勾股定理的证明方法和相关故事
勾股定理的证明方法和相关故事
04
勾股定理的故事和传说
毕达哥拉斯与勾股定理的故事
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家和哲学 家，被认为是勾股定理的创始人。传说他 通过观察铁匠铺打铁的声音，发现了音符 与数的关系，进一步推导出勾股定理。
毕达哥拉斯学派认为，数是万物的本原， 自然界的秩序和原理都可以用数来解释。 他们通过大量的实践和证明，不断完善勾 股定理，并将其广泛应用于各个领域。
勾股定理的推广和变种
勾股定理的推广包括勾股定理的逆定理、勾股定理的推广 形式等。这些推广形式可以用于解决更广泛的问题，如确 定三角形的形状、计算三角形的面积等。
勾股定理的变种包括勾股定理的特殊形式、勾股定理的变 形等。这些变种形式可以用于解决一些特殊问题，如确定 特殊三角形的各边长度、计算特殊三角形的面积等。
证明方法基于数论和音乐理论，将数 学与哲学、音乐相结合，展现了毕达 哥拉斯学派的独特思想。
赵爽证明方法
赵爽是中国古代数学家，他在《周髀算经》中给出了勾股定理的证明，使用了“ 出入相补”原理。
赵爽的证明方法简单易懂，适合初学者理解，对中国古代数学的发展产生了重要 影响。
反证法证明方法
反证法是一种间接证明方法，通过否定结论来推导出矛盾， 从而证明原命题成立。
使用反证法证明勾股定理时，首先假设三角形不是直角三角 形，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
03
勾股定理的应用和推广
勾股定理在几何学中的应用
勾股定理在平面几何中有着广 泛的应用，如确定直角三角形 各边的长度、计算直角三角形 的面积等。
在三维几何中，勾股定理可以 用于确定空间直角三角形的各 边长度，以及计算其体积和表 面积。
《几何原本》对后世的数学发展 产生了深远的影响，成为数学教
勾股定理的证明方法和相关故事
证明方法1
• 这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是 数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《毕达哥 拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的 泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本 三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股 定理的证明（参见循环论证）。 证法1 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边 长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的 一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过点C作 AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线 上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长 为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的 正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A^2+B^2=C^2.
勾股数组
• 满足勾股定理方程 a^2+b^2=c^2;的正整 勾股定 理 • 数组(a，b，c)。例如(3，4， 5)就是一组勾股数组。 由 于方程中含有3个未知数，故勾 股数组有无数多组。 勾股 数组的通式： a=M^2N^2 b=2MN c=M^2+N^2 (M>N,M,N 为正整数）
勾股定理的推导和证明方法
勾股定理的推导和证明方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形边长之间的关系。
这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学等。
本文将介绍勾股定理的推导和证明方法。
勾股定理的推导始于古希腊，最著名的是毕达哥拉斯定理，即a²+b²=c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
以下是勾股定理的推导和证明方法的详细解析。
1. 推导过程：假设存在一个直角三角形，其中直角边分别为a和b，斜边为c。
用几何方法进行推导如下：首先，假设一个正方形，边长为a+b，将其平分成两个等腰直角三角形。
如下图所示：（图）根据正方形的性质，两个等腰直角三角形的面积相等。
因此，每个等腰直角三角形的面积为(a+b)²/4。
接下来，我们将这个正方形旋转，并将两个等腰直角三角形组合在一起，形成一个更大的正方形，边长为c。
如下图所示：（图）根据旋转后的正方形的性质，其面积为c²。
而这个正方形由两个等腰直角三角形组成，因此其面积为2*(a²/2)=(a²+b²)。
综上所述，我们可以得到等式(a+b)²/4=c²，即推导出了勾股定理。
2. 证明方法：除了几何方法外，还有代数方法用于证明勾股定理。
下面我们将介绍一种基于几何方法的证明。
首先，我们假设一个直角三角形，其中直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以构造一个以c为直径的圆，如下图所示：（图）根据圆的性质，半径为c/2的圆的面积为π(c/2)²=πc²/4。
另一方面，根据直角三角形的面积公式，可以得到三角形的面积为ab/2。
现在我们将这个圆分成四个相等的部分，并按下图进行排列：（图）由于四个部分的面积相等，我们可以得到每个部分的面积为πc²/16。
将三角形面积和圆的四个部分的面积相比较，可以得到ab/2=πc²/16。
进一步化简可得a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法和相关故事
证明方法1
•
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是
数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott
Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《毕达哥
拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的
泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本
毕达哥拉斯树
加菲尔德证明勾股定理的故事
• 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外 ，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是 当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着 ，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚 精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨 。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去， 想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加 菲尔德 便问他们在干什么？那个小男孩头也不 抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边 分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答 道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边 分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多 少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方 一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先 生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞， 无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步， 立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反 复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简 洁的证明方法。 如下： 解：在网格内，以 两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为 边长的的正方形面积。 勾股定理的内容：直角 三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a^2+b^2=c^2; 说明：我国古代学者把直角三 角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股” ，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理 ”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则 斜边c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用
勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即整理得 .【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.222c b a =+ab 21∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于.∴ . ∴ .【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ,∠HEF = 90º.()2b a +()22214c ab b a +⨯=+222c b a =+ab 21∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于.∴ .∴ .【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于.∴ .∴ .【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P.∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED ，()2a b -()22214c a b ab =-+⨯222c b a =+ab 21221c ()221b a +()222121221c ab b a +⨯=+222c b a =+∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.设多边形GHCBE 的面积为S ，则, ∴ .【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P. 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，,21222ab S b a ⨯+=+abS c 2122⨯+=222c b a =+∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L.∵ AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =.同理可证，矩形MLEB 的面积 =.∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积221a 2a 2b∴ ，即 .【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABCa 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90∠CAD = ∠BAC ，∴ ΔADC ∽ ΔACB.AD ∶AC = AC ∶AB ，即 .同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 .∴ ，即 .【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ DH = BC = a ，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a.222b ac +=222c b a =+AB AD AC ∙=2AB BD BC ∙=2()222AB AB DB AD BC AC =∙+=+222c b a =+∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）.用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为①∵=，，∴ = . ②把②代入①，得= = .∴ .【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.543212S S S S S c ++++=()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438abb 212-985S S S +=824321S ab b S S --=+812S S b --98812212S S S S b S S c ++--++=922S S b ++22a b +222c b a =+∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º，∴ ∠TBH = ∠ABE.又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.∴ HT = AE = a.∴ GH = GT ―HT = b ―a.又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 .过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 .由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ，∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即.∵ ，，，又∵ ，，，27S S =58S S =64S S =543212S S S S S c ++++=612S S a +=8732S S S b ++=27S S =58S S =64S S =∴ ==，即 .【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c. 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=== ，即，∴ .【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有，∵ AB = DC = c ，AC = BD = b ，∴ ，即 8736122S S S S S b a++++=+52341S S S S S ++++2c 222c b a =+ADAE AC ∙=2()()BD AB BE AB -+()()a c a c -+22a c -222a cb -=222c b a =+BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙222AC BC AB +=22b ac +=a b aa B ACD c∴ .【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c. 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r.∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ = = r + r = 2r,即 ，∴ .∴ ，即 ，∵ ，∴ ，又∵ = = == ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ .【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设，即假设 ，则由==可知 ，或者 . 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：222c b a =+()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+CD CE +r c b a 2=-+c r b a +=+2()()222c r b a +=+()222242c rc r ab b a ++=++ab S ABC 21=∆ABC S ab ∆=42AOC BOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++=br ar cr 212121++()r c b a ++21()r c c r ++221rc r +2()ABC S rc r ∆=+442()ab rc r 242=+22222c ab ab b a +=++222c b a =+222c b a ≠+222AB BC AC ≠+AB AB AB ∙=2()BD AD AB +BDAB AD AB ∙+∙AD AB AC ∙≠2BD AB BC ∙≠2c b a r r r O F D B ABC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：∠ADC ≠∠ACB.在ΔCDB 和ΔACB ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则∠CDB ≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾.所以，的假设不能成立.∴ .【证法15】（辛卜松证明）222AB BC AC ≠+222c b a =+ab 21ab 21ab 21ab 212c2b 2a B C b a b a b a b a b ac c c cb ab ab b a b a设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 =.∴ ,∴ .【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c.∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ―a = b.又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c.∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形.∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，∴ ∠BAF=∠DAE.连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，()ab b a b a 2222++=+()22214c ab b a +⨯=+22c ab +22222c ab ab b a +=++222c b a =+()a b +∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ，∴ ΔABF ≌ ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上.在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ，∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.∵ ， ， ， ，∴ ===∴ .勾股定理在实际生活中的应用勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数54322S S S S c +++=6212S S S b ++=732S S a +=76451S S S S S +===6217322SS S S S b a ++++=+()76132S S S S S ++++5432SS S S +++2c222c b a =+量关系，是我们在直角三角形中解决边长计算问题的重要理论依据，同时勾股定理在我们实际生活中应用也很广泛。
勾股定理发现的故事
勾股定理发现的故事
勾股定理的发现有很多故事，其中一个是这样的：
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，他发现了一种证明勾股定理的方法。
据说，他曾经在朋友家做客时，发现朋友家的砖块铺成的地面图案反映了直角三角形三边的关系。
具体来说，如果将直角三角形的两条直角边看作是正方形的对角线，那么这个正方形的面积就等于两个相邻砖块的面积之和。
这个发现启发了毕达哥拉斯证明勾股定理的方法。
在中国，商高的一段话也记载了类似的事实：“故折矩以为句广三，股修四，径隅五”。
这句话的意思是：当直角三角形的两条直角边边长分别为3和4时，斜边边长为5。
以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，并根据该典故称勾股定理为商高定理。
需要注意的是，这些故事只是传说，勾股定理的证明方法有很多种，包括毕达哥拉斯证明法、欧几里得证明法等。
勾股定理的数学史以及证明方法
勾股定理的数学史以及证明方法勾股定理是古代数学中的一项重要成就，被广泛应用于几何学和三角学中。
这一定理的数学历史可以追溯到中国、印度、巴比伦等古代文明，而最为著名的证明方法来自希腊数学家毕达哥拉斯。
一、勾股定理的数学史1.中国：据考古学家的研究，勾股定理在中国古代已经存在。
最为著名的是《周髀算经》中的一道问题，即勾股定理的特例。
这表明中国古代已经具备了勾股定理的基本概念。
2.印度：印度数学家婆罗门在《苏尔孔几何学》中给出了勾股定理的一个证明。
他利用了一个与现代证明方法相似的方法，即构造出一个与直角三角形相似的几何图形，并运用几何比例关系来证明勾股定理的成立。
3.巴比伦：巴比伦人在解决土地测量和建筑等问题时，也已使用了勾股定理。
他们发现了一个三角形的三个边长满足a²+b²=c²的关系。
4.毕达哥拉斯：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家和哲学家，他对勾股定理进行了证明，并开创了几何学的一系列研究。
毕达哥拉斯定理是勾股定理的一种特殊情况，即直角三角形中的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这一定理对几何学的发展起到了重要作用。
二、毕达哥拉斯定理的证明方法毕达哥拉斯定理的证明方法有多种，其中最为著名的是几何证明和代数证明。
1.几何证明：几何证明是最为传统的证明方法，它使用了几何图形和几何性质来证明勾股定理的成立。
证明的基本思想是构造出一个正方形，利用正方形的性质来推导出勾股定理。
这种证明方法直观清晰，易于理解，并且能够很好地展示勾股定理的几何意义。
2.代数证明：代数证明是利用代数方法来证明勾股定理。
经典的代数证明方法是毕达哥拉斯的证明，即利用了代数运算的性质来证明a²+b²=c²。
这种方法需要一定的代数知识，但能够更加严格地证明勾股定理的成立。
三、勾股定理的应用勾股定理是古代数学的一项重要成就，它被广泛应用于几何学和三角学中。
具体应用包括：1.土地测量：在土地测量和建筑设计中，勾股定理能够帮助人们计算不规则地形的面积和距离，从而指导土地的使用和开发。
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证明方法1
• 这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是 数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《毕达哥 拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的 泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本 三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股 定理的证明（参见循环论证）。 证法1 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边 长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的 一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过点C作 AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线 上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长 为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的 正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A^2+B^2=C^2.
证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）
• 如图1，Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BD是斜边AC上 的高，通过证明三角形相似则 有射影定理如下： 1）（ BD）^2;=AD·DC， （2）（ AB）^2;=AD·AC ， （3）（ BC）^2;=CD·AC 。 由 公式（2）+（3）得： （ AB）^2;+（BC） ^2;=AD·AC+CD·AC =（ AD+CD)·AC=（AC）^2;， 图1 • 即 （AB）^2;+（BC）^2;=（ AC）^2，这就是勾股定理的结 论。
证明方法4
• 作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所 示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、 CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形 ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形 MLEB的面积 ∴ 即a^2;+b^2;=c^2;
• 定理 • 如果直角三角形两直角边分 别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2 ； 即直角 三角形两直角边长的平方和等于 斜边长的平方。 古埃及人用这 样的方法画直角 • 如果三角形的三条边A，B，C满 足A^2+B^2=C^2;，还有变形 公式：AB=根号（AC^2+BC^2 ），如：一条直角边是a，另一 条直角边是b，如果a的平方与b 的平方和等于斜边c的平方那么 这个三角形是直角三角形。（称 勾股定理的逆定理）
毕达哥拉斯树
加菲尔德证明勾股定理的故事
• 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外 ，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是 当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着 ，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚 精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨 。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去， 想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加 菲尔德 便问他们在干什么？那个小男孩头也不 抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边 分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答 道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边 分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多 少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方 一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先 生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞， 无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步， 立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反 复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简 洁的证明方法。 如下： 解：在网格内，以 两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为 边长的的正方形面积。 勾股定理的内容：直角 三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a^2+b^2=c^2; 说明：我国古代学者把直角三 角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股” ，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理 ”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则 斜边c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。
证明方法3
• 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形 。 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为 边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a， EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90° ， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°， ∴G,B,I,J在同一直线上， a^2+b^2=c^2.
毕达哥拉斯树
• 毕达哥拉斯树是由毕达哥拉 斯根据勾股定理所画出来的一 个可以无限重复的图形。又因 为重复数次后 的形状好似一棵 树，所以被称为毕达哥拉斯树 。 直角三形两个直角边 平方的和等于斜边的平方。 两个相邻的小正方形面积的和 等于相邻的一个大正方形的面 积。 利用不等式 A^2+B^2≥2AB可以证明下面 的结论： 三个正方形之间 的三角形，其面积小于等于大 正方形面积的四分之一，大于 等于一个小正方形面积的二分 之一。 毕达哥拉斯树
证法5(欧几里得的证法)
• 《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证 明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其 垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正 方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形 有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积 是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘 积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为： 把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个 同等面积的长方形。 其证明如下： 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB 。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD 、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两 个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的， 同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应 的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方 形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2 。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得 《几何原本》一书第1.47节所提出的
勾股定理的证明方法和相关故事
勾股定理简介
• 勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在 外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定 理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又 称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是 最早发现这一几何宝藏的国家。 目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽 弦图，证明使用青朱出入图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用 代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直 角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。勾股定理是余弦定理的 一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯 定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作 庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定 理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏 的国家。 目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出 入图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题 的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和 斜边，那么a^2+b^2=c^2。
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