【2019年整理】函数的最大值与最小值91277
函数的最大值、最小值 课件
2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［t,t+1］,t∈R，对称轴为 直线x=1.
当t+1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区 间［t,t+1］上为减函数，所以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值 为f(1)=1; 当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］ 上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.
1.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)有最小值-2，则f(x) 的最大值为( ) A.4 B.6 C.1 D.2 2.函数f(x)= 1－1 (x>0).
ax
(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)若函数f(x)的定义域与值域都是［ 1 , 2］，求a的值.
2
【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么? 2.题2(1)证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2) 是否有作用？ 探究提示： 1.求二次函数f(x)在某区间［m,n］上的最值的关键是判断函 数在［m,n］内的单调性. 2.证明f(x)单调性的步骤为取值→作差变形→定号→判断(结 论)，可以利用其单调性解决(2)中的值域问题，进而求出a的 值.
类型 一 图象法求函数最值(值域)
1.函数y=f(x)，x∈［－4,7］的图象如图，则其最大值、最
小值为( )
A.3，2
B.3，-2
C.3，0
D.2，-2
2.写出函数f(x)=|x+1|+|2－x|，x∈(－∞,3］的单调区间和
函数的极值与最值
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7
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
证: (1)
f
(
x0
)
lim
xx0
f (x) f (x0 ) x x0
lim
x x0
f (x) x x0
由 f (x0) 0知, 存在 0,当0 x x0 时,
当
f (x) f (x0)
充分接近 o((时x ,
x上f0)(式nx)0左)(x端正x0负) 号由右f 端(nn) (第!x0一) (x项确x0定)n
,
故结论正确 .
2019年12月20日5时33分
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例2. 求函数
解: 1) 求导数
f (x) 6x (x2 1)2,
的极值 .
f (x) 6(x2 1)(5x2 1)
2) 求驻点
令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 0, x3 1
3) 判别
因 f (0) 6 0, 故
为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0, 故需用第一判别法判别.
故当 x0 x x0 时，f (x) 0;
当x0 x x0 时，f
由第一判别法知 f (x)在
(x) 0, x0 取极大值.
x0
x0 x0
(2) 类似可证 .
2019年12月20日5时33分
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函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有 极值,并且极大值 极小值)不一定就是最大值 最小 极值 并且极大值(极小值 不一定就是最大值(最小 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 但除端点外在区间内部的最大值(或最小值 值),但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值),则 一定是极大值(或极小值 或极小值). 一定是极大值 或极小值 (4)如果函数不在闭区间 如果函数不在闭区间[a,b]上可导 则在确定函 上可导,则在确定函 如果函数不在闭区间 上可导 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. 处的值 (5)在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数 这样的函数称为单峰函数),那么要根 有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再 与端点的函数值进行比较. 与端点的函数值进行比较
函数的最大值与最 小值与导数
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时,判别 0)是极大 小)值的 在 处连续时 判别f(x 是极大(小 值的 当函数 判别 是极大 方法是: 方法是 如果在x 右侧f ①如果在 0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 ,那 ） 右侧 那 是极大值; 么,f(x0)是极大值 是极大值 如果在x 右侧f ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 ,那 那 是极小值. 么,f(x0) 是极小值 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 分条件.极值只能在函数的 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 时取到. 两侧的导数异号时取到 两侧的导数异号时取到 3.在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小 而不是极值. 哪个值最小,而不是极值 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
75 2 75 2 , f (1 2 ) . 相应的函数值为: f (1 2 ) 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 75 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 1 2 处取得最大值 2 75 2 . 在点 x2 1 2 处取得最小值 2
二、新课——函数的最值y源自观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ，最小值 大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
1 1 2 2 例3:证明不等式: ln x ( x 1) 1 (1 x )3 ( x 0). x 2 3 1 1 2 2 3 f ( x ) ln x ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 0). 证 :设 x 2 3 1 1 2 3 2x 1 则 f ( x ) 2 ( x 1) 2( x 1) ( x 1) 2 , x x x
函数的最大值和最小值精品文档7页
函数的最大值和最小值教材分析函数的最大（小）值是函数的一个重要性质。
它和求函数的值域有密切的关系，对于在闭区间上连续的函数，只要求出它的最值，就能写出这个函数的值域。
通过对本课的学习，学生不仅巩固了刚刚学过的函数单调性，并且锻炼了利用函数思想解决实际问题的能力；同时在问题解决的过程中学生还可以进一步体会数学在生活、实际中的应用，体会到函数问题处处存在于我们周围。
学情分析在初中学生对已经经历了中学函数学习的第一阶段，学习了函数的描述性概念接触了正比例函数，反比例函数一次函数二次函数等最简单的函数，了解了他们的图像和性质。
鉴于学生对二次函数已经有了一个初步的了解。
因此本节课从学生接触过的二次函数的图象入手，这样能使学生容易找出最高点或最低点。
但这只是感性上的认识。
为了让学生能用数学语言描述函数最值的概念，先从具体的函数y=x2入手，再推广到一般的函数y=ax2+bx+c (a≠0)。
让学生有一个从具体到抽象的认识过程。
对于函数最值概念的认识，学生的理解还不是很透彻，通过对概念的辨析，让学生真正理解最值概念的内涵。
例1与它的变式是本节的重点，通过对区间的改变，让学生对求二次函数的最值有一个更深的认识。
同时让学生体会到数形结合的魅力。
教学目标分析1、知识与技能目标：掌握函数最大、最小值的概念，能够解决与二次函数有关的最值问题，以及利用函数单调性求最值，会用函数的思想解决一些简单的实际问题。
2、过程与方法目标：通过函数最值的学习进一步研究函数，感悟函数的最值对于函数研究的作用。
3、情感态度、价值观目标：培养学生积极进行数学交流，乐于探索创新的科学精神。
教学重点和难点教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．四、教学方法本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．五、学习方法对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略，并归纳出自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习”。
函数在区域内的最大值和最小值
函数在区域内的最大值和最小值函数在区域内的最大值和最小值是数学中常见的概念，它们在很多实际问题中都有重要的应用价值。
本文将围绕这个主题展开，讨论最大值和最小值的概念、性质以及求解方法，并结合具体例子说明其应用。
我们来了解一下最大值和最小值的定义。
在数学中，给定一个函数和一个区域，函数在这个区域内取得的最大值和最小值分别是函数在该区域内取得的最大和最小的函数值。
最大值对应的输入值被称为函数的极大值点，最小值对应的输入值被称为函数的极小值点。
最大值和最小值具有一些重要的性质。
首先，最大值和最小值一定是函数在区域内的局部极值点。
这是因为如果一个函数在某个点取得了最大值或最小值，那么在这个点的邻域内，函数的值要么更大，要么更小，不可能再有更大或更小的值。
其次，最大值和最小值可以帮助我们确定函数在区域内的整体走势。
通过寻找最大值和最小值，我们可以确定函数的上升区间和下降区间，进而描绘出函数的整体形状。
接下来，我们来看一下如何求解函数在区域内的最大值和最小值。
求解最大值和最小值的方法有很多，其中一种常用的方法是使用导数。
导数可以帮助我们判断函数在某个点的斜率，从而确定极值点的位置。
具体来说，我们可以通过求解函数的导数为零的点，来找到函数的极值点。
在这些点上，函数的斜率为零，可能是函数的最大值或最小值。
举个例子来说明，假设有一个函数f(x)，我们想要求解它在区域[a, b]内的最大值和最小值。
首先，我们可以计算函数f(x)在区域内的导数f'(x)。
然后，我们将f'(x)等于零的方程求解，得到一些解x1, x2, ..., xn。
接下来，我们计算这些解对应的函数值f(x1), f(x2), ..., f(xn)。
其中，f(x1), f(x2), ..., f(xn)中的最大值即为函数f(x)在区域[a, b]内的最大值，最小值即为最小值。
最大值和最小值的概念在实际问题中有着广泛的应用。
比如，在经济学中，我们常常需要求解某个经济指标的最大值和最小值，以便确定经济的发展趋势和政策调整方向。
高等数学3.3 函数的最大值和最小值
3：5,问D 选在何处，才能使从B到 C 的运费最少?
解 设 AD x(km),则 DB 100 x,CD 202 x2 ． A
B D
由于铁路每 km 货物运费
与公路每 km 货物运费之比为
3：5，因此，不妨设铁路上每
km 运费为3k ,则公路上每 km
运费为5k ,并设从 B 到 C 点需 C
,
x 0.
(2)求 S(x) 的最小值.
因为 令 S (x) = 0,
2V S( x) 4x x2 , 得可能极点值 x 3 V , 且唯一,
2
又 S( x) 4
4V x3
,
3 S
V 2
0
，
所
以
S
(
x)
在
3V x
处 取 得 最 小 值.
2
内目标函数的驻点又只有一个， 所以可以断言当
j 54 时， h 取得最大值， 且最大值为
h |j 54 15sin 54 – 3tan 54 – 2 6 (m).
由于车身高 1.5 m，因此实际可以将油罐吊到 约 7.5 m 的高度， 因而肯定能将它吊到 6.5 m 高的 平台上去.
例 5 有一块宽为2a 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折 起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为 x,问高 x取何值 时水槽的流量最大(下图所示为水槽的横截面）？
2a-2x
x
x
解 设两边各折起 x,则横截面积为
S(x) 2x(a x) (0 x a)
这样，问题归结为：当 x 为何值时，S(x) 取得最大值．
要的总运费为 y,则
y 5k 202 x2 3k (100 x) (0≤ x ≤ 100) .
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一、探究引出函数 的最
大（小）值的概念
三、怎样利用函数单调 性判断函数的最大小值
二、对函数最大 （小） 值的讨论
四、方法总结及练习
董丽娜 20091021226 09级数学系02班
一、探究
1、画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：
(1) f (x) 2x 1
(2) f (x) x2 2x 3
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( ) D
A、a≥3
B、a≤3
C、a≥-3
D、a≤-3
2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 值域__[2_1_,_4_9_] _____.
1、函数最大（小）值的概念。
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最 大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
3、在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值
返回
三、用函数单调性判断函数最大（小）值
例2.求函数 y 2 在区间[2，6]上ຫໍສະໝຸດ 最大值和最小值．x 1
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
（2）最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： A、对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; B、存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值 返回
二、对函数最大（小）值的讨论
讨论函数 y 2x 1 在下列各区间的最值:
区间
y max
y m in
所以，函数 y 2 是区间[2,6]上的减函数. x 1
因此,函数 y
2 x 1
在区间[2,6]上的两个端
点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取
最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值
为0.4 .
y 2 x 1
返回
利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区 间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b)；
课堂练习
f
(x1)
f
(x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) (x1 1)] (x2 1)(x1 1)
2(x2 x1) (x2 1)(x1 1)
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
f (x1) f (x2 ) 0,即 f (x1) f (x2 )
y
xR
无
无
x 2,4 f(4)=7 f(2)=3
x 2,4 无
无
x 2,4 无
f(2)=3
0
x
归纳小结：
1、一次函数在R上无最值 2、一次函数在闭区间的端点处取得最值 3、一次函数在开区间的端点无最值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存 在x0∈I，使得f(x0) = M；
y y
o
x
o1x
-4
（1） 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； （2 ） 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
2、函数最大值与最小值的概念
（1）最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： A、对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; B、存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值