下数学平行四边形中的动点问题

动点问题练习题1．（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．2．如图，在四边形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．CP Q BA M N CB1． 如图，在平面直角坐标系中，在四边形OABC 中，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的 坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？(2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？ 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由．2．（河北卷）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）． （1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．3．（山东济宁）如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。

OA 、OB的长分别是方程x 2－14x ＋48＝0的两根(OA ＞OB)，直线BC 平分∠ABO 交x 轴于C 点，P 为BC 上一动点，P 点以每秒1个单位的速度从B 点开始沿BC 方向移动。

(1)设△APB 和△OPB 的面积分别为S 1、S 2，求S 1∶S 2的值； (2)求直线BC 的解析式；(3)设PA －PO ＝m ，P 点的移动时间为t 。

①当0＜t≤m 的取值范围； ②当t＞m 的取值范围如何(只要求写出结论)？AP CEDBCAQP 4．在ABC ∆中，,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。

过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ 。

设动点运动时间为x 秒。

（1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设EDQ ∆的面积为2()y cm ，求y 与月份x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 为何值时，EDQ ∆为直角三角形。

5.（金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点(043)A ，，点B 在x 正半轴上，且30ABO =∠．动点P 在线段AB 上从点A 向点B 3设运动时间为t 秒．在x 轴上取两点M N ，作等边PMN △．（1）求直线AB 的解析式；（2）求等边PMN △的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边PMN △的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt AOB △内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边PMN △和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当02t ≤≤秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．6．（相似）两块完全相同的直角三角板ABC 和DEF 如图1所示放置，点C 、F 重合，且BC 、DF 在（图1） y A P M O N B x （图2）yA CO D B xEPDA 一条直线上，其中AC =DF =4，BC =EF =3．固定Rt △ABC 不动，让Rt △DEF 沿CB 向左平移，直到点F 和点B 重合为止．设FC =x ，两个三角形重叠阴影部分的面积为y ． （1）如图2，求当x =21时，y 的值是多少？ （2）如图3，当点E 移动到AB 上时，求x 、y 的值； （3）求y 与x 之间的函数关系式；8.（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°，AC=8，BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成11AC D ∆和22BC D ∆两个三角形（如图2所示）.将纸片11AC D ∆沿直线2D B （AB ）方向平移（点12,,,A D D B 始终在同一直线上），当点1D 于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P.（1）当11AC D ∆平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜想；（2）设平移距离21D D 为x ，11AC D ∆与22BC D ∆重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值；使得重叠部分的面积等于原ABC ∆面积的14？若不存在，请说明理由.1． 四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，CB D A 图1PEF AD 1B1D 2C 2图3C 2D 2C 1BD 1A 图2动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3厘米/秒的速度向B 点运动。

已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。

假设运动时间为t 秒，问： （1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？（2）在某个时刻，四边形PQCD 可能是菱形吗？为什么？ （3）t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形？ （4）t 为何值时，四边形PQCD 是等腰梯形？2. 如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm/s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时 出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动 时间为t (s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，cm BC AD 5==,AB =12 cm,CD =6cm , 点P 从A 开 始沿AB 边向B 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动， 如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。

设运动时间为t 秒。

（1）求证：当t=23时，四边形APQD 是平行四边形； （2）PQ 是否可能平分对角线BD ？若能，求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若不能，请说明理由； （3）若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，求t 的值。

ABCD PA F DPE B Q CO N M E FC A4. 如图所示，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过O 作直线MN ∠BCA ∠BCA 6=2AE BC ∠B 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动。

（1）试判断四边形PQEF 是正方形并证明。

（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由。

（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？7. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（E 点不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G . ⑴求证：四边形EFOG 的周长等于2 OB ；⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2 OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．（1）求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)；（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？（3）是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？图10G FO D A10.如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的23？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．CB。