3.刚体定轴转动
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动一、刚体极其运动刚体——受力时不改变形状和体积的物体。
注：（1）刚体是固体物件的理想模型。
（2）刚体是一个特殊的质点系（各质点间的相对位置在运动中保持不变）。
刚体的运动分为平动和转动。
平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。
（用质点力学处理）转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动。
二、刚体转动的角速度和角加速度刚体定轴转动时，由于各质元间的相对位置保持不变，因此描述各质元的角量是一样的。
角坐标：θ=θ(t)角位移：?θ=θ(t+?t)-θ(t) 角速度：?θdθ=?t→0?tdt角速度的方向：右手螺旋法则。
dω角加速度：α= dt定轴转动的特点：（1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；（2）任一质点运动?θ,ω,α均相同，但v,a不同；（3）运动描述仅需一个坐标。
三、匀变速转动公式匀变速转动------刚体绕定轴转动的角加速度为恒量。
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比匀变速转动匀变速直线运动v=v+at x=x0+v0t+at2212222v=v0+2a(x-x0)2ω=lim 匀四、角量与线量的关系v=rωaτ=rαan=rω24-2力矩转动定律转动惯量一、力矩设一质点系由n个质点组成，其中i质点受力为n-1j=1Fi外+∑fjin-1 Mi=ri?(Fi外+∑fji)现对i质点所受力的力矩：j=1对i求和，刚体所受力的力矩为n M=∑Mi=∑ri?Fi外ii=1（内力矩为零）二、刚体的转动定律组成刚体的各质点间无相对位移，所以刚体对给定轴的力矩为dω2 M=rma=(rm)α=J=Jα∑iz∑∑iiτiidtii即刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
它在定轴转动中的地位相当于牛顿第二定律在质点力学中的地位。
刚体定轴转动概述
m
已知： m , m1 , m2 , r , 0 0
r
求： t ?
m2
m1
思路：质点平动与刚体定轴转 动关联问题，隔离法，分别列 方程，先求角加速度, 再
23
N
β
r
解：在地面参考系中，分别以 m1 , m2 , m 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第 二定律和转动定律建立方程。 对于 m 1
3 、物理意义：转动惯性的量度 .
I 大 转动惯性大
4、转动惯量的计算
若质量离散分布 若质量连续分布
I＝ mi ri
i
2
I r dm
2
O m2
例：如图m1 ，m2绕OO′转动，
它们距轴的距离分别为
2 1 l l 3 、 3
m1
2 l 3 1 l 3
则，系统的转动惯量为
2 1 I = m1 l m2 l 3 3
dm 2rdr l
l
3
R
O
r
dr
dI r dm 2lr dr
2
I
dI
R
0
m 1 2 I mR R 2l 2
1 4 2lr dr R l 2
3
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量 也是mR2/2。
m1 g T1 m1a1 (1)
T2 m2 g m2 a2 (2)
2
T2 mg
T1
对于 m 2
对于滑轮 m T r T r I 1 mr 2 (3) 1 2
T2
a2
T1
m2 g
思考：
3.3刚体定轴转动中的功与能
解：以 ω 和 ω 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度
1 2
ω = (1 − 0 .2 )ω = 0.8ω
2 1
2
2
2πn ω = = 8πrad ⋅ s 60
1 1
−1
1
1 1 1 由转动动能定理 A = Jω − Jω = Jω (0 .8 − 1) 2 2 2 1 又 J = mr A = −5 .45 × 10 J 2
课后习题 3-8
θ1
θ2
二、刚体的转动动能和重力势能
1.绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的动能 绕定轴转动刚体的
∆ ,∆ ,⋅⋅⋅,∆ ,⋅⋅⋅,∆ m m m m r r r r r, r ,⋅⋅⋅, r ⋅⋅⋅, r r r r r v ,v ,⋅⋅⋅,v ,⋅⋅⋅,v
1 2 i
1 2 i, N
N
Q = rω v 1 E= ∆ v m 2
2 2 2
1 1
2
3
质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 例3-7半径R质量 的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转 半径 质量 滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体 的物体。 动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为 的物体。 当物体从静止下降距离h时 物体速度是多少？ 当物体从静止下降距离 时，物体速度是多少？ 以滑轮、 解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对 由于只有保守力做功，故机械能守恒。 象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。 设终态时重力势能为零 初态：动能为零，重力势能为mgh 初态：动能为零，重力势能为 末态： 末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能 由机械能守恒
i i
i i i
2
1
2
i
N
第三章 刚体的定轴转动
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
3.刚体的定轴转动
2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：
dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
刚体定轴转动
1.刚体的转动 刚体的转动 在圆盘上任意取一个质元 切向速度： 切向速度：
ω
c
vi = ωri = θri
mi , ri
r i
mi
r ai = ωri = θi = αri 切向加速度： 切向加速度：
角加速度rad
s2
由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v 由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v、a一般 角加速度α 不同，但角量（角位移θ、角速度ω 、角加速度α）都 不同， 角位移θ 角速度ω 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便 用角量最方便。 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便。
刚体定轴 转动定律 对 比 牛顿第二定律
dLc = d (I cω ) = I dω = I α Mc = c c dt dt dt
dp d(mv) dv F= = =m =ma dt dt dt
刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 点运动中牛顿第二定律 牛顿第二定律的 点运动中牛顿第二定律的，各物理量间存在明显的 对应关系。 对应关系。
刚体定轴转动
1
安徽工业大学 数理学院 刘畅
2. 刚体的转动动能和转动惯量 刚体的转动动能 转动动能和 1 2 1 2 2 质元 mi的动能 Eki = mivi = miω ri m i 2 2 r c i 总动能 Ek = ∑Eki 2 1 ω 2 2 2 = ∑ miω ri = ∑miri 2 2 1 I—转动惯量 = Ic ω2 2 单个质点绕定轴转动的转动惯量 单个质点绕定轴转动的转动惯量 I = mr 2 质量连续分布的刚体的转动惯量 I = r dm
dt 若 M =0LΒιβλιοθήκη M =dL∫
刚体定轴转动知识点总结
刚体定轴转动知识点总结1. 刚体的转动定轴刚体的转动定轴是指固定不动的直线，沿其进行转动的刚体的每一个质点所受的力矩的代数和等于零。
在实际中，通常通过支点来实现转动定轴，比如钟摆、摇摆、旋转的转轴等。
2. 刚体的角位移、角速度和角加速度在刚体定轴转动中，刚体围绕定轴线进行旋转，其角位移、角速度和角加速度是非常重要的物理量。
角位移表示刚体在围绕定轴线旋转的过程中所经过的角度变化量，通常用θ表示；角速度表示刚体围绕定轴线旋转的速度，通常用ω表示；角加速度表示刚体围绕定轴线旋转的加速度，通常用α表示。
3. 牛顿第二定律在刚体定轴转动中的应用牛顿第二定律也适用于刚体定轴转动的情况。
在刚体定轴转动中，外力会给刚体带来转动运动，根据牛顿第二定律，刚体的角加速度与作用在其上的外力矩成正比。
因此，可以根据力矩的大小和方向来分析刚体的转动运动。
4. 转动惯量和转动动能在刚体定轴转动中，转动惯量是一个非常重要的物理量。
转动惯量描述了刚体围绕定轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动动能是刚体围绕定轴线旋转的能量，其大小取决于刚体的转动惯量和角速度。
5. 转动定律和角动量守恒定律在刚体定轴转动中，转动定律和角动量守恒定律是非常重要的定律。
转动定律描述了刚体受力矩产生的角加速度与所受力矩的关系，角动量守恒定律描述了刚体转动过程中角动量的守恒规律。
6. 平衡条件和稳定性分析在刚体定轴转动中，平衡条件和稳定性分析是非常重要的内容。
通过平衡条件，可以分析刚体围绕定轴线旋转的平衡状态。
稳定性分析则是分析刚体在平衡状态下的稳定性，通常通过刚体的势能函数和平衡位置的稳定性来进行分析。
7. 应用领域刚体定轴转动的理论和方法在工程技术、航空航天、机械制造、物理学等领域都有重要的应用价值。
比如在机械制造中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计机械装置；在航空航天中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计飞行器的运动控制系统。
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= JA(JA＋JB) = 4.19×10 2 N·m·s
负号表示与方向相反．
B轮受的冲量矩
= JB(ω - 0) = 4.19×102 N·m·s
方向与相同．
9.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑 水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞．碰 撞点位于棒中心的一侧处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动 的角速度ω．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量 为，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)
解：作示力图．两重物加速度大小a相同，方向如图.
m1g－T1＝m1a
T2－m2g＝m2a
设滑轮的角加速度为β，则 (T1－T2)r＝Jβ
且有
a＝rβ
由以上四式消去T1，T2得：
开始时系统静止，故t时刻滑轮的角速度．
7.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑 轴O转动．棒的质量为m = 1.5 kg，长度为l = 1.0 m，对轴的转动惯量为J
解：(1) 角动量守恒：
∴
＝15.4 rad·s-1
(2) 由转动定律，得： －Mr＝(＋)β
0－ω 2＝2βθ
∴
＝15.4 rad
8.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量 分别为 J＝10 kg·m2 和 J＝20 kg·m2．开始时，A轮转速为600 rev/min，B轮静止．C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计．A、B分 别与C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得到加速 而A轮减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，求：
因为刚体的转动惯量与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀 质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为，若按质量全部集中于质 心计算，则对同一轴的转动惯量为零．
2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力 的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？
参考解答： 根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定 于内力做的功。
= ．初始时棒静止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并 留在棒中，如图所示．子弹的质量为m= 0.020 kg，速率为v = 400 m·s1．试问：
(1) 棒开始和子弹一起转动时角速度ω有多大？ (2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N·m的恒定阻力矩作用，棒能转过 多大的角度θ？
Байду номын сангаас
由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量 元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动 时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。
非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内 力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力 做的功。
代入式②得
当小球滑到C点时，由角动量守恒定
律，系统的角速度又回复至ω0，又由机械能守恒定律知，小球在C的动
能完全由重力势能转换而来．即：
,
研讨题
1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中 于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什 么？举例说明你的结论。
参考解答： 不能．
解：R = 0.5 m，ω0 = 900 rev/min = 30π rad/s，
根据转动定律
M = -Jβ
①
这里
M = -νNR
②
ν为摩擦系数，N为正压力，．
③
设在时刻t砂轮开始停转，则有：
从而得
β＝ω0 / t
④
将②、③、④式代入①式，得
∴
Rω0 / (2Nt)≈0.5
3. 有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦 系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始 旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量，其中m为 圆形平板的质量）
解：选小球和环为系统．运动过程中所受合外力矩为零，角动量守恒． 对地球、小球和环系统机械能守恒．取过环心的水平面为势能零点．
小球到B点时： J0ω0＝(J0＋mR2)ω
①
②
式中vB表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环
的速度．由式①得：
ω＝J0ω 0 / (J0 + mR2)
1分
解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为
式中ρ为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为
因碰撞前后角动量守恒，所以
∴
ω = 6v0 / (7L)
10. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的 半径为R，初始时环的角速度为ω0．质量为m的小球静止在环内最高 处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O 在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对于环 的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环 截面半径r<<R.)
(1) 两轮啮合后的转速n； (2) 两轮各自所受的冲量矩．
解：(1) 选择A、B两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守
恒 JAωA＋JBωB = (JA＋JB)ω，
又ωB＝0得： ω ≈ JAωA / (JA＋JB) = 20.9 rad / s
转速
200 rev/min
(2) A轮受的冲量矩
相同，
at = βA r1 = βB r2
则
βA = βB r2 / r1
A轮角速度达到ω所需时间为
s＝40 s
2.一砂轮直径为1 m质量为50 kg，以 900 rev / min的转速转动．撤去动 力后，一工件以 200 N的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在11.8 s内停 止．求砂轮和工件间的摩擦系数．(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕 轴的转动惯量为mR2，其中m和R分别为砂轮的质量和半径).
∴
两边积分：
得
ln2 = kt / J
∴
t＝(J ln2) / k
5.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴 上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光 滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离 S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)．
当质心平动的速度vc= 0而角速度 0 时，乒乓球将返回．因此，要 使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度0的大小应满足一定的 关系． 解题：由质心运动定理: 因, 得 (1) 由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律 , 得 (2) 由(1),(2)两式可得 , 令 可得 这说明当vc= 0和0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．
解：在r处的宽度为dr 的环带面积上摩擦力矩为
总摩擦力矩
故平板角加速度
β =M /J
设停止前转数为n，则转角 = 2n
由
可得
4. 一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受 阻力矩与转动角速度成正比，即M＝－kω (k为正的常数)，求圆盘的角 速度从ω0变为时所需的时间．
解：根据转动定律： Jdω / dt = -kω
刚体定轴转动
计算题
1. 如图所示，半径为r1＝0.3 m的A轮通过皮带被半径为r2＝0.75 m的B轮 带动，B轮以匀角加速度π rad /s2由静止起动，轮与皮带间无滑动发 生．试求A轮达到转速3000 rev/min所需要的时间．
解：设A、B轮的角加速度分别为βA和βB，由于两轮边缘的切向加速度
解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和
转动定律得：
mgT＝ma ①
T r＝Jβ
②
由运动学关系有：
a = rβ
③
由①、②、③式解得： J＝m( g－a) r2 / a
④
又根据已知条件 v0＝0
∴ S＝， a＝2S / t2 ⑤
将⑤式代入④式得：J＝mr2(－1)
6.如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2，定滑轮的半 径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不 计．设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度．
3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？
参考解答：
分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动 和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的 力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力 Fr的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动 的速度vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度逐渐变 小．