半角的正弦、余弦和正切
课件6：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
1．(1)已知|cos θ|＝35，且52π<θ<3π，则 sinθ2，cosθ2，tanθ2的值
分别为( B )
A．－2 5 5， 55，2
B．－2 5 5，－ 55，2
2 C.
5
5，－
55，2
D．－2 5 5，－ 55，－2
(2)若 cos α＝－45，α 是第三象限的角，则11＋－ttaannα2α2＝( A )
(2) 2＋2cos 8＋2 1－sin 8的化简结果是_－__2_si_n__4_．
(3)化简(tan
5°－tan
cos 70° 85°)·1＋sin 70°.
【解析】(1)cos12α＋tan 2α＝cos12α＋csoins 22αα＝
（scionsα2α＋－csoisn2αα）2＝csions
(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用 tanα2＝
sin α 1＋cos
α＝1－sincoαs
α，其优点是计算时可避免因开方带
来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，
常先利用 sin2α2＝1－c2os α，cos2α2＝1＋c2os α计算．
(4)下结论．结合(2)求值．
跟踪训练
(2)正确．当 cos α＝－ 3＋1 时，上式成立，但一般情况
下不成立．
(3)错误．当 α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下
不成立．
(4)正确．若 α 是第一象限角，则α2是第一、三象限角，
此时 tanα2＝
1－cos 1＋cos
α成立． α
2．已知 cos α＝32，270°<α<360°，那么 cosα2的值为
正切的半角公式
1－cos α tan α2＝_±_____1_＋__c_o_s__α_____
3.3.2半角的正弦、余弦和正切公式 课件(北师大版必修4)
π π x－ 3.已知函数 f(x)＝sin(x＋ )＋sin 6 6 ＋cos x＋a(a∈R)． (1)求函数 y＝f(x)的单调增区间； π π (2)若函数 f(x)在－2，2上的最大值与最小值的和 为 3，求实数 a 的值．
解析：
(1)f(x)＝ 3sin x＋cos x＋a π ＝2sinx＋6 ＋a， π π π 解不等式 2kπ－ ≤x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)， 2 6 2 2π π 得 y＝f(x)的单调增区间是2kπ－ 3 ，2kπ＋3 (k∈Z)．
[题后感悟] 已知三角函数式的值，求其他三角 函数式的值，一般思路为： (1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角 函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
12 3π 1.已知 sin 2α＝－ ， π<2α< ， sin α， α. 求 cos 13 2 12 3π 解析： 因为 sin 2α＝－ ，π<2α< ， 13 2 12 2 2 所以 cos 2α＝－ 1－sin 2α＝－ 1－－ ＝ 13 5 － . 13
第2课时
半角的正弦、余弦和正切公式
1.了解半角公式及 推导过程. 2.能利用两角和与 差公式进行简单的 三角求值、化简及 证明.
1.应用半角公式化简、求 值及证明．(重点) 2.倍角公式与半角公式的 联系．(易混点) 3.公式的综合应用．(难 点)
sin 2α＝_____________. 2sin αcos α cos 2α＝____________＝__________＝__________. cos2α－sin2α 1－2sin2α 2cos2α－1
先把函数fx的解析式化简，化成Asinωx＋φ ＋B的形式后再研究函数性质.
半角公式及万能公式
这样“三角”与“代数”沟通起来，因此称为“万能公 这样“三角” 代数”沟通起来，因此称为“ 式”。 弦化切的两种方法： 齐次式”弦化切及万能公式. 弦化切的两种方法：“齐次式”弦化切及万能公式
1 π sin = 2 练习： = 练习： 2 π 4 2 4 1 + tan
tan 8 8
π
1 π =1 = tan π 2 4 2 1 tan 2
1 ∴ cos sin = 2 2 5 cos α + sin α = 3 2 2 5
∴ tan
α
α
α
α
3 α α = (cos sin ) 2 2 5 1 α cos 2 = 5 α 2 sin = 2 5 α 1 cos α 5 2 = 1 + = . α 4 2 sin
1 cosα 1 + cos α 2 + = 化简： tan + cot = 化简： = 2 csc α sin α sin α sin α 2 2 π sin( α ) π α cos α 2 = = tan( ) 4 2 1 + sin α 1 + cos( π α ) 2
α
α
α
二、例 1：已知 求 sin
tan 8 8
1 tan ( α ) π 4 = cos( 2α ) 2 2 π 1 + tan ( α ) 4
2
π
π
= sin 2α
1 + sin α + cos α 1 = , 求 cos α值. 例1：已知 1 + sin α cos α 2
1 + sin α + cos α (1 + cos α ) + sin α = 解： 1 + sin α cos α (1 cos α ) + sin α = 2 cos 2 sin
学案3：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切半角公式半角公式的推导过程如下表：思考 如何确定公式中的正负号？自主测试1 若cos α＝12，则sin α2等于( )A ．12B ．－12C ．±12D ．±32自主测试2 已知cos θ＝79，且270°＜θ＜360°，则cos θ2的值为( )A ．23 B ．－223 C ．±233 D ．－23自主测试3 若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B ．12 C ．2 D ．－2课堂互动 解读半角公式剖析：(1)半角公式是二倍角公式变形形式的一种具体化的表达方式，其本质是通过“单角”的三角函数值表示“半角”的三角函数值．(2)公式适用的条件：①半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立；②tan α2＝±1－cos α1＋cos α和tan α2＝sin α1＋cos α中要求α≠2k π＋π，k ∈Z ，而tan α2＝1－cos αsin α中则要求α≠k π，k ∈Z . (3)因为tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题．所以在解题时，使用相对较为方便，但需注意该公式成立的条件．知识拓展 半角公式是由倍角公式变形所得，主要体现了半角的正弦、余弦、正切与单角余弦的关系，除此，我们还可以把sin α，cos α，tan α统一用tan α2表示，显示了正弦、余弦、正切之间极强的内在联系．即sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2，tan α＝sin αcos α＝2tanα21－tan2α2.典型考题题型一 利用半角公式求值 例题1 求值：(tan 5°－cot 5°)·cos 70°1＋sin 70°.反思 对于化简求值要遵循三个“统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式，另外还要有必要的切化弦、通分、角变换等常用技巧． 题型二 给值求值问题例题2 已知sin α＝－45，π＜α＜3π2，求sin α2，cos α2，tan α2.反思 在套用公式时，一定注意求解顺序和所用到的角的范围，还要注意选用公式要灵活多样．互动探究 若将本例中“π＜α＜3π2”改为“α为第三象限的角”结果又如何？题型三 恒等式的证明问题 例题3 求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.反思 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证等方法．常用的方法有定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 题型四 三角函数的综合问题例题4 设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A ．反思 为了方便研究三角函数的有关性质，其常见做法是利用三角变换公式将其化为正弦型函数或余弦型函数，在三角形中讨论三角函数要注意角的约束及隐含条件A ＋B ＋C ＝π. 随堂练习1．已知cos α＝－cos 2α2，则cos α2等于( )A ．±33 B ．33 C ．－33 D ．±132．下列各式与tan α相等的是( ) A ．1－cos 2α1＋cos 2α B ．sin α1＋cos αC ．sin α1－cos 2αD ．1－cos 2αsin 2α3．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( )A ．－1＋a2B ．－1－a2C ．－1＋a 2 D ．－1－a24．若sin α＝－45，且α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝________.5．求值：cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3－A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋A ＝__________. 6．已知向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．参考答案思考 答：根据“α2”的范围来确定，如果不能确定角“α2”的范围，“±”应保留．自主测试1 【答案】C 【解析】sin α2＝±1－cos α2＝±12.自主测试2 【答案】B【解析】∵270°＜θ＜360°，∴135°＜θ2＜180°，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋792＝－223. 自主测试3 【答案】A【解析】解法一：由cos α＝－45，且α是第三象限的角，得sin α＝－35，又tan α2＝sin α1＋cos α＝－351－45＝－3，∴1＋tanα21－tanα2＝1－31－－3＝－12.解法二：∵cos α＝－45，α为第三象限的角，∴sin α＝－35.∴tan α＝34.由tan α＝34＝2tanα21－tan 2α2，得tan α2＝13或tan α2＝－3.又∵π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，∴π2＋k π＜α2＜3π4＋k π(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，π2＋2n π＜α2＜3π4＋2n π，此时α2在第二象限，tan α2＜0；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，3π2＋2n π＜α2＜7π4＋2n π， 此时α2在第四象限，tan α2＜0.∴tan α2＝－3.∴1＋tanα21－tanα2＝1－31－(－3)＝－12.例题1 解：解法一：原式＝⎝⎛⎭⎫tan 5°－1tan 5°·cos 70°1＋sin 70°＝tan 25°－1tan 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝－2·1－tan 25°2tan 5°·sin 20°1＋cos 20°＝－2cot 10°·tan 10°＝－2.解法二：原式＝⎝⎛⎭⎫sin 5°cos 5°－cos 5°sin 5°·sin 20°1＋cos 20°＝sin 25°－cos 25°sin 5°·cos 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝－cos 10°12sin 10°·2sin 10°cos 10°2cos 210°＝－2.解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos 10°sin 10°－1sin 10°1＋cos 10°·sin 20°1＋cos 20°＝⎝⎛⎭⎫1－cos 10°sin 10°－1＋cos 10°sin 10°·sin 20°1＋cos 20°＝－2cos 10°sin 10°·2sin 10°cos 10°2cos 210°＝－2. 例题2 分析：先由sin α的值求出cos α的值，然后利用半角公式求解． 解：∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4.又∵sin α＝－45，∴cos α＝－35.则sin α2＝1－cos α2＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－1－352＝－55， ∴tan α2＝sinα2cosα2＝255－55＝－2.互动探究 解：sin α2＝±255，cos α2＝±55，tan α2＝－2.例题3 分析：解答本题时，首先可将切化弦，然后利用半角公式、倍角公式化简． 证明：证法一：原式左边＝cos 2α1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝cos 2α2cos αsin α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边，故原式成立．证法二：原式左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． 故原式成立．例题4 分析：(1)先利用两角和的余弦公式和降幂公式统一角，再化为正弦型函数求f (x )的最大值和最小正周期．(2)注意A ＋B ＋C ＝π，并利用两角和的正弦公式求sin(B ＋C )，即为sin A ． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由(1)可得，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝12－32sin C ＝－14， 所以sin C ＝32.因为C 为锐角，所以C ＝π3. 又因为在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.随堂练习 1．【答案】A【解析】由二倍角的余弦公式，得2cos 2α2－1＝－cos 2α2，即3cos 2α2＝1，所以cos α2＝±33.2．【答案】D 3．【答案】B【解析】∵5π＜θ＜6π，∴5π4＜θ4＜3π2.∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 4．【答案】－135．【答案】32【解析】原式＝1＋cos 2A2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2A 2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2A 2＝32＋12⎣⎡⎦⎤cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2A ＝32＋12⎝⎛ cos 2A ＋cos 2π3cos 2A ＋sin 2π3sin 2A ＋cos 2π3cos 2A －⎭⎫sin 2π3sin 2A ＝32＋12⎝⎛⎭⎫cos 2A ＋2cos 2π3cos 2A ＝32＋12(cos 2A －cos 2A )＝32. 6．解：(1)由已知得，f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 故f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3＜2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，即f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.。
三角函数半角公式
三角函数半角公式三角函数是数学中重要的基础概念之一，其半角公式是三角函数中的一个重要性质。
半角公式是用于计算角度的一种简化形式，它可以帮助我们简化计算，减少复杂度。
本文将详细介绍三角函数半角公式，并且会给出相关的例子来帮助读者更好地理解此概念。
在数学上，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
这些函数在各个科学领域中都有广泛的应用，在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有重要的作用。
首先我们来介绍正弦函数的半角公式。
正弦函数的半角公式可以表示为：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)其中x为角度，正弦函数的取值范围是[-1, 1]。
在这个公式中，sin(x/2)表示x/2的正弦值，而cos(x)表示x的余弦值。
右侧的±表示正负号不确定，具体取哪个取决于x的象限。
接下来，我们来介绍余弦函数的半角公式。
余弦函数的半角公式可以表示为：cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)与正弦函数的半角公式类似，x为角度，余弦函数的取值范围也是[-1, 1]。
在这个公式中，cos(x/2)表示x/2的余弦值，而cos(x)表示x的余弦值。
正切函数的半角公式可以表示为：tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))正切函数的取值范围是全体实数。
在这个公式中，tan(x/2)表示x/2的正切值，而cos(x)表示x的余弦值。
余切函数的半角公式可以表示为：cot(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / (1 - cos(x))) 余切函数的取值范围也是全体实数。
在这个公式中，cot(x/2)表示x/2的余切值，而cos(x)表示x的余弦值。
以上就是三角函数的半角公式的详细介绍。
通过使用这些公式，我们可以简化角度计算的复杂度，使得我们能够更方便地计算三角函数的值。
下面我们将给出一些具体的例子来帮助读者更好地理解这些公式的应用。
课件10：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
素养提升
半角公式的变形较多，应用时要针对题目的条件选择适当的公式． 例如，待求式中同时含有 sin α，cos α，tanα2时，应选择公式 tanα2＝1＋sincoαs α＝1－sincoαs α；含有三角函数的平方形式时，一般选择降 幂公式；对根式的化简常常需要升幂去根号．
失误防范 运用半角公式求值时，要特别注意根据半角的范围去确定半角 三角函数值的正负号，若半角的范围不明确则求值时正负号都 要取．
α＝
－2sin
αα＝－2
2sin
2
2sin 2cos 2
α .
sin
2
因为 0＜α＜π，所以 0＜α2＜2π.所以 sin α2＞0.所以原式＝－2
α 2cos 2.
题型三 利用半角公式证明三角恒等式
例 3 求证： 1cαo－s2tαanα2＝14sin 2α. tan2
【证明】
法一：左边＝1＋cos sin α
θ 2
cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2 θ
θ 2＝－cos
θ 2cos
θ
θ .
cos
2
cos
2
因为 0＜θ＜π，所以 0＜θ2＜π2，所以 cos 2θ＞0，
所以原式＝－cos θ.
方法归纳 三角函数式化简的思路和方法
(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于 三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式， 注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归 一等方法．(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂 或升幂等．
跟踪训练
化简：cos32π－α－1ta－n cα2o·s（α1＋cos
第三章 3.2.2半角的正弦、余弦和正切
3.2.2
( A )
本 课 时 栏 目 开 关
3.2.2 练一练·当堂检测、目标达成落实处 4 3π α α α 3．已知 sin α＝－ ，π<α< ，求 sin ，cos ，tan . 5 2 2 2 2 3π π α 3π 解 ∵π<α< ，∴ < < . 2 2 2 4 4 3 又∵sin α＝－ ，∴cos α＝－ . 5 5 3 1－－5 1－cos α α 2 5 则 sin 2＝ ＝ ＝ 5 ， 2 2 3 1－ 1＋cos α 5 α 5 cos ＝－ ＝－ ＝－ ， 2 2 2 5 α sin 2 α tan ＝ ＝－2. 2 α cos 2 1－cos α α sin α (另解：tan 2＝ ＝ sin α ＝－2) 1＋cos α
①⑤ ；
α (2)若 α 为第二象限角，则 的终边落在区域 2
②⑥ ；
α (3)若 α 为第三象限角，则 的终边落在区域 ③⑦ ； 2 α (4)若 α 为第四象限角，则 的终边落在区域 ④⑧ . 2
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 如何用 tan α 表示 sin α，cos α，tan α 2
3.2.2
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.2
本 课 时 栏 目 开 关
cos2α 方法二 左边＝ 1＋cos α 1－cos α － sin α sin α cos2α 1 1 ＝ ＝ sin αcos α＝ sin 2α＝右边． 2cos α 2 4 sin α
∴原式成立.
2α
α ∴tan ＝± 2
1－cos α . 1＋cos α
研一研·问题探究、课堂更高效
半角的正弦、余弦、正切公式及其推导语文
孤立的观点看问题，培养学生用相对的联系的观点来分析 问题． 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：半角的正弦、余弦、正式公式及其推导． 2．教学难点：公式中“±”号的选择及公式的应用． 3．教学疑点：半角的正切公式是有条件的，教学过程要 注意帮助学生分析条件． 三、课时安排 建议安排2课时． 四、教与学的过程设计
一、教与学的过程设计 (一)复习引入 师：上节课我们学习了半角公式，请同学们回忆半角公式(请 一位同学板书)． 生：(板书)
是我们还利用以上公式求半角的三角函数的值，今天我们继续 学习半角公式在其它方面的应用． (二)新课 1°条件求值．
分析：本题已知条件是点α 的正切值，求的是含2α的 三角函数的
第一课时 半角公式及其推导
(一)复习引入 师：上一节课我们学习了倍角公式，其实质就是用单 角的三角函数来表示二倍角的三角函数，下面请同学 们一起回忆倍角公式(引导学生从公式的推导去回忆， 这样等于同时回忆公式的推导)． 生：(板书) sin2α=2sinα·cosα cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
二、四象限角． (教师边叙述边板书)
(三)应用举例
要先求 sinθ，也要根据θ的范围来求．请同学们自己 给出两种解法． (四)总结
(五)练习 课本 P．224中练习 1、2、3、4． 五、作业 本P．225中习题十六，1、2、3、4、5、6、7、8． 六、板书设计
第二课时 半角公式及应用
生：有利于计算． 师：所以我们要灵活地应用公式，不能生搬硬套， 哪位同学的证法与甲同学不同． 生乙：(板书)
师：这位同学对二倍角公式的证法简直达到惟妙惟 肖的境地，大家考虑看还有没有其它证法(启发学生 从函数的名称出发去思考)． 生丙：把正切、余切化弦． 师：很好，但是大家别急着证题，我们先来考虑两 个式子：
三角函数半角公式
三角函数半角公式
三角函数是数学中的重要概念，其中半角公式是在三角函数中常用的公式之一。
下面将介绍三角函数的半角公式，以及它们的定义和应用。
首先，我们来了解一下什么是半角。
在三角函数中，我们通常使用弧度作为角度的度量单位。
而正弦函数、余弦函数和正切函数都与单位圆上角的坐标相关联。
半角即为角度的一半。
接下来，我们来介绍三角函数的半角公式。
请注意，以下公式分别适用于不同的情况。
第一，正弦函数的半角公式：
sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]
其中，θ为原始角度。
正弦函数的半角公式可以用来计算正弦函数的半角值。
第二，余弦函数的半角公式：
cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]
与正弦函数的半角公式类似，余弦函数的半角公式可以用来计算余弦函数的半角值。
第三，正切函数的半角公式：
tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]
对于正切函数来说，半角公式可以用来计算正切函数的半角值。
需要注意的是，正弦函数、余弦函数和正切函数的半角值的正负号是根据具体情况来确定的。
三角函数的半角公式在数学和物理学中具有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，通过半角公式可以方便地进行角度的计算和转换。
此外，在信号处理、电路设计以及导航等领域也经常用到半角公式。
总之，三角函数的半角公式是数学中的重要工具，它们可以用来计算正弦函数、余弦函数和正切函数的半角值。
通过掌握和应用半角公式，我们可以更加便捷地进行角度的计算和转换。
半角的正弦、余弦和正切PPT课件
证明:
tan
2Leabharlann sincos
2 2
2
2 sin
2
cos
2 cos2
2
2
sin 1 cos
或
sin 1 cos
2 sin
cos
2
2
sin
2 2
讲评：
2 cos
2
cos
tan
2
（1）三角变换选择公式的依据是：使角统一； 名统一；结构统一。 α (2k 1) π 和α kπ，k Z (2)成立的条件分别是： （3）tan
变式1：
已知 求
3 , 5 sin , cos , tan 2 2 2 cos
是第三象限角, 值。
讲评:
(1).运用了分类讨论思想； (2). 解题关键是定号。
3 3 变式2：已知 cos 5 , ( , 2 ).
求 tan 4 值。
分析：
温故知新：
请大家回忆二倍角的正弦、余弦、 正切的公式 。
公式的推导：
(1)你能从中求出 sin , cos ,tan 吗? (2)我们发现 是2 是谁的半角呢?代入后会有什么结论 呢?
的半角,那么 2
思考讨论：
注意：
1.公式的“本质”是用角的余弦表示 2 余弦、正切。
的正弦、
1 sin cos 1 sin cos
y cos2 x 2 3 sin x cos x sin 2 x
P153 2.
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半角的正弦、余弦和正切（课堂教学实录）广西防城港市上思县上思中学[教者]王春雷 [点评]凌旭球（中学特级教师）一、教学目标1、 掌握半角公式及推导方法。
2、 理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。
3、 能熟练、合理地运用公式。
二、重点、难点分析1、 重点：2αS ，2αC ，2αT 公式的推导、识记及熟练运用。
2、 难点：2αS ，2αC 公式中双重符号的选择、2αT 三个公式的灵活运用。
三、教学用具、准备电脑和投影设备，自制电脑课件。
四、教学过程设计 （一）复习引入师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下：αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -= （师生合作回答，然后用投影显示） 评：从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。
下面，我们一起来看一道习题：)4,0(,542cos παα∈=，求α4cos 和α2cos 的值。
（投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗？生：能，用二倍角公式。
师：那好，下面我们就一起来完成这道题：2571)54(212cos 2)]2(2cos[4cos 22=-⨯=-==ααα ⇒-=1cos 22cos 2αα109254122cos 1cos 2=+=+=αα 10103cos ±=⇒α10103cos =⇒α （生集体回答，师板书） 评：这道习题的设计，既起到了巩固旧知，又蕴含着准备将新知转化为旧知去研究的作用。
师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可，不需要考虑值的符号；但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式子，这时就需要考虑函数值的符号了。
现在，我们再来看另一道习题，已知：)2,0(,54cos παα∈=，求2cos α的值。
（投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢？评：用这道习题作引子，并用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带着任务学。
生：不能。
师：但如果我们把看成上题的α2角，那2α角就变成了上题的什么角？ 生：α角。
师：所以，2cos α的值是……（稍作停顿）生：10103。
师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的α2角换成α角，把公式中的α角换成2α角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角公式”。
（师板书课题） 评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激发学生探求新知的欲望与热情。
（二）新课讲授1、公式推导师：下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式”。
先探讨如何将公式变形得出2sinα与α角的三角函数关系。
生：由]2sin 1[2sin22cos2sin2sin 2ααααα-±==，从中解出2sinα。
师：不错，但这个等式太麻烦了，不便于解出2sinα，能否用更简洁的方法来求解呢？生：可以利用2sin 21cos 2αα-=得出2cos 12sin 2αα-=，从而2sin α2cos 1α-±=师：（板书）对，但公式中“±”号的确定是关键，是不是两个都要呢？ 生：（稍作讨论后回答）不是，应根据2α角所在的范围中正弦的符号来选取。
师：具体的说，就是2α角在第一、二象限时取……（稍作停顿）生：“+”号。
师：当2α角在第三、四象限时取……（稍作停顿） 生：“-”号。
师：如果没有指明2α角的范围呢？ 生：“±”号都要。
评：师生合作导出“半角正弦”公式，在教师的“主导”下，让学生积极主动地探索，依靠学生自己的思维去获取知识，也顺利地解决了“±”号的确定这一关键性问题。
师：很好。
下面我们接着来研究2α角的余弦。
生：利用12cos 2cos 2-=αα得出2cos 12cos 2αα+=，从而2cos 12cos αα+±=。
师：（板书）这里又出现了“±”号，请大家参照刚才的方法总结一下。
生：当2α角在第一、四象限时取“+”，在第二、三象限时取“-”；如果没有指明2α角的范围时，“±”号两个都要。
评：有了“半角正弦”的推导作样板，“半角余弦”的导出自然水到渠成。
师：不错。
我们现在已导出了半角的正弦、余弦公式，如果利用同角三角函数关系式，你能马上得出半角的正切公式吗？生：能。
由商数关系得：αααααααcos 1cos 12cos 12cos 12cos 2sin 2tan +-±=+±-±== 评：点拔恰当，在此使学生感受到“联想”的作用。
师：（板书）由于分子、分母都有“±”号，能否把“±”号约掉？ 生：不能。
师：那么又如何理解结果中的“±”号呢？生：是分子、分母的“±”号搭配的结果——当分子、分母同号时取“+”，分子、分母异号时取“-”。
师：由这一搭配的结果，你能根据2α角所在的范围说出如何选取正切符号吗？ 生：能。
当2α角在第一、三象限时取“+”，在第二、四象限时取“-”；当没有指明2α角的取值范围时，应该同时取“±”号。
师：此外，还有没有其它方法来处理这双重符号呢？（生困惑，议论） 评：问题提得好，将学生自然引导到对“半角正切”公式的深层探讨上。
师：我们能不能利用乘除符号性质来判断2cos2sinαα与2cos 2sin αα是同号还是异号呢？ 生：能，是同号。
师：那么2tanα与αsin 呢？生：也是同号。
师：根据这种思路，下面我们进一步来研究2tanα的公式，使它变得更简单，更便于使用。
由于2cos2sin 2tanααα=，将2cos2sinαα的分子、分母同时乘以22sin α或22cos α，使2sin α变成αsin ，那么会得到什么结果呢？ 生：αααααααααcos 1sin 2cos22cos 2cos22sin2cos2sin 2tan+=⋅⋅==或αααααααααsin cos 12sin 22cos 2sin22sin2cos2sin 2tan-=⋅⋅==（师板书）2、公式识记师：至此，我们已经把本节课要学习的“半角公式”全部推导出来了。
下面，我们一起来探讨对这组公式的初步理解与记忆。
（投影显示公式）2sinα2cos 1α-±= ⑴ （2αS ）2cos 12cos αα+±=。
⑵ （2αC ） αααcos 1cos 12tan+-±= ⑶ （2αT ）ααcos 1sin +=⑷ααsin cos 1-= ⑸ （2αT ）’师：首先明确公式成立的条件，即α角的取值范围，先看⑴、⑵。
生：公式⑴、⑵的条件是R ∈α。
师：再看公式⑶、⑷。
生：对于公式⑶、⑷，需满足左、右两式均有意义，即：ππαk +≠22，且0cos 1≠+α，所以Z k k ∈+≠,)12(πα。
师：那么公式⑸的条件呢？ 生：ππαk +≠22，且0sin ≠α，即：Z k k ∈+≠,)12(πα，且παk ≠，所以παk ≠，Z k ∈。
师：公式⑷、⑸都是从式子2cos2sin 2tanααα=推出的，为什么成立的条件不相同呢？生：（稍作议论后回答）因为同乘以22sin α时，不能保证它一定不为零，为了保证变形的等价性，需添上条件παk ≠2，即παk 2≠，所以增加了公式的使用条件。
师：现在我们将公式成立的条件总结如图所示，希望大家在使用时加以注意。
师：下面我们一起探讨对公式如何记忆。
请大家先仔细观察半角的正切公式，然后对下列这四个式子，ααcos sin 1-，ααcos sin 1+，ααsin 1cos +，ααsin 1cos -（投影显示）进行判断，是否是2tan α公式的表达式？生：都不是。
师：对，在2tanα的表达式中，只含有三种不同的式子：αcos 1+，αcos 1-和αsin ，而αcos 1+若出现一定会在分母上，如⑶、⑷；若αcos 1-出现则一定出现出分子上，如⑶、⑸；而⑷、⑸两个公式，一旦分子或分母确定下来，另一个位置肯定就是αsin 。
同时，根据2cos2sin2tanααα=的性质，我们就可以很容易地建立起αcos 1-与2sin α，αcos 1+与2cosα的联系。
当然，最好的记忆方法还应该是在公式的应用中熟悉、并掌握下来。
评：揭示公式成立的条件及内在联系，理清其结构形式，不仅使学生改变死记硬背公式的习惯，而且掌握了公式的本质达到识记作用。
这样做可拓展学生的思维领域，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、巩固练习师：下面，请大家应用半角公式来解题，看投影： 例：已知54sin -=α，根据下列条件求2sin α，2cos α，2tan α的值。
⑴)2,23(ππα∈； ⑵α为第四象限的角。
师：我们应该用什么方法来解这道题呢？ 生：用半角公式。
师：还需要什么条件吗？ 生：还需要知道αcos 和2α角的范围。
师：那好，我们现在请一位同学上来具体计算一下⑴。
生：（板书）⑴解：)2,23(ππα∈Θ ),43(2ππα∈∴，53cos =α 5525312cos 12sin =-=-=∴αα 55225312cos 12cos -=+-=+-=∴αα 2cos2sin2tanααα=21-=师：做得很好。
特别值得肯定的是对2α角范围的指出，因为公式中“±”号的选择要看2α角的范围。
评：恰当的课内练习，起着巩固新知的作用，而对学生练习作实事求是的评价，非常重要，可使学生感受成功的乐趣。
师：下面，我们来做⑵。
由于时间关系，我们只要求指出各值的符号即可。
生：αΘ为第四象限，παππk k 222<<-∴，即)(,24Z k k k ∈<<-παππ。
当k 为偶数时，2α为第四象限的角；当k 为奇数时，2α为第二象限的角。
当2α为第二象限时，αcos 为正，2sin α为正，2cos α为负，2tan α为负。
当2α为第四象限时，αcos 为正，2sin α为负，2cos α为正，2tan α为负。
师：不错，下面大家比较一下这两道小题的计算，你们有何发现，或有什么疑问吗？ 生：⑴中的)2,23(ππα∈是第四象限的角，⑵中的α角也是第四象限的角，为什么⑴只有一组解，而⑵却有两组解呢？师：问题提得好。
这是因为⑴中的α角是区间角，只是第四象限角中的一部分，2α角只有一种可能；而⑵中的α是象限角，2α角有两种可能。
所以我们要在解题时一定要注意区分区间角和象限角这两个不同的概念。
（三）归纳小结这节课我们一起导出了“半角公式”，并做了初步的理解与应用。