概率论与数理统计教程(7新)
概率论与数理统计 第7章.ppt
即 S 2是 2 的无偏估计,故通常取S 2作 2的估计量.
例3 设总体 X 服从参数为 的指数分布, 概率密度
x 1 e , f ( x; ) 0,
x 0, 其他.
其中参数 0, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的 样本, 试证 X 和 nZ n[min( X 1 , X 2 ,, X n )] 都是 的无偏估计.
行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时 间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155,
158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.
试求电池的平均寿命 的最大似然估计值 .
解
n 50, m 15,
s( t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量, 进而若待估参数 g( 1 , 2 ,, n ), 其中g 为连续 ˆ g( 函数, 则 的矩估计量 ˆ1 , ˆ 2 , , ˆ n ) g( A1 , A2 ,
, An ) 是 的相合估计量.
第三节
估计量的评选标准
一、问题的提出
二、无偏性 三、有效性 四、相合性 五、小结
一、问题的提出
从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数 的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准.
如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.
3. 两种常见的截尾寿命试验
《概率论与数理统计》第七章假设检验.
《概率论与数理统计》第七章假设检验.第七章假设检验学习⽬标知识⽬标：理解假设检验的基本概念⼩概率原理；掌握假设检验的⽅法和步骤。
能⼒⽬标：能够作正态总体均值、⽐例的假设检验和两个正态总体的均值、⽐例之差的假设检验。
参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利⽤样本对总体进⾏某种推断，然⽽推断的⾓度不同。
参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。
⽽在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出⼀个假设，然后利⽤样本数据检验这个假设是否成⽴，如果成⽴，我们就接受这个假设，如果不成⽴就拒绝原假设。
当然由于样本的随机性，这种推断只能具有⼀定的可靠性。
本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的⼀般步骤，然后重点介绍常⽤的参数检验⽅法。
由于篇幅的限制，⾮参数假设检验在这⾥就不作介绍了。
第⼀节假设检验的⼀般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误⼀、假设检验的基本概念（⼀）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有⼀个直观的认识，不妨先看下⾯的例⼦。
例7.1 某⼚⽣产⼀种⽇光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2µN ，从过去的⽣产经验看，灯管的平均寿命为1550=µ⼩时，。
现在采⽤新⼯艺后，在所⽣产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650⼩时。
问采⽤新⼯艺后，灯管的寿命是否有显著提⾼？这是⼀个均值的检验问题。
灯管的寿命有没有显著变化呢？这有两种可能：⼀种是没有什么变化。
即新⼯艺对均值没有影响，采⽤新⼯艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。
另⼀种情况可能是，新⼯艺的确使均值发⽣了显著性变化。
这样，1650=X 和15500=µ之间的差异就只能认为是采⽤新⼯艺的关系。
究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。
假如给定显著性⽔平05.0=α。
在上⾯的例⼦中，我们可以把涉及到的两种情况⽤统计假设的形式表⽰出来。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第7章参数估计
10/29/2020
10/29/2020
华东师范大学
第七章 假设检验
第12页
五、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值 我们可以做出判断：
➢ 当 x108.684或 u1.时64，5则拒绝 H 0
即接收 H 1 ；
➢ 当 x108.684或 u1.645时，则接收 H 0
在例7.1.1中，由于 x 1 0 8 1 0 8 .6 8 4
的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该
厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于
110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金，
测得强度值为x1, x2 , …, x25，其均值为 x 108 (Pa)，问当日生产是否正常？
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第七章 假设检验
第3页
(1) 是参数估计问题吗？
(2) 回答“是”还是“否” ，假设检验问题。
(3) 命题“合金平均强度不低于110Pa”正确 与
否仅涉0及{如:下1两10个}参数 集1合{：:110}
这两个非空参数集合都称作统计假设， 简称假设。
(4) 我们的任务是利用样本去判断假设（命题）
“ 0 ”是否成立。这里的“判断”在统 计学中
，
0
都有 g() ,
则称该检验是显著性水平为 的显著性检 验，简称水平为 的检验。
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第七章 假设检验
第10页
四、给出拒绝域
确定显著性水平后，可以定出检验的拒绝域W。
在例7.1.1中，若取=0.05, 由于g()关于 单调减，只需要
g(110)5(c4110)0.05
《概率论与数理统计》7
未知参数 , ,, 的函数.分别令
12
k
L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
或令
i
ln L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
i
由此方程组可解得参数 i 的极大似然估计值 ˆi.
例5 设X~b(1,p), X1, X2 , …,Xn是来自X的一个样本,
求参数 p 的最大似然估计量.
解 E( X ) ，E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由矩估计法,
【注】
X
1
n
n i 1
X
2 i
2
2
ˆ X ,
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．
➢常见分布的参数矩估计量
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
7-1
第七章
参数估计
统计 推断
的 基本 问题
7-2
参数估 计问题
(第七章）
点估计 区间估 计
假设检 验问题 (第八章）
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.
例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
k = k(A1, A2 , …, A k)
用i 作为i的估计量------矩估计量.
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，
X1, X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．
解 E(X ) a b , D(X ) (b a)2
概率论和数理统计(第三学期)第7章数理统计的基本概念
n i1
i
1 n
n
Ei
i1
D
D 1 n
n i 1
i
1 n2
n
Di
i 1
2
n
2
S~ 1 n
n i 1
i
2
1 n
n i 1
i2 2i
2
1 n
n
i2
i 1
2
n
i
i 1
n
2
1 n
n
i2
i 1
2
2
2
1 n
n
i2
i 1
2
E S~2
E
1 n
n
i2
i 1
23
.209
2
2 0.95
20
10
.851
当自由度n 45时，可用下面近似公式去求2 n:
x2 n
1 2
u
2
2n 1
例3
求
2 0.05
60 ．
解
2 0.05
60
1 2
u0.05
2
2 60 1
1 1.645
2
119 78.798
2
3、t分布的上侧分位点
对于给定的α(0<α<1)，使
2
e
xi 2 2
2
(2
) e 2
n 2
1
2 2
n i1
xi 2
在数理统计中，总体的分布往往是未知的，需 要通过样本找到一个分布来近似代替总体分布。
§7.3 分布的估计
频率分布 例 某炼钢厂生产的钢由于各种因素的影响，各炉
钢的含硅量可以看作是一个随机变量，现记录了 120炉钢的含硅量百分数，求出这个样本的频数分 布与频率分布。
概率论与数理统计教程第七章答案
.第七章假设检验7.1设总体J〜N(4Q2),其中参数4, /为未知，试指出下面统计假设中哪些是简洁假设，哪些是复合假设：(1) W o: // = 0, σ = 1 ；(2) W o√∕ = O, σ>l5(3) ∕70:// <3, σ = 1 ；(4) % :0< 〃 <3 ；(5)W o :// = 0.解：(1)是简洁假设，其余位复合假设7.2设配么，…，25取自正态总体息(19),其中参数〃未知，无是子样均值,如对检验问题“0 ：〃 = 〃o, M ：4工从)取检验的拒绝域：c = {(x1,x2,∙∙∙,x25)r∣x-χ∕0∖≥c},试打算常数c ,使检验的显著性水平为0. 05_ Q解：由于J〜N(〃,9),故J~N(",二)在打。
成立的条件下，一/3 5cP o(∖ξ-^∖≥c) = P(∖ξ-μJ^∖≥-)=2 1-Φ(y) =0.05Φ(-) = 0.975,-= 1.96,所以c=L176°3 37. 3 设子样。
,乙，…，25取自正态总体，cr：已知，对假设检验%邛=μ0, H2> /J。
,取临界域c = {(X[,w,…,4)：片>9)}，(1)求此检验犯第一类错误概率为α时，犯其次类错误的概率夕，并争论它们之间的关系；(2)设〃o=0∙05, σ~=0. 004, a =0.05, n=9,求"=0.65 时不犯其次类错误的概率。
解：(1)在儿成立的条件下，F~N(∕o,军)，此时a = P^ξ≥c^ = P0< σo σo )所以，包二为册=4_,,由此式解出c°=窄4f+为% ∖∣n在H∣成立的条件下，W ~ N",啊 ,此时nS = %<c°) = AI。
气L =①(^^~品)二①匹%=①(2δξ^历σoA∣-σ+A)-A-------------- y∕n)。
概率论与数理统计7
i 1
i 1
注：qˆ 为q的无偏估计，但g(qˆ )不一定是g(q)的无偏估计。 例如：若D(X)>0，ˆ X是 EX的无偏估计， E[(ˆ )2] E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 [E( X )]2 2. 22
二 有效性
1定义 设qˆ1，qˆ2都是参数q的无偏估计量，若 D(qˆ1) D(qˆ2)
24
三 一致性
定义 设qˆ是参数q的估计量，若对任意 0,有
lim P(| qˆ q | ) 1
即
qˆ
P
q
.
n
则称qˆ为q 一致估计量.
例 由大数定律 lim P( X ) 1 n 知样本均值 X 是总体均值的一致估计。
25
例 证明正态总体的样本方差S2是2的一致估计。
证
n1
2
解 0 , 2有反函数。由上例，ˆ 2 S2
故
ˆ S
1 n
n i 1
(Xi
X )2
注 u=u(q )为一般函数此性质也成立。
18
例 设(X1,…,Xn)是正态总体N(1,2)的样本， 求P(X<t)的极大似然估计。
解
P( X
t)
(
t
1
n) 有反函数。
又ˆ 2 S2，
故所求概率值的极大似然估计为
E(Xj) =aj(q1,…,qk)
=A n
1j Xi
n i1
j
2 方法 令 aj(q1,…,qk) =Aj
j=1,…,k
求解方程组,得到解qˆ1，,qˆk
作
为
参
数q
1，,q
的
k
矩
估
计
概率论与数理统计第七章参数估计习题答案
æ çè
x
±
ua
/
2
s n
ö ÷ø
=
(14.95
±
0.1´1.96)
=
(14.754,15.146)
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3028709.总体X ~ N (m,s 2 ),s 2已知,问需抽取容量n多大的样本，
才能使m的置信概率为1 -a,且置信区间的长度不大于L？
解：由s
2已知可知m的置信度为1
-
a的置信区间为
64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1）求m的置信概率为0.95的置信区 间.
（2）求s 2的置信概率为0.95的置信区间.
解：x = 76.6, s = 18.14,a = 1- 0.95 = 0.05, n = 20,
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3028706.设X1,X 2,L,X n是取自总体X的样本,E（X）= m,D（X）= s 2,
n -1
å sˆ 2 = ( X i+1 - X i )2 ,问k为何值时sˆ 2为s 2的无偏估计. i =1 解：令 Yi = X i+1 - X i , i = 1, 2,¼, n -1, 则E(Yi ) = E( X i+1) - E( X i ) = m - m = 0, D(Yi ) = 2s 2 , n -1 å 于是Esˆ 2 = E[k ( Yi2 )] = k(n -1)EY12 = 2s 2 (n -1)k, i =1 那么当E(sˆ 2 ) = s 2 ,即2s 2 (n -1)k = s 2时, 有k = 1 . 2(n -1)
的密度函数为f
(x,q
概率论与数理统计第7章参数估计习题及答案
概率论与数理统计第7章参数估计习题及答案第7章参数估计 ----点估计⼀、填空题1、设总体X 服从⼆项分布),(p N B ，10<计量=pXN. 2、设总体)p ,1(B ~X，其中未知参数 01<则 p 的矩估计为_∑=n 1i i X n 1_，样本的似然函数为_ii X 1n1i X )p 1(p -=-∏__。
3、设 12,,,n X X X 是来⾃总体 ),(N ~X 2σµ的样本，则有关于 µ及σ2的似然函数212(,,;,)n L X X X µσ=_2i 2)X (21n1i e21µ-σ-=∏σπ__。
⼆、计算题1、设总体X 具有分布密度(;)(1),01f x x x ααα=+<<，其中1->α是未知参数，n X X X ,,21为⼀个样本，试求参数α的矩估计和极⼤似然估计.解：因?++=+=101α2α1α102++=++=+|a x 令2α1α++==??)(X X EXX --=∴112α为α的矩估计因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+∑=++=∴ni i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??ni i X nL 101ααln ln 得，α的极⼤似量估计量为)ln (?∑=+-=ni iXn11α2、设总体X 服从指数分布 ,0()0,x e x f x λλ-?>=??其他，n X X X ,,21是来⾃X 的样本，（1）求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极⼤似然估计.解：（1）由于1()E X λ=，令11X Xλλ=?=i x nn L x x x eλλ=-∑=111ln ln ln 0nii ni ni ii L n x d L n n x d xλλλλλ====-=-=?=∑∑∑故λ的极⼤似然估计仍为1X。
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实践操作指导
01
操作一：概率分布的计算与模拟
02
• 概率分布；Python编程；蒙特卡罗模拟
03
• 指导学员使用Python编程实现常见概率分布的计算和模拟，如二项分布、泊 松分布、正态分布等。通过蒙特卡罗模拟方法，加深对随机现象和概率分布 的理解。
实践操作指导
操作二：假设检验与方差分析实践
• 假设检验；方差分析；R语言
方差分析
类型
方差分析有多种类型，如单因素方差分析、多因素方差分析、协方差分析等。不同类型的方差分析适 用于不同的研究设计和数据特点，选择合适的方差分析方法对于获得准确的研究结论具有重要意义。
案例分析
通过实例讲解方差分析的应用，包括数据准备、计算过程、结果解读等。案例分析有助于加深对方差 分析方法和原理的理解，提高实际应用能力。
。
抽样分布类型
常见的抽样分布有卡方分布、t分布、 F分布等，它们在参数估计和假设检 验中有着重要应用。
常用统计量
包括均值、方差、标准差、偏度、峰 度等。
抽样分布的性质
包括期望、方差、分位数等，这些性 质在推断总体参数时非常关键。
参数估计
点估计 使用样本统计量直接作为总体参 数的估计值，常见的点估计方法 有矩估计和极大似然估计。
回归分析
定义与意义
回归分析是一种统计方法，用于研究自 变量与因变量之间的因果关系。它可以 帮助我们揭示变量间的内在关系，预测 因变量的取值，以及检验理论的正确性 。回归分析在社会科学、经济学、生物 学等领域都有广泛应用。
VS
原理与步骤
回归分析基于最小二乘法的原理，通过拟 合一条回归直线或曲线来描述自变量与因 变量之间的关系。它通常包括如下步骤： 确定回归模型的形式，估计模型参数，检 验模型的显著性，诊断模型的残差，应用 模型进行预测等。
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e (n
)
根据泊松定理,若随机变量X~B(n,p) , 则当n很大,而p
又很小时,X近似服从泊松分布 X ~ P() , 其中 np.
证 由 Pn n 有
C
k n
Pnk
(1
Pn )nk
n(n 1)...(n k k!
1) ( )k (1
n
)nk
n
k
(1
1
)(1
2 )...(1
(1）若由一名技师负责维修20台车床,求车床发生故障时 不能及时维修的概率;
（2）若由3名技师共同负责维修80台,求车床发生故障时 不能及时修同一时刻发生故障台数,则 X~b (20,0.01)
车床发生故障时不能及修理意味着“X≥2”.故
P{ X 2} 1 P{ X 2}
k
1 )(1
)nk
k! n n
n
n
对于任意固定的k，当 n 时
(1 1 )(1 2 )...(1 k 1) 1
nn
n
故有
(1 )nk (1 )n /(1 )k e
n
nn
Cnk
pnk (1
pn )nk
k
k!
e (n
)
例5 某储蓄所开有1000个资金帐户,每户资金10万元.假设每 日每个资金帐户到储蓄所提取20%现金的概率为0.006,问该储 蓄所每日至少要准备多少现金才能以95%以上的概率满足客户 提款的要求?
解 设每日提取现金的帐户数为X,于是每日提取现金的总
出的α粒子数等等,都服从泊松分布。
例3 已知到达某公园门口的每辆汽车的载人数服从=10 的泊松分布,现任意观察一辆到达该公园门口的汽车.
试求以下几种情况的概率: (1) 车中无人; (2) 车中只有2人 ; (3) 车中有5人 ; (4) 车中超过5人.
解 设X为该车的载人数, X~ P(10) ,故
(1)P{ X 0} 100 e10 0.000045; 0!
(2)P{ X 2} 102 e10 0.002270; 2!
(3)P{ X 5} 105 e10 0.037833; 5!
(4)P{ X 5} 1 P{ X 5}
1 5 10k e10
k0 k ! 1 0.067086 0.932914
P{ X k} Cnk pkqnK , k 0,1, 2, , n
称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为X~b(n,p).
b ( 20, p) (p=0.1,0.3,0.5)的图形如下：
例1 某车间有若干台同型号自动车床独立工作,每台车床 发生故障的概率都是0.01,假设发生故障时每台车床须由一 名技师处理.
即 e 1 2 e 得出= 4
2 2! 故 P{ X 3} 1 P{X 2} 1 0.2381 0.7619
泊松定理(Poisson) 设随机变量 X n ~ B(n, pn ) , 且满足
lim
n
npn
(
0为常数)
,
则对任意非负整数 k,有
Cnk
pnk (1
pn )nk
k
k!
k
k0
3. 泊松(Poisson)分布
定义 设随机变量X所有可能的取值为0,1,2,3,…, 而取各个值的概率为
P{ X k} k e , (k 0,1, 2, 3...)
k!
其中 >0是常数,则称X服从参数为的泊松分布,记为 X ~ P()
泊松分布在各领域——尤其是社会生活和物理学 领域中有着广泛的应用，常用来描述大量重复试验 中稀有事件（即概率较小的事件）出现的次数.如某 段时间内电话交换台接到的呼叫次数、某一医院一 天内的急诊病人数、某个地区一个时间间隔内发生 交通事故的次数、某车站一个时间间隔内候车的乘 客数、一本书某页上的印刷错误数、某纺纱机一段 时间间隔内的断头数、放射性物质在某时间段内发
0.0091
计算结果表明: 在(2)中虽然任务增加了,但是质量不仅没 有降低,反而有所提高.因而可利用概率论方法来讨论经济学中 的某些问题,更有效地更合理的配置资源等.
例2 据统计某地区一年中60岁以下的成年人死亡的概率 为0.005.现有2000个这类人参加人寿保险.试求未来一年中这 些被保险的人中有15人死亡的概率和死亡的人数不超过20人 的概率.
解 “每一个被保险人在一年中是否死亡”是一个贝努利试验. 设未来一年中2000个被保险人中有X人死亡.则X~B(2000,0.005). 故所求概率为
P{ X
15}
C
15 2000
(0.005)15
(0.995)1985
20
P{X 20}
Ck 2000
(0.005)k
(0.995)2000
§2.2几种重要的离散型分布
一 .伯努利分布（0—1分布） 定义 若随机变量X的概率分布为
P{X = 1}= p ，P{X = 0}= 1－p （0 ＜ p ＜ 1）
或
X0 1
Pq p
其中0<p<1,q=1–p, 则称X服从伯努利分布（或0-1分布）， 有时也称两点分布。
设E为随机试验，A为E的事件，P(A)=p(0<p<1),定义随机变量
1， 事件A发生 X 0， 事件A不发生
则X服从两点分布
X0 1 P 1–p p
所以通常，两点分布可作为描述试验只包含两个样本点的数学 模型．如打靶中的“命中”与“不中”；试验的“成功”与“失 败”等。
二. 二项分布 定义 设事件A 在一次试验中发生的概率为 P(A)=p (0<p<1)
在n次重复独立试验中，事件A发生的次数记为 X，则X所有可能 取值为 0，1，2，…n,其概率分布为
1
1
C
K 20
(0.01)K
(0.99)20
K
K 0
0.0175
(2)用Y表示80台车床同一时刻发生的台数,则
Y~b (80,0.01).
当维修技师有3名时,车床发生故障时不能及时维修,意味 着“Y≥4”,有
P{Y 4} 1 P{Y 4}
3
1 C8K0 (0.01)K (0.99)80K k0
例4 设某市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布, 据 统计资料显示在一年中因交通事故死亡一人的概率是死 亡两人概率的1/2,计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率.
解 设随机变量X表示一年中因交通事故死亡的人数,
则X 服从参数为 的泊松分布.由已知条件得出: P{X 1} 1 P{X 2} 2