课题学习最短路径问题_优质课件1
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培训教材《课题学习最短路径问题》完美版PPT1
轴转 对 称化
直线同侧两点到直线上 一点的距离和最小问题
问题解决
八年级(3)班同学做游戏，在活动 区域边放了一些球(如下图)，则小明 按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球， 才能最快拿到球跑到目的地A?
A/
。
A
C B小明
l
巩固新知
龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直线
练 a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B，最
一点C，使它到Ａ、Ｂ两点的距离之和最小？
A C L
两点之间，线段最短。 B
探究二
如图，直线L同侧有两点A、B。 在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两
点的距离之和最小？ B
A
l
C
B/
探究1与探究2的区别与联系
探究1 A.
C
直线异侧两点到直线上 L 一点的距离和最小问题
探究2 A.
.B
B.
L
C . B’
注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
谢谢！ ②指数是1时，不要误以为没有指数；
（第3三）步锐：角解三这角个函一数元一次方程，得到一个未知数的值. 【注详意解 以】下解几：点(:1) 分两种情况： （A.1平）均角数的大小B与. 中边位的数长短无C关. 众，数只与构成D角. 方的差两条射线的幅度大小有关。 2②2相.我同们字规母定相，乘若，关运于用x的同一底元数一的次乘方法程法a则x＝；b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程 2∴xO＝A4=是OC差；解方程． ○柱1求解析式：解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组，求出k、b 的3、值由在函带数回关解系析式式画中其就图求像出的解一析般式步了骤。 ①②单相项 同式字：母都相是乘数，字运和用字同母底乘数积的的乘形法式法的则代；数式叫做单项式。单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；数字因数叫做 这Ste个p单2：项描式点的（系在数直。角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 【单点项睛 式】乘此以题多考项查式了，一是次通函过数乘与法一对元加一法次的不分等配式律的，关把系它：转从化函为数单的项角式度乘看以，单就项是式寻，求即使单一项次式函与数多项y=式kx相+b乘的，值就大是于用（单或项小式于去）乘0的多自项变式量 x的的每取一值项范，围再；把从所函得数的图积象相的加角。度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出A点 坐此标题以 主及要利考用查数学形生结对合平的行思四想边．形的判定的掌握情况.对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.”应用时要注意必须 是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
最短路径问题市公开课一等奖省优质课获奖课件
第11页
问题1 归纳
B A
l
处理实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知处理新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
第12页
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处 可使从A到B路径AMNB最短？（假定河两岸是平 行直线，桥要与河垂直.）
思索： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？
在处理最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平 移等变换把不在一条直线上两条线段转化到一条直线上 ，从而作出最短路径方法来处理问题.
第29页
布置作业
必做题 教材第91页复习题13第15
题.
第30页
第6页
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧两个点， 怎样在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 距离和最短？
B A
l
C
B
两点之间，线段最短.
第7页
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不一样点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 异侧呢？
（3）利用什么知识能够实现转化目标？
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边什么地方饮马，可使所走路 径最短？
B A
l
第4页
精通数学、物理学海伦稍加思索，利用轴对称 知识回答了这个问题．这个问题以后被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
第5页
分析：
B B
问题1 归纳
B A
l
处理实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知处理新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
第12页
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处 可使从A到B路径AMNB最短？（假定河两岸是平 行直线，桥要与河垂直.）
思索： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？
在处理最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平 移等变换把不在一条直线上两条线段转化到一条直线上 ，从而作出最短路径方法来处理问题.
第29页
布置作业
必做题 教材第91页复习题13第15
题.
第30页
第6页
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧两个点， 怎样在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 距离和最短？
B A
l
C
B
两点之间，线段最短.
第7页
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不一样点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 异侧呢？
（3）利用什么知识能够实现转化目标？
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边什么地方饮马，可使所走路 径最短？
B A
l
第4页
精通数学、物理学海伦稍加思索，利用轴对称 知识回答了这个问题．这个问题以后被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
第5页
分析：
B B
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
人教版八年级数学上册1课题学习最短路径问题(第一课时)课件
P1
CC O
DD
A PC+CD+DP
思考：你能利用解决牧 马人饮马问题的办法， 解决本题吗？
P
= P1C+CD+DP2 利用轴对称(实现线段转移).
B
两点之间，线段最短．
P2
拓展提升
如图，分别在OA、OB上求作点C、D，使得
PC+CD+DP和最短．
P1
A 作法：
C
（1）过点P分别作关于OA、OB的对称点
依据：
两点之间，线段最短
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
A
B
A l
C
l
A、B在直线l的同侧
B
A、B在直线l的异侧
思考2：能否通过图形的变换，把左边未知的问题 转化为我们右边研究过的问题呢？
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
B
A l
C
问题转化为：
八年级—人教版—数学—第十三章
13.4课题学习 最短路径问题（第一课时）
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题．
2.能把实际问题抽象为数学问题，体会图形的变化
在解决最值问题中的作用，感悟转化和类比思想．
学习重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段 最短”问题．
情境引入
观察图片，生活中你通常如何选择路径，使所走路 径最短呢？
D
B
P2
思想方法：类比、转化
课堂小结
最短路径问题：
解决方法：利用轴对称实 现线段的转移，化折为直. 理论依据：两点之间，线 段最短. 思想方法：类比、转化.
课题学习 最短路径问题 (优质课)获奖课件
四、归纳总结
1．本节课你学到了哪些知识？ 2．怎样解决最短路径问题？
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为
载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将
实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对 称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问
题．
11．2
与三角形有关的角
通过三角形的内角和回顾引入，然后通过学生的预习，在
他们的理解基础上，去学习三角形的外角的定义，这样能 够加深他们对外角定义的理解，在探索三角形外角定理的 时候，我也是采取了学生去探索的思想，让他们自己大胆 猜想，然后同学们在老师的引导下去证明自己的猜想，这 样以后才能运用自如．
多媒体出示问题2.(教材第86页) 提出问题：
(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？
(2)这个问题有什么不同？ (3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？
学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB
最短，就是要保证AM＋MN＋NB最小．
尝试选址作出图形． 多媒体展示教材图 13.4 － 7 ， 13.4 － 8 ， 13.4 － 9 ， 引导
由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得∠BAE＋∠CBF＋ ∠ACD＝2×180°＝360°.
四、练习与小结 练习：教材练习． 教师布置练习，学生举手回答．
小结：谈谈你对三角形外角的认识．
教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和 性质两个方面入手．
五、布置作业
习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．
直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？ 思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找 到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？ 教师引导学生讨论，明确找点的方法． 让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明． 教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨．
人教版数学八年级上册《课题学习——最短路径问题》课件
方法点拨：解决“两线两点”型最短路径问题 的方法以两线为对称轴，分别作靠近线的点的 对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为 连接两个对称点的线段.
感悟新知
解：如图13 .4 -4，(1)作点A 关于直 线l1 的对称点A′； (2)作点B 关于直线l2 的对称点B′； (3)连接A′B′，分别与直线l1，l2相交 于C，D 两点，连接AC，BD，则沿 路线A → C → D → B 走才能使总路 程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
感悟新知
知识点 1 最短路径问题
知1－讲
类型
问题
作法
最小值
一 线 两
点 型
两点 在直 线异
侧
在直线l 上找 一点P，使PA
＋PB 最小
连接AB，与直 线l 的交点即为
点P
PA＋PB 的最小值 为AB的
值
感悟新知
类型
问题
作法
知1－讲
最小值
两点
一 线 两
知1－练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
知1－练
3-1.如图，AB 是∠ MON内部的一条线段，在∠ MON 的两 边OM，ON 上分别取点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
感悟新知
知1－练
(1)如果居民小区A，B 在主干线l 的两侧，如图13.4-1，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
解：如图13 .4 -1，
连接AB，与l 的 交点即为所求的
分支点M.
感悟新知
知1－练
(2)如果居民小区A，B 在主干线l 的同侧，如图13.4-2，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
感悟新知
解：如图13 .4 -4，(1)作点A 关于直 线l1 的对称点A′； (2)作点B 关于直线l2 的对称点B′； (3)连接A′B′，分别与直线l1，l2相交 于C，D 两点，连接AC，BD，则沿 路线A → C → D → B 走才能使总路 程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
感悟新知
知识点 1 最短路径问题
知1－讲
类型
问题
作法
最小值
一 线 两
点 型
两点 在直 线异
侧
在直线l 上找 一点P，使PA
＋PB 最小
连接AB，与直 线l 的交点即为
点P
PA＋PB 的最小值 为AB的
值
感悟新知
类型
问题
作法
知1－讲
最小值
两点
一 线 两
知1－练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
知1－练
3-1.如图，AB 是∠ MON内部的一条线段，在∠ MON 的两 边OM，ON 上分别取点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
感悟新知
知1－练
(1)如果居民小区A，B 在主干线l 的两侧，如图13.4-1，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
解：如图13 .4 -1，
连接AB，与l 的 交点即为所求的
分支点M.
感悟新知
知1－练
(2)如果居民小区A，B 在主干线l 的同侧，如图13.4-2，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
《课题学习最短路径问题》公开课课件PPT1
地A? 在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小
.B
如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
4课题学习 最短路径问题
轴
转
在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小
对 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
区域边放了一些球(如下图)，则小明 4课题学习 最短路径问题
4课题学习 最短路径问题 如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球， 如图，直线L同侧有两点A、B。
4课题学习 最短路径问题 PC最短，因为垂线段最短
才能最快拿到球跑到目的地A? 如图，直线L同侧有两点A、B。
地A?
在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两点的距离之和最小？
八年级(3)班同学做游戏，在活动区域边放了一些球(如下图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的
地A? 如图，如何做点A关于直线l的对称点？
B小明
l
巩固新知
龟兔赛跑新规则：参赛者从A点出发到达直线
练 a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B，最
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题提出 八 年 级 (3) 班 同 学 做 游 戏 ， 在 活 动区域边放了一些球(如下图)，小华 按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球， 才能最快拿到球跑到目的地A?
课件《课题学习最短路径问题》完美PPT课件_人教版1
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的
负盛知名的识学者回，名叫答海伦了．有这一天，个一位问将军题专程拜．访 这个问题后来被称为“将军饮马
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
问题”． 旧口二中 高磊
求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小
你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 1、本节课研究问题的基本过程是什么？
已知：直线l和同侧两点A、B
逻辑 求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小
1、本节课研究问题的基本过程是什么？
合情
证明
推理
课堂小结
2、轴对称在所研究问题中起什么作用？
A
A
B
C
l
B
C
l
B'
拓展探索
问题：在∠AOB内有一点P，在射线OA上
找一点M，在射线OB上找一点N，使 PMN
的周长最短。
A
P
O
求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小 求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小 作法： 1、作点B关于直线l的对称点B＇
P
1
作法： 1、作点B关于直线l的对称点B＇ 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
P A 30
C
N
谢谢
2020.11
实际 数学 1、如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两地，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的
是（ ）
问题 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 已知：直线l和同侧两点A、B
模型
求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M P
O （D）
B C
N’ B
课题学习最短路径问题_优质课件1
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如果另一侧放着一些小木棍，小明还要 跑到另一侧去取小木棍，则又应按怎样的路 线跑，去捡哪个位置的球、小木棍，才能最 快跑到目的地A?你能说说为什么吗?
A/
。
l2
NA
M
B/ 。 l1
B小明
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Ｃ' C
l
B/
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探究1与探究2的区别与联系 探究1
A.
直线异侧两点到直线上
C
L
一点的距离和最小问题
.B
探究2
A. B.
轴转 对 称化
C
L
. B’
直线同侧两点到直线上 一点的距离和最小问题
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八年级(1)班同学做游戏，在活动区域
A C
B
L
B/
证明:
在L上任取另一点C ‘,连接AC ' 、BC'、B'C'.
∵ 直线 L是点Ｂ、Ｂ'的对称轴，点Ｃ、Ｃ'在对称轴上，
∴CB=CB',C'B=C'B'.
B
∴AC+CB=AC+CB'=AB'。
A
在△AC'B'中，AC'+C'B'>AB', ∴AC'+C'B>AC+CB, 即AC+CB 最小.
B
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思维分析 A
如图，问题中所走总路径是
AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．
桥MN、PQ和GH在中间，且方
向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短”解决 问题，只有利用平移变换转移 到两侧或同一侧先走桥长.
平移的方法有四种：三个桥长都平移
连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸
的G点，建桥GH；
此时从A到B点路径最短.
M
N P
Q G
H B2 B1 B
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问题解决 A
沿垂直于河岸方向依次把A点平移 A1 至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２ A2 ＝ＰＱ，平移B点至B1 ,使BB1＝ GH ； 连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对 河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻 河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ； 连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸 的Ｎ点，建桥ＭＮ；
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
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B
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2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，
A
桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长.
M N P
Q
平移的方法有三种：两个桥长都平移
B
到A点处、都平移到B点处、MN平移
到A点处，PQ平移到B点处
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到A点处；都平移到B点处；MN、PQ 平移到A点处；PQ、GH平移到B点处
M N P Q
G
H
B
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问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１＝ MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
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问题解决
沿垂直于河岸方向依次把Ａ点
A
Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ， A1
Ａ１Ａ２ ＝ＰＱ ；
A2
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸
M
于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，
N P
建桥ＭＮ； Q
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为
ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．
课题学习最短路径问题_优质课件1
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思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把B点
A
平移至B１、B２，使BB１＝PQ，
B１B２ ＝MN ；
连接B２A交于A点相邻河岸于
M
M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于P点， 建桥PQ；
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为Ａ M＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋
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作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证 明 ： 由 平 移 的 性 质 ， 得 BN∥EM 且 BN=EM,MN=CD,BD∥CE,
BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
B
课题学习最短路径问题_优质课件1
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思维方法二
A
沿垂直于第一条河岸方 A1
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P
M
N P
两点，建桥MN和PQ. Q
最短路径
AM+MN+NP+PQ+QB转化为
B
AA1+A1B1+BB1.
课题学习最短路径问题_优质课件1
问题延伸一
如图，A和B两地之间
A
有两条河，现要在两
条河上各造一座桥MN
和PQ.桥分别建在何处
才能使从A到B的路径
最短？（假定河的两
岸是平行的直线，桥
要与河岸垂直）
B
课题学习最短路径问题_优质课件1
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思维分析
如图，问题中所走总路径是
AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提 下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助 我们呢？
各抒己见
1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连. 4、把桥平移到和B相连.
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合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？请 检验.
使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
A A1 A2
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P Q
B
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3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题 可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
A A1
A A1
M
N
P
P
Q
Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
如图，直线L同侧有两点A、B。
在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两
点的距离之和最小？ B
A
l
C
B/
任务1:测量点C到A 、 B的距离,求和， 填入学案的空格上。
任务2:小组合作，由组 长安排分工(一人找点,一 人测量,一人计数，其余 监督)任意在直线L上取 点C ′(不与点C重合)探究 测量，填入空格。
边放了一些球(如下图)，则小明按怎样
的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最
快拿到球跑到目的地A?
A/
。
A
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C
B小明 l
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巩固新知
龟兔赛跑新规则：参赛者从点A出发到达直线
练 a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B，最
习 一
先达到终点者胜。下面是小猫、小猪、小猴、小 熊为他们设计的路线，其中路程最短的是（）
N
P
Q
B2
B1
B
ＰＱ＋ＱＢ转化为
AB2+B2B1+B1B．
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问题延伸二 A 如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线， 桥要与河岸垂直）
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要在燃气管道l上 修建一个泵站，分别 向A、B两镇供气.
(1)泵站修在管道的什 么地方，可使它到A、 B两镇的距离相等？
A
(2)泵站修在管道的什 么地方，可使所用的 输气管线最短？
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B
l
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造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
A1 A2 A3
M N
P Q
G H
B
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O （D）
B C
N’ B
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如果另一侧放着一些小木棍，小明还要 跑到另一侧去取小木棍，则又应按怎样的路 线跑，去捡哪个位置的球、小木棍，才能最 快跑到目的地A?你能说说为什么吗?
A/
。
l2
NA
M
B/ 。 l1
B小明
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Ｃ' C
l
B/
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探究1与探究2的区别与联系 探究1
A.
直线异侧两点到直线上
C
L
一点的距离和最小问题
.B
探究2
A. B.
轴转 对 称化
C
L
. B’
直线同侧两点到直线上 一点的距离和最小问题
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八年级(1)班同学做游戏，在活动区域
A C
B
L
B/
证明:
在L上任取另一点C ‘,连接AC ' 、BC'、B'C'.
∵ 直线 L是点Ｂ、Ｂ'的对称轴，点Ｃ、Ｃ'在对称轴上，
∴CB=CB',C'B=C'B'.
B
∴AC+CB=AC+CB'=AB'。
A
在△AC'B'中，AC'+C'B'>AB', ∴AC'+C'B>AC+CB, 即AC+CB 最小.
B
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思维分析 A
如图，问题中所走总路径是
AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．
桥MN、PQ和GH在中间，且方
向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短”解决 问题，只有利用平移变换转移 到两侧或同一侧先走桥长.
平移的方法有四种：三个桥长都平移
连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸
的G点，建桥GH；
此时从A到B点路径最短.
M
N P
Q G
H B2 B1 B
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问题解决 A
沿垂直于河岸方向依次把A点平移 A1 至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２ A2 ＝ＰＱ，平移B点至B1 ,使BB1＝ GH ； 连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对 河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻 河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ； 连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸 的Ｎ点，建桥ＭＮ；
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
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B
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2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，
A
桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长.
M N P
Q
平移的方法有三种：两个桥长都平移
B
到A点处、都平移到B点处、MN平移
到A点处，PQ平移到B点处
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到A点处；都平移到B点处；MN、PQ 平移到A点处；PQ、GH平移到B点处
M N P Q
G
H
B
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问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１＝ MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
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问题解决
沿垂直于河岸方向依次把Ａ点
A
Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ， A1
Ａ１Ａ２ ＝ＰＱ ；
A2
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸
M
于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，
N P
建桥ＭＮ； Q
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为
ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．
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思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把B点
A
平移至B１、B２，使BB１＝PQ，
B１B２ ＝MN ；
连接B２A交于A点相邻河岸于
M
M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于P点， 建桥PQ；
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为Ａ M＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋
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作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证 明 ： 由 平 移 的 性 质 ， 得 BN∥EM 且 BN=EM,MN=CD,BD∥CE,
BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
B
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思维方法二
A
沿垂直于第一条河岸方 A1
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P
M
N P
两点，建桥MN和PQ. Q
最短路径
AM+MN+NP+PQ+QB转化为
B
AA1+A1B1+BB1.
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问题延伸一
如图，A和B两地之间
A
有两条河，现要在两
条河上各造一座桥MN
和PQ.桥分别建在何处
才能使从A到B的路径
最短？（假定河的两
岸是平行的直线，桥
要与河岸垂直）
B
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思维分析
如图，问题中所走总路径是
AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提 下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助 我们呢？
各抒己见
1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连. 4、把桥平移到和B相连.
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合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？请 检验.
使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
A A1 A2
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P Q
B
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3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题 可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
A A1
A A1
M
N
P
P
Q
Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
如图，直线L同侧有两点A、B。
在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两
点的距离之和最小？ B
A
l
C
B/
任务1:测量点C到A 、 B的距离,求和， 填入学案的空格上。
任务2:小组合作，由组 长安排分工(一人找点,一 人测量,一人计数，其余 监督)任意在直线L上取 点C ′(不与点C重合)探究 测量，填入空格。
边放了一些球(如下图)，则小明按怎样
的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最
快拿到球跑到目的地A?
A/
。
A
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C
B小明 l
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巩固新知
龟兔赛跑新规则：参赛者从点A出发到达直线
练 a上任意一点后，再回到直线a同侧的终点B，最
习 一
先达到终点者胜。下面是小猫、小猪、小猴、小 熊为他们设计的路线，其中路程最短的是（）
N
P
Q
B2
B1
B
ＰＱ＋ＱＢ转化为
AB2+B2B1+B1B．
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问题延伸二 A 如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线， 桥要与河岸垂直）
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要在燃气管道l上 修建一个泵站，分别 向A、B两镇供气.
(1)泵站修在管道的什 么地方，可使它到A、 B两镇的距离相等？
A
(2)泵站修在管道的什 么地方，可使所用的 输气管线最短？
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B
l
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造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
A1 A2 A3
M N
P Q
G H
B
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