§6.4 自然边界条件泛函的极值

2 D ∂D ∂D
( (
D
[
]
) )
∂D
⎛ ∂u ⎞ = −2 ∫∫ ∇ 2u + f δudxdy + 2 ∫ ⎜ + σu ⎟δudl D ∂D ∂n ⎝ ⎠
由变分引理得
⎧ 2 ∂ 2u ∂ 2 u ∇ = + =−f u ⎪ ⎪ ∂x 2 ∂y 2 ⎨ ⎪ ∂u + σu = 0 ⎪ ⎩ ∂n
二、端点可变条件下一维函数的变分问题 1、一个端点固定、一个端点变动的泛函的极值
J [y] =
⎧ y (a ) = y1 ( ) F x , y , y ' dx ，边界条件 ⎨ ∫a ⎩ y (b )未知
b
设 y ( x ) 是所求泛函问题的极值函数，取足够光滑的函数η ( x ) ，且满足η (a ) = 0,η (b )未知 。 构成函数
b d [ p( x )2 y '] ηdx + 2∫ [q(x ) y + λρ (x ) y − f ]ηdx a dx a b⎡ d ⎤ = p(b )2 y ' (b )η (b ) + 2∫ ⎢− [ p( x ) y '] + q( x ) y + λρ ( x ) y − f ⎥ηdx a ⎣ dx ⎦
D
dϕ ε = 0 = ∫∫D Fuη + Fu xη x + Fu y η y dxdy dε v ˆx + Fu y e ˆy 令 A = Fu x e
v ∂ ∂ ∇ ⋅ ηA = ηFu x + ηFu y ∂x ∂y ∂ ∂ = η Fu x + η x Fu x + η Fu y + η y Fu y ∂x ∂y
d ⎧ ⎪ Fy − Fy ' = 0 dx ⎨ ⎪ Fy ' (b ) = 0 ⎩
（3）当两端均自由， δy (a )未知, δy (b )未知
由变分引理得，极值函数满足的 E-L 方程：
d ⎧ ⎪ Fy − Fy ' = 0 dx ⎨ ⎪ Fy ' (a ) = 0, Fy ' (b ) = 0 ⎩
2
∇δu ⋅ ∇u = ∇ ⋅ (δu∇u ) − δu∇ 2u ，整理得
u xδu x + u yδu y = ∇ ⋅ (δu∇u ) − δu∇ 2u
∴ δJ [u ] = 2 ∫∫ ∇ ⋅ (δu∇u ) − δu∇ 2u − 2 fδu dxdy + ∫ 2σuδudl ˆ dl + ∫ 2σuδudl = −2 ∫∫ ∇ u + f δudxdy + 2 ∫ δu∇u ⋅ n
，
p ( x ) ∈ C1 [a, b]; q( x ), ρ ( x ), f ( x ) ∈ C [a, b]
，
D[ y ] = y y ∈ C 2 [a, b], y (a ) = y1
{
}
解：假设 y ( x ) 为泛函的极值函数，取任意光滑的函数η ( x ) ，定义 y1 ( x ) = y ( x ) + εη ( x ) ，其 中η (a ) = 0 。
（5）
∫∫ (u
D
2
x
+ u y − 2uf dxdy + ∫ σu 2 dl 在定义域
2 ∂D
பைடு நூலகம்
)
D[J ] = u (x, y ) u ∈ C 2 (D ) 满足条件的极值函数。
解：设 u ( x, y ) 是泛函的极值函数，取任意足够光滑的曲面η ( x, y ) ，构造新的函数
{
}
u1 ( x, y ) = u ( x, y ) + εη ( x, y )
§6.4 自然边界条件泛函的极值.
一、自然边界条件泛函的引入 1、 一个端点固定、一个端点变动的泛函问题 在连接 A 点与直线 L 的所有曲线中，找出一条曲线，使得沿它从 A 到 L 的距离最短
L
A
对应推广的泛函 J [ y ] =
。 ∫ F (x, y, y')dx ，边界条件 ⎨ ⎩ y (b )未知
ϕ (ε ) = J [ y + εη ] = ∫ p( x )( y '+εη ')2 + q ( x )( y + εη )2 + λρ ( x )( y + εη )2 − 2 f ( y + εη ) dx
b a
[
]
泛函 J [ y ] 取极值，即函数 ϕ (ε ) 当 ε = 0 取极值，即
由变分引理得
⎧u xx + u yy = − f ⎪ ⎨ ∂u ⎪ + σu = 0 ⎩ ∂n
四、直接求泛函的变分 前面求解泛函的极值，在极值函数附近加入微小足够光滑的函数，进而将泛函 J [ y ] 的极值 问题转化为一元函数 ϕ (ε ) 在 ε = 0 处的极值问题。下面，我们将采用直接用变分的方法，推 导泛函的极值函数。 1、一维情况
D x y
∫∫ F (x, y, u, u , u )dxdy ， D[u ] = {u u(x, y ) ∈ C (D )}
2
假设 u ( x, y ) 为泛函的极值函数，取任意光滑的函数η ( x, y )
μ1 ( x, y ) = u ( x, y ) + εη ( x, y )
ϕ (ε ) = ∫∫ F (x, y, u + εη , u x + εη x , u y + εη y )dxdy
(
)
（3）
( )
(
)
( )
v ∂ ∂ ∴η x Fu x + η y Fu y = ∇ ⋅ (ηA) − η Fu x − η Fu y ∂x ∂y
将（4）式代入（3）式中得
（4）
v ⎛ ⎟ = ∫∫ ⎜ + ∇ ⋅ F A ( ) − η ∂∂x Fu x − η ∂∂y Fu y ⎞ η η u ⎟dxdy D⎜ ⎝ ⎠ v ⎛ ⎞ ∂ ∂ ˆ dl = ∫∫ ⎜ Fu − Fu x − Fu y ⎟ ηdxdy + ∫ ηA ⋅ n ⎜ ⎟ ∂D D ∂x ∂y ⎝ ⎠
(
)
[
]
由变分引理得
∂ ∂ ⎧ ⎪ Fu − ∂x Fu x − ∂y Fu y = 0 ⎨ ⎪ Fu cos(e ˆx ⋅ n ˆ ) + Fu y cos(e ˆy ⋅ n ˆ) = 0 ⎩ x
（5）式即为变动边值条件下二维多元函数的变分问题对应的 E-L 方程。 例题：求泛函 J [u ] =
b b b a a a b a
= ∫ Fyηdx + Fy 'η b a −∫
d Fy ' ⋅ ηdx dx
x =b
b⎛ d ⎞ = ∫ ⎜ Fy − Fy ' ⎟ηdx + Fy ' a dx ⎠ ⎝ =0
η (b )
由变分引理得
d ⎧ ⎪ Fy − Fy ' = 0 dx ⎨ ⎪ Fy ' x = b = 0 ⎩
与转化为一元函数求极值所得结果一致。 2、二维情况 泛函 J [u ] =
∫∫ (u
D
2
x
+ u y − 2uf dxdy + ∫ σu 2 dl ，推导泛函 J [u ] 的极值函数所满足的方程。
2 ∂D
)
δJ [u ] = δ ∫∫ u x 2 + u y 2 − 2uf dxdy + δ ∫ σu 2 dl
d Fy ' ⋅ δydx dx
b⎛ d ⎞ = ∫ ⎜ Fy − Fy ' ⎟δydx + Fy 'δy b a a dx ⎠ ⎝
（1） 、当两端固定， δy (a ) = 0, δy (b ) = 0 ，由变分引理得，极值函数满足的 E-L 方程：
Fy −
d Fy ' = 0 dx
（2）当一端固定，一端自由， δy (a ) = 0, δy (b )未知 ，由变分引理得，极值函数满足的 E-L 方程：
∴
dϕ (ε ) dε
D
= −2∫∫
v = 2∫∫ (∇ ⋅ (ηA) − ηu xx − ηu yy − ηf )dxdy + ∫ σ 2uηdl ∂D D v ˆηdl + 2∫ σuηdl (uxx + u yy + f )ηdxdy + 2∫ A ⋅ n
ε =0
∂D ∂D
⎛ ∂u ⎞ = −2∫∫ (u xx + u yy + f ) ηdxdy + 2∫ ⎜ + σu ⎟ηdl ∂D ∂n D ⎝ ⎠ =0
（1）式即为一端可变情况下泛函对应的 E-L 方程 2、两个端点均可变动的泛函的极值
b ⎧ y (a )未知 J [ y ] = ∫ F ( x, y, y ')dx ，边界条件 ⎨ 。 a ⎩ y (b )未知
（1）
同理可以得到两个端点均可变动的泛函的极值对应的 E-L 方程：
d ⎧ ⎪ Fy − Fy ' = 0 dx ⎨ ⎪ Fy ' x = a = 0, Fy ' x = b = 0 ⎩
= p( x )2 y 'η b a −∫
b
由变分引理得
⎧ d ⎪− [ p( x ) y '] + q( x ) y + λρ ( x ) y = f 施图姆-刘维尔型方程 ⎨ dx ⎪ ⎩ y ' (b ) = 0, y (a ) = y1
三、变动边值条件下二维多元函数的变分问题 泛函 J [u ] =