表示函数图的三种方法
最新人教版高中数学必修第一册第3章 函数的概念与性质3.1.2 函数的表示法
当x=3时,f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不合题意;
综上,x的值等于2.
？
探究二 函数的图象及其画法
【例 2】 画出下列函数的图象:
(1)y=1-x,x∈Z;
(2)y=,x≥2;
, ≤ ≤ ,
基本水费1.3×5(元),第二部分由基本水费与加价水费组成,即
1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(1+200%),
则y2=1.3×5+1.3(x-5)(1+200%)=3.9x-13.
当6<x≤7时,
同理y3=1.3×5+1.3×(6-5)×(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)
？
【变式训练2】 画出下列函数的图象,并求出定义域和值域:
,- ≤ ≤ ,
(1)f(x)=
, < -或 > ;
(2)g(x)=|2x+3|-1.
解:(1)画出f(x)的图象,如图所示.
观察函数图象可知,函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1].
？
(2)g(x)=
+ , ≥ - ,
--, ≤ -或 ≥ ,
故 h(x)=
--,- < < .
(2)因为g(-2)=2×(-2)+4=0,
所以h(h(g(-2)))=h(h(0)),
而h(0)=2×02-2×0-2=-2,
所以h(h(g(-2)))=h(-2)=(-2)2-4×(-2)-7=5.
函数的表示方法ppt
03 表格法
定义
01
表格法是一种通过表格的形式来表示函数的方法。
02
它通过列出自变量和因变量的对应关系来描述函数。
03
表格中的每一行表示自变量的一种取值，每一列表 示因变量对应的取值。
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举例
例如，函数 (f(x) = x^2 + 2x + 1) 可以 表示为如下表格
| --- | --- |
| x | f(x) |
举例
| -2 | 1 |
| -1 | 0 |
|0|1|
举例
|1|4|
|2|9|
VS
应用场景
01
表格法适用于表示简单函数或离散函数的值。
02
在实际应用中，表格法常用于描述一些具有离散性质
举例
例如，对于函数 (f(x) = x^2)，其图象是一个开口向上的抛物线， 位于x轴上方。
当x的值从负无穷增大到正无穷时，y的值也随之增大，表示 函数随着x的增大而增大。
应用场景
图象法在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
在解决实际问题时，图象法可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化规律，从而更好地解决相关问题。
应用场景
• 解析法适用于需要精确描述函数关系的情况，如科 学计算、工程设计和数学研究等领域。由于解析法 具有精确性和可操作性，因此在实际应用中得到了 广泛的应用。
02 图象法
定义
函数图象法是一种通过绘制函数的图 形来表示函数的方法。
函数的表示方法
函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。
函数的表示方法及图像画法
y 2 x, (0 x 10)
练一练
画出函数 y 1 x, x z 的图象
-3 4 -2 3 -1 2 0 1 1 0 2 -1 3 -2 y
解:列表: x
想一想：
1.画函数图像时是否可以把每一个点都画 在坐标纸上？ 2.如果不能，是否能选择一些合适的点， 使我们通过一定数量的点的位置，估计出 这个图像的形状和变化趋势？你怎样选取 这些合适的点？
函数的表示方法 --图像法
表示函数的方法
• 解析法 • 列表法 • 图像法
二．例题讲解：
例1 ．一种豆子每千克售2元，所售豆子不超 过10千克，则豆子总的售价是y（元）与所售豆 子的数量X(千克）之间何关系？ 分别用解析法、列表法表示上述函数关系。
解：（1）解析法：由于所售豆子不超过10千克，则X的定
函数的图象
x
把一个函数在定义域内的一个自变量 的值，和它对应的因变量的值分别作为一 个点的横坐标和纵坐标，就能在直角坐标 系内描出相应的一个点，由所有这样的点 组成的图形，就是这个函数的图象
y
(x,y)
画函数的图象的步骤
列表、描点、连线
函数的定义域范围。 根据已描出的点判断图像是直线还是曲线。
尝试画图：
优点 解析法
缺点
简明、全面地概括变量间 不够形象、具体 的关系，方便计算出任意 一个自变量的值所对应的 函数值
列表法
每个自变量对应的因变量 变化规律不是很明显， 一目了然，一看就知道结 不能或者不太好推出 果 任意一个自变量时的 因变量的值
能够很直观的感受到整个 具体数值却不能一下 函数的变化情况 子看出来
义域为0≤x≤10；则f(x)=2x,(0≤x≤10) （2）列表法：
函数的三种表示方法
1．在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终保持不变的量 称为常量． 2．常量和变量是两个对立而又统一的量．它们是对“某一过程”而言 的，是相对的，“某一过程”的条件不同，常量和变量就可能不同． 3．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个 确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数．其中x是自 变量．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值． 4．一般地，对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义 的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义． 5．可以用图表和式子表示函数关系．
由表可看出，三角形内角和为180°，边数每 增加1条，• 内角和度数就增加180°．故此m、 n函数关系可表示为： m= 180° （n-2）（n≥3的自然数）．
２．用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a 的函数．
解：因为等边三角形的周长L是边长a的3倍．所 以周长L与边长a的函数关系可表示为： L=3a （a>0） 我们可以用描点法来画出函数L=3a的图象． 列表： a … 1 2 3 4 … L … 3 6 9 12 … 描点、连线：
LOGO
函数的表示方法
LOGO
1.自学归纳
1。函数的三种表示方法：列表法、图象 法和解析法。 2。三种表示方法的转化
3。列表、描点、连线，作函数的图象。
归纳 表示函数关系的方法：
1、解析法：准确地反映了函数与 自变量之间的数量关系。 2、列表法：具体地反映了函数与 自变量的数值对应关系。
三种表示法的比较：
优点 缺点
不够形 象直观，而 且并不是所 有的函数关 系式都可以 用数学式子 表示
函数三种表示方法
二次函数
5.用三种方式表示二次函数 解析法，列表法，图象法
函数的表示方式
1、解析法—用表达式表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
x y
用函数表达式表示：
10 x即y x 2 10x0 x 10. yx
用解析法表示函数的优点,缺点分别是什么？
用函数表达式表示：
y xx 2即y x 2x.
2
或y x 1 1.
2
列表法—用表格表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们 的积y是如何随x的变化而变化的? ？
用表格表示：
y x 1 1.
2
x
…… -2 … 8
-1 3
0 0
1 -1
2 0
3 3
4 8
…… …
图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y 是如何随x的变化而变化的? 2
y x 2x
用图象表示:
用图象法表示函数的优点,缺点分别是什么？ 比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.
总结经验
根据以上三种表示方式,回答下列问题: 1.自变量x的取值范围是什么? ∵x表示任意一个数,∴自变量x的取值范围是:全体实数. y x 2x 2.图象的对称轴和顶点坐标分别是什么? 由表达式的顶点式和图象,可知图象的对 称轴是:直线x=1,顶点坐标是:(1,-1). 3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
2
由表格和图象可知,y随x的变化而变化的情况是:当x<1 时,y随x的增大而减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
高一数学函数的常用表示方法
2.1.2函数表示法 课件
例5 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里的按5公里计算）。
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。 （21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此 刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。 （22）再后来，她睡了。 （23）我走在走廊的尽头，心绪难平。 （24）我看见天边有一颗星星，异常耀眼，它像天空的眼睛，注视着大地，带给深沉无助的黑夜，一方光亮，也给黑夜里迷路的人们， 一抹希望。 （25）慢慢地，我看见天边泛着鱼肚白，黎明来了。 （26）那一刻，内心的迷茫，似乎慢慢退却，一点点被一束光照亮，所有难以启齿的磨难和曾经以为的绝望，慢慢变成了希冀。 （27）是的，繁华尽头有悲凉，尘埃深处是繁花。 （2017年5月9日） 16.
r=a(1+cosθ)图像
r=a(1+cosθ)图像画函数的图像通常用三种方法。
一是列表-描点法，这是最原始的画法。
二是利用函数的性质，包括一阶导数和二阶导数等的性质，判断函数的单调性、奇偶性、周期性和凸性等，结合关键点，如极值点、最值点、拐点、零点、与y 轴的交点等，画出函数的图像。
最后一种方法是利用计算器软件画出函数图像。
这当然是最省力的方法了。
极坐标函数通常很难利用第二种方法画出函数的图像。
只能利用第一种方法和第三种方法来画它的图像。
比如r=a(1+cosθ)就是一个极坐标函数，利用计算机软件做出它的图像，是一条心形线。
而且这个心有点“胖”，看起来像一个横放的桃子，桃柄的底端就是极点，柄的方向向左，但柄不是图像的一部分。
参数a决定了“桃子”的大小，如取a=3，则图像如下：如果取a=6，则图像如下：也可以用最原始的描点法画出这个极坐标函数的图像。
比如，取θ=0,π/6,π/4, π/3,π/2,2π/3,3π/4,5π/6,π……,并利用图像关于极轴的对称性，画出整个图像。
如果点不够，就要自己适当增加一些可以求得余弦值的点，比π/12,π/8,3π/2等。
至于图像的对称性，我们倒不需要通过作图来观察得到。
因为cosθ本身是一个偶函数，而θ和-θ是关于极轴对称的。
这就可以推出原函数的图像关于极轴对称了。
即r(-θ)=r(θ). 图像就关于极轴对称。
当然，我们也可以尝试把极坐标方程转化成直角坐标系方程。
为了描述方便，我们设a=1, 则r=√x2+y2,√x2+y2即x2+y2=√x2+y2+x. 可以发现，这样想要画出函数的图像，也很难判断它的性质，甚至用计算机软件都不容易表示出来。
基本上也只能通过描点法来实现了。
动手试一试，你会发现这是一件非常麻烦的事情。
因为当x取非零的整数时，y基本上都取得一个复杂的无理数。
虽然这样，只要你足够耐心，倒还是可以做到的。
因为任意无理数，我们都可以利用勾股定理，在坐标平面上表示出来。
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1
表示函数图像的三种方法
在本章中，我们将学习三种表示函数的方法． 一、列表法
通过表格的形式来表示两个变量的函数关系，称为列表法．用表格表示函数就是把自变量的一组值和其对应的函数值列成一个表格．这样表示函数的好处是非常直观，表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接从表格中找到与它对应的函数值，使用较方便．但列表法表示函数具有一定的局限性，列出的数值是有限的，而且从表格中也不容易看到自变量和与其函数值之间的对应关系．
例1 信件的质量m (克)
020m <≤ 2040m <≤ 4060m <≤ 邮费y (元) 0.80 1.20 1.60 m y m
的不同取值范围内的对应的y 值．
二、解析式法
两个变量之间的函数关系，一般情况下可以用含有这两个变量的等式表示．即解析式法，也叫关系式法．用解析法表示函数关系能准确地表示出自变量与其函数之间的数量关系，能很准确的得到所有自变量与其对应的函数值．但利用解析式表示的函数关系，在求函数值时，有时计算比较复杂，而且有的函数关系不一定能用解析式表示出来．如，函数解析式21y x =-能很好的表示y 与x 的对应关系，y 是x 的函数．
三、图象法
将自变量与其对应的函数值，组成一组组实数对，作为点的坐标，在平面直角坐标系内把这些所有点的坐标描述出来，即可得到函数的图象，用图象表示函数关系的方法，就叫图象法．用图象法表示函数形象直观，通过图象，可形象地把函数的变化趋势表示出来，根据函数的图象还能较好地研究函数的性质．画函数的图象时，要根据不同函数类型的图象特征，选用适当的方法．需要注意的是从函数图象上一般只能得到近似的数量关系．
例2 如图表示的是某市6月份一天气温随时间变化的情况，请观察此图，并说说可以得到哪些结
论？
解：从图象上观察到这一天的最高气温是36℃; 这天共有9个小时的气温在31℃以上; 这天在3～15（点） 内温度在上升;
通过计算可以得出次日凌晨1点的气温大约在23～26（℃）之间．。