxdxxxxxx0

1

 -2 -1 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 1 2

-1/ 1/2 1 2 4 ∞ -4 -2 -1 -1/2 作出系统相平面图如图解7-3所示。

7-4 若非线性系统的微分方程为 (1) (.)xxxxx30502 (2) xxxx0 试求系统的奇点,并概略绘制奇点附近的相轨迹图。 解(1) 由原方程得 (,)(.).xfxxxxxxxxxx305305

222

令 xx110

得 xxxx210() 自动控制原理考试试题第七章习题及答案 解出奇点 xe01, 在奇点处线性化处理。 在xe0处:

(,)(,)

()(.).xfxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxx0000001260505 即 .xxx050

特征方程及特征根

sj1220505420250984,.... (不稳定的焦点)

在xe1处 xxxxxxxxxxx5.0)5.06()21(0101

即 .xxx050

特征根 718.0218.1245.05.022,1s (鞍点) 概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4(1)所示:

(2) 由原方程 (,)xfxxxxx

令 xx0 得奇点 xe0,在奇点处线性化 自动控制原理考试试题第七章习题及答案 ()xfxxfxxxxxxxxxxxxxx00001 得 xx

即 xx0

特征根 sj12,。奇点xe0(中心点)处的相轨迹如图解7-4(2)所示。 7-5 非线性系统的结构图如图7-36所示。 系统开始就是静止的,输入信号)(14)(ttr,试写出开关线方程,确定奇点的位置与类型,画出该系统的相平面图,并分析系统的运动特点。 解 由结构图,线性部分传递函数为 CsMss()()12

得 ()()ctmt ① 由非线性环节有







22)(22)(20)(eteeteetm ②

由综合点得 ctrtetet()()()()4 ③

将③、②代入①得







III2)(2II2)(2I20)(eteeteete

开关线方程为 et()2 02:)(0)(:eecete常数

令ee0 得奇点 e02II 特征方程及特征根 自动控制原理考试试题第七章习题及答案 ssj21210,, (中心点)

III:ee20 令ee0 得奇点 e02III 特征方程及特征根 ssj21210,, (中心点)

绘出系统相轨迹如图解7-5所示,可瞧出系统运动呈现周期振荡状态。

7-6 图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统,试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。

解 由系统结构图有 0:0:215.015)()(cc

sssEsC



ssCsEs(.)()()05125 II055.0I0535.0cecccecc



①

因为 cree1 ② ②代入①式有

II00102I00106eeeeeeee



特征方程与特征根 





)(310102:II)(30106:I2,122,12不稳定的焦点稳定的焦点jsssjsss

依题意 0)0(,0)0(cc