第二章-泛函极值及变分法(补充内容)
变分法求泛函极值-概述说明以及解释
变分法求泛函极值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以介绍本篇文章的主题和背景，以及变分法在数学和实际应用中的重要性。
概述：变分法是一种用于求解泛函极值的重要数学方法。
泛函是一个对函数进行操作的函数，如积分、微分等运算。
在数学领域，变分法广泛应用于各个领域，包括微分方程、优化问题、控制理论等。
在实际应用中，变分法被广泛用于物理学、工程学、经济学等学科中的模型建立和问题求解。
本篇文章旨在介绍变分法及其在求解泛函极值问题中的应用。
文章将从变分法的基本概念开始，进一步探讨其在求解泛函极值中的具体应用，以及相关的数学原理。
通过对变分法的深入分析和讨论，我们将探索变分法在求解泛函极值中的意义和局限性，并对未来研究方向进行展望。
通过阅读本篇文章，读者将能够了解变分法的基本概念和数学原理，并掌握如何应用变分法求解泛函极值的方法和技巧。
同时，本篇文章还将对变分法在实际应用中的意义和局限性进行讨论，以及未来研究方向的展望，为读者提供更深入的思考和研究的方向。
下一节将介绍本文的结构和各个部分的内容。
1.2 文章结构本文共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
每个部分都有特定的目标和内容。
引言部分主要介绍本文的背景、研究意义和目的。
首先，我们将对变分法的基本概念和相关术语进行简要的介绍，以便读者对后续内容有初步的了解。
其次，我们将说明本文的结构和章节安排，帮助读者快速了解文章的整体框架和逻辑。
正文部分是本文的核心内容，主要包括三个小节。
首先，我们将详细介绍变分法的基本概念，包括泛函、变分和变分问题的定义。
然后，我们将探讨变分法在求泛函极值中的应用，介绍一些典型的例子和实际问题。
最后，我们将解释变分法的数学原理，包括欧拉-拉格朗日方程和变分问题的极值条件。
结论部分对本文的主要内容进行总结，并进行进一步的讨论和展望。
首先，我们将对整个文章进行简要回顾，概括出变分法求泛函极值的关键点。
然后，我们将探讨变分法在求泛函极值中的意义和局限性，以及对未来研究方向的展望。
泛函与变分简介 ppt课件
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泛函的极值――变分法
对于不同的自变量函数
，与此相应的泛函
也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数
，使泛函
具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大
值统称为泛函的极值．
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引入泛函的概念后，对于上述的最速降线问题变为泛函 的极小值问题．物理学中常见的有光学
中的费马(Fermat)原理，分析力学中的哈密顿 (Hamiton)原理等，都是泛函的极值问题．
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变分法的基本概念
泛函 变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．
为了说明泛函概念先看2个例题：
பைடு நூலகம்
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泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题的公式．更为一般而又典型的泛函定义为
其中
称为泛函的核．
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即为
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不显含 ，故其E-L方程为（17.2.7）式
令
，故有
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令 再令
，分离变量得到 ，代入上式得到
即得到
此即为摆线的参p数pt课方件 程，积分常数可由初始位置28
．由(17.1.8)，有
，即
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（17.2.3）
数学中的泛函方程与变分法
数学中的泛函方程与变分法泛函方程与变分法是数学中重要的概念和方法，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将介绍泛函方程的定义和变分法的基本原理，并通过实例来说明其在数学中的应用。
一、泛函方程的定义泛函方程是指以函数为未知量的方程。
与常见的代数方程不同，泛函方程涉及到函数的变化与整体性质，需要运用变分法来求解。
以泛函方程的典型形式为例，设函数空间F中的函数为y(x)，泛函方程可写为：J[y]=∫(a, b) F(x, y, y') dx = 0其中，a和b是给定的常数；F是一个关于x、y和y'（即y的导数）的已知函数。
二、变分法的基本原理变分法是通过对泛函进行极值问题的求解方法，其基本原理是最小作用量原理，即作用量的极值对应于物理系统的真实运动。
对于泛函J[y]，设有函数y(x)在区间[a, b]上有连续的变分δy(x)，则可定义泛函的变分为：δJ = J[y + δy] - J[y]根据变分的数学性质，可以将δJ展开为：δJ = ∫(a, b) [∂F/∂y δy + ∂F/∂y' δy'] dx其中，δy和δy'分别是y和y'的变分。
根据变分法的基本原理，要使泛函J[y]取得极值，必须满足变分δJ=0的条件。
三、泛函方程与变分法的应用举例1. 最小作用量原理最小作用量原理是变分法的典型应用之一。
以经典力学中的拉格朗日力学为例，根据哈密顿原理，系统的运动轨迹为使作用量S取极值的轨迹。
作用量S可以表示为：S = ∫(t1, t2) L(q, q', t) dt其中，q是广义坐标；q'是广义速度；L是拉格朗日函数。
根据变分法的原理，要使作用量S取得极小值，即变分δS=0。
通过对作用量S进行变分运算，可以得到系统的欧拉－拉格朗日方程，从而求解系统的运动方程。
2. 微分方程的边界值问题变分法还可以应用于求解微分方程的边界值问题。
考虑一个一维边界值问题，设函数y(x)在区域[a, b]上满足微分方程和边界条件：F(x, y, y') = 0, G(y(a), y(b)) = 0通过引入拉格朗日乘子λ(x)和一个新的泛函K[y, λ]，可以将边界值问题转化为极值问题。
11.1泛函和泛函的极值-武汉大学数学物理方法
考虑：δ ∫ [ F ( x, y, y′) + λG ( x, y, y′)]dx = 0
a
b
则→
∂F ∂y
+λLeabharlann ∂G ∂y−d dx
[(
∂F ∂y ′
)+λ
d
dx ∂y ′
(
∂G
)] = 0
积分常数 C1 , C 2和λ可由附加条件定出
§11.1 泛函和泛函的极值
四.泛函的条件极值
1 ⎧ 2 ⎪ J [ y ( x )] = ∫ y ′ dx 0 ⎪ 1 ⎪ 2 例 2 .⎨ y dx = 1 ∫ ⎪ 0 ⎪ y ( 0 ) = 0， y (1 ) = 1 ⎪ ⎩
考虑
δ ∫ ( y′2 + λy 2 )dx = 0
0
1
不显含x, 也可推出一阶Euler方程, 此处直接用二阶Euler d 也不困难 : 2λy − (2 y′) = 0 dx
§11.1 泛函和泛函的极值
四.泛函的条件极值
即 : y′′ − λy = 0 y = C1e
λx
+ C2 e −
λx
§11.1 泛函和泛函的极值
二、泛函的极值
2.变分
(1) : 函数的变分 : 若 y ( x ) 微变 y ( x ) + t η ( x ), t为小参数 , 则记
δ ( y ) = tη ( x ) ( 2 ) — 称 tη ( x )为 y ( x )的变分 . 注意 : δ y 不同于 dy , dy 有一取极值过程 , δ y 不取
δ ( y ) → y ′( x )的变分
即： δ ( y ′) ≡
d dx
δ ( y)
有限元基础(泛函、变分与变分法)
因此
aT K a ＝ aT K a
＝ aT( Ka - P ) ＝ 0 由 a 的任意性，就得到(1.3.6)式：
Ka — P ＝ 0
1.3.2 变分原理的建立
1.线性、自伴随微分算子
线性算子
具有以下性质的算子 L 称为线性算子
其中和是两个常数
内积
算子L(u)与任意函数v的 内积 定义为
则被积函数 (x) 在区间 a ≤x≤b 上必处处为零，即
1.3 变分原理和里兹方法
1.3.1 变分原理
变分原理定义
部分物理问题存在一个泛函： 而问题的解 u 使泛函取驻值，即 利用此式求解的方法称为变分法或变分原理
里兹（Ritz）法
选择试探函数：
其中N为已知函数，a为待定参数
代入泛函积分式，泛函变为普通实函数 令泛函变分为零
5. 变分法
求泛函极值的数学方法称为变分法。 泛函极值的必要条件： J = 0
充分条件：J = 0 且：2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理：
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数，y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分，如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立
与以上微分提法相等效的伽辽金提法为
(1.3.21)
若算子L是线性、自伴随的，则有如下关系：
将其代入(1.3.21)式得
若令 则上式可表示为变分原理：
(1.3.23) 此处Π就是原问题的泛函，因为此泛函中u的最高 次为二次，所以是二次泛函。
3. 泛函的极值性
条件：
1.算子L是偶数（2m）阶的；
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关，所以
微积分中的泛函分析与变分法
微积分是数学中的一门重要学科，研究连续变化的对象和变化率。
在微积分的研究中，泛函分析和变分法被广泛应用于求解特殊函数的极值问题。
泛函分析是函数解析的延伸，它的基本思想是将函数看作一个整体，而不是一点一点地看待。
在泛函分析中，一个函数被看作是一个映射，它将定义域上的元素映射到值域上的元素。
泛函的定义域是一个函数空间，而值域是一个数域。
泛函分析研究了函数空间中的性质和结构，以及函数的连续性、可微性、积分性等。
变分法是泛函分析的重要应用之一，它是求解变分问题的一种方法。
变分问题是在给定边界条件下，求解泛函的极值问题。
它的基本思想是假设一个函数类，使得在这个函数类中，求解泛函的极值问题等价于解欧拉-拉格朗日方程。
变分法在物理学、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。
在微积分中，泛函分析和变分法常常被用来研究特殊函数的极值问题。
对于一般的实函数，我们可以将其看作是一个实数的函数，通过微积分的方法求解其极值问题。
但对于泛函，由于其定义域是一个函数空间，常规的微积分方法无法直接应用。
在这种情况下，泛函分析和变分法的引入就非常有必要了。
以最简单的例子来说明，假设我们有一个泛函J，它的定义域是所有满足一定边界条件的函数空间。
我们的目标是寻找一个函数f(x)使得J取得最小值。
通过变分法，我们可以假设一个函数类，比如所有满足一定条件的连续可微函数集合。
然后，我们可以通过变分法的求极值定理，求解这个最小值问题。
在泛函分析和变分法的应用中，有两个重要的概念需要引入，分别是变分和泛函导数。
变分是对于一个函数的微小改变，而泛函导数是对于泛函在某个函数处的斜率。
通过变分和泛函导数的概念，我们可以将极值问题转化为求解一类泛函方程。
总之，微积分中的泛函分析和变分法是一门重要的分支学科，它们为求解特殊函数的极值问题提供了一种有效的方法。
通过引入泛函分析和变分法的概念，我们可以将函数的整体性质考虑在内，求解一般微积分方法无法解决的问题。
泛函变分
若自变量 x 有一增量 Δx ，则函数 y(x) 也有一增量 Δy(x) ，且可写成：
Δy = y(x + Δx) − y(x) = A(x)Δx + o(Δx)
（2.1.2-2）
其中 o(Δx)是比 Δx 高阶的无穷小量，其第一项为 Δx 的线性部分。
泛函与变分
函数
y(x)
泛函
J[y(x)]
因变量
y
因变量
J
自变量
x
自变函数
y(x)
x 的增量
Δx
y(x)的变分
δy
函数的微分
dy
泛函的变分 δJ
§2.1.3 变分的计算
泛函变分与函数的微分在形式上类似，其计算方法也相似： ◆ 微分的运算法则，同样适用于变分（这里特指泛函中被积函数的变分），相当于把微分符
∂y
∂y
∂y '
∂y
= ∂F1 δ y + ∂F1 δ y '+ ∂F2 δ y + ∂F2 δ y '
∂y
∂y
∂y '
∂y
= δ F1 + δ F2
◆ 自变函数的微分、求导与变分运算的次序可以调换，如：
(δ y) ' = δ y ' ，δ (dy) = d (δ y)
（2.1.3-2a）
证
(δ y) ' = [ y1 (x) − y(x)]' = y1 '(x) − y '(x) = δ ( y ')
这就是说：自变函数变分的导数等于函数导数的变分，即自变函数求导与求变分这两种运算的 顺序可以交换。如果自变函数是多元函数，则式中的求导应改为求偏导。
第2章泛函变分的基础概念(16K)
第2章 泛函极值问题的一些基本概念§2.1 泛函的极大值和极小值问题如果函数)(x y 在0x x =附近的任意点上的值都不大（小）于)(0x y ，也即)0(0)()(d 0≥≤-=x y x y y 时，则称函数)(x y 在0x x =上达到极大（极小），而且在0x x =上，有0d =y （2-1）对于泛函)]([x y ∏,也有类似的定义。
如果泛函)]([x y ∏在任何一条与)(0x y y =接近的曲线上的值不大（或不小）于)]([0x y ∏，也就是，如果0)]([)]([δ0≤∏-∏=∏x y x y （或0≥）时，则称泛函)]([x y ∏在曲线)(0x y y =上达到极大值（或极小值），而且在)(0x y y =上，有0δ=∏ （2-2）在这里，对于泛函的极值概念有进一步说明的必要，凡说到泛函的极大（或极小）值，主要是说泛函的相对的极大（或极小）值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大（或最小）的泛函值，但是曲线的接近有不同的接近度。
因此，在泛函的极大极小的定义里，还应说明这些曲线有几阶的接近度。
如同一般函数极大（极小）讨论一样，如果泛函在)(0x y y =曲线上有强极大（极小）值，不仅对于那些既是函数接近而且导数也接近的)(x y 而言是极大（极小）值，而且对于那些只是函数接近但导数不接近的)(x y 而言，也是极大（极小）值，所以泛函在)(0x y y =曲线上是强极大（极小）值时，也必在)(0x y y =上是弱极大（极小）值。
反之，则不然，即泛函在)(0x y y =曲线上有弱极大（极小）值时，不一定是强极大（极小）值，因为有可能对于那些只是函数接近但导数不接近的)(x y 而言，有一个比函数与导数都接近的)(x y 所求的极大（极小）更大（小）的极大（极小）值存在。
所以弱极大（极小），不能满足强极大（极小）的要求。
这一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去。
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第二章 泛函极值及变分法（补充内容）2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。
例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：dx dx dy J BAx x ⎰+=2)/(1（2.1.1） 显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。
设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：dsv dt ==其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：dt =设重力加速度为g ，则gy v 2=。
因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：1[()]x x J y x =⎰211/2211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭⎰（2.1.2）则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。
回顾函数的微分：对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ （2.1.3） 其中A （x ）与∆x 无关，且有∆x →0时ρ（x ,∆x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆，函数的微分就是函数增量的主部。
函数微分的另外一种定义：通过引入一小参数ε，对)(x x y ∆+ε关于ε求导数，并令ε→0的途径得到，即：dy x x y x x x y d x x dy =∆'=∆∆+'=∆+→→)()()(00εεεεε（2.1.4）上式说明)(x x y ∆+ε在ε=0处关于ε的导数就是函数y (x )在x 处的微分。
相应地，在泛函J [y (x )]中，变量函数y (x )的增量在其很小时称为变分，用δy (x )或δy 表示，指y (x )与它相接近的y 1(x )的差，即：)()()(1x y x y x y -=δ。
泛函的变分也有类似的两个定义：对于函数y (x )的变分δy (x )所引起的泛函的增量为)]([)]()([x y J x y x y J J -+=∆δ，当0)(→x y δ时泛函增量的线性主部就称为泛函J 在函数y (x )处的变分，记为δJ ，即：{})](),([)]([)]()([0x y x y L x y J x y x y J J y δδδδ=-+=→ （2.1.5）其中L [y (x ),δy (x )]是泛函增量的线性主部，而且其对于变分δy (x )是线性的。
另一种定义：拉格朗日的泛函变分定义为：泛函变分是)]()([x y x y J εδ+对ε的导数在ε=0时的值，即：)](),([)]()([0x y x y L x y x y J J δεδεδε=+∂∂=→ （2.1.6）首先，我们进行泛函：⎰'==21))(),(,()]([x x dx x y x y x F x y J J （2.1.7）的变分。
此泛函的增量可以用Taylor 展式表示为：()()21,()(),()(),(),()x x J F x y x y x y x y x F x y x y x dx '''∆=⎡+∆+∆-⎤⎣⎦⎰ 2122222221()()2()x x F F F F F y y y y y y dx y y y y y y ⎧⎫⎡⎤∂∂∂∂∂⎪⎪'''=∆+∆+∆+∆∆+∆+⎨⎬⎢⎥'''∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰L （2.1.8）当0→∆y ，上式积分中的前两项是增量的线性主部，后面的项为高阶无穷小量。
根据变分的定义，该泛函的变分为：⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''∂∂+∂∂=21x x dx y y Fy y F J δδδ （2.1.9） （2.1.9）也称为泛函J 的一阶变分，而（2.1.8）式的后三项为二阶变分，记作δ2J ，即：⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡''∂∂+''∂∂∂+∂∂=2122222222)()()(x x dx y y F y y y y F y y FJ δδδδδ （2.1.10） 也可以通过拉格朗日泛函变分的定义，得到：[]⎰→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+∂∂=+∂∂=210),,()()(x x dx y y y y x F x y x y J J εεεδεδεεδεδ dx y y Fy y F x x ⎰''∂∂+∂∂=21)(δδ （2.1.11）此结果与（2.1.9）是相同的。
类似地，如果泛函的值决定于两个函数，并且这些函数是两个变量的函数，如：[](,),(,)(,,,,,,,)s x y x y J J u x y v x y F x y u v u u v v ds ==⎰（2.1.12） 其变分为：s x y x y x y x y F F F F F FJ u v u u v v ds uv u u v v δδδδδδδ⎡⎤∂∂∂∂∂∂=+++++⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦⎰（2.1.13）依此类推，不难得到多个多元函数的变分。
此处，泛函的变分满足下面的一些运算规律：（1）[][]{}[][]1212()()()()J y x J y x J y x J y x δδδ+=+（2.1.14a ）（2）[][]{}[][][][]121212()()()()()()J y x J y x J y x J y x J y x J y x δδδ⋅=⋅+⋅（2.1.14b ）（3）[][][][][][][]{}11212222()()()()()()()J y x J y x J y x J y x J y x J y x J y x δδδ⎧⎫⋅-⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭（2.1.14c ）（4）[]{}[]{}[]1()()()nn J y x n J y x J y x δδ-=⋅（2.1.14d ）2.1.2 泛函的极值和变分问题本节将讨论泛函的极值和变分。
微积分知识：函数取极值的必要条件（但不是充分条件）：对于一个连续可导函数，如果其在定义域的某（些）点函数有极值，那么这个函数的一阶导数在这（些）点等于零，这个（些）点就是函数的极值点或驻点。
对于泛函的极值问题，也有类似的结论，即泛函取极值的必要条件是其一阶变分0=J δ。
简要证明：假设函数y (x )是泛函J 所定义的函数集合中的任一函数，这里不妨设泛函J [y (x )]在函数y (x )处有极大值，那么对于任一实变量α，必有：[][])()(≥)(x y x y J x y J αδ+（2.1.15）令[])()()(x y x y J f αδα+=，则有：[][]0()()()()()f J y x J y x y x f αααδα==≥+= （2.1.16）上式表示)(αf 在0=α处有极大值，根据函数取极值的必要条件：()0df d ααα==，得到：[]0)()()(00==+===J d x y x y dJ d df δααδαααα（2.1.17）由此就得到泛函取极大值的必要条件是其一阶变分为零。
同样的方法可以证明，泛函取极小值的必要条件也是其一阶变分为零。
泛函实现局部极大或极小值的充要条件：泛函实现局部极大或极小值的充要条件与函数取极值的充要条件类似，除了其一阶变分为零外，还需要考察二阶变分的情况：1) 若泛函J [y (x )]在y (x )处取局部极大值，其充分必要条件为：[],0)(=x y J δ []＜0)(2x y J δ （2.1.18） 2) 若泛函J [y (x )]在y (x )处取局部极小值，其充分必要条件为：[],0)(=x y J δ []＞0)(2x y J δ （2.1.19） 通常，我们将求泛函极值的问题称为变分问题。
变分法的基本预备定理：如果函数F （x ）在线段（x 1,x 2）上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选取的函数)(x y δ，有：⎰=210)()(x x dx x y x F δ （2.1.20）则在线段（x 1,x 2）上有：0)(=x F （2.1.21） 这里)(x y δ满足的一般条件为： ① 一般或若干阶可微； ② 在（x 1,x 2）的端点外为0；③ ()y x δε<或()()y x y x δεδε'<<和等。
对于多变量问题，也有类似的变分定理。
二维：函数F （x ，y ）在（x ，y ）平面S 内连续，设),(y x u δ在S 的边界上为零，,,y u u u δεδεδε<<<且满足连续性以及一阶或若干阶的可微性，对于这样选取的(,)u x y δ，若有：(,)(,)0sF x y u x y dxdy δ=⎰（2.1.22）则在区域S 内有：0),(=y x F （2.1.23） 现在我们来研究最简单的泛函：[]()⎰'==21)(),(,)(x x dx x y x y x F x y J J （2.1.24）的极值问题。
其中F 为x ，y 和y '的函数，且),,(y y x F '是三阶可微的。
确定泛函极值的曲线)(x y y =的边界是固定不变的，且有：2211)(,)(y x y y x y == （2.1.25） 采用拉格朗日法来求其泛函变分，有：[]⎰'+'+=+21),,(x x dx y y y y x F y y J εδεδεδ （2.1.26）令：.,y y y y y y '+'='+=--εδεδ （利用复合函数求导法则）[]21(,,)(,,)x x J y y F x y y y y y F x y y y y y dx y y εδεδεδδεδεδδε--⎡⎤∂∂∂⎢⎥'''''+=+++++∂⎢⎥'∂∂⎣⎦⎰（2.1.27）令0→ε，则：[]dx y y F y y Fy y J J x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡''∂∂+∂∂=+∂∂=→210δδεδεδε（2.1.28） 其中：),,(),,,(y y x F yy F y y x F y y F ''∂∂='∂∂'∂∂=∂∂（利用分部积分）⎰⎰⎰⎰⎰-=-=b ababababavdu uv vdu uv d udv .)(⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂=''∂∂2121x x x x dx y y F dx d y y F dx d dx y y Fδδδ ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛'∂∂-=21x x ydx y F dx d δ （2.1.29）上式中利用到了固定边界条件0)()(21==x y x y δδ。