勾股定理的证明方法和相关故事
有关勾股定理证明的小故事
有关勾股定理证明的小故事
咱今儿来讲个勾股定理证明的小故事。
话说在古代，有个超级聪明的希腊人叫毕达哥拉斯。
这家伙就跟数学有不解之缘似的。
有一天呢，他在朋友家做客，人家那个地板啊，是用正方形的瓷砖铺的，一块一块整整齐齐的。
毕达哥拉斯就盯着那地板看，突然他就像发现了新大陆一样。
他看到了一个直角三角形，这个直角三角形的两条直角边正好是两块瓷砖的边，斜边呢，刚好是沿着瓷砖的对角线。
他就开始琢磨了，要是把这几个正方形的面积算一算呢？他发现呀，两条直角边对应的正方形面积之和，居然就等于斜边对应的正方形面积。
这就像是发现了一个超级神奇的宝藏密码。
然后他就开始各种研究、证明，最后得出了这个著名的勾股定理，也就是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
还有一个说法呢，是咱们中国古代的数学家也对勾股定理有深入的研究。
在三国时期，赵爽那也是个数学大神。
他为了证明勾股定理，画了一个大正方形，这个大正方形里又套着四个一样的直角三角形和一个小正方形。
他就想啊，大正方形的面积可以用两种方法算。
一种呢，就是边长乘以边长。
另一种呢，就是四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积。
通过这么一捣鼓，最后也证明了勾股定理。
你看，不管是西方的毕达哥拉斯，还是咱们东方的赵爽，都在这个勾股定理上费了不少心思，这个定理就像一座桥梁，把几何图形之间的关系连接得死死的，可神奇啦！。
勾股定理的证明与应用
勾股定理的证明与应用勾股定理是数学中的一条重要定理，它表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
本文将对勾股定理的证明方法进行探讨，并结合实际应用场景进行具体分析。
一、勾股定理的证明勾股定理最早可以追溯到中国古代。
相传，公元前11世纪的周朝时期，中国古代数学家祖冲之发现了勾股定理，并给出了一种证明方法。
他的证明方法基于图形的几何性质，被称为“割弦法”。
具体来说，首先假设有一个直角三角形，三边分别为a、b、c。
利用割弦法，我们可以得到如下等式：sin A = a / ccos A = b / c根据三角函数的定义，我们可以将上述两个等式相加：sin^2 A + cos^2 A = (a^2 / c^2) + (b^2 / c^2) = (a^2 + b^2) / c^2由于在直角三角形中，sin A 和 cos A 的平方和等于1，即 sin^2 A + cos^2 A = 1，因此可以得到：1 = (a^2 + b^2) / c^2进一步变换得：c^2 = a^2 + b^2因此，勾股定理得证。
二、勾股定理的应用勾股定理在数学和实际生活中都有广泛的应用。
下面将以几个实际场景为例，介绍勾股定理的应用。
1. 测量直角三角形的边长勾股定理可以用于测量一个直角三角形的边长。
假设我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，我们可以利用勾股定理计算出斜边的长度：c^2 = 3^2 + 4^2= 9 + 16= 25因此，斜边的长度为5。
2. 解决几何问题勾股定理在解决几何问题中有重要作用。
例如，我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果三条边的长度满足勾股定理的条件，即c^2 = a^2 + b^2，那么该三角形就是直角三角形。
3. 工程应用勾股定理在工程中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确保房间的角度为直角。
通过测量房间的两个边长，可以利用勾股定理来判断是否满足直角条件。
勾股定理的证明方式和相关故事
勾股定理
a b c a2+b2=c2
数学家毕达哥拉斯的故事 相传2005 年前，毕达哥拉斯有一次在朋 友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中 反映了直角三角形三边的某中数量关系。
依据科学理论的证实：一
3世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三角形 如下拼成一个中空的正方形，你会计算大正方形的面 积吗？
c b a c2 = (a − b)2 + 4(½ab) = a2 − 2ab + b2 + 2ab
赵爽弦图
∴ c2 = a2 + b2
依据科学理论的证实：二
你会用不同的方法求梯形的面积吗？
想一想
小米妈妈买了一部29英寸 小米妈妈买了一部 英寸 厘米） （74厘米）的电视机。小 厘米 的电视机。 米量了电视机的屏幕后， 米量了电视机的屏幕后， 发现屏幕只有58厘米长和 发现屏幕只有 厘米长和 厘米宽， 约46厘米宽，他觉得一定 厘米宽 是售货员搞错了。 是售货员搞错了。你同意 他的想法吗？ 他的想法吗？你能解释这 是为什么吗？ 是为什么吗？
A、B、C的面积有什么关系？ 、 、 的面积有什么关系 的面积有什么关系？ A C 两直边的平方和等于斜边的平方 B
的面积有什么关系？ A、B、C的面积有什么关系？
A由2个 组成，B由2个 组成，C由4个 组成。
∴SA+SB=SC
A A C
B B
等腰直角三角形三边有什么关系？ 等腰直角三角形三边有什么关系？
a
∟
b
c
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab) ½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab ∴
勾股定理的证明方法和相关故事
勾股定理简介
• 勾股定理是余弦定理的一个特例这个定理在中国又称为商高定理在外国称为 毕达哥拉斯定理或者百牛定理毕达哥拉斯发现了这个定理后即斩了百头牛作 庆祝因此又称百牛定理法国、比利时人又称这个定理为驴桥定理他们发现勾 股定理的时间都比我国晚我国是最早发现这一几何宝藏的国家 目前初二学生 学教材的证明方法采用赵爽弦图证明使用青朱出入图 勾股定理是一个基 本的几何定理它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一是数形结合 的纽带之一 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a、b和 c分别表示直角三角形的两直角边和斜边那么a^2+b^2=c^2勾股定理是余弦 定理的一个特例这个定理在中国又称为商高定理在外国称为毕达哥拉斯定理 或者百牛定理毕达哥拉斯发现了这个定理后即斩了百头牛作庆祝因此又称百 牛定理法国、比利时人又称这个定理为驴桥定理他们发现勾股定理的时间都 比我国晚我国是最早发现这一几何宝藏的国家 目前初二学生学教材的证明方 法采用赵爽弦图证明使用青朱出入图 勾股定理是一个基本的几何定理它 是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一是数形结合的纽带之一 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a、b和c分别表示直角 三角形的两直角边和斜边那么a^2+b^2=c^2
A^2+B^2=C^2 ； 即直角
三角形两直角边长的平方和等于 斜边长的平方 古埃及人用这样
的方法画直角
• 如果三角形的三条边ABC满足 A^2+B^2=C^2;还有变形公式 ：AB=根号AC^2+BC^2如：一 条直角边是a另一条直角边是b 如果a的平方与b的平方和等于 斜边c的平方那么这个三角形是 直角三角形称勾股定理的逆定理
古埃及人画直角三 角形
勾股定理的证明方法和相关故事
04
勾股定理的故事和传说
毕达哥拉斯与勾股定理的故事
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家和哲学 家，被认为是勾股定理的创始人。传说他 通过观察铁匠铺打铁的声音，发现了音符 与数的关系，进一步推导出勾股定理。
毕达哥拉斯学派认为，数是万物的本原， 自然界的秩序和原理都可以用数来解释。 他们通过大量的实践和证明，不断完善勾 股定理，并将其广泛应用于各个领域。
勾股定理的推广和变种
勾股定理的推广包括勾股定理的逆定理、勾股定理的推广 形式等。这些推广形式可以用于解决更广泛的问题，如确 定三角形的形状、计算三角形的面积等。
勾股定理的变种包括勾股定理的特殊形式、勾股定理的变 形等。这些变种形式可以用于解决一些特殊问题，如确定 特殊三角形的各边长度、计算特殊三角形的面积等。
证明方法基于数论和音乐理论，将数 学与哲学、音乐相结合，展现了毕达 哥拉斯学派的独特思想。
赵爽证明方法
赵爽是中国古代数学家，他在《周髀算经》中给出了勾股定理的证明，使用了“ 出入相补”原理。
赵爽的证明方法简单易懂，适合初学者理解，对中国古代数学的发展产生了重要 影响。
反证法证明方法
反证法是一种间接证明方法，通过否定结论来推导出矛盾， 从而证明原命题成立。
使用反证法证明勾股定理时，首先假设三角形不是直角三角 形，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
03
勾股定理的应用和推广
勾股定理在几何学中的应用
勾股定理在平面几何中有着广 泛的应用，如确定直角三角形 各边的长度、计算直角三角形 的面积等。
在三维几何中，勾股定理可以 用于确定空间直角三角形的各 边长度，以及计算其体积和表 面积。
《几何原本》对后世的数学发展 产生了深远的影响，成为数学教
勾股定理的发现与证明
勾股定理的发现与证明勾股定理是数学中最著名的定理之一，也是数学发展史上的里程碑。
它的发现和证明为几何学和代数学的发展带来了重要的推动力。
本文将介绍勾股定理的发现过程以及多种证明方法，以展示这个定理的重要性和深远影响。
一、勾股定理的发现过程勾股定理最早的发现可以追溯到古希腊时期的毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派的创始人毕达哥拉斯（Pythagoras）及其学生们研究了三角形的性质，并发现了勾股定理。
然而，勾股定理的具体发现过程并无确凿记载，只有一些古籍中有对该定理的描述。
其中最著名的传说是关于毕达哥拉斯自己的故事。
据传，毕达哥拉斯在观察牛角时发现了勾股定理。
当他发现一只角正好是直角时，他意识到了勾股定理的存在。
虽然勾股定理的具体发现过程不能确证，但它的应用和证明方法却为后来的数学家们奠定了基础。
二、勾股定理的证明方法1. 几何证明：几何证明是最早被使用的勾股定理证明方法之一。
其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
他使用了剪纸、移位等技巧来证明勾股定理的几何性质，这使得定理的证明更加直观且易于理解。
2. 代数证明：代数证明是后来发展起来的一种证明方法。
其基本思路是通过代数方程和数学运算来证明定理的成立。
这种方法更加形式化，利用了代数学的基本原理和运算规则。
例如，可以使用平方和公式将勾股定理转化为等式的形式进行证明。
3. 解析几何证明：解析几何证明结合了几何和代数的方法，通过点和向量的坐标来进行证明。
利用坐标系的性质和距离公式，可以推导出勾股定理。
这种方法尤其适用于证明多维情形下的勾股定理。
4. 数学归纳法证明：数学归纳法是一种简洁而有效的证明方法，在证明勾股定理时也得到了广泛应用。
数学归纳法通过递归的方式证明勾股定理对所有正整数解都成立。
通过以上几种方法的不断改进和发展，勾股定理的证明变得更加完善和严谨，得到了广泛的认可和应用。
三、勾股定理的应用勾股定理是解决几何问题的基本工具，它在数学和实际应用中有着广泛的应用。
勾股定理简介与证明(3篇)
第1篇一、勾股定理简介勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理不仅在我国古代数学著作《周髀算经》中有记载，而且在古希腊、印度、埃及等地的数学文献中也有所体现。
勾股定理是解决直角三角形问题的基础，也是许多数学领域的重要工具。
二、勾股定理的证明1. 证明方法一：几何证明如图所示，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AC、BC分别为直角边，AB为斜边。
作辅助线CD，使得CD⊥AB于点D。
（1）证明AC²+BC²=AB²由于CD⊥AB，∠ACD和∠BCD都是直角。
因此，三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²将上述两个等式相加，得到：AC² + BC² = (AD² + CD²) + (BD² + CD²)AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²由于AD+BD=AB，将AD+BD替换为AB，得到：AC² + BC² = AB² + 2CD²由于CD是AB的一半，即CD=AB/2，代入上式，得到：AC²+ BC² = AB² + 2(AB/2)²AC² + BC² = AB² + AB²AC² + BC² = 2AB²由于2AB²=AB²，因此：AC² + BC² = AB²（2）证明结论根据上述证明，得出勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的故事或证明
勾股定理的故事或证明勾股定理可是数学界的超级明星呢！它说的是在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理的故事可有趣啦。
在古代，各个文明都有对勾股定理的发现或者研究呢。
比如说咱们中国，早在西周时期，就有一个叫商高的人，他就提出了“勾三股四弦五”的关系。
想象一下，那时候的人，没有咱们现在这么先进的工具和知识体系，全靠着对生活的观察和聪明的头脑。
他们在测量土地呀，建造房屋的时候，就发现了这个神奇的规律。
商高就像是一个数学探险家，他发现了这个宝藏，然后告诉大家，看呀，直角三角形的三条边有这样奇妙的关系。
再看看古希腊，毕达哥拉斯学派也对勾股定理有深入的研究。
毕达哥拉斯本人对这个定理简直是痴迷。
据说，当他发现这个定理的时候，高兴得不得了，还杀了一百头牛来庆祝呢。
这在当时可是一件非常轰动的事情，就好像现在科学家发现了一个改变世界的大秘密一样激动人心。
毕达哥拉斯学派的人就到处宣传这个定理，让更多的人知道这个直角三角形边之间的神秘联系。
那勾股定理的证明方法也超级多。
有一种很直观的证明方法，就是用正方形来证明。
咱们可以想象有四个完全一样的直角三角形，把它们拼成一个大的正方形，这个大正方形的中间又有一个小正方形。
从面积的角度来看，大正方形的面积可以用两种方式来表示。
一种是直接根据边长来计算，另一种呢，就是四个三角形的面积加上中间小正方形的面积。
通过这个等式，就能推导出勾股定理啦。
这就好像是玩拼图游戏一样，把不同的形状组合在一起，然后发现了隐藏在其中的数学真理。
还有一种证明方法，是利用相似三角形。
直角三角形里面有很多相似的小三角形，通过这些相似三角形对应边成比例的关系，也能够推导出勾股定理。
这个过程就像是在一个大家庭里找亲戚一样，找到那些相似三角形之间的关系，然后顺着这个关系就找到了勾股定理这个宝藏。
勾股定理在生活中的应用也是无处不在的。
比如说在建筑工程中，工程师们要确保墙角是直角，就可以利用勾股定理。
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证明方法1
• 这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是 数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《毕达哥 拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的 泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本 三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股 定理的证明（参见循环论证）。 证法1 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边 长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的 一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过点C作 AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线 上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长 为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的 正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A^2+B^2=C^2.
勾股数组
• 满足勾股定理方程 a^2+b^2=c^2;的正整 勾股定 理 • 数组(a，b，c)。例如(3，4， 5)就是一组勾股数组。 由 于方程中含有3个未知数，故勾 股数组有无数多组。 勾股 数组的通式： a=M^2N^2 b=2MN c=M^2+N^2 (M>N,M,N 为正整数）
勾股定理
• •
证明方法2
• 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形 。 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一 条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点 B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足 为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2.
勾股定理的证明方法和相关故事
勾股定理简介
• 勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在 外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定 理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又 称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是 最早发现这一几何宝藏的国家。 目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽 弦图，证明使用青朱出入图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用 代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直 角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。勾股定理是余弦定理的 一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯 定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作 庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定 理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏 的国家。 目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出 入图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题 的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和 斜边，那么a^2+b^2=c^2。
毕达哥拉斯树
• 毕达哥拉斯树是由毕达哥拉 斯根据勾股定理所画出来的一 个可以无限重复的图形。又因 为重复数次后 的形状好似一棵 树，所以被称为毕达哥拉斯树 。 直角三角形两个直角边 平方的和等于斜边的平方。 两个相邻的小正方形面积的和 等于相邻的一个大正方形的面 积。 利用不等式 A^2+B^2≥2AB可以证明下面 的结论： 三个正方形之间 的三角形，其面积小于等于大 正方形面积的四分之一，大于 等于一个小正方形面积的二分 之一。 毕达哥拉斯树
证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）
• 如图1，Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BD是斜边AC上 的高，通过证明三角形相似则 有射影定理如下： 1）（ BD）^2;=AD·DC， （2）（ AB）^2;=AD·AC ， （3）（ BC）^2;=CD·AC 。 由 公式（2）+（3）得： （ AB）^2;+（BC） ^2;=AD·AC+CD·AC =（ AD+CD)·AC=（AC）^2;， 图1 • 即 （AB）^2;+（BC）^2;=（ AC）^2，这就是勾股定理的结 论。
证明方法3
• 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形 。 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为 边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a， EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90° ， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°， ∴G,B,I,J在同一直线上， a^2+b^2=c^2.
毕达哥拉斯树
加菲尔德证明勾股定理的故事
• 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外 ，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是 当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着 ，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚 精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨 。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去， 想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加 菲尔德 便问他们在干什么？那个小男孩头也不 抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边 分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答 道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边 分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多 少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方 一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先 生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞， 无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步， 立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反 复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简 洁的证明方法。 如下： 解：在网格内，以 两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为 边长的的正方形面积。 勾股定理的内容：直角 三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a^2+b^2=c^2; 说明：我国古代学者把直角三 角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股” ，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理 ”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则 斜边c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。
古埃及人画直角三 角形
勾股定理的来源
• 毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕 达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛 作庆祝，因此又称“百牛定理”。 毕达哥拉斯 • 在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代 由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经 》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和 比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形 中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 常 用勾股数组(3, 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 12 ,13);(8, 15, 17) ;(7,24,25) 有 关勾股定理书籍 《数学原理》人民教育出版社 《探究勾股 定理》同济大学出版社 《优因培教数学》北京大学出版社 《勾股书籍》 新世纪出版社 《九章算术一书》 《优因培揭 秘勾股定理》江西教育出版社 《几何原本》 （原著：欧几里得 ）人民日报出版社
证法5(欧几里得的证法)
• 《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证 明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其 垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正 方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形 有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积 是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘 积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为： 把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个 同等面积的长方形。 其证明如下： 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB 。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD 、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两 个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的， 同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应 的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方 形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2 。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得 《几何原本》一书第1.47节所提出的