高三数学寒假作业专题13直线与圆(背)
2013届高三理科数学寒假作业(17)《直线与圆》
高三数学寒假作业（十七）直线与圆一、选择题1.(2012·陕西高考)已知圆C:x 2+y 2-4x=0,l 是过点P(3，0)的直线，则( )(A)l 与C 相交 (B)l 与C 相切 (C)l 与C 相离 (D)以上三个选项均有可能2.已知直线y=kx 与圆x 2+y 2=3相交于M,N 两点，则|MN|等于( )3.已知一个圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则该圆的标准方程是( )(A)(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 (B)(x ＋2)2＋(y －3)2＝52(C)(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 (D)(x －2)2＋(y ＋3)2＝134.直线l ：x=my+2与圆M ：x 2+2x+y 2+2y=0相切，则m 的值为( )(A)1或-6 (B)1或-7 (C)-1或7 (D)1或-175.已知圆x 2+y 2-4x-4y+4=0的弦 AB 过点(1,1)，则AB 的最短长度为( )(A)1 -16.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M ，N 两点，若|MN|≥，则k 的取值范围是( )(A)［-34,0］ (B)(-∞,-34］∪［0,+∞) (C)［］ (D)［-23,0］ 二、填空题7.(2012·济宁模拟)若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ax-6=0(a ＞0)的公共弦的长为,则a=______.8.(2012·日照模拟)已知直线y=x+a 与圆x 2+y 2=4交于A,B 两点，且OA OB ∙=0,其中O 为坐标原点，则正实数a 的值为______.9.过点M(12,1)的直线l 与圆C ：(x-1)2+y 2=4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________．三、解答题10.已知定点M(0,2)，N(-2,0),直线l :kx-y-2k+2=0(k 为常数).(1)若点M,N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围.11.(2012·宝鸡模拟)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1,1)在AD边所在直线上.(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程；(3)若动圆P过点N(-2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.12.已知圆O：x2+y2=4,圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l,P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l于F，C.(1)若点P(1)，求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；(2)当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切.高三数学寒假作业（十七）1.A.2.D.3.D.4.B.5.D.6. A.7. 18. 29. 2x-4y+3=0【解析】要∠ACB 最小,即要使∠ACB 所对的边最短,即要过M 点的弦长最短,过M 点的弦长最短就是：先作直线MC,再作出过M 点与MC 垂直的直线,那么这条直线就是过M 点弦长最短的线,那条直线就是要求的l . ∵MC 10k 2112-==--，∴k 1=12，∴所求直线方程为y-1=12(x-12)，即2x-4y+3=0. 10.【解析】(1)∵点M,N 到直线l 的距离相等，∴l ∥MN 或l 过MN 的中点.∵M(0,2),N(-2,0)，∴k MN =1，MN 的中点坐标为C(-1,1).又∵直线l :kx-y-2k+2=0过点D(2,2), 当l ∥MN 时，k=k MN =1,当l 过MN 的中点时，k=k CD =13,综上可知：k 的值为1或13. (2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径，， 解得：k ＜-17或k ＞1. 11.【解析】(1)因为AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3.又因为点T(-1，1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y-1=-3(x+1).3x+y+2=0.(2)由x 3y 603x y 20--=⎧⎨++=⎩，，解得点A 的坐标为(0,-2)，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2，0).所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心. 又=.从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+y 2=8.(3)因为动圆P 过点N ，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M 外切，所以，即.故点P的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为.因为实半轴长半焦距c=2.所以虚半轴长. 从而动圆P 的圆心的轨迹方程为22x y 1(x 22-=≤.12.【解析】(1)由P(1)，A(-2，0)，∴直线AP 的方程为),令x=2,得F(2).由E(1)，A(-2，0),则直线AE 的方程为(x+2),令x=2,得C(2∴C 为线段FB 的中点，以FB 为直径的圆恰以C 为圆心，所以，所求圆的方程为(x-2)2)2=43，且P 在圆上. (2)设P(x 0,y 0),则E(x 0,0y 2),直线AE 的方程为()()00y y x 22x 2=++, 在此方程中令x=2,得C(2，002y x 2+). 直线PC 的斜率k PC =000000002200002y y 2x x y x y x ,2x 4x y y -+=-=-=--- 若x 0=0，则此时PC 与y 轴垂直，即PC ⊥OP ，若x 0≠0，则此时直线OP 的斜率为k OP =00y x , ∴k PC ·k OP =-0000x y y x ∙ =-1,即PC ⊥OP.则直线PC 与圆O 相切.。
高中数学 直线与圆-2021届高三 复习 带答案)
专题十六 直线与圆一、单选题1．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】D 【分析】利用垂径定理可求弦长. 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为d ==，故弦长为：= 故选：D.2．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）过点（5，2），且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -= C ．210x y --= D ．210x y --=或250x y -=【答案】B 【分析】根据截距是否为零分类讨论后可求直线方程. 【详解】若截距为零，则直线过原点，故此时直线方程为25y x =即250x y -=， 若截距不为零，设直线方程为：12x ya a +=，代入点()5,2可得：5212a a+=， 故6a =，故直线方程为2120x y +-=，故选：B.3．（2021·江西上高二中高二期末（理））已知圆C 与直线0x y +=及40x y +-=都相切，圆心在直线0x y -=，则圆C 的方程为（ ）A ．()()22112x y ++-= B ．()()22112x y -++= C ．()()22112x y -+-= D ．()()22112x y +++=【答案】C 【分析】由直线0x y +=与40x y +-=间的距离为圆C 直径，题设三条直线的交点组成的线段的中点为圆心，进而得出方程. 【详解】由题意可知直线0x y +=与直线40x y +-=平行，且两直线都与直线0x y -=垂直由此可得圆C 的直径为两直线0x y +=与40x y +-=间的距离，题设三条直线的交点组成的线段的中点为圆心d r ===由00x y x y -=⎧⎨+=⎩，040x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩ 即圆心坐标为0202,=(1,1)22++⎛⎫⎪⎝⎭即圆C 的方程为()()22112x y -+-= 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于看出直线0x y +=与直线40x y +-=平行，进而由两直线的距离得出半径.4．（2021·江苏南通市·高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2214x y -+=，若直线l ：0x y m ++=上有且只有一个点P 满足：过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（ ）A ．1B ．C ．3D ．7【答案】C 【分析】根据四边形PMCN 为正方形可得=PC C 到直线l 的距离为. 【详解】由()2214x y -+=可知圆心(1,0)C ，半径为2，因为四边形PMCN 为正方形，且边长为圆C 的半径2，所以=PC所以直线l ：0x y m ++=上有且只有一个点P ，使得=PC PC ⊥l ，所以圆心C 到直线l 的距离为=3m =或5m =-（舍）. 故选：C 【点睛】关键点点睛：将题意转化为圆心C 到直线l 的距离为.5．（2021·重庆高二期末）已知圆2123:C x y +=和圆()()222:1312C x y ++-=，那么这两个圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切【答案】C 【分析】利用两圆圆心距离与两半径关系判断圆与圆的位置关系可得答案. 【详解】由已知的()()12120,0,1,3,C C r r -==所以2112r r r r =+=-12C C == 所以211212r r C C r r <<+-，故两圆相交. 故选：C.【点睛】结论点睛：此题考查了圆与圆的位置关系，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定常用方法为：0d R r ≤<-时，两圆内含；d R r =-时，两圆内切；R r d R r -<<+时，两圆相交；d R r =+时，两圆外切；d R r >+时，两圆相离（d 为两圆心间的距离，R 和r 分别为两圆的半径）． 6．（2021·广东清远市·高二期末）已知P 为直线l ：60x y -+=上一个定点，M ，N 为圆C ：224210x y y ++-=上两个不同的动点.若MPN ∠的最大值为60，则点P 的横坐标为（ ）A ．4-B ．3-±C ．4-D ．3-±【答案】A 【分析】首先分析出当PM ，PN 分别为圆C 的切线时，MPN ∠最大，过圆心C 作直线l 的垂线，垂足即为MPN ∠取得最大值时的点P ，可得30MPC ∠=，在Rt PMC 中，可得10PC =，设()00,P x y 可列方程，结合点P 满足直线l 的方程，即可求P 的坐标.【详解】由圆C ：224210x y y ++-=可得22(2)25x y ++=， 所以圆心为()0,2C -，半径=5r .因为点C 到l 的距离5d =>，所以l 与圆C 相离，由图知当PM ，PN 分别为圆C 的切线时，MPN ∠最大， 若MPN ∠最大，则MPC ∠最大，因为5sin MC MPC PC PC∠==， 所以PC 最小时，MPC ∠最大，当PC l ⊥时，PC 最小，MPC ∠最大，则MPN ∠最大， 因为此时60MPN ∠=，所以30MPC ∠=， 在Rt PMC 中，210PC MC ==， 设()00,P x y ，则0060x y -+=①，10PC ==②，由0060x y -+=可得006y x =+代入②可得：2008180x x +-=解得：4x =-. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析出PC l ⊥时，且PM ，PN 分别为圆C 的切线时MPN ∠最大，设()00,P x y 列方程，可求点P 的坐标.7．（2021·浙江温州市·高二期末）已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是直线30x y --=的动点，()0,1C ，则BA BC +的最小值为（ ）A ．B ．C ．7D ．5【答案】D 【分析】由题意可知点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点，由于,A C 两点在直线30x y --=的同侧，所以求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则BA BC BA BD =++，然后利用两点间线段最短可得答案 【详解】解：由1:0()l kx y k R +=∈，得yk x=-，由2:220l x ky k -+-=，得22x k y -=-，所以22x yy x-=--，化简得22(1)(1)2x y -+-=， 所以点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点， 设点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则1113022n mm n -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得43m n =⎧⎨=-⎩，即(4,3)D -因为CB DB =，所以当点,,A B D 共线，且过点(1,1)时，BA BC +取最小值， 所以BA BC +5=故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，将BA BC +的最小值转化为BA BD +的最小值，属于中档题 8．（2021·陕西咸阳市·高三一模（理））已知M经过坐标原点，半径r =2y x =+相切，则M 的方程为（ ）．A ．22(1)(1)2x y +++=或22(1)(1)2x y -+-=B ．22(1)(1)2x y ++-=或22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -++=或22(2x y += D ．22(1)(1)2x y -++=或22(2x y += 【答案】A 【分析】设圆心坐标为(,)a b ，利用圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，求出,a b ，即可求出圆M 的方程. 【详解】设圆心坐标为(,)a b，半径r =因为圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，==所以1a b ==±，即圆心为()1,1或()1,1--，圆M 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=， 故选：A. 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．9．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（理））已知直线:40()l kx y k ++=∈R 是圆22:6290C x y x y +-++=的对称轴，过点()1,P k 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则三角形P AB 的面积等于（ ）A B ．2C ．4D ．4【答案】D 【分析】由直线过圆心求出k ，由勾股定理求得切线长，利用切线与过切点的半径垂直求得切线夹角，从而可得三角形面积． 【详解】因为直线40kx y ++=是圆22:6290C x y x y +-++=的对称轴， 所以直线40kx y ++=过圆心()3,1C -，即3140k -+=，1k =-， 所以点()1,1P -，2PC =，因为圆C 的半径1r =，所以切线长PA PB ===，且在直角三角形中1sin sin 2r APC BPC PC ∠=∠==， 所以30APC BPC ∠=∠=︒，60APB ∠=︒，所以三角形P AB 的面积1sin 24S PA PB APB =⨯∠=， 故选：D ．10．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞【答案】C 【分析】由题意可得出1211r C C r -≤≤+，进而可求得r 的取值范围. 【详解】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ， 所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.11．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知P 是直线210x y +-=上的一个动点，定点()1,2M -，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，则Q 点的轨迹方程是（ ）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．270x y ++=D ．270x y -+=【答案】C 【分析】设点(),Q x y ，根据已知条件可知点M 为线段PQ 的中点，求出点P 的坐标，代入直线210x y +-=的方程即可得出Q 点的轨迹方程. 【详解】设点(),Q x y 、()00,P x y ，由题意可知，点M 为线段PQ 的中点，所以，001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，可得0024x x y y =-⎧⎨=--⎩，由于点P 在直线210x y +-=上，则00210x y +-=，所以，()()22410x y -+---=， 化简可得270x y ++=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.12．（2021·山东聊城市·高二期末）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞D ．()()()0,10,24,⋃⋃+∞【答案】C 【分析】由题意判断两圆的位置关系为外离或者内含，根据圆与圆的位置关系列出不等式求解即可. 【详解】圆1C 的圆心为()11,,C a a r =，圆2C 的圆心为()21,1C ，半径2r =圆心距12|1|d C C a ===-因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含则12d r r >+或12d r r <-1|a ->1|a -<解得02a <<或4a > 故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由题意判断两圆的位置关系，再由圆与圆的位置关系得出参数的范围.13．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（理））已知(1,0)A -，(1,0)B 和圆222:(2)(0)C x y r r +-=>，若圆C 上存在点P 满足0PA PB ⋅=，则r 的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,3]C ．[1,3]D ．[1,]+∞【答案】C 【分析】求得以AB 为直径的圆O 的圆心和半径，根据圆O 与圆C 有公共点列不等式，解不等式求得r 的取值范围. 【详解】由于圆C 上存在点P ，满足0PA PB ⋅=，故以AB 为直径的圆O 与圆C 有公共点，圆O 的圆心为()0,0，半径为1，圆C 的圆心为()0,2，半径为r ，所以11r OC r -≤≤+，而2OC ==，所以121r r -≤≤+，解得13r ≤≤. 故选：C 【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，关键点是利用圆和圆的位置关系求出r 的范围，考查向量数量积为零的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．（2021·河南高一期末）过点()1,1A -的直线l 的倾斜角是直线1l 10y -+=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是（ ）A 10y -=B 10y ++=C 330y -+=D 330y ++=【答案】B 【分析】由2l 的斜率得倾斜角，从而得直线1l 的倾斜角，得斜率后可得直线方程． 【详解】1tan k α=60α=︒，所以tan120k =︒=l 的方程是： )11y x -=+10y ++=．故选：B ．15．（2021·山东枣庄市·高二期末）已知O ：221x y +=与C ：222410x y x y +--+=，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相离C ．外切D ．内切【答案】A 【分析】利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系可得正确的选项. 【详解】()()22:124C x y -+-=，故CO ==3，半径之差的绝对值为1，而13<<，故两圆的位置关系是相交，故选：A.16．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知圆()221:2C x y m ++=与圆()222:8C x m y -+=恰有两条公切线，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13m << B ．11m -<<C ．3m >D ．3<1m -<-或13m <<【答案】D 【分析】12C C <<. 【详解】由题可得圆1C 的圆心为()0,m -，圆2C 的圆心为()0m ,，半径为，两圆恰有两条公切线，∴两圆相交，12C C <<12C C m ==，m <<3<1m -<-或13m <<.故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查根据公切线条数求参数，需根据公切线条数得出圆的位置关系，若两圆有0条公切线，则两圆内含；若两圆有1条公切线，则两圆内切；若两圆有2条公切线，则两圆相交；若两圆有3条公切线，则两圆外切；若两圆有4条公切线，则两圆外离.17．（2021·河南高一期末）已知点(),x y 是曲线y =23y x --的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中作出曲线y =23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论． 【详解】曲线y =2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率， 由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切， ∴02PQk ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．18．（2021·浙江舟山市·高二期末）已知圆()()2211x y a ++-=与圆()()222416x y -+-=相切，则实数a 的取值个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆外切和内切的条件可得答案. 【详解】设()()2211x y a ++-=的圆心为()11,C a -，半径11R =，()()222416x y -+-=的圆心为()22,4C ，半径24R =，当两圆外切时，有1212C C R R =+5=，解得0a =或8a =， 当两圆内切时，有1221C C R R =-3=，解得4a =， 综上所述，0a =，或8a =，或4a =. 故选：C. 【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，其中熟记两圆的内切和外切的条件，列出相应的方程求解是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题．19．（2021·安徽池州市·高二期末（文））圆22:2C x y +=关于直线250x y -+=对称的圆的方程为（ ）A ．()()22242x y ++-= B ．()()22242x y -++= C ．()()22462x y ++-= D ．()()22462x y -++=【答案】A 【分析】设对称圆的方程为()()22+=2x a y b --，则2502ba ab ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解出即可.【详解】设对称圆的方程为()()22+=2x a y b --，则2,50,2ba ab ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得24a b =-⎧⎨=⎩，故所求圆的方程为()()222+4=2x y +-， 故选：A20．（2021·江西上饶市·高一期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为()1,4B --，若将军从点()1,2A -处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=.则“将军饮马“的最短总路程为（ ） ABC．D ．10【答案】C 【分析】作出图形，求出点B 关于直线3x y +=的对称点C 的坐标，在直线3x y +=上取点P ，利用A 、P 、C 三点共线时PA PB +取得最小值即可得解. 【详解】如下图所示，设点B 关于直线3x y +=的对称点为(),C a b ，由题意可得14322411a b b a --⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得74a b =⎧⎨=⎩，即点()7,4C ，在直线3x y +=上取点P ，由对称性可得PB PC =，所以，PA PB PA PC AC +=+≥==当且仅当A 、P 、C 三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.21．（2021·河南郑州市·高一期末）阿波罗尼乌斯（Apollonius ，约前262~约前190）是古希腊时期的数学家、天文学家.师从于欧几里得，他结合前人的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越常人的智慧写出了经典之作《圆锥曲线论》.该书共八卷，传下来七卷，其中给出了解析几何的大部分内容的论断和证明.在其第七卷《平面轨迹》中提出：如果一个移动的点与两定点之间距离的比是常量（且不等于1），则它的轨迹是一个圆.现在已知两个定点的坐标分别为()1,0A -，()2,0B ，动点P 满足2PA PB=，则P 点轨迹方程为（ ） A ．22650x y x +-+= B ．22670x y x +-+= C ．221070x y x +-+= D ．2214503x y x +-+= 【答案】A 【分析】设(),P x y ，由两点间距离公式即可化简得出. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB=，即2PA PB =，=22650x y x +-+=.故选：A.22．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数. 【详解】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线， 故选：B.23．（2021·合肥市第六中学高二期末（文））直线230x y --=与圆22:(2)(3)9C x y -++=交于E ，F两点，则ECF △的面积为（ ）A ．32B ．34C ．5D ．【答案】D 【分析】根据圆的方程先确定圆心和半径，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线230x y --=的距离，根据几何法求出圆的弦长，进而可到三角形的面积. 【详解】因为圆22:(2)(3)9C x y -++=的圆心为()2,3C -，半径为3r =，所以圆心()2,3C -到直线230x y --=的距离为d ==则弦长4EF ==，因此ECF △的面积为11422ECFS EF d ==⨯=. 故选：D.二、多选题24．（2021·重庆高二期末）已知直线10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是6πB ．过与直线l 20y --=C ．点(到直线l 的距离是2D ．若直线:10m x +=则l m ⊥ 【答案】BC 【分析】根据条件一一判断即可得出正确选项. 【详解】A 选项：直线:10l y -+=故倾斜角是3π，A 错；B 选项： 20y --=，且过点，故B 正确；C 选项：点(到直线l 的距离2d ==，故C 正确；D 选项：直线:10m x +=的斜率为3k =11=≠-故l 与m 不垂直，D 错.故选：BC25．（2021·福建漳州市·高二期末）已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，则（ ）A ．两圆有两条公切线B ．PQ 垂直平分线段OMC ．直线PQ 的方程为240x y +-=D ．线段PQ 【答案】ACD 【分析】根据圆O 和圆M 的位置关系判断A ；数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减判断C ；先求得圆心O 到直线PQ 的距离，再利用弦长公式求解判断D. 【详解】对于A ：因为圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，所以两圆有两条公切线，故正确；对于B ：数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，故错误；对于C ：圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减得：240x y +-=，所以直线PQ的方程为240x y +-=，故正确；对于D:圆心O 到直线PQ 的距离为：d ==，所以线段PQ 的长为||5PQ ===故选：ACD.26．（2021·山东临沂市·高二期末）已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】ACD 【分析】利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD 的正误，根据圆心到直线的距离可判断B 的正误，根据两圆外切可判断C 的正误. 【详解】直线():34330l m x y m ++-+=可化为：():34330l x y m x +-++=，由343030x y x +-=⎧⎨+=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，故直线l 恒过定点()3,3-，故A 正确.当0m =时，直线:3430l x y +-=，圆心到该直线的距离为003355d +-==， 因为715R d -=>，故圆C 上有且仅有四个点到直线l 的距离都等于1，故B 错. 因为圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，故两圆外切， 故252CO ====+16m =，故C 正确.当13m =时，直线:490l x y ++=，设(),49P a a --， 则以OP 为直径的圆的方程为()()490x x a y y a -+++=， 而圆22:4C x y +=，故AB 的直线方程为()4940ax a y -+++=，整理得到()4940a x y y -+++=，由4=0940x y y -+⎧⎨+=⎩可得16949x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.第II 卷（非选择题）三、双空题27．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知直线10x y ++=和圆222210x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，则该圆的圆心坐标为___________，弦长AB =___________.【答案】()1,1-【分析】将222210x y x y ++-+=化为标准方程可求出圆心的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出弦长 【详解】解：由222210x y x y ++-+=，得22(1)(1)1x y ++-=， 所以圆心为()1,1-，半径为1，所以圆心到直线10x y ++=的距离2d ==所以AB ===故答案为：()1,1-28．（2021·湖北宜昌市·高三期末）若一个圆的圆心是抛物线28x y =的焦点，20y --=相切，则该圆的标准方程为__________．过点()2,2P --作该圆的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为__________．【答案】22(2)4x y +-= 220x y +-=【分析】求出圆心坐标，再利用d r =列式求解半径，即可得圆的标准方程；根据,,,F A B P 四点共圆，FP 为该圆的直径，写出该圆的方程，再与圆F 联立即可得直线AB 的方程. 【详解】由题意，圆心坐标为(0,2)F 20y --=相切，所以2222--===d r ，所以圆的标准方程为22(2)4x y +-=；因为π∠+∠=FAP FBP ，所以点,,,F A B P 四点共圆，又因为2π∠=∠=FAP FBP ，所以FP 为该圆的直径，所以圆的方程为22(1)5x y ++=，又因为22(2)4x y +-=，联立求解得220x y +-=，所以直线AB 的方程为220x y +-=. 故答案为：22(2)4x y +-=；220x y +-=.四、解答题29．（2021·安徽黄山市·高二期末（文））已知斜率为1的直线l 与圆心为1(1,0)O 的圆相切于点P ，且点P 在y 轴上.（1）求圆1O 的方程；（2）若直线l '与直线l 平行，且圆1O 上恰有四个不同点到直线l '，求直线l '纵截距的取值范围.【答案】（1）22(1)2x y -+=；（2）()2,0-. 【分析】（1）由题意可知1O P l ⊥，从而可得101t -=--，求出1t =，再由1||r O P ==.（2）设l '：y x b =+，由题意可得圆心到直线y x b =+的距离d =<，解不等式即可. 【详解】解：（1）依题意，设点P 的坐标为(0,)t .1O P l ⊥，∴101t -=--，解得1t =， 即点P 的坐标为(0,1)，从而圆1O的半径1||r O P =故所求圆1O 的方程为22(1)2x y -+=. （2）因为//l l '，设l '：y x b =+， 由圆1O 上恰有四个不同点到直线l '距离等于2， 得圆心到直线y x b =+的距离2d =<， 解得20b -<<.即直线l '纵截距的取值范围为()2,0-.30．（2021·广西河池市·高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(2)1x y -+=，M 为圆C的圆心，过原点O 的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 两点均不在x 轴上）． （1）若60AMB ∠=°，求直线l 的方程； （2）求ABM 面积的最大值． 【答案】（1）y =；（2）12. 【分析】（1）设直线l 的方程为y kx =，利用点到直线的距离及222112⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化简计算即可得解； （2）根据弦长公式及三角形面积1()2S k =⨯，设21(1)t k t =+>，化简面积可得S =利用二次函数性质即可求得最值.【详解】解：由直线l 与圆C 相交于两点，直线l 的斜率必定存在，设直线l 的方程为y kx = （1）当 60AMB ∠=︒时，ABM 为等边三角形，由圆C 的半径为1，可知1AB =． 圆心(2,0)M 到直线l有222112⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得13k =± 故直线l的方程为13y x =±． （2）由圆心(2,0)M 到直线l，可得AB ==设ABM 的面积为()S k ，有1()2S k =⨯==设21(1)t k t =+>，可得21k t =-，有()S k======可得当87t =时，k=，max 1()2S k == 故ABM 面积的最大值为12． 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式12|||AB x x =-.31．（2021·江西景德镇市·高一期末）已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ：340x y n +-=. （1）求直线1l 的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距高为85；（2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线l 的方程. 【答案】（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-= 【分析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出2l ；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值. 【详解】（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=， 所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离|11|855n d -===， 解得3n =或19n =，所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-= （2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-， 因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点， 所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->，所以122(2)(1)22422AOB k S k k k =--=--≥+=△，当且仅当2k =-时等号成立， 故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-= 【点睛】关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如(1)20m x y -+-=，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示.32．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（理））如图，ABC 中，顶点()1,2A ，BC 边所在直线的方程为310x y ++=，AB 边的中点D 在y 轴上.（1）求AB 边所在直线的方程；（2）若AC BC =，求AC 边所在直线的方程. 【答案】（1）10x y -+=；（2）350x y +-=. 【分析】（1）由题意可知，点B 在直线310x y ++=上，可设点()31,B a a --，根据已知条件求出a 的值，可得出点B 的坐标，进而可求得直线AB 的方程；（2）由题意可知点C 在线段AB 的中垂线上，联立线段AB 的中垂线与直线BC 的方程，求出点C 的坐标，即可求得直线AC 的方程. 【详解】（1）因点B 在直线310x y ++=上，不妨设()31,B a a --， 由题意得：()3110a --+=，即0a =，所以B 的坐标为()1,0-，AB 边所在直线的方程为121102x y --=---，即10x y -+=； （2）因AC BC =，所以点C 在线段AB 的中垂线上， 直线AB 的斜率为20111AB k -==+，线段AB 的中点坐标为()0,1， 所以，线段AB 的中垂线方程为1y x =-+，即10x y +-=，联立10310x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得21x y =⎧⎨=-⎩，即C 的坐标为()2,1-，又点()1,2A ，AC ∴边所在直线的方程为122112x y --=---，即350x y +-=.【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的求解，关键就是求出相应的点的坐标，本题第（2）问要分析出点C 在线段AB 的中垂线，进而联立两直线方程求出点C 的坐标，即可得解. 33．（2021·重庆高二期末）已知圆22:8C x y +=内有一点()1,2P -，直线过点P 且和圆C 交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为α.（1）当135a =︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.【答案】（1（2）250x y -+=. 【分析】（1）根据题意先求出直线l 方程10x y +-=，再求圆心到直线l 的距离2d =， 再结合垂径定理利用弦长公式即可得解；（2）根据垂径定理，弦AB 被点P 平分，则OP l ⊥，先求2OP k =-可得112k =，再利用点斜式即可得解. 【详解】（1）当135α=︒时，直线l 的方程为：()21y x -=-+即10x y +-=，圆心()0, 0到，直线l 的距离2d ==，所以||AB ==（2）当弦AB 被()1,2P -平分时，OP l ⊥， ∵2OP k =-，∴112k =， ∴直线l 的方程为：12(1)2y x -=+，即250x y -+=. 34．（2021·福建三明市·高二期末）已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . （1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上是否存在关于直线1y x =-对称的两点,M N ，使得以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()()22215x y -+-=；（2）存在，y x =-或3y x =-+.【分析】（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，由题意可得222222(4)142a b r a b r b a ⎧⎪+=⎪-+=⎨⎪⎪=--⎩，解方程即可求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线MN 的方程为y x t =-+，将直线与圆联立，消去y 整理得222(22)20x t x t t -++-=，从而可得12212Δ0122x x t t t x x ⎧⎪>⎪+=+⎨⎪-⎪=⎩，由0OM ON ⋅=，结合韦达定理即可求解.【详解】（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，可得222222(4)142a b r a b r b a ⎧⎪+=⎪-+=⎨⎪⎪=--⎩解得21a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为()()22215x y -+-= （2）设()11,M x y ，()22,N x y 依题意，设直线MN 的方程为y x t =-+联立22(2)(1)5y x t x y =-+⎧⎨-+-=⎩， 消去y 整理得：222(22)20x t x t t -++-=所以12212Δ0122x x t t t x x ⎧⎪>⎪+=+⎨⎪-⎪=⎩又()()()212121212y y x t x t x x t x x t =-+-+=-++依题，以MN 为直径的圆过原点 所以0OM ON ⋅= 所以12120x x y y +=所以()2121220x x t x x t -++=所以222(1)0t t t t t --++= 所以230t t -= 所以0t =或3t = 此时，都有0∆>所以存在满足条件的直线MN ：y x =-或3y x =-+.35．（2021·广东清远市·高二期末）已知直线1l ：43100x y -+=与直线2l ：70ax by +-=垂直，且2l 经过点()1,1. （1）求2l 的方程；（2）若2l 与圆C ：2211()252x y +-=相交于A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）3470x y +-=；（2）8. 【分析】（1）利用两直线垂直得到430a b -=及点代入直线建立方程组得解； （2）利用求得圆心到直线距离，利用勾股定理得解 【详解】 （1）依题意可得43070a b a b -=⎧⎨+-=⎩，解得3a =，4b =，故2l 的方程为3470x y +-=. （2）因为点11(0,)2C 到2l 的距离1535d ==，所以8AB ==. 【点睛】求圆的弦长，使用几何法简捷快速.36．（2021·浙江丽水市·高二期末）设圆C 的半径为r ，圆心C 是直线24y x =-与直线1y x =-的交点． （1）若圆C 过原点O ，求圆C 的方程；（2）已知点()0,3A ，若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求r 的取值范围．【答案】（1）()()223213x y -+-=；（2）2⎡⎤⎣⎦.【分析】（1）联立两直线方程，可求得圆心C 的坐标，求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；（2）设点(),M x y ，由2=MA MO 可求得点M 的轨迹为圆D ，利用圆C 与圆D 有公共点可得出关于r 的不等式，由此可解得r 的取值范围． 【详解】（1）由241y x y x =-⎧⎨=-⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，所以圆心()3,2C .又圆C 过原点O ，r OC ∴==∴圆C 的方程为：()()223213x y -+-=；（2）设(),M x y ，由2=MA MO =()2214x y ++=.∴点M 在以()0,1D -为圆心，半径为2的圆上.又点M 在圆()()222:32C x y r -+-=上，22r CD r ∴-≤≤+，即22r r -≤≤+，22r ∴≤≤. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切；（3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.37．（2021·山东济南市·高二期末）在①圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为 ②圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ;③圆C 与直线210x y --=相切，且与圆22:(2)1Q x y +-=相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C 存在，求出圆C 的方程;若问题中的圆C 不存在，说明理由． 问题:是否存在圆C ，______，且圆心C 在直线12y x =上． 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析. 【分析】选择①、②、③，分别用待定系数法求圆E 的方程； 【详解】选择条件①：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a =因为圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为所以0a >，0b >，且2r a b == 由垂径定理得223r b =+解得1b =， 所以2a =，2r所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件②：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a = 因为圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ，AB 的中点()3,2M 所以AB 的中垂线方程为1y x =-联立直线12y x =解得21x y =⎧⎨=⎩即2a =，1b =，2r所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件③：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以2a b =r =，所以r =，因为圆C 与圆Q 相外切，所以||1CQ r =+1r =+可得：2145405b b --+=，因为该方程∆<0，所以方程无解 故不存在满足题意的圆C ． 【点睛】“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.38．（2021·黄石市有色第一中学高二期末）已知圆E 经过点(0,0)A ，(1,1)B ，从下列3个条件选取一个_______①过点(2,0)C ；②圆E 恒被直线0mx y m --=()m R ∈平分；③与y 轴相切. （1）求圆E 的方程；（2）过点(3,0)P 的直线l 与圆E 相交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程. 【答案】（1）()2211x y -+=；（2）()223212x y x ⎛⎫-+=<⎪⎝⎭. 【分析】（1）选择①、②、③，分别用待定系数法求圆E 的方程；（2）先分析出EM AB ⊥，M 的轨迹落在圆上，根据交点判断范围即可.。
高考数学专题13直线与圆小题精练B卷(含解析).doc
2019 年高考数学 专题 13 直线与圆小题精练 B 卷（含分析）1．已知圆的方程为 x 2 y 2 4x 2y 4 0 ，则圆的半径为（ ）A ．3B ．9C ． 3D ．3【答案】 A2．已知圆 C ： 2 y 22（ a 0 ）及直线：x y 3 0，当直线被 C 截得的x a 4 弦长为 23 时，则 a = （）A ． 2B ．22C ． 21D ． 21【答案】 Ca 21 24 ，解得 a2 1 ，又由于 a 0 ，因此 a2 1；【分析】由题意，得131 应选 C ．3．已知圆心 ，一条直径的两个端点恰幸亏两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A ．B ．C ．D ．【答案】 B【分析】由题意可设圆的直径两头点坐标为，由圆心坐标可得，可求得，可得圆的方程为即．应选 B ．4．过点 ，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是 ()A ．B ．C ．1D ．2【答案】 B【分析】在直角三角形 AOB 中 ，选 B ．5．若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】 C6．直线与圆订交于两点，则弦的长度等于()A．B．C．D．【答案】 B【分析】圆心到直线，的距离，由勾股定理可知，，即，应选 B．7．已知圆的圆心在直线上，且与直线平行，则的方程是（）A．B．C．D．【答案】 A【分析】设直线为，代入点得．应选A．点睛：两条直线平行的想法，斜率相等，只要要截距不一样．8．直线x ky10 （k R ）与圆 x2y 24x 2 y 2 0 的地点关系为（）A．订交B．相切 C．相离D．与 k 的值有在【答案】 A【解析】由于直线 x ky10恒过定点P1,0 ，且P1,0在圆x2y24x 2 y 2 0 内，故圆与直线x ky 1 0 的订交，应选答案A．9．曲线y＝ 1＋与直线 y＝k( x－2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是() A．B．(，＋∞)C．(，]D．(，]【答案】 C【分析】由题设可化为过定点的动直线与半圆 有两个交点， 如图，圆心 到直线的距离是，又 ，联合图形可知： 当 ，即 ，应选答案 C ．10．若曲线2 20(0) 与直线xyxyy k( x 2)有交点，则 k的取值范围是（）6A ． [3,0)B ． (0, 4]C ． (0,3]D ．[ 3,3]43 44 4【答案】 C考点：直线与圆的地点关系．11．若一次函数y kx b，y随x的增大而减小，当3x 1y 9 ，则它的分析时， 1式为（）A．y2x7B．y 2 x3C．y2x7或 y2x3D ．以上都不对【答案】 B【分析】试题剖析：∵一次函数y kx b ，当3 x 1y9 ，且 y 随x的增大而减小，∴时， 1当 x 3 时， y9 ；当 x 1 时， y13k b9k2，∴1，解得b．∴一次函数的解k b3析式为 y2x 3 ．应选B．考点：函数分析式．12．已知直线ax by60(a0,b0) 被圆x2y22x 4 y0 截得的弦长为 2 5 ，则 ab 的最大值是（）A．5B．4C．9D．9 22【答案】 C考点： 1．圆的一般方程化为标准方程；2．基本不等式．专题 14直线与圆1．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（）A．-2 B．-3C．-4D．-5【答案】 D【分析】∵，∴，应选D．2．设 A，B 为x轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且PA PB ,若直线PA的方程为x y 10 ，则直线 PB 的方程为（）A． 2 x y 7 0B．2x y 1 0C．x 2 y 4 0D．x y 50【答案】 D3．方程1 4k x 2 2k y214k0 表示的直线必经过点（）A．2,2B．2,2C．12 ,11 D ．34,225555【答案】 C【分析】方程 1 4k x 2 2k y 2 14k0 ，化为（x﹣2y+2）+k（4x+2y﹣14）=012﹣0xx 2 y 2512 ,11解 {﹣，得 {，∴直线必经过点4x 2 y 14011 5 5y5应选 C．点睛：过定点的直线系A1x＋ B1y＋C1＋λ（ A2x＋ B2y＋ C2）=0 表示经过两直线l 1∶A1x＋ B1y＋C1=0与 l 2∶A2x＋ B2y＋ C2＝ 0 交点的直线系，而这交点即为直线系所经过的定点．4．已知圆心，一条直径的两个端点恰幸亏两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】 B5．过点，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是 ( )A．B．C．1D．2【答案】 B【分析】在直角三角形AOB中，选B．6．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】 C【分析】圆的圆心，半径为，直线与圆有公共点，则，，解得实数的取值范围是，应选C．7．直线与圆订交于两点，则弦的长度等于()A．B．C．D．【答案】 B【分析】 圆心到直线 ，的距离 ，由勾股定理可知， ，即，应选 B ．8．已知圆 C ： （ a<0）的圆心在直线上，且圆 C 上的点到直线 的距离的最大值为 ，则的值为（）A ．1B．2C．3D．4【答案】 C【分析】圆的方程为，圆心为 ① ，圆 C 上的点到直线的距离的最大值为 ②由①②得，a<0，故得 ， =3 ．点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用．9．已知直线 ax y2 2ABC 为等腰1 0 与圆 C : x 1ya1订交于 A,B 两点，且 直角三角形，则实数 a 的值为A ．1B ．1C ．1或1D ．1或17【答案】 D10．过点 ( 2,0) 引直线与曲线 y1 x2 订交于 A 、B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）A ．3B ．3 3C ．333D．3【答案】 B 【分析】试题剖析：因y1x2表示以 O 为圆心,半径为的上半圆．又SAOB1sin AOB,故2AOB900时,AOB 的面积取最大值,此时圆心 O 到直线y k (x2)的距离d1, 即|2k |1, 也即3k21,解之得 k3,应选 B．2 1 k 223考点：直线与圆的地点关系及运用．11．若直线ax by10 a 0, b 0均分圆 C : x2y22x4y 10 的周长，则 ab 的取值范围是（）A ．111 ,B．0,C．0, 884D． 1 ,4【答案】 B考点：直线与圆的地点关系．12．在平面直角坐标系xOy 中, M , N 分别在线段 OA,OB 上,以 C 1,1 为圆心的圆与若, MN与圆C相切,则x 轴和MNy 轴分别相切于的最小值为（A,B ）两点 ,点A．B．22C．222D．222【答案】 D【分析】试题剖析：由于 C 1,1 为圆心的圆与x 轴和y轴分别相切于A, B 两点,点 M , N 分别在线段OA,OB 上,若,MN与圆C相切，设切点为Q ，因此AM BN QM QN MN ，设MNO，则OM ON MN cos MN sin , OA OB 2 MN 1 cos sin，MN2222 2 2，应选D．1 cos siny32A1M Q-2-1ON1B-11 2 sin1242345x考点： 1、圆的几何性质；2、数形联合思想及三角函数求最值．。
【冲刺必刷】人教A版 高中数学2020届 高考复习专题--直线与圆的方程(含解析)
直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。
高三数学复习总结《直线和圆》
高三数学复习——直线与圆的方程一、知识梳理（一）直线的方程1、直线的倾斜角与斜率: 直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系___________；α=________时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是___________,三点C B A ,,共线的充要条件是_____________2.直线方程的五种形式: 点斜式方程是:______________________斜截式方程为:________________________截距式方程为:____________________________一般式方程为:___________________________,斜率K=_______________3、两条直线的位置关系：平行与垂直已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=若1l //2l ，则_________，若21l l ⊥,则___________4、几个公式：①已知两点),(),,(222111y x P y x P ,则 =||21P P ____________________②设点),(00y x A ，直线,0:=++C By Ax l 点A 到直线l 的距离为=d _________________[例1 ]. 11．过点P （1，2）的直线 与两点A （2，3）、B （4，-5）的距离相等，则直线 的方程为（ ）A ．4x+y-6=0B ．x+4y-6=0C ．3x+2y=7或4x+y=6D ．2x+3y=7或x+4y=6[例2] 已知直线1l ：3mx+8y+3m-10=0 和 2l ： x+6my-4=0 问 m 为何值时 （1）1l 与2l 相交（2）1l 与2l 平行（3）1l 与2l 垂直;（二）圆的标准方程与一般方程1、①圆的标准方程为_____________________，其中圆心为_____________,半径为_______； ②圆的一般方程为____________________，圆心坐标_________，半径为___________。
直线与圆-高考数学专题复习
直线与圆知识精要一、直线的方程形式二、掌握求曲线方程的基本方法和步骤1、明确平面解析几何研究的两个基本问题：（1）根据条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线性质。
2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立合适的平面直角坐标系；x y；（2）设曲线上任意一点坐标为(,)（3）根据曲线上点所适应的条件，写出等式；（4）用坐标,x y表示这个等式，并化方程为最简形式；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
3、求曲线方程的常用方法：（1）直接法：根据条件中的等量关系直接列方程。
（2）代入法：在变化过程中有两个动点，已知其中一个动点在定曲线上，求另一个动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代入到已知曲线之中，得出要求的轨迹方程。
三、掌握确定两曲线交点个数的判断方法，并能通过求交点解决其他问题四、掌握方程圆的两种形式（标准方程和一般方程），能利用待定系数法确定圆的方程1、圆的标准方程：222()()(0)x a y b r r -+-=>，其中圆心为(,)a b ，半径为r ，其中,,a b r为待定系数。
2、圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E--，半径为r =2242D E F+-，这里D E F 、、为待定系数。
3（备选）、在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数x=f(t),y=φ(t)——(1)；且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点m(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组(1)称为这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数称为参变数，简称参数。
类似地，也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。
(2)圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (θ属于[0，2π） ) (a,b)为圆心坐标 r 为圆半径 θ为参数 (x,y)为经过点的坐标五、明确直线与圆的位置关系，掌握不同位置关系的判定方法热身练习：1、已知曲线与函数及函的图像分别交于，则的值为（ C ）A ．16B ．8C ．4D ．22、圆与直线（）的位置关系为（C ）A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能3、已知圆C 与直线都相切，圆心在直线上，则圆C 的方程为（ B ）A ．B ．C ．D ．4、已知直线相交于A、B两点，且=5、如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ A ）••••6、如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图像大致是（ C ）7、已知圆C的方程为，定点，直线有如下两组论断：第Ⅰ组第Ⅱ组(a)点在圆内且M不为圆心 (1)直线与圆相切(b)点在圆上 (2)直线与圆相交(c)点在圆外 (3)直线与圆相离由第Ⅰ组论断作为条件，第Ⅱ组论断作为结论，写出所有可能成立的命题（将命题用序号写成形如p q的形式）8、已知圆的方程为，是圆上的一个动点，若的垂直平分线总是被平面区域覆盖，则实数的取值围是。
(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题13直线与圆(练)(含解析)
（寒假总动员）2020年高三数学寒假作业 专题13直线与圆（练） （含解析）••选择题1.直线1经过点（2,1），且与直线3xy 2垂直，则直线1的方程为（)A. x 3y 10 B.x 3y 1 0C x 3y 1D.x 3y 1【答案】止 【解析】试题分析：由题意知，直线/的斜护为上二―2■.只践丿的方程=-I目卩 x+3i'—1 - 0若点j 直线的斜率和点斜式方稈【解析】盂题分祈；同化蔺成标淮方程?a （x-3）:-k （y-4r = 25 -庖心対⑶4” r = 5,那么圆心劃直线j-n3 = 0fi 距苗d 三丄彳V2瞎最1•点到直线距离的求解戸么圆制弦长求SG2A 2 1B 1 m 2 m R3•直线l 经过' ，两点，那么直线l 的倾斜角的取值范 围（）【答案】D【蹄】滾題分析£依题鳶 瓦 二也二「■沪幻，盯匚「極数画象知，貢线时倾斜药刖取值范團是2•直线y = 2x + 3被圆x2 + y2 — 6x — 8y = 0所截 得的弦长等于（） A. 5【答家】CB. 3D. 5A • [0,) B • [0,4]C •咛D •咛"1-2眄］・〔二补选D.考点：直线的倾斜角、斜率2 2 2 24. 如果方程x y Dx Ey F 0（D E 4F 0 ）所表示的曲线关于直线y x对称，则必有（「）A. D EB. D FC. E FD. D E F【答案】【解析】试题分析：由题设X p*+加“£\+F才？表乔以（一?・三）沏园心的圆匸由圆的几何性质.当圆心在盲线I二工上时，总有一2二-占，丽。
二厂诙选丸w 1 3-V ■着点I直銭与IH的关系「［ffl的对称性.2 25. “ k 1”是“直线x y k 0与圆x y 1相交”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C •充分必要条件D•既不充分也不必要条件I［苔ST1【解析】试題分析：要使直线玄一卄上=02圓/ + 相交，则有画心到亘线閑距离力二单灯.即<2囲总芒\所以-Ji玄上玄忑，所y —厂是獰直炉—$+圧=02剧/+齐=1相交"的充分不必要条许，选扎着点匚充分条件、必雯兼件的刑断■直技与圆的位亶关毎.二、填空题6.若直线h : ax 2y 8 0与直线J: x （a 1）y 4 0平行，则a的值为【答黑】1【解析】试题分祈；由+ 1） = *P祁戸吕=1咸口匸“匚・- -2时两直绫重台！所以，口二1*考点.：直鮭平行*2 27.已知实数x、y满足方程x y 4x 1 0，则y x的最大值与最小值分别为试题分析：工7•看作是直銭F 二时办衽1'轴止的鶴即 当亶纥I 二工我与同相切曲 纵截距取得谖大 值或蛊小值，此时仝 解碍4=一2十蔬h 」一屁 所（从1一工的最大值対—2十岳， 最小值为-：-麻+ 考蠱：直线与冒的位直关系，最値间题. 三•解答题2 28.已知圆C ：x y 2x4y 4 0.问在圆C 上是否存在两点A,B 关于直线y kx 1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线 AB 的方程，若不存在，说明理由【解析】存在满定2条条件的直线.丫圆匸江工-1『亍（丄+2）：二9, .-. C （L-2）,设日〔兀J j, £（七=化nT 貢线了二后-1过0-1〕・而J^（O-l ）在IS 的内部，故直践弓圉恒相交,又直Sv = tv-1¥M 平分皿；.直绽）=右—1经过圆心C （U>- ..-2=i-L 即"―“0 = 1、设直线一播的方程为F = Q 皿 联尹1程组,.卡r悄广+斗附一42x'+ 2(?/7+2)x + wF *4OT -4 = 0. 二兀+七 二一(啣-二 ------------------- -----”j 、二［兀 + m ）（x 2 +也）二弋* + 啣（X _"£）+ »/ = _— +啣（删亠 2）亠胡护I 二空二凹二L,由石 —0B-则斗弘+ 口匚二0 那—仝—“鬧唧二或附 .'.直线AR 的方程為1 =兀―】或T =兀 故存在2条藕足条件的克线. 考点：直线与圆的位置关系 •对称性问题•r消去L 得if + r-2x-4i -4 = 0。
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 过点(2，2)，且点(5，1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝03．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C.3D ．24．过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条5．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝07．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.438．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝59．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．26B ．4 C.6D ．211．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．已知两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。