超定方程组最小二乘解
求超定方程组的最小二乘解
求超定方程组的最小二乘解最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解超定方程组的近似解。
超定方程组指方程的个数多于未知数的个数，因此无法直接求解精确解。
而最小二乘法通过将方程组中的每个方程的残差平方之和最小化，找到一个最接近解的估计值。
最小二乘法的应用非常广泛，尤其在数据拟合和回归分析中被广泛使用。
举个例子来说，假设我们有一组观测数据，表示了某个物理过程的实际情况。
而我们想要通过一个数学模型来描述这个物理过程。
但是由于观测误差等原因，我们无法通过这组数据直接得到精确的解。
这时，我们可以使用最小二乘法来逼近这个数学模型。
首先，我们假设这个数学模型是一个线性方程组。
然后，我们根据观测数据，使用最小二乘法来找到一个最接近的解。
具体的求解步骤如下：1. 假设我们的线性方程组可以表示为 Ax = b 的形式，其中 A是一个 m 行 n 列的系数矩阵，x 是一个 n 维列向量表示未知数，b是一个 m 维列向量表示观测数据。
2. 我们的目标是找到一个最小二乘解 x*，使得 ||Ax - b||^2 = min。
其中，||.|| 表示向量的模（即向量的长度的平方）。
3. 通过数学推导可以得到，最小二乘解可以通过求解正规方程组ATAx = ATb 得到。
其中，AT 是 A 的转置矩阵，A^T 表示 A 的伪逆矩阵。
4. 求解正规方程组的方法有多种，最常见的是使用矩阵的分解方法，如QR分解或奇异值分解等。
通过以上步骤，我们可以得到最小二乘解 x*，并使用它来逼近我们的数学模型。
最小二乘法的优点在于它能够处理带有误差的观测数据，提供一个最优的近似解。
它在实际应用中具有广泛的指导意义。
举个实际案例来说，假设我们要估计一辆汽车的燃油消耗量与其速度的关系。
我们首先收集了一组汽车在不同速度下的燃油消耗数据。
然后，我们可以使用最小二乘法来拟合一个线性模型，得到一个最优的近似解。
通过最小二乘法，我们可以得到一个线性关系的方程，表示速度与燃油消耗量之间的关系。
opencv 最小二乘求解超定方程组
opencv 最小二乘求解超定方程组最小二乘法是一种常用的数值优化方法，它可以用于求解超定方程组的最优解。
在计算机视觉领域中，最小二乘法在图像处理和计算机视觉算法中应用广泛。
OpenCV是一个开源的计算机视觉库，提供了丰富的函数和工具，可以用于最小二乘求解超定方程组。
超定方程组指的是方程的数量多于未知数的数量。
在超定方程组中，我们往往无法精确地求解满足所有方程的解。
最小二乘法的目标是找到一个尽可能接近满足所有方程的解的解。
在最小二乘法中，我们通过最小化残差的平方和来定义一个代价函数，然后通过优化这个代价函数来求解超定方程组的最优解。
在OpenCV中，可以使用cv::solve函数来求解超定方程组的最优解。
cv::solve函数可以接受一个包含多个方程的矩阵和一个包含右侧常数的矩阵作为输入，然后返回一个解向量。
求解超定方程组的最优解需要满足以下条件：1.方程组必须是线性的。
如果方程组包含非线性方程，则需要使用非线性最小二乘法来求解。
2.方程组必须是超定的，即方程的数量多于未知数的数量。
3.方程组必须是可解的，即方程组必须存在至少一个解。
4.方程组必须是稳定的，即求得的最优解不能对输入数据的微小变化过于敏感。
在应用最小二乘法求解超定方程组之前，我们需要将方程组转化为矩阵形式。
设超定方程组的矩阵为A，未知数的向量为x，右侧常数的向量为b，则超定方程组可以表示为Ax=b。
在求解最优解之前，我们首先需要判断矩阵A的秩是否满秩，即A的行向量是否线性无关。
如果矩阵A的秩不满秩，意味着方程组不满足可解的条件，无法求得最优解。
在OpenCV中，可以使用cv::rank函数来计算矩阵的秩。
cv::rank函数接受一个矩阵作为输入，并返回矩阵的秩。
通过判断矩阵的秩是否等于矩阵的列数，我们可以判断方程组是否满足可解的条件。
如果方程组满足可解的条件，我们可以使用最小二乘法来求解超定方程组的最优解。
在OpenCV中，可以使用cv::solve函数来求解最小二乘问题。
超定方程组的最小二乘解
第六章 第二节
学
MATH
上页 下页 返回
思维的体操 第六章 第二节 ——加里宁
上页 下页 返回
第六章 第二节
第二节 超定方程组的最小二乘解
设方程组Ax=b中, A=(aij)mn, b是m 维已知向量, x 是n 维解向量,当 m>n 即方程组中方程的个数 多于自变量的个数, 称此方程组为超定方程组.
????????????????????????????????????????????????????????????????763111254213221xx第六章第二节????????????????????????????????????????????????????????????????763111254213221xx正规方程组为上页下页返回正规方程组为????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7631112542132125421321254213221xx第六章第二节即解得即解得????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7631112542132125421321254213221xx上页下页返回?????????????????????485146331821xx??????????2418
ATA是正定矩阵，必有det(ATA)>0。故
AT Ax ATb
的解存在且唯一。可用平方根法或SOR法求解。
上页 下页 返回
例1 求超定方程组
超定方程组最优解（最小二乘解）推导
超定⽅程组最优解（最⼩⼆乘解）推导⼀、超定⽅程组##超定⽅程组即为有效⽅程个数⼤于未知数个数的⽅程组。
（这⾥只讨论多元⼀次的情况）超定⽅程组可以写成矩阵的形式：Ax=b其中A为m×n的矩阵，其与b组成的增⼴矩阵[A|b]的秩⼤于n。
x为n维列向量未知数。
⼆、超定⽅程组的最⼩⼆乘解##超定⽅程组是⽆解的，但是我们可以求得其最⼩⼆乘解，就是将等式左右两端乘上A的转置。
\begin{equation}\begin{split}A TAx=A Tb\end{split}\end{equation}该⽅程有增⼴矩阵[A T A|A T b]的秩等于n，即该⽅程的未知数的个数等于有效⽅程的个数，所以该⽅程有唯⼀解且为原⽅程的最⼩⼆乘解。
平时记住结论直接⽤就好三、推导过程##（记录，⼤家不要看：其实⼩⽣也是只知道结论不知道结论是怎么来的，不过有⼀天看斯坦福⼤学的机器学习公开课的第⼆节，看到了推导过程。
）1.前置结论###1. trAB=trBA2. trABC=trBCA=trCAB3. ∇A trAB=B T4. trA=trA T5. tra=a6)∇A trABA T C=CAB+C T AB Ttr代表矩阵的迹，⼤写字母为矩阵⼩写字母表⽰实数，∇表⽰求导。
2.公式推导###作差[]Ax−b=a T1x−b1⋮a T m−b m构建最⼩⼆乘\begin{equation}\begin{split}\frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}m(a_i Tx-b_i)^2\end{split}\end{equation}对x求导\begin{equation}\begin{split}\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_x tr(x TA TAx-x TA Tb-b TAx+b Tb)\end{split}\end{equation}利⽤前置结论2)4)5)\begin{equation}\begin{split}\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_xtr[xx TA TA-\nabla_xb TAx-\nabla_xb TAx]\end{split}\end{equation}其中利⽤前置结论6)注：⼤括号下的A为前置结论中的A，⼤括号上的A为矩阵A。
超定方程组的最小二乘解原理
超定方程组，又称为过定方程组，是线性代数中的一个概念。
当方程组的未知数数量少于方程数量时，该方程组就被称为超定方程组。
由于超定方程组通常没有精确解，我们常常会寻求一个近似解，使得所有方程的残差平方和最小。
这就是最小二乘解的原理。
一、最小二乘解的基本概念最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
二、超定方程组的性质对于超定方程组，由于方程数量多于未知数数量，因此通常不存在一个解能够使得所有方程同时成立。
这种情况下，我们需要寻找一个近似解，即一个解，使得所有方程的残差（即方程的实际值与解代入方程后得到的计算值之间的差）的平方和最小。
三、最小二乘解的原理最小二乘解的原理就是基于上述思想，通过最小化残差平方和来寻找超定方程组的近似解。
具体步骤如下：构建残差平方和函数：首先，我们需要构建一个表示残差平方和的函数。
假设超定方程组有(m) 个方程，(n) 个未知数（(m > n)），未知数的向量记作(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T)，方程组的系数矩阵记作(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m \times n})，常数项向量记作(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T)。
那么，残差向量可以表示为(\mathbf{r} = \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})，残差平方和函数可以写为(S(\mathbf{x}) = \mathbf{r}^T\mathbf{r} = (\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})^T(\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b}))。
62第二节 超定方程组的解
2x1 4x2 11.0478 3x1 5x2 2.9119
x1 2x2 5.5239
b1 b2 b3
解得最小二乘解为
x1 x2
3.0403 1.2418
2x1 x2 7.3224 b4
m
n
m
故误差平方和为 I r 2 2
数学学院 信息与计算科学系
nm
m
即有 ( aij aik )xk aij bi ( j 1,2,..., n)
k 1 i1
i 1
此线性方程组写成矩阵形式就是
AT Ax AT b
故x*是 ATAx=ATb 的解.
定理得证.
这里 ATAx=ATb 是关于x1,x2, …,xn的线性 方程组，称为正规方程组或法方程组.
数学学院 信息与计算科学系
解的存在唯一性
由于ATA是n 阶方阵，且是对称阵，当R(A)=n 时， 对任意 y≠0，有Ay≠0 ，所以
yT ( AT A) y ( Ay, Ay) Ay 2 0 2
可见ATA是正定矩阵，必有det(ATA)>0。故法方程
AT Ax AT b
的解存在且唯一.
2 2 yT AT (b Ax* )
2
Ay
2 2
b Ax*
2
Ay 2
b Ax*
2
2
2
2
所以x*是Ax=b 的最小二乘解.
数学学院 信息与计算科学系
必要性 误差向量r=b-Ax 的第 i 个分量为
n
ri bi aik xk (i 1,2,..., m),
超定方程用最小二乘法求解
超定方程用最小二乘法求解根据解的存在情况，线性方程可以分为:有唯一解的恰定方程组，解不存在的超定方程组，有无穷多解的欠定方程组。
对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。
则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。
线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。
对于超定方程，在MATLAB 中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。
左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解，一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=A\b,三是用最小二乘法求解,x=lsqnonneg(A,b)(3)矩阵求逆行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。
方阵的求逆函数为：B=inv(A)该函数返回方阵A的逆阵。
如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。
在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。
在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解，而是使用矩阵除法运算x=A\B来求解。
因为MATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时，并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。
因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。
(4)除法运算在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。
而在MATLAB 中，定义了矩阵的除法运算。
矩阵除法的运算在MATLAB中是一个十分有用的运算。
根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。
矩阵左除：C=A\B或C=mldivide(A,B)矩阵右除；C=A/B或C=mrdivide(A,B)通常矩阵左除不等于右除，如果A是方阵，A\B等效于A的逆阵左乘矩阵B。
超定方程组的最小二乘解 mathematica
超定方程组的最小二乘解 mathematica 超定方程组是指方程数量大于未知数数量的方程组。
在实际问题中，经常会遇到这种情况。
最小二乘解是指对于超定方程组，求解出的使得方程组的误差最小的解。
本文介绍如何使用Mathematica求解超定方程组的最小二乘解。
首先，构造一个超定方程组。
假设有$m$个方程，$n$个未知数，其中$m>n$。
方程组可以写成$Ax=b$的形式，其中$A$是$mtimes n$的系数矩阵，$x$是$ntimes 1$的未知向量，$b$是$mtimes 1$的常数向量。
接下来，使用Mathematica中的“PseudoInverse”函数求解最小二乘解。
该函数可以求解在最小二乘意义下的伪逆矩阵。
伪逆矩阵满足$A^+Ax=A^+b$，其中$A^+$为$A$的伪逆矩阵。
因此，最小二乘解为$x=A^+b$。
下面给出一个具体的例子。
假设有以下超定方程组：$$begin{cases}2x_1+3x_2=7 4x_1+5x_2=11 6x_1+7x_2=15 8x_1+9x_2=19end{cases}$$其中有$4$个方程，$2$个未知数。
我们可以将其写成矩阵形式： $$begin{pmatrix}2 & 3 4 & 5 6 & 7 8 &9end{pmatrix}begin{pmatrix}x_1x_2end{pmatrix}=begin{pmatrix}7 11 15 19end{pmatrix}$$ 然后使用Mathematica求解最小二乘解：```mathematicaA = {{2, 3}, {4, 5}, {6, 7}, {8, 9}};b = {7, 11, 15, 19};x = PseudoInverse[A].b```运行结果为：```{0.4, 1.5}```因此，最小二乘解为$x_1=0.4$，$x_2=1.5$。
总结一下，使用Mathematica求解超定方程组的最小二乘解非常简单。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精品文档
超定方程组最小二乘解
最小二乘法广泛地应用于工程计算中，用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，……。
甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处。
如果从线性代数角度来理解最小二乘法，实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作。
一、 超定方程组的最小二乘解
当方程组GX=b 的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵G 的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。
设G=(g iu )m ×n ，当m>n 时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下，超定方程组没有古典意义下的解。
超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r = b – GX 的2-范数达取极小值的解，即
22*||||min ||||GX b GX b m R
X -=-∈ 该问题是一个优化问题。
命题1：如果X *是正规方程组G T GX=G T b 的解，则X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解 证 由题设可得，G T (b – GX *)=0。
对任意n 维向量Y ，显然有
(X * – Y )T G T (b – GX *)=0
考虑残差2-范数平方，由
22**2
2||)()(||||||Y X G GX b GY b -+-=-
上式右端利用内积，得
22*22*22*2
2||||||)(||||||||||GX b Y X G GX b GY b -≥-+-=-
从而有
|| b – GY ||2 ≥ || b – GX *||2
等式仅当Y =X *时成立。
所以X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解。
命题2：如果X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解，则X *满足正规方程组G T GX=G T b
精品文档 证 由题设，22*||||min ||||GX b GX b m R
X -=-∈，利用2-范数与内积关系，知X *是下面二次函数的极小值点
(X ) = (GX ，GX ) – 2(GX ，b ) + (b ，b )
取任意n 维向量v ，对任意实数t ，构造一元函数
g (t ) = (X * + t v )
显然， g (t ) 是关于变量t 的二次函数
g (t ) = (G (X * + t v )，G (X * + t v )) – 2(G (X * + t v )，b ) + (b ，b )
= g (0) + 2t [(GX *，Gv ) – (Gv ，b )]+ t 2 (Gv ，Gv )
由题设t =0是g (t )的极小值点。
由极值必要条件，得0)0(='g 。
即
(GX *，Gv ) – (Gv ，b )=0
将左端整理化简，便得
(Gv ，GX * – b ) =0
利用内积性质，得
( v ，G T (GX * – b ) )=0
由v 的任意性，得G T (GX * – b ) =0
二、 最小二乘解的几何意义
首先考虑一个简单的超定方程组
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-6311215342y x 该方程组的右端向量是三维向量，系数矩阵的每一列也是三维向量，但待求的未知向量却是二维向量。
将系数矩阵按列分块，G =[
1，2]，记右端向量为。
则方程组求解问题可
表示为求组合系数x 和y 使 x
1 + y
2 =
的向量的线性组合问题。
由于两个向量GX *
β
r min =b – GX *
，2不构成三维空间的一组基，所以一般情况下这一问题无解。
而由向量1，2张1
成的子空间span{1，2}是一张平面，记为。
则超定方程组的最小二乘解实际上是求X*，使GX*恰好等于在平面上的投影。
而最小二乘解所对应的残差向量则垂直于向量GX*。
事实上，由正规方程组
G T GX=G T b
得
G T (b –GX *) = 0
上式的几何意义可解释为：最小二乘解的残差向量与超定方程组的系数矩阵G的所有列向量正交。
从而
(X*)T G T (b –GX*) = 0
所以
(GX*，b –GX*) = 0
精品文档。