二倍角与半角的正弦、余弦和正切
5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切(2)教案
5.5两倍角与半角的正弦、余弦和正切（2）教案教学目的：1、掌握半角的正弦、余弦、正切公式，能根据2α所在象限正确选择公式中的正、负号； 2、会根据具体情况灵活运用公式。
用半角的正切公式时，往往选用αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan ；教学重点：半角公式的应用教学过程： （一）、引入 一、（设置情境）气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。
这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，那么“半角与倍角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？本节课我们就通过二倍角公式来研究半角的正弦、余弦和正切。
二、（双基回顾）αααcos sin 22sin =； ααα22sin cos 2cos -=； ααα2tan 1tan 22tan -=（二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）在二倍角的正弦、余弦、正切的公式中如何求出2tan,2cos,2sinααα的表达式？探索研究证明：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=二、概念或定理或公式教学（推导）在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的1、在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得：2sin 21cos 2α-=α∴2cos 12sin 2α-=α2、在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得：12cos 2cos 2-α=α∴2cos 12cos 2α+=α3、以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2开方得：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=特点：1︒左式中的角是右式中的角的一半。
常用三角函数公式及口诀
常用三角函数公式及口诀常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式二倍角指的是角度的两倍，即一个角度的两倍。
在三角函数中，我们通常使用θ来代表一个角度，那么二倍角就用2θ表示。
接下来，让我们来看一下二倍角的正弦、余弦和正切公式：1.二倍角的正弦公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了一个角度的二倍角的正弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正弦值等于这个角度的正弦值和余弦值的乘积的2倍。
2.二倍角的余弦公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示了一个角度的二倍角的余弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式有三种等价的形式，它们分别表示一个角度的二倍角的余弦值等于这个角度的余弦值的平方减去正弦值的平方、等于2倍的余弦值的平方减去1、等于1减去2倍的正弦值的平方。
3.二倍角的正切公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这个公式表示了一个角度的二倍角的正切值与这个角度的正切值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正切值等于角度的正切值的两倍除以1减去角度的正切值的平方。
使用这些二倍角公式可以方便地计算二倍角的三角函数值，从而简化三角函数的计算。
此外，二倍角公式还有很多应用，例如在解三角方程、求和差化积等问题中。
需要注意的是，这些公式只适用于特定的角度范围，通常是0到360度或者0到2π弧度之间。
当角度超过这个范围时，可能需要利用三角函数的周期性质进行转化。
另外，这些公式的推导可以通过三角函数的定义、三角恒等式和半角公式来完成。
总结起来，二倍角的正弦、余弦和正切公式是三角函数中的重要公式，它们可以方便地计算二倍角的三角函数值，简化三角函数的计算，并且在解三角方程、求和差化积等问题中有广泛的应用。
三角函数表
sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα
sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα
sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα
平方关系：
sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α
sin（－α）＝－sinα
诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα
1－tan2(α/2)
半角的正弦、余弦和正切公式
三角函数的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
2tanα tan2α＝—————
1－tan2α
三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α＝3sinα－4sin3α
sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544 sin9=0.15643446504023087
sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448 sin12=0.20791169081775931
sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994
二倍角与半角的正弦、余弦和正切
+ sin( )] sin( )] + cos( )] ) cos( )]
， 代入得： 2 2 1 1 sin cos [sin( ) sin( )] (sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ sin sin 2 sin cos 2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2
cos
2
2 tan 2 cos 2
sin
sin
sin
2 tan 1 tan
2 , cos
2
2 , tan 2
2 tan 1 tan
2
2
2
2
sin 证：1） 2 sin 2 cos2 1 tan 2 2 2 2 cos2 sin 2 1 tan 2 cos 2 2 2 2） cos 1 sin 2 cos2 1 tan 2 2 2 2 2 sin cos 2 tan sin 2 2 2 3） tan cos cos2 sin 2 1 tan 2 2 2 2
tan tan 2 tan tan 2 (T2 ) 1 tan tan 1 tan 2
2
因为 sin cos 1 ，所以公式 (C 2 ) 可以变形为
三角函数公式之间关系
两角和与差的三角函数公式sin(α±β)=sinαcosβ± cosαsinβ诱导公式二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α三角函数的降幂公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα半角的正弦、余弦和正切公式万能公式三角函数的积化和差公式三角函数的和差化积公式化asinx±bcosx为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）正弦定理余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC三角函数公式：三倍角公式：θθθ3sin 4sin 33sin -=；θθθcos 3cos 43cos 3-=；五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；α3是23α的二倍；3α是6α的二倍；απ22±是απ±4的二倍。
②2304560304515o ooooo=-=-=；问：=12sin π ；=12cos π；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： oo45tan 90sin cot tan tan sec cos sin 12222===-=+=αααααα（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
半角的正弦、余弦和正切
sin(2 ) sin
2 cos( )
sin(2 ) 2 cos( ) sin sin
sin(2 ) sin(2 ) sin sin
( 2 ) sin x (1 tan x tan
, 所以 co s
1 sin
2
5 13
又0<β<
2
2
所以0<α+β<π. 则sin(α+β)= <sinα 5 <α+β<π. 2
若0<α+β<
4
于是α+β<α，这不可能. 所以
所以
co s( )
3 5
co s co s[( ) ] co s( ) co s sin ( ) sin 33 65
tan
2
1 co s 1 co s
（α≠(2k+1)π)
上面三个公式，称作半角公式. 在半角公式中，根号前面的正负号，由角
2
所在的象限确定.
例1.求sin15°，cos15 ° ，tan15 °的值。 解：因为15 °是第一象限角，所以
sin 1 5 1 co s 3 0 2 1 2 3 2 2 2 3
x 2
) tan x
co s x co s x 2 co s x co s x 2 sin x sin x 2
sin x (1 tan x tan
x 2
) sin x
(3)
1 sin co s
三角函数余切,正割,余割和差角,半角,二倍角等公式
三角函数余切,正割,余割和差角,半角,二倍角等公式三角函数，也叫三角形函数，是一类函数，可以表示和描述二维空间中三角形的属性、性质等，是非常重要的数学概念。
本文将主要介绍其中一些关于三角形的函数，如余切、正割、余割和差角、半角、二倍角等。
一、余切对于任一定模式三角形，我们可以把它分成三角形的各边和角，且每个角都有自己的度数，记作α，β，γ。
现在，我们把α的正切函数的反函数，就是α的余切函数，它的标记为tg(α)的倒函数，记作cotg(α)，它可以用来表示三角形角α的余切。
公式表示为：cotg=tan (90°-α)二、正割对于任一定模式三角形，我们可以把它分成三角形的各边和角，即α、β、γ，α的正割函数的反函数就是α的正割，它的标记为ctg(α)，它的定义为：把α的正弦函数的倒函数，即sin(α)的倒函数定义为α的正割函数。
公式表示为：ctg=cos (90°-α)三、余割余割与正割的定义类似，余割的定义为α的余弦函数的倒函数，它的标记为cosec(α)，它的定义为：把α的余弦函数的倒函数，即cos(α)的倒函数定义为α的余割函数。
公式表示为：cosec =sin (90°-α)四、差角差角就是把两个角之间的夹角表达出来，该夹角就是所谓的差角。
差角可由以下公式表示：差角=α+β-γ其中，α、β、γ分别是三角形的三个角。
五、半角半角指的是三角形中某一角的一半，即α的一半。
其定义为：α的一半，可由以下公式表示：半角/2=α/2六、二倍角二倍角指的是三角形中某一角的两倍，即α的两倍。
该角度可表示为：二倍角 2α=2α以上就是关于三角函数的余切、正割、余割和差角、半角、二倍角等公式的介绍。
三角函数有着非常重要的概念和应用，熟悉三角函数，不但能帮助我们掌握一般函数的概念，而且可以帮助我们解决数学问题，提高学习效率，拓宽我们的知识面。
三角函数的半角公式与二倍角公式
三角函数的半角公式与二倍角公式三角函数是数学中重要的概念之一，它们在解析几何、三角学、物理学等领域中都有广泛的应用。
在三角函数中，半角公式和二倍角公式是常用的公式之一，它们可以简化计算，增加易用性。
本文将介绍三角函数的半角公式和二倍角公式，并详细讨论其推导和应用。
一、半角公式在三角函数中，半角公式是一种将角的半角与原角之间的关系表示出来的公式。
半角公式可用于将一个角度的三角函数值表示成一个角度的三角函数值。
下面，我们将分别介绍三角函数中的半角公式。
1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式表达为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]其中，θ代表原角的角度。
推导：设θ/2的正弦值为x，则有：sin(θ/2) = x根据正弦和余弦的关系，可以得到：cos(θ/2) = ±√(1 - x²)由于θ/2的正弦函数值为x，可以得到：sin²(θ/2) = x²再利用sin²(θ/2) + cos²(θ/2) = 1的三角恒等式，可得：x² + cos²(θ/2) = 1将cos(θ/2) = ±√(1 - x²)代入上式，可以得到：x² + (1 - x²) = 1化简后，可得：2x² - 1 = 0解方程可得：x = ±√(1/2)因此，sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式表达为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]其中，θ代表原角的角度。
推导：设θ/2的余弦值为x，则有：cos(θ/2) = x根据正弦和余弦的关系，可以得到：sin(θ/2) = ±√(1 - x²)由于θ/2的余弦函数值为x，可以得到：cos²(θ/2) = x²再利用sin²(θ/2) + cos²(θ/2) = 1的三角恒等式，可得：sin²(θ/2) + x² = 1将sin(θ/2) = ±√(1 - x²)代入上式，可以得到：(1 - x²) + x² = 1化简后，可得：1 = 1因此，cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]。
常用三角函数二倍角公式
常用三角函数二倍角公式三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
其中，常用三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。
在解决三角函数问题时，我们经常需要用到二倍角公式。
正弦函数二倍角公式正弦函数的二倍角公式为：sin2θ = 2sinθcosθ其中，θ为角度。
这个公式可以用来求解一些三角函数问题，例如： 1. 求sin120°的值。
根据正弦函数二倍角公式，我们可以将120°拆分成60°的两倍角，即：sin120° = 2sin60°cos60°由于sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，代入公式得：sin120° = 2×√3/2×1/2 = √3因此，sin120°的值为√3。
2. 求sin15°的值。
由于15°无法拆分成已知角度的两倍角，我们需要用到半角公式：sin(θ/2) = ±√(1-cosθ)/2将θ=30°代入公式得：sin15° = ±√(1-cos30°)/2由于cos30° = √3/2，代入公式得：sin15° = ±√(1-√3/2)/2因为15°是第一象限角，所以sin15°为正数，代入公式得：sin15° = √(2-√3)/2余弦函数二倍角公式余弦函数的二倍角公式为：cos2θ = cos²θ - sin²θ这个公式可以用来求解一些三角函数问题，例如：1. 求cos150°的值。
根据余弦函数二倍角公式，我们可以将150°拆分成75°的两倍角，即：cos150° = cos²75° - sin²75°由于cos75° = (1+√3)/2√2，sin75° = (√6-√2)/4，代入公式得：cos150° = ((1+√3)/2√2)² - ((√6-√2)/4)²化简得：cos150° = (√2-√6)/4因此，cos150°的值为(√2-√6)/4。
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二倍角与半角的正弦、余弦和正切
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
【知识梳理】
1，二倍角公式:sin22sin cos；
22
cos2cos sin;
2
2tan
tan2
1tan
升幂公式:2
cos22cos12
cos212sin
降幂公式:2
1cos2
cos
2
2
1cos2
sin
2
2，半角公式：
1cos
sin
22
,
1cos
cos
22
，
1cos
tan
21cos
3，万能公式:
2
2tan
2
sin
1tan
2
，
2
2
1tan
2
cos
1tan
2
，
2
2tan
2
tan
1tan
2
４, 辅助角公式:
)
cos(
)
sin(
cos
sin2
2
2
2ϕ
ϕ-
+
=
+
+
=
+x
b
a
x
b
a
x
b
x
a
例如：siｎα±cｏsα＝2sin⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
±
4
π
α＝2cos⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
±
4
π
α.
sinα±3cosα=２sin⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
±
3
π
α＝2coｓ⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
±
3
π
α等.
5.积化和差公式：ﻫﻫﻫ
和差化积公式：ﻫﻫﻫ
【典型例题分析】
例1，不用计算器,求下列各式的值
（1）sin15cos15 (2）22
cos sin 8
8
（３)2
2tan 22.5
1tan 22.5
(４)212sin 75
变式练习:求下列各式的值 （１）5555
cos
sin
cos
sin
12
12
12
12 (2)44
cos sin 2
2
(3)1
11tan
1
tan
（4）2
1
2cos cos2
例2、若tan 3，求sin2cos2的值
例３、已知5sin ,,13
2
,求sin2,cos2,tan2的值
例4、化简:1cos sin 1cos sin
1cos sin 1cos sin
变式练习：求证:2
1sin 4cos4
1sin 4cos4
2tan 1tan
例5、求值:2222cos 80sin 50sin 190cos 320(答案需要积化和差公式）
例6、已知1tan 311tan
,求sin2的值
变式练习： 已知()2
sin cos 02
θθθπ+=<<,求cos2θ的值
例7、求sin10sin50sin70的值。
变式练习： 1、 求值tan70cos103tan 201
2、 234
cos cos
cos cos
9
999
的值等于=
【课堂小练】 1.若
5
7
2
2
,则1sin 1sin 等于( ） Ａ.2cos
2
B. 2cos
2
C. 2sin
2 D. 2sin
2
2. 22sin 2cos 4的值等于( )
A. sin2 Ｂ. cos2 C. 3cos 2 D. 3cos2
3． sin6cos24sin78cos48的值为 （ ） Ａ.116 B ． 116 Ｃ. 132 D. 18
4.已知51
sin 2x
，则sin 24
x 的值等于
6.已知5sin 04
13
4
，求
cos 2cos
4
疑难点
1， 若没有给出限定符号的条件，则三角比的值应取正、负值，其详细变化见下表：
2
sin
2
cos
2
tan
2
第一象限 第一、三象限 +，- +，- + 第二象限 第一、三象限 +，- +，- + 第三象限 第二、四象限 +，- -，+ - 第四象限 第二、四象限
+，-
-，+
-
2， 推论：sin 1cos
tan
2
1cos sin ，表明tan 2与sin 的符号相同，知sin 与cos ，可求tan 2
，用起来非常
方便。
【课堂总结】
要理解并掌握二倍角公式及其推导,能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值与恒等式的证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化为特殊而来的，要注重这种数学的基本思想方法，学会怎样去发现数学规律
【课后练习】 1、已知1
cos
3
，且,2，则sin
2
;cos
2
；tan
2
２、21tan 2230'2tan 2230'
＝
3、如果tan
2,那么cot 2
4、已知已知51
sin 2
x
,则sin 24
x 的值等于
5、下列关系：①2cos212sin ②2cos212cos ③22cos2cos sin ④22
1tan 2cos
1
tan 2
中恒成立的个数是（ )
Ａ、１个 B 、2个 C 、３个 Ｄ、4个 6、sin
cos 2,则sin2等于( )
A 、1
B 、２
C 、－1 Ｄ、-2 7、2
cos cos
5
5
的值等于 ( ） A 、
14 B 、12 C 、247 Ｄ、247
９、已知α是第三象限角,并且24
sin 25
，则tan 2的值为（ ）
A 、43 Ｂ、34 C 、-43 D 、 -3
4
1０、已知5
sin cos
4505402
2
5
,求sin 和tan
2
的值
11、(1)已知3cos ,,05
2
,求tan
2
的值
（2）已知3cos 5
,是第二象限角，求cos
,sin
,tan
2
2
2
的值
12、证明恒等式:
2cos 1
sin 24
cot
tan
2
2
13、已知
1
sin sin
446
,求sin4的值
1４、已知
2
sin cos
3
，求
1cos2
cot tan
22
的值。