二、最大值与最小值问题
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§2 2.2 最大值、最小值问题
2．2 最大值、最小值问题
一、预习教材·问题导入 1．问题：如何确定你班哪位同学最高？ 提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学， 再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
2．如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
问题 1：试说明 y＝f(x)的极值． 提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极 小值． 问题 2：你能说出 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？ 提示：函数的最小值是 f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的 最大值是 f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的． 问题 3：根据问题 2 回答函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能 在哪些点取得． 提示：在极值点或端点中．
令 f′(x)＝0，解得 x＝59或 x＝3(舍去)． 当 0＜x＜59时，f′(x)＞0，当59＜x＜1 时，f′(x)＜0， 所以 x＝59时，f(x)有最大值 f59＝20 000. 所以当 x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为 20 000 万元．
[类题通法] 利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式 y＝f(x)． (2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求函数 可能的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数 值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
二、归纳总结·核心必记 1．最值点 (1)最大值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不超过 f(x0)． (2)最小值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不小于 f(x0)． 2．最值 函数的 最大值 与 最小值 统称为最值．
一、预习教材·问题导入 1．问题：如何确定你班哪位同学最高？ 提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学， 再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
2．如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
问题 1：试说明 y＝f(x)的极值． 提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极 小值． 问题 2：你能说出 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？ 提示：函数的最小值是 f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的 最大值是 f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的． 问题 3：根据问题 2 回答函数 y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能 在哪些点取得． 提示：在极值点或端点中．
令 f′(x)＝0，解得 x＝59或 x＝3(舍去)． 当 0＜x＜59时，f′(x)＞0，当59＜x＜1 时，f′(x)＜0， 所以 x＝59时，f(x)有最大值 f59＝20 000. 所以当 x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为 20 000 万元．
[类题通法] 利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式 y＝f(x)． (2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求函数 可能的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数 值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
二、归纳总结·核心必记 1．最值点 (1)最大值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不超过 f(x0)． (2)最小值点：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点 x0 指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 不小于 f(x0)． 2．最值 函数的 最大值 与 最小值 统称为最值．
第四章 §2 2.2 最大值、最小值问题
面积、体积(容积)的最值问题
[例 3] 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的 一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科 技工业园．已知 AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|＝|BC| ＝4 km，|AO|＝2 km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点 且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的两边分别落在 AB，BC 上，且一个顶点落在曲线段 OC 上，应如何规划才能使矩形工业园 的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到 0.1 km2)．
(2)当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 恒成立，只需使 f(x)在[－1,2]上的 最大值小于 m 即可．
由(1)知 f(x)极大值＝f(－23)＝5＋2227， f(x)极小值＝f(1)＝72. 又 f(－1)＝121，f(2)7. 所以 m>7，即 m 的取值范围为(7，＋∞)．
求函数的最值 [例 1] 求下列函数的最值． (1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)； (2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π] [思路点拨] 先求函数在给定区间的极值，然后再与端点 值比较，即可确定函数的最值．
[精解详析] (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，
元，则总造价的最小值为
()
A．400 元
B．1 200 元
C．1 600 元
D．2 800 元
解析：设总造价为 y 元，池底的一边长 x 米，池底的面积为 8÷2 ＝4(平方米)，池底的另一边长为4x米，池壁的面积为 4x＋4x平 方米，故有 y＝4×300＋4x＋4x×100＝400x＋4x＋1 200(x＞ 0)．y′＝4001－x42， 令 y′＝0 得 x＝2，由 y′ ＞0 得 x ＞2，由 y′＜0 得 0＜x＜2， 即 y 在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以当 x＝2 时，y 取得最小值，且 ymin＝2 800. 答案：D
第2章 2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型
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(1)求a关于h的函数解析式； (2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值. (求解本题时，不计容器的厚度)
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【解】 (1)设h′为正四棱锥的斜高，
由已知a2＋4·12h′a＝2， h2＋14a2＝h′2，
解得a＝
1 h2＋1(h>0).
cn.它们使得ax＋by＋cz＝δ，
且ω＝
al＋
bm＋ δ
cn2，所以ω的最小值为
al＋
bm＋ δ
cn2 .
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利用柯西不等式求最值时，必须验证等号成立的条件是否满足.
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[再练一题]
2.设x，y，z∈R，且
x－12 16
＋
y＋22 5
＋
z－32 4
＝1.求x＋y＋z的最大值和最
A.13
B.12
C.14
D.23
【解析】 ∵0＜x＜1， ∴x(1－x)≤x＋12－x2＝14， 当且仅当x＝12时取等号. 【答案】 B
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2.已知t＞0，则函数y＝t2－4tt＋1的最小值为________. 【解析】 ∵t＞0，∴y＝t2－4tt＋1 ＝t＋1t －4≥2－4＝－2. 【答案】 －2
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【精彩点拨】 分别求出开发前、后该项目10年利润的最大值，比较大小 即可.
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【自主解答】 若按原来投资环境不变，由题设知，每年只需从60万元中
拿出40万元投资，可获最大利润10万元.这样10年总利润最大值为W＝10×10＝
初中八年级(初二)数学课件 最大值、最小值问题
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最大值或最小值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值 即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租 金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为多少可获得最大收入？
注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
二、应用
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在 [3,4]
上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23; f (2) 34;
R(350)
(350
20)
6831500 108 Nhomakorabea0 (元).
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围
成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点，使 曲线在该点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成 的三角形面积最大．
解 如图,
设所求切点为P( x0 , y0 ),
x0 16 (舍去).
P
oA
T B
Cx
S(16) 8 0. S(16) 4096 为极大值 .
3
3 217
故 S(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
则切线 PT 为 y y0 2x0( x x0 ),
y
P
oA
T B
Cx
y0 x02 ,
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最大值或最小值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值 即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租 金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为多少可获得最大收入？
注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
二、应用
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在 [3,4]
上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23; f (2) 34;
R(350)
(350
20)
6831500 108 Nhomakorabea0 (元).
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围
成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点，使 曲线在该点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成 的三角形面积最大．
解 如图,
设所求切点为P( x0 , y0 ),
x0 16 (舍去).
P
oA
T B
Cx
S(16) 8 0. S(16) 4096 为极大值 .
3
3 217
故 S(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
则切线 PT 为 y y0 2x0( x x0 ),
y
P
oA
T B
Cx
y0 x02 ,
高中数学 2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型课件
当 堂
自 主 导
积为 V＝(a－2x)2x，再利用三个正数的算术－几何平均值不
双 基 达
学 等式，变形为 xyz≤(x＋3y＋z)3 求解即可．
标
课
【自主解答】 设切去的小正方形的边长为 x(x<a2)，无
堂
课
互 动 探
盖方底盒子的容积为
V，则
V
＝
(a
－
2x)2x
＝
1 4
(a
－
2x)(a
－
时 作 业
当 堂
自 主
铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线
双 基
导
达
学 翻折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时， 标
才能使盒子的容积最大？
课
堂
课
互
时
动
作
探
业
究
图 2－4－1
菜单
RB ·数学 选修4-5
【思路探究】 设切去的小正方形的边长为 x，由题意可
课 前
知，折成的盒子的底面边长为 a－2x，高为 x，这时盒子的容
课 小值．
堂
课
互
【思路探究】 题设中的 ω 与 δ 的形式符合柯西不等式 时
动
作
探 究
的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值．
业
菜单
RB ·数学 选修4-5
课 前
【自主解答】 由柯西不等式得 ω·δ＝[(
xl )2＋(
my )2
当 堂
自
双
主
导 ＋(
学
nz)2]·[( ax)2＋( by)2＋( cz)2]≥( al＋ bm＋ cn)2，
课 前 自
最大值与最小值在数学问题中的应用
最大值与最小值在数学问题中的应用在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念，它们在各种数学问题中都有广泛的应用。
无论是在代数、几何还是概率统计等领域，最大值和最小值都扮演着重要的角色。
本文将探讨最大值和最小值在数学问题中的应用，并通过具体的例子来说明它们的重要性。
一、最大值和最小值在代数问题中的应用在代数中，最大值和最小值通常与方程和不等式相关。
考虑一个简单的方程问题：求解方程f(x) = 0的最大值和最小值。
在这种情况下，我们需要找到使得f(x)= 0的x值，其中f(x)是一个给定的函数。
最大值和最小值的概念可以帮助我们确定方程的解集。
例如，考虑方程x^2 - 4 = 0。
我们可以将f(x) = x^2 - 4表示为一个二次函数。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
在这种情况下，极值点就是最大值和最小值。
通过求导数，我们可以得到f'(x) = 2x。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 0。
将x = 0代入f(x) = x^2 - 4，我们得到f(0) = -4。
因此，方程的最小值为-4。
类似地，我们可以通过求导数找到方程的最大值。
在这个例子中，方程的最大值为4。
通过求解方程f(x) = 0的最大值和最小值，我们可以得到方程的解集为{-2, 2}。
二、最大值和最小值在几何问题中的应用在几何中，最大值和最小值通常与图形的特征相关。
考虑一个简单的几何问题：求解一个矩形的最大面积。
在这种情况下，我们需要找到一个矩形的尺寸，使得它的面积最大。
假设矩形的长为L，宽为W。
矩形的面积可以表示为A = L * W。
我们可以通过求导数的方法找到矩形面积的最大值。
通过求导数，我们可以得到A' = W + L =0。
解这个方程，我们可以得到W = L。
因此，当长和宽相等时，矩形的面积最大。
这意味着一个正方形具有最大的面积。
通过求解矩形的最大面积问题，我们可以得到一个有趣的结论：在所有具有相同周长的矩形中，正方形具有最大的面积。
九年级数学最大值、最小值问题
计算 f (3) 23; f (2) 34;
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
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；
够抵御的风险毕竟有限，世上无法预计的灾难却是无限的。战胜灾难靠的更多的是临门一脚，先前的惴惴不安帮不上忙。 当风暴的尾巴终于远去，我们守住零乱的家园。气还没有喘匀，新的提醒又智慧地响起来，我们又开始对未来充满恐惧的期待。 人生总是有灾难。其实大多 数人早已练就了对灾难的从容，我们只是还没有学会灾难间隙的快活。我们太多注重了自己警觉苦难，我们太忽视提醒幸福。请从此注意幸福！幸福也需要提醒吗？ 提醒注意跌倒……提醒注意路滑……提醒受骗上当……提醒荣辱不惊……先哲们提醒了我们一万零一次，却不提醒我 们幸福。 也许他们认为幸福不提醒也跑不了的。也许他们以为好的东西你自会珍惜，犯不上谆谆告诫。也许他们太崇尚血与火，觉得幸福无足挂齿。他们总是站在危崖上，指点我们逃离未来的苦难。但避去苦难之后的时间是什么？ 那就是幸福啊！ 享受幸福是需要学习的， 当幸福即将来临的时刻需要提醒。人可以自然而然地学会感官的享乐，人却无法天生地掌握幸福的韵律。灵魂的快意同器官的舒适像一对孪生兄弟，时而相傍相依，时而南辕北辙。 幸福是一种心灵的振颤。它像会倾听音乐的耳朵一样，需要不断地训练。 简言之，幸福就是没有 痛苦的时刻。它出现的频率并不像我们想象的那样少。 人们常常只是在幸福的金马车已经驶过去很远，捡起地上的金鬃毛说，原来我见过它。 人们喜爱回味幸福的标本，却忽略幸福披着露水散发清香的时刻。那时候我们往往步履匆匆，瞻前顾后不知在忙着什么。 世上有 预报台风的，有预报蝗虫的，有预报瘟疫的，有预报地震的。没有人预报幸福。其实幸福和世界万物一样，有它的征兆。 幸福常常是朦胧的，很有节制地向我们喷洒甘霖。你不要总希冀轰轰烈烈的幸福，它多半只是悄悄地扑面而来。你也不要企图把水龙头拧得更大，使幸福很快地 流失。而需静静地以平和之心，体验幸福的真谛。 幸福绝大多数是朴素的。它不会像信号弹似的，在很高的天际闪烁红色的光芒。它披着本色外衣，亲切温暖地包裹起我们。 幸福不喜欢喧嚣浮华，常常在暗淡中降临。贫困中相濡以沫的一块糕饼，患难中心心相印的一个眼神， 父亲一次粗糙的抚摸，女友一个温馨的字条……这都是千金难买的幸福啊。像一粒粒缀在旧绸子上的红宝石，在凄凉中愈发熠熠夺目。 幸福有时会同我们开一个玩笑，乔装打扮而来。机遇、友情、成功、团圆…… 它们都酷似幸福，但它们并不等同于幸福。幸福会借了它们的衣 裙，袅袅婷婷而来，走得近了，揭去帏幔，才发觉它有钢铁般的内核。幸福有时会很短暂，不像苦难似的笼罩天空。如果把人生的苦难和幸福分置天平两端，苦难体积庞大，幸福可能只是一块小小的矿石。但指针一定要向幸福这一侧倾斜，因为它有生命的黄金。 幸福有梯形的切面， 它可以扩大也可以缩小，就看你是否珍惜。 我们要提高对于幸福的警惕，当它到来的时刻，激情地享受每一分钟。据科学家研究，有意注意的结果比无意要好得多。 当春天来临的时候，我们要对自己说，这是春天啦！心里就会泛起茸茸的绿意。 幸福的时候，我们要对自 己说，请记住这一刻！幸福就会长久地伴随我们。那我们岂不是拥有了更多的幸福！ 所以，丰收的季节，先不要去想可能的灾年，我们还有漫长的冬季来得及考虑这件事。我们要和朋友们跳舞唱歌，渲染喜悦。既然种子已经回报了汗水，我们就有权沉浸幸福。不要管以后的风霜雨 雪，让我们先把麦子磨成面粉，烘一个香喷喷的面包。 所以，当我们从天涯海角相聚在一起的时候，请不要踌躇片刻后的别离。在今后漫长的岁月里，有无数孤寂的夜晚可以独自品尝愁绪。现在的每一分钟，都让它像纯净的酒精，燃烧成幸福的淡蓝色火焰，不留一丝渣滓。让我们 一起举杯，说：我们幸福。 所以，当我们守候在年迈的父母膝下时，哪怕他们鬓发苍苍，哪怕他们垂垂老矣，你都要有勇气对自己说：我很幸福。因为天地无常，总有一天你会失去他们，会无限追悔此刻的时光。 幸福并不与财富地位声望婚姻同步，这只是你心灵的感觉。 所以，当我们一无所有的时候，我们也能够说：我很幸福。因为我们还有健康的身体。当我们不再享有健康的时候，那些最勇敢的人可以依然微笑着说：我很幸福。因为我还有一颗健康的心。甚至当我们连心也不再存在的时候，那些人类最优秀的分子仍旧可以对宇宙大声说：我很幸福。 因为我曾经生活过。 常常提醒自己注意幸福，就像在寒冷的日子里经常看看太阳，心就不知不觉暖洋洋亮光光。 造心 蜜蜂会造蜂巢。蚂蚁会造蚁穴。人会造房屋，机器，造美丽的艺术品和动听的歌。但是，对于我们最重要最宝贵的东西──自己的心，谁是它的建造者？ 孔 雀绚丽的羽毛，是大自然物竞天择造出。白杨笔直刺向碧宇，是密集的群体和高远的阳光造出。清香的花草和缤纷的落英，是植物吸引异性繁衍后代的本能造出。卓尔不群坚韧顽强的性格，是秉赋的优异和生活的历练造出。 我们的心，是长久地不知不觉地以自己的双手，塑造而成。 造心先得有材料。有的心是用钢铁造的，沉黑无比。有的心是用冰雪造的，高洁酷寒。有的心是用丝绸造的，柔滑飘逸。有的心是用玻璃造的，晶莹脆薄。有的心是用竹子造的，锋利多刺。有的心是用木头造的，安稳麻木。有的心是用红土造的，粗糙朴素。有的心是用黄连造的，苦楚不 堪。有的心是用垃圾造的，面目可憎。有的心是用谎言造的，百孔千疮。有的心是用尸骸造的，腐恶熏天。有的心是用眼镜蛇唾液造的，剧毒凶残。 造心要有手艺。一只灵巧的心，缝制得如同金丝荷包。一罐古朴的心，淳厚得好似百年老酒。一枚机敏的心，感应快捷电光石火。一 颗潦草的心，门可罗雀疏可走马。一滩胡乱堆就的心，乏善可陈杂乱无章。一片编织荆棘的心，暗设机关处处陷井。一道半是细腻半是马虎的心，好似白蚁蛀咬的断堤。一朵绣花枕头内里虚空的心，是假冒伪劣心界的水货。 造心需要时间。少则一分一秒，多则一世一生。片刻而成 的大智大勇之心，未必就不玲珑。久拖不绝的谨小慎微之心，未必就很精致。有的人，小小年纪，就竣工一颗完整坚实之心。有的人，须发皆白，还在心的地基挖土打桩。有的人，半途而废不了了之，把半成品的心扔在荒野。有的人，成百里半九十，丢下不曾结尾的工程。有的人，精雕 细刻一辈子，临终还在打磨心的剔透。有的人，粗制滥造一辈子，人未远行，心已灶冷坑灰。 心的边疆，可以造的很大很大。像延展性最好的金箔，铺设整个宇宙，把日月包涵。没有一片乌云，可以覆盖心灵辽阔的疆域。没有哪次地震火山，可以彻底颠覆心灵的宏伟建筑。没有任 何风暴，可以冻结心灵深处喷涌的温泉。没有某种天灾人祸，可以在秋天，让心的田野颗粒无收。 心的规模，也可能缩得很小很小，只能容纳一个家，一个人，一粒芝麻，一滴病毒。一丝雨，就把它淹没了。一缕风，就把它粉碎了。一句流言，就让它痛不欲生。一个阴谋，就置它 万劫不复。 心可以很硬，超过人世间已知的任何一款金属。心可以很软，如泣如诉如绢如帛。心可以很韧，千百次的折损委屈，依旧平整如初。心可以很脆，一个不小心，顿时香消玉碎。 造心的时候，可以有很多讲究和设计。 比如预埋下一处心灵的生长点，像一株植物， 具有自动修复，自我养护的神奇功能。心受了创伤，它会挺身而出，引导心的休养生息，在最短的时间内，使心整旧如新。 比如高高竖起心灵的避雷针，以便在危急时刻，将毁灭性的灾难导入地下，耐心等待雨过天晴。 比如添加防震防爆的性能，在心灵遭受短时间高强度的残 酷打击下，举重若轻，镇定地维持蓬勃稳定。 比如…… 优等的心，不必华丽，但必须坚固。因为人生有太多的压榨和当头一击，会与独行的心灵，在暗夜狭路相逢。如果没有精心的特别设计，简陋的心，很易横遭伤害一蹶不振，也许从此破罐破摔，再无生机。没有自我康复本 领的心灵，是不设防的大门。一汪小伤，便漏尽全身膏血。一星火药，烧毁绵延的城堡。 心为血之海，那里汇聚着每个人的品格智慧精力情操，心的质量就是人的质量。有一颗仁慈之心，会爱世界爱人爱生活，爱自身也爱大家。有一颗自强之心，会勤学苦练百折不挠，宠辱不惊大 智若愚。有一颗尊严之心，会珍惜自然善待万物。有一颗流量充沛羽翼丰满的心，会乘上幻想的航天飞机，抚摸月亮的肩膀。 造心是一项艰难漫长的工程，工期也许耗时一生。通常是母亲的手，在最初心灵的模型上，留下永不消退的指纹。所以普天下为人父母者，要珍视这一份特 别庄重的义务与责任。 当以我手塑我心的时候，一定要找好样板，郑重设计，万不可草率行事。造心当然免不了失败，也很可能会推倒重来。不必气馁，但也不可过于大意。因为心灵的本质，是一种缓慢而精细的物体，太多的揉搓，会破坏它的灵性与感动。 造好的心，如同造 好的船。当它下水远航时，蓝天在头上飘荡，海鸥在前面飞翔，那是一个神圣的时刻。会有台风，会有巨涛。但一颗美好的心，即使巨轮沉没，它的颗粒也会在海浪中，无畏而快乐地燃烧。 读书使人优美 优美在字典上的意思是：美好。 ? 做一个美好的人，我相信是绝大多数人的心愿。 谁不愿意美好啊？除了心灵的美好，外表也需美好。为了这份美好，人们使出了万千手段。比如刀兵相见的整容，比如涂脂抹粉的化妆。为了抚平脸上的皱纹，竟然发明了用肉毒杆菌的毒素在眉眼间注射，让面部微小神经麻痹，换来皮肤的暂时平滑……让我这个曾经当过医生的人胆战心 惊。 其实，有一个最简单的美容之法，却被人们忽视，那就是读书！ 读书的时候，人是专注的。因为你在聆听一些高贵的灵魂自言自语，就会不由自主地谦逊和聚精会神。即使是读闲书，看到妙处，也会忍不住拍案叫绝……长久的读书可以使人养成恭敬的习惯，知道这个世界上可以 为师的人太多了，在生活中也会沿袭洗耳倾听的姿态。而倾听，是让人神采倍添的绝好方式。所有的人都渴望被重视，而每一个生命也都不应被忽视。你重视了他人，魅力就降临在你双眸。 ? 读书的时候，常常会会心一笑。那些智慧和精彩，那些英明与穿透，让我们在惊叹的同时拈页 展颜。微笑是最好的敷粉和装点，微笑可以传达比所有语言更丰富的善意与温暖。有
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
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够抵御的风险毕竟有限，世上无法预计的灾难却是无限的。战胜灾难靠的更多的是临门一脚，先前的惴惴不安帮不上忙。 当风暴的尾巴终于远去，我们守住零乱的家园。气还没有喘匀，新的提醒又智慧地响起来，我们又开始对未来充满恐惧的期待。 人生总是有灾难。其实大多 数人早已练就了对灾难的从容，我们只是还没有学会灾难间隙的快活。我们太多注重了自己警觉苦难，我们太忽视提醒幸福。请从此注意幸福！幸福也需要提醒吗？ 提醒注意跌倒……提醒注意路滑……提醒受骗上当……提醒荣辱不惊……先哲们提醒了我们一万零一次，却不提醒我 们幸福。 也许他们认为幸福不提醒也跑不了的。也许他们以为好的东西你自会珍惜，犯不上谆谆告诫。也许他们太崇尚血与火，觉得幸福无足挂齿。他们总是站在危崖上，指点我们逃离未来的苦难。但避去苦难之后的时间是什么？ 那就是幸福啊！ 享受幸福是需要学习的， 当幸福即将来临的时刻需要提醒。人可以自然而然地学会感官的享乐，人却无法天生地掌握幸福的韵律。灵魂的快意同器官的舒适像一对孪生兄弟，时而相傍相依，时而南辕北辙。 幸福是一种心灵的振颤。它像会倾听音乐的耳朵一样，需要不断地训练。 简言之，幸福就是没有 痛苦的时刻。它出现的频率并不像我们想象的那样少。 人们常常只是在幸福的金马车已经驶过去很远，捡起地上的金鬃毛说，原来我见过它。 人们喜爱回味幸福的标本，却忽略幸福披着露水散发清香的时刻。那时候我们往往步履匆匆，瞻前顾后不知在忙着什么。 世上有 预报台风的，有预报蝗虫的，有预报瘟疫的，有预报地震的。没有人预报幸福。其实幸福和世界万物一样，有它的征兆。 幸福常常是朦胧的，很有节制地向我们喷洒甘霖。你不要总希冀轰轰烈烈的幸福，它多半只是悄悄地扑面而来。你也不要企图把水龙头拧得更大，使幸福很快地 流失。而需静静地以平和之心，体验幸福的真谛。 幸福绝大多数是朴素的。它不会像信号弹似的，在很高的天际闪烁红色的光芒。它披着本色外衣，亲切温暖地包裹起我们。 幸福不喜欢喧嚣浮华，常常在暗淡中降临。贫困中相濡以沫的一块糕饼，患难中心心相印的一个眼神， 父亲一次粗糙的抚摸，女友一个温馨的字条……这都是千金难买的幸福啊。像一粒粒缀在旧绸子上的红宝石，在凄凉中愈发熠熠夺目。 幸福有时会同我们开一个玩笑，乔装打扮而来。机遇、友情、成功、团圆…… 它们都酷似幸福，但它们并不等同于幸福。幸福会借了它们的衣 裙，袅袅婷婷而来，走得近了，揭去帏幔，才发觉它有钢铁般的内核。幸福有时会很短暂，不像苦难似的笼罩天空。如果把人生的苦难和幸福分置天平两端，苦难体积庞大，幸福可能只是一块小小的矿石。但指针一定要向幸福这一侧倾斜，因为它有生命的黄金。 幸福有梯形的切面， 它可以扩大也可以缩小，就看你是否珍惜。 我们要提高对于幸福的警惕，当它到来的时刻，激情地享受每一分钟。据科学家研究，有意注意的结果比无意要好得多。 当春天来临的时候，我们要对自己说，这是春天啦！心里就会泛起茸茸的绿意。 幸福的时候，我们要对自 己说，请记住这一刻！幸福就会长久地伴随我们。那我们岂不是拥有了更多的幸福！ 所以，丰收的季节，先不要去想可能的灾年，我们还有漫长的冬季来得及考虑这件事。我们要和朋友们跳舞唱歌，渲染喜悦。既然种子已经回报了汗水，我们就有权沉浸幸福。不要管以后的风霜雨 雪，让我们先把麦子磨成面粉，烘一个香喷喷的面包。 所以，当我们从天涯海角相聚在一起的时候，请不要踌躇片刻后的别离。在今后漫长的岁月里，有无数孤寂的夜晚可以独自品尝愁绪。现在的每一分钟，都让它像纯净的酒精，燃烧成幸福的淡蓝色火焰，不留一丝渣滓。让我们 一起举杯，说：我们幸福。 所以，当我们守候在年迈的父母膝下时，哪怕他们鬓发苍苍，哪怕他们垂垂老矣，你都要有勇气对自己说：我很幸福。因为天地无常，总有一天你会失去他们，会无限追悔此刻的时光。 幸福并不与财富地位声望婚姻同步，这只是你心灵的感觉。 所以，当我们一无所有的时候，我们也能够说：我很幸福。因为我们还有健康的身体。当我们不再享有健康的时候，那些最勇敢的人可以依然微笑着说：我很幸福。因为我还有一颗健康的心。甚至当我们连心也不再存在的时候，那些人类最优秀的分子仍旧可以对宇宙大声说：我很幸福。 因为我曾经生活过。 常常提醒自己注意幸福，就像在寒冷的日子里经常看看太阳，心就不知不觉暖洋洋亮光光。 造心 蜜蜂会造蜂巢。蚂蚁会造蚁穴。人会造房屋，机器，造美丽的艺术品和动听的歌。但是，对于我们最重要最宝贵的东西──自己的心，谁是它的建造者？ 孔 雀绚丽的羽毛，是大自然物竞天择造出。白杨笔直刺向碧宇，是密集的群体和高远的阳光造出。清香的花草和缤纷的落英，是植物吸引异性繁衍后代的本能造出。卓尔不群坚韧顽强的性格，是秉赋的优异和生活的历练造出。 我们的心，是长久地不知不觉地以自己的双手，塑造而成。 造心先得有材料。有的心是用钢铁造的，沉黑无比。有的心是用冰雪造的，高洁酷寒。有的心是用丝绸造的，柔滑飘逸。有的心是用玻璃造的，晶莹脆薄。有的心是用竹子造的，锋利多刺。有的心是用木头造的，安稳麻木。有的心是用红土造的，粗糙朴素。有的心是用黄连造的，苦楚不 堪。有的心是用垃圾造的，面目可憎。有的心是用谎言造的，百孔千疮。有的心是用尸骸造的，腐恶熏天。有的心是用眼镜蛇唾液造的，剧毒凶残。 造心要有手艺。一只灵巧的心，缝制得如同金丝荷包。一罐古朴的心，淳厚得好似百年老酒。一枚机敏的心，感应快捷电光石火。一 颗潦草的心，门可罗雀疏可走马。一滩胡乱堆就的心，乏善可陈杂乱无章。一片编织荆棘的心，暗设机关处处陷井。一道半是细腻半是马虎的心，好似白蚁蛀咬的断堤。一朵绣花枕头内里虚空的心，是假冒伪劣心界的水货。 造心需要时间。少则一分一秒，多则一世一生。片刻而成 的大智大勇之心，未必就不玲珑。久拖不绝的谨小慎微之心，未必就很精致。有的人，小小年纪，就竣工一颗完整坚实之心。有的人，须发皆白，还在心的地基挖土打桩。有的人，半途而废不了了之，把半成品的心扔在荒野。有的人，成百里半九十，丢下不曾结尾的工程。有的人，精雕 细刻一辈子，临终还在打磨心的剔透。有的人，粗制滥造一辈子，人未远行，心已灶冷坑灰。 心的边疆，可以造的很大很大。像延展性最好的金箔，铺设整个宇宙，把日月包涵。没有一片乌云，可以覆盖心灵辽阔的疆域。没有哪次地震火山，可以彻底颠覆心灵的宏伟建筑。没有任 何风暴，可以冻结心灵深处喷涌的温泉。没有某种天灾人祸，可以在秋天，让心的田野颗粒无收。 心的规模，也可能缩得很小很小，只能容纳一个家，一个人，一粒芝麻，一滴病毒。一丝雨，就把它淹没了。一缕风，就把它粉碎了。一句流言，就让它痛不欲生。一个阴谋，就置它 万劫不复。 心可以很硬，超过人世间已知的任何一款金属。心可以很软，如泣如诉如绢如帛。心可以很韧，千百次的折损委屈，依旧平整如初。心可以很脆，一个不小心，顿时香消玉碎。 造心的时候，可以有很多讲究和设计。 比如预埋下一处心灵的生长点，像一株植物， 具有自动修复，自我养护的神奇功能。心受了创伤，它会挺身而出，引导心的休养生息，在最短的时间内，使心整旧如新。 比如高高竖起心灵的避雷针，以便在危急时刻，将毁灭性的灾难导入地下，耐心等待雨过天晴。 比如添加防震防爆的性能，在心灵遭受短时间高强度的残 酷打击下，举重若轻，镇定地维持蓬勃稳定。 比如…… 优等的心，不必华丽，但必须坚固。因为人生有太多的压榨和当头一击，会与独行的心灵，在暗夜狭路相逢。如果没有精心的特别设计，简陋的心，很易横遭伤害一蹶不振，也许从此破罐破摔，再无生机。没有自我康复本 领的心灵，是不设防的大门。一汪小伤，便漏尽全身膏血。一星火药，烧毁绵延的城堡。 心为血之海，那里汇聚着每个人的品格智慧精力情操，心的质量就是人的质量。有一颗仁慈之心，会爱世界爱人爱生活，爱自身也爱大家。有一颗自强之心，会勤学苦练百折不挠，宠辱不惊大 智若愚。有一颗尊严之心，会珍惜自然善待万物。有一颗流量充沛羽翼丰满的心，会乘上幻想的航天飞机，抚摸月亮的肩膀。 造心是一项艰难漫长的工程，工期也许耗时一生。通常是母亲的手，在最初心灵的模型上，留下永不消退的指纹。所以普天下为人父母者，要珍视这一份特 别庄重的义务与责任。 当以我手塑我心的时候，一定要找好样板，郑重设计，万不可草率行事。造心当然免不了失败，也很可能会推倒重来。不必气馁，但也不可过于大意。因为心灵的本质，是一种缓慢而精细的物体，太多的揉搓，会破坏它的灵性与感动。 造好的心，如同造 好的船。当它下水远航时，蓝天在头上飘荡，海鸥在前面飞翔，那是一个神圣的时刻。会有台风，会有巨涛。但一颗美好的心，即使巨轮沉没，它的颗粒也会在海浪中，无畏而快乐地燃烧。 读书使人优美 优美在字典上的意思是：美好。 ? 做一个美好的人，我相信是绝大多数人的心愿。 谁不愿意美好啊？除了心灵的美好，外表也需美好。为了这份美好，人们使出了万千手段。比如刀兵相见的整容，比如涂脂抹粉的化妆。为了抚平脸上的皱纹，竟然发明了用肉毒杆菌的毒素在眉眼间注射，让面部微小神经麻痹，换来皮肤的暂时平滑……让我这个曾经当过医生的人胆战心 惊。 其实，有一个最简单的美容之法，却被人们忽视，那就是读书！ 读书的时候，人是专注的。因为你在聆听一些高贵的灵魂自言自语，就会不由自主地谦逊和聚精会神。即使是读闲书，看到妙处，也会忍不住拍案叫绝……长久的读书可以使人养成恭敬的习惯，知道这个世界上可以 为师的人太多了，在生活中也会沿袭洗耳倾听的姿态。而倾听，是让人神采倍添的绝好方式。所有的人都渴望被重视，而每一个生命也都不应被忽视。你重视了他人，魅力就降临在你双眸。 ? 读书的时候，常常会会心一笑。那些智慧和精彩，那些英明与穿透，让我们在惊叹的同时拈页 展颜。微笑是最好的敷粉和装点，微笑可以传达比所有语言更丰富的善意与温暖。有
最大值与最小值的定义及求解方法
最大值与最小值的定义及求解方法在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念。
了解它们的定义和求解方法，有助于我们更好地理解和应用数学知识。
一、最大值和最小值的定义最大值指的是一组数中的最大值，也就是这些数中最大的那个数。
例如，1、2、3、4中的最大值为4。
最小值则是这组数中最小的那个数，例如，1、2、3、4的最小值为1。
在函数中，最大值和最小值的定义稍有不同。
对于一个函数f(x)而言，最大值指的是函数在定义域中最大的函数值，也就是在这个函数中，y的取值最大的那个点。
同样的，最小值则是函数在定义域中最小的函数值，也就是在这个函数中，y的取值最小的那个点。
二、求解方法求解最大值和最小值的方法有很多种，以下是几种比较常见的方法。
1.导数法通过求函数的导数，可以判断函数在哪些点处达到最大值或最小值。
具体来说，如果函数在某个点处的导数为0，那么这个点就是函数的极值点。
如果导数为正，那么这个点就是函数的最小值点；如果导数为负，那么这个点就是函数的最大值点。
2.描点法描点法，也称为“列表法”，是一种通过列出函数在特定点处的函数值来确定函数最大值或最小值的方法。
具体来说，我们可以先选取一些数作为自变量，计算函数在这些点处的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的最大值或最小值。
3.函数图像法函数图像法，就是通过观察函数的图像来判断函数的最大值或最小值。
具体来说，我们可以画出函数的图像，然后找到其中的极值点，并判断这些点是最大值点还是最小值点。
三、总结最大值和最小值的概念在数学中非常重要，而求解最大值和最小值的方法也有很多种。
通过学习这些方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，同时也可以更好地解决和处理实际问题。
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驻点
是极大点，其极大值为
是极小点，其极小值为
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
(1) f (x) “左正右负” ,则 f (x)在 x0 取极大值. (2) f (x) “左负右正” ,则 f (x)在 x0 取极小值 ;
例如
y
f (x) 2x3 9x2 12x 3
2
为极大点 ,
是极大值 1
为极小点 ,
是极小值 o 1 2 x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
lim f (x) 2, 则在点 x 0 处 f (x) ( D ).
x01 cos x
(A) 不可导 ;
(B) 可导, 且 f (0) 0;
(C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 利用极限的保号性 .
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3. 设
y f (x) 是方程 y 2 y 4 y 0 的一个解,
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解:
即
F 5 g , cos sin
[0,
2
]
令 () cos sin
则问题转化为求()的最大值问题 .
F
P
() cos sin
令
解得
而 () 0,
因而 F 取最小值 .
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内容小结
1. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
A 若 f (x0) 0, 且 f (x0) 0, 则 f (x) 在 x0 ( )
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示:
则其最值只能
(2) 最大值
M max
最小值
f (a), f (b)
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特别:
• 当 在 内只有一个极值可疑点时, 若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 .
• 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. • 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的
可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
2) 求驻点
令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 0, x3 1
3) 判别
因 f (0) 6 0, 故
为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0, 故需用第一判别法判别.
y
1
1x
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例如 , 例2中
y
f (x) 24 x (5x2 3), f (1) 0
20
100
C
解: 设 AD x (km), 则 CD 202 x2 , 总运费
y k (
5x 400
x
2(
k
3为),某一y常 数5
k)
400 (400 x
2
)
3 2
令
得
又
所以 x 15为唯一的
极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
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第三节
第三章
函数的极值与
最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法
定义:
在其中当
时,
(1)
则称 为 的极大点 ,
称 为函数的极大值 ;
(2)
则称 为 的极小点 ,
称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 .
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例4. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作
用开始移动, 设摩擦系数
问力
为多少时才可使力 的大小最小?
解: 克服摩擦的水平分力
正压力
F cos (5g F sin)
与水平面夹角
F
P
即
F 5 g , cos sin
[0,
2
]
令
() cos sin
则问题转化为求 () 的最大值问题 .
a
处(
B
).
(A) f (x) 的导数存在 , 且 f (a) 0；
(B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;
(D) f (x)的导数不存在.
提示: 利用极限的保号性 .
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2. 设 f (x) 在 x 0 的某邻域内连续, 且 f (0) 0,
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例3. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
公路, 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货
物从B 运到工厂C 的运费最省, 问 A x D
B
D 点应如何选取?
所以
不是极值点 .
1
1x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如:
f (0) 2为极大值 , 但不满足定理1
~ 定理3 的条件.
机Hale Waihona Puke 目录 上页 下页 返回 结束二、最大值与最小值问题
在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(自证)
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例1. 求函数
的极值 .
解:
1) 2)
求导数 f (x)
求极值可疑点
2
x3
(x
1)
2 3
x
1 3
5 3
x
2 5
3x
令
f
(x)
0
,
得
x1
2 5
;
令 f (x) , 得 x2 0
3) 列表判别
x (, 0) 0 (0 , 52)
2 5
(52 , )
(2) 第一充分条件
过 由正变负 过 由负变正
为极大值 为极小值
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值
定理3 目录 上页 下页 返回 结束
2. 连续函数的最值
最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
思考与练习
1.
设
lim
xa
f
(x) f (a) (x a)2
1,
则在点
f (x)
0
f (x)
0
0.33
是极大点，其极大值为
是极小点，其极小值为
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定理2 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且 则
在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
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例2. 求函数
的极值 .
解: 1) 求导数
f (x) 6x (x2 1)2, f (x) 6(x2 1)(5x2 1)