初二数学动点问题练习(含答案)

动态问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ，它们在线段、射线或弧线上运动的一类

6

c

N

t4

o

o

AD 的长为 度时 AD 的长为

②当

.度时

o

C

B

C

B

A

（备用图）

E

N

E

A

B

B

B

A

A

E

时 时 M C ” 图1

l E

EDBC 是否为菱形，并说明理由

C ,且

（1）①

当

四边形EDBC 是直角梯形，此时

开放性题目 关键： 数学思想 1、如图1 C 开始沿向点 秒 当 当

CE // AB 交直线I 于点E ，设直线I 的旋转角为

2、如图2,正方形的边长为 4,点M 为

5

90 ° ,直线经过点

3、如图，在只也ABC 中，ACB

四边形是平行四边形； 四边形是等腰梯形?8

90° B 60°, BC 2 .点O 是AC 的中点，过

四边形EDBC 是等腰梯形，此时 （2 ）当 90「时，判断四边形 解：（1 ［① 30, 1 :② 60, 1.5 ； （2）当/% =900时，四边形是菱形?

???/a =Z 90°,.?..???，???四边形是平行四边形 在△中，/ 900,/ 6002, ???/ 30°.

在边上，且1 , N 为对角线上任意一点，则的最小值

.解决这类问题的关键是动中求静 ，灵活运用有关数学知识解决问题 .

动中求静?

分类思想

数形结合思想转化思想

梯形中，// ，/ 90°, 141821,点P 从A 开始沿边以1秒的速度移动，点 Q 从 B 以2秒的速度移动，如果 P , Q 分别从A , C 同时出发，设移动时间为 t

D ，丄于

E M C

点o 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D ?过点C 作

? 2.

???. 又??四边形是平行四边形

?四边形是菱形 4、在△中

M

D C

A

D

1

42 . 3. ? 2AC 3 .在△中，/ 3。0, (2)

图2 N

(3)若5且/ 45 °,其他条件不变，直接写出△

为直角三角形的t 值

(1) 当直线绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△◎△:②+: (2) 当直线绕点C 旋转到图2的位置时，求证：;

⑶当直线绕点C 旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证 明?

解：(1 ［① ???// 90°

???// 90° ???// 90°

???// ?/

?△BA

(2) ???/// 90°

又T .?.△也厶 ?，

? (3) 当旋转到图3的位置时，(或，等)

???/// 90°

又T,

5、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形是正方形，点 E 是边的中点. AEF 90°，且交正

方形外角 DCG 的平行线于点F ,求证：.

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取的中点 M 连接，则，易证 △ AME 也厶ECF ，所

以 AE EF ?

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1 )小颖提出：如图2,如果把“点E 是边的中点”改为“点 E 是边上(除B , C 外)的任意一点”， 其它条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不 正确，请说明理由；

(2)小华提出：如图3，点E 是的延长线上(除 C 点外)的任意一点，其他条件不变，结论“”仍 然成立?你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由. 解：(1)正确. 证明：在 AB 上取一点M ，使AM EC ，连接ME ?

BM BE ? BME 45° AME 135QCF 是外角平分线， DCF 45° ECF AME ECF ?

Q AEB BAE 90° , AEB CEF 90。

, BAE CEF ? △ AME 也厶 BCF

()?

(2)正确.

证明：在BA 的延长线上取一点 N ?使AN CE ,

BN BE ? N PCE 45° ?

Q 四边形ABCD 是正方形, AD II BE ?

DAE BEA ? NAE CEF ?

135° ?

AE △ ANE 也厶 ECF () ? AE EF ?

EF ? 射线上9是射线外一点5且A 到射线的距离为3,动点P 从M 沿射线方向以 P 的运动时间为t.

6、如图, 移动，设 求(为等腰三角形的t 值；(2)^为直角三角形的t 值; 图1

图3

1个单位/秒的速度

1,

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF 交BC 于点M ，过M 作MN // AB 交折线ADC

于点N ，连结PN ，设EP X .

①当点N 在线段AD 上时（如图2）, △ PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出 △ PMN 的周长；若

改变，请说明理由;

②当点N 在线段DC 上时（如图3）,是否存在点P ，使△ PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由

7、如图1，在等腰梯形

F . AB 4, BC 6

ABCD 中，AD // BC , E 是AB 的中点，过点E 作EF // BC 交CD 于点 / B 60 .求：（1）求点E 到BC 的距离

;

解（1）如图

1,过点E 作EG BC 于点G. ?/ E 为AB 的中点,

BE 1 AB 2.

2

日

P

在Rt A EBG 中，/ B 60 , ... / BEG

BG - BE

30 . . 2

1,

(1)如果点P 在线段上以3的速度由B 点向C 点运动，同时，点 Q 在线段上由C 点向A 点运动 ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过 1秒后，△ BPD 与△ CQP 是否全等，请说明理由;

即点E 到BC 的距离为、、3.

(2)①当点N 在线段AD 上运动时， △ PMN 的形状不发生改变. ?/

PM EF ，EG EF ， /? PM // EG.

??? EF // BC ， ?

EP GM ，PM EG 、、3. 同

可理MN AB 4 .

如图2,过点P 作PH

MN 于 H ，: MN

// AB ，

NMC / B 60 ，/ PMH 30 . ?- PH 1 —

PM

2-3

2

2

?- MH PM gcos30

3 nt

则NH

2

MN MH

4 ?

2

5 2 .

?

2

5

3 2

在 Rt A PNH 中， PN

NH 2 PH 2 j 7 .

2

2

? △ PMN 的周长 =PM

PN MN

.3 .7 4 .

②当点N 在线段DC 上运动时， △ PMN 的形状发生改变，但 △ MNC 恒为等边三角形. 当

PM PN 时，如图3，作PR MN 于R ，则MR NR

3

类似①，MR . ??? MN 2MR 3. ?/ △ MNC 是等边三角形，二 MC MN

2

此时，x EP GM BC BG MC 6 1 3 2.

3.

当MP MN 时，如图 4，这时 MC

MN MP .3.此时, x EP GM 6 1 .3 5 ,3.

当NP NM 时，如图 :

丄 PNM / MNC

?- MC PM gtan30

5, / NPM 180 . 1.

综上所述，当x 2或4或 因此点 此时，x 5乙

时,

/ PMN 30 . 则/ PMN 120，又/ MNC 60 , P 与F 重合，△ PMC 为直角三角形.

EP GM 6 114.

△ PMN 为等腰三角形.

8、如图，已知△ ABC 中,

AB

AC 10

厘米，BC 8厘米，点D 为AB 的中点.

图1

图2

图3

G

M

图4

G

M

图5

3

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△ BPD 与△ CQP 全等？ (2)若点Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点P 以原来的运动速度从点 B 同时出发, 三边运动，求经过多长时间点 P 与点Q 第一次在 △ABC 的哪条边上相遇?

80

3 80

???点P 共运动了 3

厘米.?/ 80

80

?经过3秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇.

B .

C .

D 重合.

(1 )证明不论E 、F 在.上如何滑动，总有;

(2)当点E 、F 在.上滑动时，分别探讨四边形和△的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值; 如果变化，求出最大(或最小)值.

都逆时针沿△ABC

解: (1 ［①：t 1 秒，BP CQ

3 1

3

厘米,

AB 10厘米，点D 为AB 的中点,

BD 5 厘米. 又??? PC

BC BP, BC 8厘米,

PC 8 3 5 厘米,

PC BD

又■: AB AC

? △ BPD CQP

②??? V P

BP CQ

△ BPD CQP

C ,则 BP

PC 4, CQ BD 5

???点 P , 点Q 运动的时间

BP 3 4

3 秒,

V Q

CQ t

厘米/秒。

(2)设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇,

由题意，得 15

一 x 4

3x 2 10

，解得

80

3 秒.

28 24 ???点P 、点Q 在AB 边上相遇,

9、如图所示，在菱形中,

4，/ 120 ° △为正三角形，点 E 、F 分别在菱形的边.上滑动，且 E 、F 不与

???四边形为菱形，/ 120°

ZZ 60° ZZ 60°

???/厶

???/ 120°

60°

? △和△为等边三角形。 ???/ 60°。厶 .??在△和△中，???//, , ZZ,

/.△^△()。二。

(2)四边形的面积不变，△的面积发生变化。理由如下:

由(1)得 *△，贝y Su 。

面积会最小， 又 S △四边形—S A , 则此时△的面积就会最大.

S A 4 3 1 2 3 232 3 2 3。

2 *

? △的面积的最大值是

<3。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性 质。

【分析】(1)先求证，进而求证△、△为等边三角形，得/

=60 °,,从而求证*△，即可求得。

(2 )由△也△可得 S M , 故根据 S 四边形△△△△△ 即可得四边形的面积是定值。当正三角形的边与

垂直时，边最短.△的面积会随着的变化而变化， 且当最短时，正三角形的面积会最小， 根据SA 四边形一S ? 则△

的面积就会最大。

10、如图，在△中，/ 90° 6, C 为上一点，射线 丄交于点D , 2 .点P 从点A 出发以每秒"◎个单位长 度的速度沿方向运动，点 Q 从点C 出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动， P 、Q 两点同时出发， 当点P 到达到点B 时停止运动，点 Q 也随之停止.过点 P 作丄于点E ,丄于点F ,得到矩形.以点 Q 为 直角顶点向下作等腰直角三角形，斜边

// ,且?设运动时间为t (单位：秒).

【答案】解：(1)证明：如图，连接

--S 四边形△△△△△, 是定值。 作丄于H 点，则2,

S 四边形AECF S ABC

1

BC AH

2

1

BC AB 2 BH 2 4 3。

2

由垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短. 故△的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的

…S △四边形

C