《勾股定理的应用》勾股定理PPT优秀课件
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勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
勾股定理的应用-课件
02
在实际应用中，可以利用勾股定 理来检验一个三角形是否为直角 三角形，从而确定角度和边长之 间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角 形的一组边长满足勾股定理，则这个 三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判 断一个三角形的角度和边长是否满足 直角三角形的条件，从而确定其是否 为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
感谢观看
确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是 否为直角三角形，只需验证三边关系 是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三 角形的稳定性，因为只有直角三角形 满足勾股定理，所以只有直角三角形 是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以 使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于 计算气象气球上升的高度和速度 ，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解 代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些 与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确 到达目的地。
在实际应用中，可以利用勾股定 理来检验一个三角形是否为直角 三角形，从而确定角度和边长之 间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角 形的一组边长满足勾股定理，则这个 三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判 断一个三角形的角度和边长是否满足 直角三角形的条件，从而确定其是否 为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
感谢观看
确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是 否为直角三角形，只需验证三边关系 是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三 角形的稳定性，因为只有直角三角形 满足勾股定理，所以只有直角三角形 是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以 使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于 计算气象气球上升的高度和速度 ，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解 代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些 与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确 到达目的地。
勾股定理的应用课件
勾股定理的发展
在后来的几千年中，勾股定理经历了许多数学家的研究和证明，不断得到完善和发展。如今， 勾股定理已经成为中学数学课程中的重要内容之一，也是数学竞赛中的常见考点之一。
勾股定理的证明方法
基础证明方法
勾股定理可以通过多种方法进行证明，其中最基础的方法是利用相似三角形的性质进行证明。此外，还有利用代 数方法、微积分方法和几何方法等证明方法。
03 结构分析
在建筑结构分析中，勾股定理用于计算结构的承 载力和稳定性，确保建筑物的安全可靠。
航空航天领域中的应用
01 飞机设计
在飞机设计中，勾股定理用于计算机翼的弯度和 长度，以及机身的垂直度和水平度。
02 航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定卫星轨道的 参数和火箭发射角度等。
03 导航定位
物理学领域
在物理学中，勾股定理也具有广泛的应用。例如，在力学中，勾股定理可以用于解决与力的合 成和分解相关的问题。在电磁学中，勾股定理可用于计算电磁波的传播路径和强度。 物理学中的许多现象和规律都与勾股定理有关，如光的反射和折射、电场和磁场等。
日常生活中的应用
勾股定理在日常生活中也有很多应用，如建筑测量、航海导 航、道路桥梁设计等。通过勾股定理可以确定建筑物的垂直 度和水平度，保证建筑物的安全性和稳定性。
勾股定理在日常生活中的应用案例
家具制作
在家具制作中，勾股定理 用于确定家具的尺寸和比 例，保证家具的美观和实 用性。
航海导航
在航海导航中，勾股定理 用于计算航行距离和方向 ，确保航行的准确性和安 全性。
音乐艺术
在音乐艺术中，勾股定理 用于确定音符的频率和音 高，保证音乐的和谐性和 美感。
如何提高勾股定理的应用能
勾股定理的表述
在后来的几千年中，勾股定理经历了许多数学家的研究和证明，不断得到完善和发展。如今， 勾股定理已经成为中学数学课程中的重要内容之一，也是数学竞赛中的常见考点之一。
勾股定理的证明方法
基础证明方法
勾股定理可以通过多种方法进行证明，其中最基础的方法是利用相似三角形的性质进行证明。此外，还有利用代 数方法、微积分方法和几何方法等证明方法。
03 结构分析
在建筑结构分析中，勾股定理用于计算结构的承 载力和稳定性，确保建筑物的安全可靠。
航空航天领域中的应用
01 飞机设计
在飞机设计中，勾股定理用于计算机翼的弯度和 长度，以及机身的垂直度和水平度。
02 航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定卫星轨道的 参数和火箭发射角度等。
03 导航定位
物理学领域
在物理学中，勾股定理也具有广泛的应用。例如，在力学中，勾股定理可以用于解决与力的合 成和分解相关的问题。在电磁学中，勾股定理可用于计算电磁波的传播路径和强度。 物理学中的许多现象和规律都与勾股定理有关，如光的反射和折射、电场和磁场等。
日常生活中的应用
勾股定理在日常生活中也有很多应用，如建筑测量、航海导 航、道路桥梁设计等。通过勾股定理可以确定建筑物的垂直 度和水平度，保证建筑物的安全性和稳定性。
勾股定理在日常生活中的应用案例
家具制作
在家具制作中，勾股定理 用于确定家具的尺寸和比 例，保证家具的美观和实 用性。
航海导航
在航海导航中，勾股定理 用于计算航行距离和方向 ，确保航行的准确性和安 全性。
音乐艺术
在音乐艺术中，勾股定理 用于确定音符的频率和音 高，保证音乐的和谐性和 美感。
如何提高勾股定理的应用能
勾股定理的表述
勾股定理的应用ppt
勾股定理公式
勾股定理的公式是 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边长度，c 是斜边长度。
勾股定理的历史背景
毕达哥拉斯学派
欧几里得
勾股定理最早可以追溯到公元前6世 纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派通 过观察和实验发现了这一关系。
古希腊数学家欧几里得在《几何原本》 中详细证明了勾股定理，并给出了多 种证明方法。
勾股定理在社会科学领域的应用
城市规划
在城市规划领域，勾股定理可以用于城市布 局和道路交通规划，例如在城市道路网规划 中，通过勾股定理计算道路之间的距离和角 度，优化城市交通网络布局。
建筑学
在建筑学领域，勾股定理可以用于建筑设计、 结构和美学等方面，例如在建筑设计时，通 过勾股定理计算建筑物的比例和角度，实现 建筑的美学和功能性统一。
游戏开发
在游戏开发中，勾股定理可用于实现物理引擎，如计算物体的碰撞、重力加速度等参数。
05
勾股定理的扩展应用
勾股定理在金融领域的应用
金融投资
勾股定理可以用于金融投资领域，通过分析股票、债券等金融产品的价格波动和相关性，预测市场走势，制定投 资策略。
风险管理
在金融风险管理方面，勾股定理可以用于评估投资组合的风险，通过计算不同资产之间的相关性，合理配置资产， 降低投资风险。
勾股定理在信息科学领域的应用
数据处理
在信息科学领域，勾股定理可以用于数据处理和分析，例如在图像处理中，通过勾股定理计算像素之 间的距离和角度，实现图像的缩放、旋转和平移等操作。
通信技术
在通信技术领域，勾股定理可以用于信号传输和数据处理，例如在无线通信中，通过勾股定理计算信 号的传播距离和衰减程度，优化信号传输质量和覆盖范围。
勾股定理的公式是 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边长度，c 是斜边长度。
勾股定理的历史背景
毕达哥拉斯学派
欧几里得
勾股定理最早可以追溯到公元前6世 纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派通 过观察和实验发现了这一关系。
古希腊数学家欧几里得在《几何原本》 中详细证明了勾股定理，并给出了多 种证明方法。
勾股定理在社会科学领域的应用
城市规划
在城市规划领域，勾股定理可以用于城市布 局和道路交通规划，例如在城市道路网规划 中，通过勾股定理计算道路之间的距离和角 度，优化城市交通网络布局。
建筑学
在建筑学领域，勾股定理可以用于建筑设计、 结构和美学等方面，例如在建筑设计时，通 过勾股定理计算建筑物的比例和角度，实现 建筑的美学和功能性统一。
游戏开发
在游戏开发中，勾股定理可用于实现物理引擎，如计算物体的碰撞、重力加速度等参数。
05
勾股定理的扩展应用
勾股定理在金融领域的应用
金融投资
勾股定理可以用于金融投资领域，通过分析股票、债券等金融产品的价格波动和相关性，预测市场走势，制定投 资策略。
风险管理
在金融风险管理方面，勾股定理可以用于评估投资组合的风险，通过计算不同资产之间的相关性，合理配置资产， 降低投资风险。
勾股定理在信息科学领域的应用
数据处理
在信息科学领域，勾股定理可以用于数据处理和分析，例如在图像处理中，通过勾股定理计算像素之 间的距离和角度，实现图像的缩放、旋转和平移等操作。
通信技术
在通信技术领域，勾股定理可以用于信号传输和数据处理，例如在无线通信中，通过勾股定理计算信 号的传播距离和衰减程度，优化信号传输质量和覆盖范围。
勾股定理的应用课件
利用勾股定理确定卫星轨 道参数，提高卫星通信的 覆盖范围和信号质量。
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
广播信号
在广播信号传输中，勾股 定理用于优化信号传输路 径，提高广播信号的覆盖 范围和清晰度。
勾股定理在日常生活中的应用
航海
在航海中，勾股定理用于确定航行方向 和距离，保证船舶能够准确到达目的地 。
VS
测量
在日常生活中，勾股定理用于测量物体的 高度、长度等参数，方便人们进行各种实 际操作。
勾股定理的应用 ppt课件
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的应用场景 • 勾股定理的实际应用案例 • 勾股定理的扩展应用 • 总结与展望
01
勾股定理的介绍
勾股定理的定义
勾股定理是几何学中的基本定理之一 ，它描述了直角三角形三边的关系。 具体来说，在一个直角三角形中，直 角边的平方和等于斜边的平方。
导航系统
利用勾股定理计算飞行器的位置和速 度，提高航空和航天导航的精度和可 靠性。
航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定 火箭的发射角度和卫星轨道的参数， 以确保航天器能够成功进入预定轨道 。
通信工程中的应用
电波传播
在通信工程中，勾股定理 用于计算电波传播的距离 和范围，优化信号传输质 量。
卫星通信
02
勾股定理的应用场景
几何学领域
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重 要工具，通过已知的两边长度， 可以判断是否为直角三角形，并 进一步求出第三边的长度。
解决几何问题
勾股定理在解决几何问题中有着 广泛的应用，如求三角形面积、 判断三角形的形状、计算最短路 径等。
物理学领域
力的合成与分解
在物理学中，勾股定理常用于力的合 成与分解，特别是在分析斜面上的物 体受力情况时，通过勾股定理可以确 定力的方向和大小。
勾股定理应用举例ppt课件
24m，高为
6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为
.
选做题
如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别 为12cm ,8cm,30cm，在AB中点C处有一滴蜜 糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，则最短路程 是多少？
A
D
.C
30
B
8 12
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
数学思想：
本节课充分利用了数学中的转化思想，即将 立体图形转化为平面图形。
七、当堂检测，达标反馈 为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
分层检测 ☞
必做题
1、有一圆柱体如图，高8cm，底面半径5cm，A处 有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最 短距离（π取值为3）
五、知识总结
这节课你学习了什么内容？
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
谈谈这节课你的收获
这节课主要是应用勾股定理来解决路程最短问题。 数学方法：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之 间线段最短”的性质找出最短距离，构造直角三 角形，运用勾股定理解决问题。
最短距离问题小结
（1）将立体图形转化为平面图形，画出适当的示意图 。 （2）找准点的位置，根据“两点之间，线段最短” 确定行
走路线，找到最短路径。
（3）以最短路径为边构造直角三角形，利用勾股定理求解。
B
6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为
.
选做题
如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别 为12cm ,8cm,30cm，在AB中点C处有一滴蜜 糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，则最短路程 是多少？
A
D
.C
30
B
8 12
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
数学思想：
本节课充分利用了数学中的转化思想，即将 立体图形转化为平面图形。
七、当堂检测，达标反馈 为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
分层检测 ☞
必做题
1、有一圆柱体如图，高8cm，底面半径5cm，A处 有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最 短距离（π取值为3）
五、知识总结
这节课你学习了什么内容？
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
谈谈这节课你的收获
这节课主要是应用勾股定理来解决路程最短问题。 数学方法：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之 间线段最短”的性质找出最短距离，构造直角三 角形，运用勾股定理解决问题。
最短距离问题小结
（1）将立体图形转化为平面图形，画出适当的示意图 。 （2）找准点的位置，根据“两点之间，线段最短” 确定行
走路线，找到最短路径。
（3）以最短路径为边构造直角三角形，利用勾股定理求解。
B
勾股定理的应用课件(共26张PPT)
OB ________2_.7__5___1_._6_5_8_____.
C
在Rt△COD中， OD2 _C__D_2___O_C__2___3_2 __2_2___5___,
OD ________5_____2__.2__3_6_____.
O
B
D
BD _O_D_－__O_B__=__2_._2_3_6_－__1_._6_5_8__≈_0_._5_8___ .
(2)、(3)两题结果精确到0.1
ac
b
C
a2 b2 c2
A
小试身手 ：☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
小试身手 ：☞
如图，学校有一块长方形花圃，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
勾股定理的应用
知识回忆 ：☞
勾股定理及其数学语言表达式:
直角三角形两直角
边a、b的平方和等于斜
B
边c的平方。
ac
b
C
a2 b2 c2
A
知识回忆 ：☞
在△ABC中，∠C=90°.
(1)若b=8，c=10，则a= 6
;
(2)若a=5，b=10，则c = 11.2 ;
B
(3)若a=2，∠A=30° ，则 b = 3.5 ;
C
:BC
:AB=
1:1:√2 . 若AB=8则AC= 4 2 .
又若CD⊥AB于D,则CD= 4√2 .
B
D
华师版数学八年级上册 14.2勾股定理的应用 课件(共19张ppt)
B NhomakorabeaA
新知探究
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画 几条路线，你觉得哪条路线最短？
B
B
B
A 方案①
A 方案②
A 方案③
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到
点B的最短路线是什么？你画对了吗？
B
B
A B
A
A
因为两点之间线段最短， 所以方案③的路线最短.
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱 侧面爬行的最短路程是多少？
第14章 勾股定理
14.2 勾股定理的应用
学习目标
➢ 能解决与勾股定理有关的问题：立体图形中最 短路径问题、网格问题等.
➢ 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型， 并能用勾股定理解决简单的实际问题，培养数 学应用意识.
情境引入
如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长 为18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃 到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬 行的最短路程是多少？
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的 长也为x m，AE的长度为（x-1）m.
CD
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
A
解得x=5.
EB
故滑道AC的长度为5 m.
感谢观看！
例2 如图，在公路AB旁有一危楼 C需要爆破，已知点C与公路上的 停靠站A的距离为300米，与公路 上另一停靠站B的距离为400米， 且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围250米范 围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否 因有危险而需要暂时封锁？
新知探究
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画 几条路线，你觉得哪条路线最短？
B
B
B
A 方案①
A 方案②
A 方案③
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到
点B的最短路线是什么？你画对了吗？
B
B
A B
A
A
因为两点之间线段最短， 所以方案③的路线最短.
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱 侧面爬行的最短路程是多少？
第14章 勾股定理
14.2 勾股定理的应用
学习目标
➢ 能解决与勾股定理有关的问题：立体图形中最 短路径问题、网格问题等.
➢ 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型， 并能用勾股定理解决简单的实际问题，培养数 学应用意识.
情境引入
如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长 为18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃 到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬 行的最短路程是多少？
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的 长也为x m，AE的长度为（x-1）m.
CD
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
A
解得x=5.
EB
故滑道AC的长度为5 m.
感谢观看！
例2 如图，在公路AB旁有一危楼 C需要爆破，已知点C与公路上的 停靠站A的距离为300米，与公路 上另一停靠站B的距离为400米， 且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围250米范 围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否 因有危险而需要暂时封锁？
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D1 A1 D
A
D1
4
C1
1
C1 1 B1 C 2 B
A1
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
D D1 B1
4
C1
2
C1
1
①
D
C
4
②
A B 2
A
B
2
C
③
A 1 A1
4
B1
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD 证明：过A作AE⊥BC于E D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) ∵AB=AC，∴BE=CE
41 (2)若a=9,b=40,则c=______. 2.在 ABC中, C=90°,若 AC=6,CB=8,则ABC面积为 24 斜边为上的高为______. 4.8 _____,
3．若等腰三角形中相等的两边长 为10cm,第三边长为16 cm,那么第 三边上的高为 ( D) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
解：过B点向南作垂线， 连结AB，可得Rt△ABC 由题意可知：AC=6千米， BC=8千米 根据勾股定理 AB2=AC2＋BC2 ＝62＋82＝100 ∴AB=10千米 A 8 C 1 6 3 2 B
11、如图，已知：CD⊥AB于D， 且有 AC 2 AD AB 求证：△ACB为直角三角形
在R t △ABC中，根据勾股定 理FC2=FB2＋BC2
D
E
C
则有x2=(9－x)2＋32 解得x=5 A 同理可得DE=4 ∴GF=1 ∴以EF为边的正方形的面积 =EG2＋GF2=32＋12=10
G
F
B
11、假期中，王强和同学到某海岛上去玩 探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往 东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后 又往西走3千米，在折向北走到6千米处往 东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆 点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
A E
C
BE2=BC2+EC2 x2=62＋ (10－x)2 解得x=6.8 ∴EC=10－6.8=3.2cm
例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距 离是多少？
C
20 A 10 15
解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × 1 2 = 12，
由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶 点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若 AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正 方形面积。
解：由已知AF=FC 设AF=x，则FB=9－x
回顾与思考
-----------
勾股定理
1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
2、请你举一个生活中的实例，并应用勾股定理解决它。
课堂练习： 一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12, 则BC=13 ( )
2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则 a=____,b=___. 6 8
A A
解：台阶的展开图如图：连结AB 在Rt△ABC中根据勾股定理 AB2=BC2＋AC2 ＝552＋482＝5329 ∴AB=73cm
B
C
B
8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D B 解：连结BE
由已知可知：DE是AB的中垂线， ∴AE=BE 设AE=xcm，则EC=(10－x)cm 在Rt△ABC 中，根据勾股定理：
B
E
C
= DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD
5、已角形三边的长， 25 则这个数可以是——
6、一个直角三角形的三边长是不大于１ 24 ０的三个连续偶数，则它的周长是—— ——
7 .观察下列表格：
猜想 列举 3、4、5 5、12、13 7、24、25
……
32=4+5 52=12+13 72=24+25 ……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= 84 ，c= 85
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？
5 B
B
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有 两种情况(如图①② ),由勾股定理可求 得图1中AB最短.
B
5
①
20
②
15
20
A 10
A 10
15
AB =√202+152 =√625
AB =√102+252 =√725
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
C
B
A
D
9 ．一艘轮船以 20 千米 / 时的速度离开港口向 东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15 千米 / 时的速度向东南方向航行，它们离开港 口2小时后相距多少千米？
10 ．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12， AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
A
D1
4
C1
1
C1 1 B1 C 2 B
A1
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
D D1 B1
4
C1
2
C1
1
①
D
C
4
②
A B 2
A
B
2
C
③
A 1 A1
4
B1
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD 证明：过A作AE⊥BC于E D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) ∵AB=AC，∴BE=CE
41 (2)若a=9,b=40,则c=______. 2.在 ABC中, C=90°,若 AC=6,CB=8,则ABC面积为 24 斜边为上的高为______. 4.8 _____,
3．若等腰三角形中相等的两边长 为10cm,第三边长为16 cm,那么第 三边上的高为 ( D) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
解：过B点向南作垂线， 连结AB，可得Rt△ABC 由题意可知：AC=6千米， BC=8千米 根据勾股定理 AB2=AC2＋BC2 ＝62＋82＝100 ∴AB=10千米 A 8 C 1 6 3 2 B
11、如图，已知：CD⊥AB于D， 且有 AC 2 AD AB 求证：△ACB为直角三角形
在R t △ABC中，根据勾股定 理FC2=FB2＋BC2
D
E
C
则有x2=(9－x)2＋32 解得x=5 A 同理可得DE=4 ∴GF=1 ∴以EF为边的正方形的面积 =EG2＋GF2=32＋12=10
G
F
B
11、假期中，王强和同学到某海岛上去玩 探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往 东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后 又往西走3千米，在折向北走到6千米处往 东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆 点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
A E
C
BE2=BC2+EC2 x2=62＋ (10－x)2 解得x=6.8 ∴EC=10－6.8=3.2cm
例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距 离是多少？
C
20 A 10 15
解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × 1 2 = 12，
由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶 点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若 AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正 方形面积。
解：由已知AF=FC 设AF=x，则FB=9－x
回顾与思考
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勾股定理
1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
2、请你举一个生活中的实例，并应用勾股定理解决它。
课堂练习： 一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12, 则BC=13 ( )
2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则 a=____,b=___. 6 8
A A
解：台阶的展开图如图：连结AB 在Rt△ABC中根据勾股定理 AB2=BC2＋AC2 ＝552＋482＝5329 ∴AB=73cm
B
C
B
8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D B 解：连结BE
由已知可知：DE是AB的中垂线， ∴AE=BE 设AE=xcm，则EC=(10－x)cm 在Rt△ABC 中，根据勾股定理：
B
E
C
= DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD
5、已角形三边的长， 25 则这个数可以是——
6、一个直角三角形的三边长是不大于１ 24 ０的三个连续偶数，则它的周长是—— ——
7 .观察下列表格：
猜想 列举 3、4、5 5、12、13 7、24、25
……
32=4+5 52=12+13 72=24+25 ……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= 84 ，c= 85
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？
5 B
B
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有 两种情况(如图①② ),由勾股定理可求 得图1中AB最短.
B
5
①
20
②
15
20
A 10
A 10
15
AB =√202+152 =√625
AB =√102+252 =√725
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
C
B
A
D
9 ．一艘轮船以 20 千米 / 时的速度离开港口向 东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15 千米 / 时的速度向东南方向航行，它们离开港 口2小时后相距多少千米？
10 ．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12， AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)