华师大版八年级数学上14.1勾股定理课件(共20张PPT)

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八年级上华东师大版14.1勾股定理课件

勾股定理的逆定理指出：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形：对于任何大于2的整数n，不存在三个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用，特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，即a² + b² = c²中的a、b、c为正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数一定是互质的；一组勾股数中，必有一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。

1勾股定理的应用PPT课件(华师大版)

分析：由于车宽1.6米，所以卡车能否
通过，只要比较距厂门中线0.8米处的
高度与车高即可.如图所示，点D在离厂
门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面相
交于点H.
讲授新课
解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CD OC 2 OD2 12 0.82 0.6，
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5.
的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸
边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即
52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
可见高度上有0.4米的余量，因此卡
车能通过厂门.
讲授新课
2、有一根高为16米的电线杆在A处断裂，如图所示，电线杆的
顶部C落在离电线杆底部B处8米远的地方，求电线杆断裂处A到
地面的距离．
根据题意可知在Rt△ABC中，
∠ABC =90°，BC=8米，AB＋
AC=16米．若设AB=x米，则
AC=(16-x)米，然后根据勾股定理

90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ AB·BC＋

AC·AD＝ ×4×3＋ ×5×12＝36.

∵36×30=1080（元），
∴这块地全部种草的费用是1080元．
讲授新课
练一练
1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示

1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张

正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级上册
第14章勾股定理

华师大版八年级数学上册第14章第1节《反证法》课件

点拨：至少的反面是没有！
当堂练习
1.试说出下列命题的反面：（1）a是实数; a不是实数（2)a大于2; a小于或等于２（3）a小于2; a大于或等于２（4）至少有2个; 没有两个（5）最多有一个; 一个也没有（6）两条直线平行; 两直线相交 2.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是假设a=b . 3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步假设这个三角形是等腰三角形 .
4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ C ） A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角
5.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ D ） A.a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数 C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三
角形呢？请说明理由.
A
探究：（1）假设它是一个直角三角形; （2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知 b 条件a2 +b2 ≠ c2矛盾；（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三 C
角形.
c
a
B
探究发现
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为： (1)先假设结论的反面是正确的; (2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。
以考虑用反证法.
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A',
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一

华师大版八年级数学上册第十四章勾股定理PPT教学课件全套

解：在 Rt△ABC 中，斜边不确定，这就需要分情况讨论：若 AB 是斜边，则 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289，从而 AB＝17；若 AB 不是斜边，由 AC＞BC，知 AC 为斜边，此时 AC2 ＝AB2＋BC2，即 AB2＝AC2－BC2＝152－82＝161，从而 AB ＝ 161. 综上所述，AB 边的长为 17 或 161.
图 14－1－3
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
重难互动探究
探究问题一理解勾股定理 (1)求出如图 14－1－4 所示直角三角形中未知边的长度； (2)在直角三角形 ABC 中， ∠C ＝ 90°， BC ＝ 12， AC ＝ 9，求 AB 的长； (3)已知：图 14－1－5 的正方形是以直角三角形的边长为边的正方形，那么正方形 A 的面积是多少？ (4)已知：图 14－1－6 的正方形是以直角三角形的边长为边的正方形，那么正方形 B 的边长是多少？
图 14－1－4
图 14－1－5
图 14－1－6
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
解：(1)如图 14－1－4，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝15， BC＝8.由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289， ∴ AB＝17. (2)∵∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9 ，∴ AB2＝BC2 ＋AC2＝122＋92＝225, ∴AB＝15. (3) 由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方形的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 A 的面积是 37＋63＝100. (4)由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方形的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 B 的面积是 100－36＝64，所以边长是 8.

华东师大版八年级上册数学课件：14.1 勾股定理最新课件

锐角三角形
（，13 直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所对的角是什么角。
6cm
7cm
5cm ⑴
7cm
10cm
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
52 ++ 62> 72 最长边所对的角
❖ AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
❖ AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
C
A
C
A
BC
A B
B
归纳应用方法：
用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
△ABC中
①、确定最大边（最大边c所对的角是最大角）
②、验证：c2与a2+b2是否相等若 c2 == a2 ++ b2则△ABC是以∠C=90°的直角三角形
Ca
B C′ a
B′
证明：我们作Rt△A′B′C′，使A′C′=AC，B′C′=BC
在 Rt△A′B′C′中根据勾股定理有
A B 2=A C 2+B C 2
∵ BC = a, AC = b
\ AB2 = a2 + b2 = c2 AB = c
ABC≌ ABC
C= C =90
知识要点勾股定理的逆定理：
所对的直角边是斜边的一半； (6)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半,
那么它所对的锐角是30°。反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
直角三角形的判定 X
思考:
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；

华师大版初中数学八年级上册14.1勾股定理第一课时课件 (共15张PPT)

教师寄语
----李老师与同学们共勉
创设情景
它标志着我国古代数学的成就！
弦图
这个弦图里由那些基本图形组成？它蕴涵了怎样的数学知识呢？你想知道些什么呢？
探索新知
观察图1-1，着色的三个正方形的面积，然后思考他们之间的面积有什么样的数量关系。 9 个小方格正方形A中含有___ 9 个单位面即A的面积是____ 积； 9 个小方正方形B中含有____ 9 个单格，即B的面积是____ 位面积； 18 个小方正方形C中含有____ 格，即C的面积是____ 18 个单位面积；
直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方。
3、应用勾股定理解决生活中实际问题
分类作业促进发展
必做题：教材P111习题1、2题
同步练习（直角三角形三边关系）
选做题：利用我们今天所学的知识设计一个图案
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。—毕达哥拉斯
索
11/1/2018
数学世界
两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此学派，他们首先发现了勾股定理，因此在在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年年希腊曾经发行了一枚纪念票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
A
C
B
图1-5
图1-6
勾股定理
勾
a
弦c
股 b
我们发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a、b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么一定有a2+ b2= c2 这种关系我们称为勾股定理。

华师大版初中八年级数学上册第14章《勾股定理》PPT课件

D
A
B
图1
CD
13
C
5
4
12
A3 B
图2
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.
例4 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于
1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由
x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m.
课堂小结
认识勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
第14章勾股定理
14.1 勾股定理第2课时
学习目标
情境引入
1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）
A 2 E 2 D △FCB均为直角三角形. 1 F 由勾股定理，知
4
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
3 BF2=32+42=25，
B
4
C ∴BE2+EF2=BF2. ∴ △BEF是直角三角形.
课堂小结
一定是直角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）
有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆

+14.1.1第1课时+勾股定理+课件++2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

上述这种验证勾股定理的方法是面积法.
小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.
巩固练习
1.画出两条直角边分别为5cm、12cm为直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长度，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
解：如图.
A
13 5
C
Hale Waihona Puke 12B巩固练习
角形三边关系
BC2 + AC2 = AB2
掌握新知
分析：
方法1：把 R 看作是四个直角三角形的面积+ 小正方形面积. 方法2：把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
R Q
P
R
Q
P
R Q
P
R
Q
P
掌握新知
小结：由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有a2 + b2 = c2. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）.
3.勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2.
巩固练习
例2 如图是赵爽弦图的示意图，它由4个全等的直角
三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方. 其中： S大正方形＝c2
c b
S小正方形＝(b-a)2 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
a b-a
即 c2=4×1 ab+(b-a)2, 2
c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2

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(1) 若a = 6, c = 10, 则 b =
8
b
c
a
C
B
(2)若 b = 6 2 , a = 6 2 , 则c = 4
小试牛刀
1、已知Rt△ABC中，∠C=90°. （1）若c= 10，b = 8，则a = . （2）若BC=2，AC=6，则AB= 。 2、若一个直角三角形的三边长分别为 3，4， x，则x＝ .
c =a + b
b
c
a2=c2－b2
b2 =c2-a2
2
2
a c b
2
C
b= c2-a2
2
a
B
c a b
现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧！
c a
b
S大正方形＝c2 S小正方形＝（b-a）2 S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形
1 即：c 2=4 ab+(b-a) 2 2 C2=2ab+a2-2ab+b2
八年级数学（上册）• 华东师大版
勾股定理
新课引入
2005年2月15日中午，吉林中百商厦三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？
它标志着我国古代数学的成就！
这个图形里到底蕴涵了什么样博大精深的知识呢？
（2）（3）
做一做
你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流。
A B
图1-3
C
C
（1）观察图 1-3、图1-4，并填写右表：
幻灯片 9
A
B
图1-4 A的面积 B的面积 C的面积（单位面积）（单位面积）（单位面积）
图1-3
图1-4
16
4
9
9
25
13
三个正方形 A，B，C的面积之间有什么关系？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
a b c
b
即直角三角形两直角边的平方和等 A 于斜边的平方。
AC BC AB
2 2
2
勾
C
弦
股
B
A
勾股定理给出了直角三角形三边B
C
C
A
SA+SB=SC
B
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现
A B
图1-3
C
C
A
直角三角形三边 B 长度之间存在什图1-4 么关系吗？（3）分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
一定要慎重哦！
想一想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
A D
解： ∵ AB2 BC2
46 58 5480
2
2
B
74 5476
2
2
C
∴ AC≈74 AC 74 荧屏对角线大约为74厘米售货员没搞错 ∴
弦图
实验操作
1、观察图中用阴影画出的三个正方形,你能从中得出什么结论?
（1）观察图1-1
C A B 图1-1 A B
正方形A中含有 9 个小方格，即A的面积是 9 个单位面积。
C
正方形B的面积是
9 个单位面积。
正方形C的面积是
图1-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。 1 2 3
2
小结
说说这节课你有什么收获？ 1、这节课我的收获是——； 2、我最感兴趣的地方是——； 3、我想进一步研究的问题是— ——；
作业
一、P6 习题1.1 第1、2、3、4题二、准备4张全等的直角三角形纸片
a
c
b
再见

弦图

2 2 a +b
=
2 c
拼图展示
问题解决
1、让学生解决开始上课前提出的问题，前后呼应，让学生体会到成功的快乐 A 三楼云梯
C
B
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比一比看看谁算得快！
5 8 17
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
比一比，看谁做得快
如图，在Rt△ABC中, ∠C = 90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、cA