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高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程
0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50
高等数学第七章：曲面及其方程
这条定直线叫旋 转曲面的轴．
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
曲面及其方程、二次曲面
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
C:
f ( y, z)
x
0
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为：f ( x2 y2 , z) 0
证明： 旋转曲面如图
z
设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点， (0, 0, z)
显然，M一定是由母线C上某点 M1(0, y1, z1)旋转得到， 即
C:
z
0
母线平行于 z 轴的柱面方程为：f ( x, y) 0
注意：方程 f ( x, y) 0 中缺z，表示z可以任意取值，所以 方程 f ( x, y) 0 表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下
f ( x, y) 0（缺z）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
f ( x, z) 0（缺y）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
高等数学（下）主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
3. Ax By Cz D 0 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
2020年6月15日星期一
12
高等数学（下）主讲杨益民
f 线方程
C:
f (x, z 0
y)
0
母线平行于
z
轴的
最新曲面及其方程PPT课件
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
（一）椭球面
x2 a2
by22
cz22
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
1.定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
旋 绕 x轴 旋 转
转 双 曲
x2 a2
y2c2z2
1
面 绕 z轴 旋 转
x
y
z
x2 y2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
cz22
1
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和z轴；
x 0
绕 y轴 旋 转y2
a2
x2 z2 c2
1
旋 转
椭
2. 几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
（一）椭球面
x2 a2
by22
cz22
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
1.定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
旋 绕 x轴 旋 转
转 双 曲
x2 a2
y2c2z2
1
面 绕 z轴 旋 转
x
y
z
x2 y2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
cz22
1
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和z轴；
x 0
绕 y轴 旋 转y2
a2
x2 z2 c2
1
旋 转
椭
2. 几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
高等数学6(6)曲面及其方程
p 0,q 0
21
特殊地 当p q时, 方程变为
x2 y2 z ( p 0)
旋转抛物面
2p 2p
x2 y2 z 2 p 2q
(由 xOz面上的抛物线 x2 2 pz 绕z轴旋转
而成的)
用平面 z z1 (z1 0)去截这曲面,截痕为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.
z z
O
x
yx
O
y
炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面
的形状.
24
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
z
类似地, 方程
x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O
ax22
y2 b2
z2 c2
1
x
y
亦表示 单叶双曲面.
想一想 以上两方程的图形是与此图形 一样吗?
f ( y, x2 z2 ) 0
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
转轴为z轴,半顶角为 的圆锥面的方程.
解 yOz面上直线方程为 z
z
z y cot
z z1
当z1 0时,截痕退缩为原点;当z1 0时, 截痕不存在. 原点叫做椭圆抛物面的顶点.
19
x2 y2 z 2 p 2q
(2) 用坐标面 xOz( y 0)去截这曲面, 截痕为抛物线.
8.3 曲面及其方程(新)
1 1 1
y
d
x y
2
2
| y1 |
2 2
x
将 z z1 , y1 x y
得方程
F
代入 F ( y1 , z1 ) 0
x y , z 0.
2 2
9
因此，曲线
F ( y , z ) 0 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面
的方程
F
x y , z 0,
x
6
两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
8
问题 : 求 yoz 面上一条曲线
2 2 2
点 _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ ， 半 径 R 4、设曲面 方程
x a
2 2
_ _ _ _ _ _ __ _ _ ；
a b
+
y b
2 2
+
z c
2 2
=1， 当
时，曲面可由
xoz 面 上 以 曲 线 _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _绕 _ _ __ _ _ _ 轴 旋 yoz 转面成，或由 面 上 以 曲 线 _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _
（熟知这几个常见曲面的特性）
34
作业：8-3 P31 4, 5, 6 , 7, 9(3)(4)
35
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
y
d
x y
2
2
| y1 |
2 2
x
将 z z1 , y1 x y
得方程
F
代入 F ( y1 , z1 ) 0
x y , z 0.
2 2
9
因此，曲线
F ( y , z ) 0 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面
的方程
F
x y , z 0,
x
6
两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
8
问题 : 求 yoz 面上一条曲线
2 2 2
点 _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ ， 半 径 R 4、设曲面 方程
x a
2 2
_ _ _ _ _ _ __ _ _ ；
a b
+
y b
2 2
+
z c
2 2
=1， 当
时，曲面可由
xoz 面 上 以 曲 线 _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _绕 _ _ __ _ _ _ 轴 旋 yoz 转面成，或由 面 上 以 曲 线 _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _
（熟知这几个常见曲面的特性）
34
作业：8-3 P31 4, 5, 6 , 7, 9(3)(4)
35
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
§7.3曲面及其方程高数
d
M1(0, y1, z1)
坐标平面上的曲线绕某轴旋转, 轴坐标变量不变, 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变 量的平方和的正负平方根. 例5: 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周, 所 得旋转曲面叫圆锥面. 两直线的交点叫圆锥面的顶点, 两直线的夹角 ( 0< < /2 )叫圆锥面的半顶角. 试建 立顶点在坐标原点, 旋转轴为 z 轴, 半顶角为 的圆锥 面方程. z 解: 由题意, 可设yoz坐标面上的 直线方程为: z = y cot M1 (0, y1 , z1 ) 则圆锥面方程为: M ( x, y, z ) o y z x 2 y 2 cot x 设cot =a, 则圆锥面的一般方程为:
a
x
o
b y
椭球面与相应平面的截痕均为椭圆. 随着|n|, |m|, |h|的增大, 截痕椭圆收缩, 当|n|=a, |m|=b, |h|=c时, 截痕 椭圆收缩为相应坐标轴上的点.
椭球面的几种特殊情况: 旋转椭球面:当a, b, c中有两个相等时. 如a=b时,
x2 y2 z2 1 a2 a2 c2 x2 z2 是由xoz面上的椭圆 2 2 1 绕z轴旋转而成. a c
旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面 z=h ( |h|<c ) 的交线为圆: a2 2 2 x y 2 2 ( c h2 ) . c z h x2 y2 z2 球面: 当 a=b=c 时, 2 2 2 1. a a a x2 y2 z2 3. 单叶双曲面 2 2 2 1. a b c 先用截痕法研究单叶双曲面的形状: 平面z=h与单叶双曲面的截痕: h2 x2 y2 2 2 1 2 b c , a z h
高等数学7.4曲面及其方程
设柱面的准线方程：F（x, y) 0, z 0,母线 / / z轴，求柱面方程
z
解：柱面上M ( x, y, z)，则准线上M（0 x0 , y0 , z0 )，
M
使得MM0 / / z轴 ，从而x x0 , y y0
由于F（x0 , y0 ) 0,从而F（x, y) 0
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
x
2
a2
柱面
例3
以曲
线
x a
2 2
z2 c2
1
为母线,
y 0
绕 z 轴旋转而成的曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1，
即
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1 ——
旋 转 单 叶双曲面
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
例3
以曲线
x2 a2
z2 c2
1 为母线,
y 0
o
的点都在S上;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
曲面方程
旋转曲面
柱面