数列小题练习含答案
高中数学《数列》练习题(含答案解析)
高中数学《数列》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且48S S ＝13，则816S S ＝（ ）A ．310 B ．37C ．13D ．122．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a -D ．91010a -7．已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a8．已知{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a+、172a +成等比数列，()12n n n a S +=，则不正确的是（ ） A ．1d= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32n n S a ≥9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．1010101110．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32B ．42C ．52D ．62二、填空题11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6Sa a =+=，则d =_________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517S S =______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．三、解答题15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．参考答案与解析：1．A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++， 故选：A 2．D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D 3．B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确； 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D【分析】根据数列{}n a 的通项公式，可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推，即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选：D. 5．C【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6819,27aa ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.故选：C. 6．D【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101102nn a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列， 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4.9的视标边长为91010a -，故选：D. 7．B【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，22641411ttyt t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()1122nn n n a n a a S ++==，所以，1n a na =， 所以，110n n d a a a +=-=>，因为()()2521722a a a +=+，可得()()2111522172a a a +=+，整理可得21191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；12n a na n ==，则1020a =，B 对；()()112nn n a S n n +==+，C 对；当2n ≥时，()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.故选：A. 9．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子； （2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±. 12．1【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13．1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯． 故答案为：1 14．42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正， 所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+.【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式 （2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列， 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利.18．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2n n S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x ． 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n，使1+=-n n nb c c，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。
《数列》单元测试题(含答案解析)
《数列》单元练习试题一、选择题1．已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n （∈n N *），则4a 等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）02．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ）（A ）它的首项是2-，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是3- （C ）它的首项是3-，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是2- 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则=24a S （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）215 （D ）2174．设数列{}n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）（A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S < （D ）56S S = 5．已知数列}{n a 满足01=a ，1331+-=+n n n a a a （∈n N *），则=20a （ ）（A ）0 （B ）3- （C ）3 （D ）236．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ）（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）2607．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（ ）（A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+（C ）5481a a a a +=+ （D ）81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项9．设}{n a 是由正数组成的等比数列，公比2=q ，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）（A ）210（B ）220（C ）216（D ）21510．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）二、填空题11．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是．12．等比数列}{n a 的公比0>q ．已知12=a ，n n n a a a 612=+++，则}{n a 的前4项和=4S ． 13．在通常情况下，从地面到10km 高空，高度每增加1km ，气温就下降某一固定值．如果1km 高度的气温是8.5℃，5km 高度的气温是－17.5℃，那么3km 高度的气温是℃． 14．设21=a ，121+=+n n a a ，21n n n a b a +=-，∈n N *，则数列}{n b 的通项公式=n b ． 15．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，则4S ，48S S -，812S S -，1216S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列}{n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，，1216T T 成等比数列． 三、解答题16．已知}{n a 是一个等差数列，且12=a ，55-=a ．（Ⅰ）求}{n a 的通项n a ；（Ⅱ）求}{n a 的前n 项和n S 的最大值．17．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列．（Ⅰ）求}{n a 的公比q ； （Ⅱ）若331=-a a ，求n S ．18．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m ．（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？19．设数列}{n a 满足333313221n a a a a n n =++++- ，∈n N *． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项；（Ⅱ）设nn a nb =，求数列}{n b 的前n 项和n S ．20．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，241+=+n n a S ．（Ⅰ）设n n n a a b 21-=+，证明数列}{n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式．21．已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an n n b 2)1(41⋅-+=-λ（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．数列测试题一、选择题(每小题5分，共60分)1．等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝16，a 4＝6，则公差d 的值是( )A ．1B ．2C ．－1D ．－22．在等比数列{a n }中，已知a 3＝2，a 15＝8，则a 9等于( )A ．±4B ．4C ．－4D ．163．数列{a n }中，对所有的正整数n 都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2519D.31154．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝( )A ．8B ．－8C ．±8D.985．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 12＝30，则S 13的值是( )A ．130B ．65C ．70D ．756．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．97．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为( )8．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4 C．2D ．49．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值围是( ) A ．d >83 B ．d <3C.83≤d <3D.83<d ≤3 10.等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为 q ，则下列条件中，使{}n a 一定为递减数列的条件是（ ） A ．1q < B 、10,1a q >< C 、10,01a q ><<或10,1a q <> D 、1q >11. 已知等差数列{}n a 共有21n +项，所有奇数项之和为130，所有偶数项之和为120，则n 等于（ ）Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．12 12．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2)(2nn f + (n ∈N ＋)，且f (1)＝2，则f (20)为( ) A ．95B ．97C ．105D ．192二、填空题(每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，a 3＝6.若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 14.已知数列{a n } 中,a 1=1且31111+=+n n a a (n ∈ N +),则a 10= 15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且满足)2)(1(31≥-=+-n n a a n n ，则数列{a n }的通项公式为=n a 16．已知数列满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2，(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值围为三、解答题(本大题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10分）在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N +). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前20项和为S 20.18．(12分)已知数列}{n a 前n 项和n n S n 272-=，(1)求|}{|n a 的前11项和11T ；(2) 求|}{|n a 的前22项和22T ；19．(12分)已知数列}{n a 各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =2n a + n －4(n ∈N +). (1)求证:数列}{n a 为等差数列;(2)求数列}{n a 的前n 项和S n .20．(12分)数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()111,211n n a a S n +==+≥. （1）求{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．21．(12分)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2,2a n ＝1＋a n a n ＋1，b n ＝a n －1(b n ≠0)． (1)求证数列{1b n}是等差数列；(2)令11+=n n a c ，求数列{n c }的通项公式．22．（12分）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .《数列》单元测试题 参考答案 一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．C 二、填空题11．1613 12．21513．－4.5 14．12+n 15．48T T ，812T T 三、解答题16．（Ⅰ）设}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧-=+=+.54,111d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,31d a ∴52)2()1(3+-=-⨯-+=n n a n ．（Ⅱ）4)2(4)2(2)1(322+--=+-=-⨯-+=n n n n n n S n ．∴当2=n 时，n S 取得最大值4．17．（Ⅰ）依题意，有3212S S S =+，∴)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++，由于01≠a ，故022=+q q ，又0≠q ，从而21-=q ． （Ⅱ）由已知，得3)21(211=--a a ，故41=a ，从而])21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----⨯=．18．（Ⅰ）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有7052)1(2=+-+n n n n ， 整理，得0140132=-+n n ，解得7=n ，20-=n （舍去）． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． （Ⅱ）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有70352)1(2⨯=+-+n n n n ， 整理，得0420132=-+n n ，解得15=n ，28-=n （舍去）． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．19．（Ⅰ）∵333313221na a a a n n =++++- ，① ∴当2≥n 时，31333123221-=++++--n a a a a n n ． ② 由①－②，得3131=-n n a ，n n a 31=．在①中，令1=n ，得311=a ．∴n n a 31=，∈n N *． （Ⅱ）∵nn a n b =，∴n n n b 3⋅=，∴nn n S 33332332⋅++⨯+⨯+= ，③ ∴14323333233+⋅++⨯+⨯+=n n n S ． ④即31)31(3321---⋅=+n n n n S ，∴4343)12(1+-=+n n n S ． 20．（Ⅰ）由11=a ，241+=+n n a S ，有24121+=+a a a ，∴52312=+=a a ，∴32121=-=a a b ．∵241+=+n n a S ，①∴241+=-n n a S （2≥n ）， ②由①－②，得1144-+-=n n n a a a ，∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，∵n n n a a b 21-=+，∴12-=n n b b ，∴数列}{n b 是首项为3，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），得11232-+⋅=-=n n n n a a b ，∴432211=-++n n n n a a ， ∴数列}2{nn a 是首项为21，公差为43的等差数列， ∴414343)1(212-=⨯-+=n n a nn ，∴22)13(-⋅-=n n n a ． 21．（Ⅰ）由已知，得()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=，∴数列{}n a 是以12a =为首项，1为公差的等差数列，∴1n a n =+．（Ⅱ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立， ∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．∴21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．数列试题答案1---12：BBAB AAD C DCDB13---16：－11，41，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=)(223)(213为偶数为奇数n n n n a n ，λ<2 17．解：(1)∵数列{a n }满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴数列{a n }为等差数列，设公差为d .∴a 4＝a 1＋3d ，d 2－8＝－2.∴a ＝a ＋(n －1)d ＝8－2(n －1)＝10－2n .(2) S =)9(n n -得S = －22018.解：n n S n 272-=282-=∴n a n ∴当14<n 时，0<n a 14≥n 时0≥n a(1)||||||112111a a a T +++= 176)(11111=-=++-=S a a (2)|)||(|)||||(|2214132122a a a a a T ++++++=2215141321)(a a a a a a +++++++-= 132213S S S -+-=25421322=-=S S19.(1)证明:当n=1时,有2a 1=+1-4,即-2a 1-3=0,解得a 1=3(a 1=-1舍去). 当n ≥2时,有2S n-1=+n-5,又2S n =+n-4,两式相减得2a n =-+1,即-2a n +1=,也即(a n -1)2=,因此a n -1=a n-1或a n -1=-a n-1.若a n -1=-a n-1,则a n +a n-1=1.而a 1=3,所以a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾, 所以a n -1=a n-1,即a n -a n-1=1,因此数列{a n }为等差数列.(2)解:由(1)知a 1=3,d=1,所以数列{a n }的通项公式a n =3+(n-1)×1=n+2,即a n =n+2.得252nn S n +=21.(1)证明：∵b n ＝a n －1，∴a n ＝b n ＋1.又∵2a n ＝1＋a n a n ＋1，∴2(b n ＋1)＝1＋(b n ＋1)(b n ＋1＋1)．化简得：b n －b n ＋1＝b n b n ＋1.∵b n ≠0，∴b n b n b n ＋1－b n ＋1b n b n ＋1＝1.即1b n ＋1－1b n＝1(n ∈N ＋)． 又1b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，∴{1b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)∴1b n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴b n ＝1n .∴a n ＝1n ＋1＝n ＋1n.∴1211+=+=n na c n n。
数列习题及答案
数列综合题一．选择题1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=( )A.14 B ．21 C ．28 D ．35 2.设数列{}n a 的前n 项和3S n n =，则4a 的值为( )A.15 B ．37 C ．27 D ．64 3.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A ．2B ．4C ．215 D ．217 4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.已知,231,231-=+=b a 则b a ,的等差中项为（ ）A ．3B ．2 C．3D．26.已知}{n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++=（ ）A ．32(12)3n -- B ．16(14)n -- C ．16(12)n -- D ．32(14)3n -- 7.若数列}{n a 的通项公式是(1)(32)n n a n =--，则1220a a a ++⋅⋅+= ( )A ．30B ．29C ．-30D ．-298.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n - 9.设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（ ） A ．12B. 24C. 36D. 4810.数列{}n a 中，123,6,a a ==且12n n n a a a ++=+，则2004a =（ ） A.3 B.－3 C.－6 D.611.在等差数列{}n a 中，1031531=++a a a ，则5a 的值为( ) .A.2B.3C.4D.512.等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，若6542s s s +=，则数列{}n a 的公比q 的值为( )A.－2或1B.－1或2C.－2D.113.已知{}n a 为等差数列，其公差为－2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n s 为{}n a 的前n 项和，∈n N *，则10s 的值为( )A.－110B.－90C.90D.110 14.等差数列{}n a 的公差为2，若842,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n s 等于( )A.)1(+n nB.)1(-n nC.2)1(+n n D.2)1(-n n 15.在正项等比数列{}n a 中，2312,21,3a a a 成等差数列，则2013201220152014a a a a ++等于( )A.3或－1B.9或1C.1D.916.已知数列,,1617,815,413,211 则其前n 项和n s 为( )A.n n 2112-+ B.n n 2122-+ C.12211--+n n D.12212--+n n17.若数列{}n a 的通项公式为)2(2+=n n a n ，则其前n 项和n s 为( )A.211+-n B.11123+--n n C.21123+--n n D.211123+-+-n n18.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个 19.设)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数∈y x ,R ，都有)()()(y x f y f x f +=⋅，若)(,211n f a a n ==(∈n N *)，则数列{}n a 的前n 项和n s 的取值范围为( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,21B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2120.小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{}n a ，有以下结论：①155=a ；②数列{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列的递推公式为：11++=+n a a n n (∈n N *)．其中正确的命题序号为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．① 21.已知数列{}n a 满足133,011+-==+n n n a a a a (∈n N *)，则=20a ( )A ．0B ．3- C.3 D.23 22.数列{}n a 满足递推公式)2(1331≥-+=-n a a n n n ，又51=a ，则使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 3λ为等差数列的实数=λ( )A ．2B ．5C ．21-D.21 23.在等差数列{}n a 中，0,01110><a a ，且1011a a >，则{}n a 的前n 项和n s 中最大的负数为( )A ．17sB ．18sC ．19sD ．20s 24.将数列{}13-n 按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．49503B ．50003C ．50103D ．50503 25.已知{}n a 为等比数列，,8,26574-==+a a a a 则=+101a a ( )A ．7B ．5C ．－5D ．－726.已知等差数列{}n a 的前n 项和为s ，,15,555==s a 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前100项和为( )A.101100 B.10199 C.10099 D.10010127.已知1,111+==+n nn a a a a ，则=n a ( ) A.n 1 B.n C.1+n n D.n n 1+ 28.在数列{}n a 中，)11ln(,211na a a n n ++==+，则=n a ( )A.n ln 2+B.n n ln )1(2-+C.n n ln 2+D.n n ln 1++ 二．填空题29.已知数列{}n a 满足: 35a =,121n n a a +=- (n ∈N*)，则1a = ________. 30.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=________. 31.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =______.32.设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若,729=s 则=++942a a a ________. 33.设数列{}n a 中，,1,211++==+n a a a n n 则通项=n a ________. 34.若数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足323-=n n a s ，则数列{}n a 的通项公式是________.35.若数列{}n a 的前n 项和3132+=n n a s ，则{}n a 的通项公式是=n a ____. 36.数列{}n a 满足13313131221+=+++n a a a n n ，∈n N *，则=n a ________.37.在等比数列{}n a 中，,24,341==a a 则543a a a ++等于________.38.若等差数列{}n a 满足,0,0107987<+>++a a a a a 则当=n ________时，{}n a 的前n 项和最大.39．等比数列{}n a 的各项均为正数，且,451=a a 则=++++5242322212log log log log log a a a a a ________.40.设数列{}n a 满足,11=a 且11+=-+n a a n n (∈n N *)，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1前10项的和___.41.设数列{}n a 中，若21+=+=n n n a a a (∈n N *)，则称数列{}n a 为“凸数列”，已知数列{}n b 为“凸数列”，且2,121-==b b ，则数列{}n b 的前2013项和为________．42.将含有k 项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一个新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和为781，则k =________．43.定义一种运算“*”，对于正整数n 满足以下的运算性质：（1）1*11=；（2）()()1*13*1n n +=，则*1n 用含有n 的代数式表示为________．44.设等差数列{}n a 的公差,4,01d a d =≠若k a 是1a 与k a 2的等比中项，则k 的值为________．45.设n s 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,s s s 成等差数列，且m a a a 252=+，则=m ________.46.将正偶数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示为ij a (∈j i ,N *)，（例如1813=a ）若2014=ij a ，则j i +=________.2 468101214161820…47.已知数列{}n a 的首项12a =，122nn n a a a +=+，1,2,3,n =…,则 2012a = ________.三、解答题1、已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.2、已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.3、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()122n n S p n N +*=+∈. （1）求p 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()132n n a bn a p +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .4、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)令设数列{}n c 的前n 项和n T ，求2n T ．5、已知{}n a 是一个单调递增的等差数列，且满足2421a a =,1510a a +=，数列{}n c 的前n 项和为1n n S a =+()N n *∈，数列{}n b 满足n n n c b 2=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和.6、已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数，为偶数.（1）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n.n 为奇数， n 为偶数，2,,n n n S c b ⎧⎪=⎨⎪⎩7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+.n N *∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =，*n ∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n T ．8、若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，12a =，点()1,n n a a +在函数()222f x x x =+的图象上，其中n 为正整数． (1)证明数列{}21n a +是“平方递推数列”，且数列(){}lg 21n a +为等比数列； (2)设(1)中 “平方递推数列 ”的前n 项之积为n T ，即()()()12212121n n T a a a =+++，求数 列{}n a 的通项及 n T 关于n 的表 达 式；(3)记21log n n a n b T ＋＝，求数 列{}n b 的前n 项和 n S ，并求使2012n S >的n 的 最小 值．9、已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且222n n S a n =+（n *∈N ）．()1求n a ，n S ；()2若k a ，22k a -，21k a +（k *∈N ）是等比数列{}n b 的前三项，设112233n n n a b a b a b a b T =+++⋅⋅⋅+，求n T ．10、数列{}n a 的前n 项和记为n S 11=a ，点),(1+n n a S 在直线12+=x y 上*N n ∈ . (1)求证：数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设13log +=n n a b ，n T 是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和，求2015T 的值．11、已知数列{}n a 满足前n 项和12+=n S n ，数列{}n b 满足12+=n n a b ，且前n 项和为n T ，设n n n T T c -=+12. (1)求数列{}n b 的通项公式 (2)判断数列{}n c 的单调性； (3)当2≥n 时，)1(log 1275112--<-+a T T a n n 恒成立,求a 的取值范围．12、已知二次函数)()(2R x c bx ax x f ∈++=满足0)21()0(==f f ，且)(x f 的最小值是－18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈ ，点),(n S n 在函数)(x f 的图像上.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)通过cn S b nn +=构造一个新的数列{}n b ，是否存在非零常数c ，使得{}n b 为等差数列？13、已知数列{}n a 的前n 项和2)21(1+--=-n n n a S ．(1)令n n n a b 2=，求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令n n a nn c 1+=，n n c c c T +++= 21 ，求n T 并证明：3<n T .14、数列{}n a 的前n 项和为n S ，)(12321*2N n n n a S n n ∈+--=+．(1)设n a b n n +=，证明：数列{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n nb 的前n 项和n T ；(3)若n nn a c -=)21(，∑=+++=20151221i i i i i c c c c P ，求不超过P 的最大的整数值．15、在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且2222,12b S q S b ==+. (1)求n a 与n b ； (2)设数列{}n c 满足nn S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T .16、数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 为等差数列，且9,353==b b .(1)求数列{}{}n n b a ,的通项公式；(2)若对任意的n n b k S N n ≥⋅+∈)21(,*恒成立，求实数k 的取值范围．17、已知数列{}n a 满足),2(1,1*1211N n n a a a a a n n ∈≥-=-+++=- ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令)1,0(5log 12221≠>++=++a a a a d n n a n ，记数列{}n d 的前n 项和为n S ，若nn S S 2恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.18、设函数x xx f sin 2)(+=的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}n x ． (1)求数列{}n x 的通项公式；(2)设{}n x 的前n 项和为n S ，求n S sin .19、已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，11=a ，且))(1()1(22*1N n n n S n nS n n ∈+=+-+，数列{}n b 满足5),(023*12=∈=+-++b N n b b b n n n ，其前9项和为63. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令nnn n n b a a b c +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有[]b a n T n ,2∈-，求a b -的最小值．20、已知函数x x x x f )296(cos ln )(--+=π的导数为)(/x f ，且数列{}n a 满足)(3)6(*/1N n nf a a n n ∈+=++π．(1)若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值；(2)若对任意*N n ∈，都有022≥+n a n 成立，求1a 的取值范围．参考答案 一、选择题 二、填空题 三、解答题1、解：依题意，230a =，355a =-，故1d =-，所以11a =，所以1(1)n a n =--，即2n a n =-； （2）21211111111(1)(21)(23)2232122121n n na a n n n n n n -+-⎛⎫==-=--= ⎪------⎝⎭； 2、解：（1）方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242,3a a ==.设数列{}n a 的公差为d ，则422a a d -=，故12d =，从而132a =.所以{}n a 的通项公式为112n a n =+. （2）设{}2n n a 的前n 项和为n S ，由（1）知1222n n n a n ++=，则23134122222n n n n n S +++=++++，34121341222222n n n n n S ++++=++++.两式相减得23412131112()222222n n n n S +++=++++- 123112(1)4422n n n +++=+--所以1422n n n S ++=-. 3、解：（Ⅰ）由2,2222211≥=--+=-=+-n p p S S a n n n n n n22411=+==p S a ，由321,,a a a 成等比得1-=p ； （Ⅱ）由,)3(21n n b a n p a +=+可得n n n b 2=，n n nT 222212+++= ，1322222121++++=n n nT ， 13222121212121+-++++=n n n n T ，12211)2112121+---=n n n n T （，n n n n T 22121--=-. 4、解： (Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则由2252310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩所以32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=． (Ⅱ)由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+，则即21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++32111111[(1)()()](222)3352121n n n -=-+-++-++++-+12(14)12114n n -=-++-22(41)213n n n =+-+． 5、解： (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则依题知0d >.由315210a a a =+=,又可得35a =.由2421a a =,得(5)(5)21d d -+=,可得2d =. 所以1321a a d =-=.可得21(*)N n a n n =-∈ ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得12n n S a n =+=，当2n ≥时,122(1)2n n n c S S n n -=-=--= 当1n =时,112c S ==满足上式，所以2(*)N n c n =∈，所以12222n n n n n b c +==⨯=，即12n n b +=,因为211222n n n n b b +++==，14b =，所以数列{}n b 是首项为4,公比为2的等比数列.所以前n 项和24(12)2412n n n T +⨯-==--. 6、解：（Ⅰ）设232n n b a =-，因为2122122133(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--==--=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -=-, 所以数列23{}2n a -是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，111,22,n n c n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩n 为奇数， n 为偶数， n 为奇数，n 为偶数， 12,(2)2,n n n n c -⎧⎪+=⎨⎪⎩由2211(21)3n n a a n -=+-，得1212111533(21)()6232n n n a a n n --=--=-⋅-+，所以12121111[()()]692()692333n n n n n a a n n --+=-⋅+-+=-⋅-+，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++21112[()()]6(12)9333n n n =-+++-++++11[1()](1)332691213n n n n -+=-⋅-⋅+- 2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+ 显然当n N *∈时，2{}n S 单调递减，又当1n =时，273S =＞0，当2n =时，489S =-＜0，所以当2n ≥时，2n S ＜0；22122315()36232n n n n S S a n n -=-=⋅--+，同理，当且仅当1n =时，21n S -＞0，综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．7、解：（Ⅰ）∵22n n S a =- ①， 当2≥n 时，1122--=-n n S a ②， ①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）． 又当n=1时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a . 又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-n n c n ， ∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n ③231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由③-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴62)23(1-⋅-=-+n n n T ， ∴62)32(2+⋅-=+n n n T ， ∴数列{}n c 的前n 项和62)32(1+⋅-=+n n n T .8、解 (1)∵()()222112221222121n n n n n n n a a a a a a a ++=++=++=+，∴数列{}21n a +是“平方递推数列”．由以上结论()()()lg 211lg 2122lg 21n n n a a a ++=+=+，∴数列(){}lg 21n a +为首项是lg 5，公比为2的等比数列.(2)()()11211lg 21lg 2122lg5lg5nn n n a a ---+=+⨯==⎡⎤⎣⎦，∴12215n n a -+=，∴()121512n n a -=-．∵()()()1lg lg 21lg 2121lg 5n n n T a a =++++=- ，∴215nn T -=.(3)∵()()1121lg 5lg 12lg 212lg 52nn n n n n T b a ---===-+，∴11222nn S n -=-+. ∵2014n S > 4， ∴112220142n n --+>.∴110082nn +>. ∴min 1008n =.9、解：（1）2*22()n n S a n n N =+∈． 1122S a ∴=+，又11S a =，故12a =；又2228S a =+，故22428a a +=+，得24a =；等差数列{}n a 的公差21422d a a =-=-=．所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=,21()(22)22n n n a a n n S n n ++===+． （2）由已知有22221k k k a a a -+=⋅，故24(22)22(21)k k k -=⋅+，即22940k k -+=．解得4k =，或12k =，又*k N ∈，故4k =． ∴等比数列{}n b 的公比为6214263242a b q b a ⨯====⨯，首项为148b a ==．所以11138()2n n n b b q --==⨯．所以1332328()()232n n n n a b n n -=⋅=⋅．23323333[12()3()()]32222n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++⨯．2313323333[1()2()(1)()()]232222n n n T n n +=⨯+⨯++-+⨯．23323333[()()]16()232222n n n n T T n ∴-=+++-⨯．33[1()]1323332216()32[1()]16()32322212n n n n n T n n -∴-=⨯-⋅=---⋅-332(1632)()2n n =---⋅．36432(2)()2n n T n ∴=+-⋅．10、解(1)由题意得a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n≥2)．∵a 1＝1，∴a 2＝2S 1＋1＝3，∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴a n＝3n －1.(2)由(1)得知a n ＝3n －1，b n ＝log 3a n ＋1＝n ，1b n b n ＋1＝1＋＝1n －1n ＋1， T 2 015＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 015b 2 016＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12 015－12 016)＝2 0152 016. 11、解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1. ∴数列{b n}的通项公式为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝1，1n ，n≥2.(2)∵c n ＝T 2n ＋1－T n ， ∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1. ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1＋＋<0.∴数列{cn}是递减数列．(3)由(2)知，当n≥2时，c2＝13＋14＋15为最大，∴13＋14＋15<15－712loga(a－1)恒成立，即loga(a－1)<－1.由真数a－1>0，得a>1，∴a－1<1 a .整理为a2－a－1<0，解得1<a<5＋1 2.∴a的取值范围是 (1，5＋12)．12、解：(1)∵f(0)＝f(12)＝0，∴f(x)的图像的对称轴为直线x＝0＋122＝14.又∵f(x)的最小值是－18，由二次函数图像的对称性可设f(x)＝a(x－14)2－18.又∵f(0)＝0，∴ a＝2.∴f(x)＝2(x－14)2－18＝2x2－x.∵点(n，Sn )在函数f(x)的图像上，∴Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝4n－3.经验证，当n＝1时也符合上式，∴an＝4n－3(n∈N*)．(2)bn ＝Snn＋c＝2n2－nn＋c＝2－12n＋c，令c＝－12，得bn＝2n，此时数列{bn}为等差数列，∴存在非零常数c＝－12，使得{bn}为等差数列．13、解 (1)在Sn ＝－an－(12)n－1＋2中，令n＝1，得S 1＝－a1－1＋2＝a1，∴a1＝12.当n≥2时，Sn－1＝－an－1－(12)n－2＋2，∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋(12)n－1，∴2an ＝an－1＋(12)n－1，即2n an＝2n－1an－1＋1.∵bn ＝2n an，∴当n≥2时，bn－bn－1＝1.又∵b1＝2a1＝1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．于是bn ＝1＋(n－1)·1＝2n an，∴an＝n2n.(2)由(1)得cn ＝n＋1nan＝(n＋1)(12)n，所以T n ＝2×12＋3×(12)2＋4×(12)3＋…＋(n＋1)·(12)n.1 2Tn＝2×(12)2＋3×(12)3＋4×(12)4＋…＋(n＋1)(12)n＋1，两式相减，得12Tn＝1＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n－(n＋1)·(12)n＋1＝1＋14[1－12n－1]1－12－(n＋1)(12)n＋1＝3 2－n＋32n＋1，∴Tn＝3－n＋32n.∵n＋32n>0，∴Tn<3.14、解： (1)因为an ＋Sn＝－12n2－32n＋1，所以，当n＝1时，2a1＝－1，则a1＝－12；当n≥2时，an－1＋Sn－1＝－12(n－1)2－32(n－1)＋1，所以2an －an－1＝－n－1，即2(an＋n)＝an－1＋n－1.所以bn ＝12bn－1(n≥2)，而b1＝a1＋1＝12.所以数列{b n }是首项为12，公比为12的等比数列，所以b n ＝(12)n.(2)由(1)得nb n ＝n2n .所以T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n2n ，①2T n ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n2n －1，②②－①得T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ，∴T n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n . (3)由(1)知a n ＝(12)n －n ，又∵c n ＝(12)n －a n ，∴c n ＝n.∴c 2n ＋c n ＋1c 2n ＋c n ＝1＋1c 2n ＋c n＝1＋1＋＝1＋1n －1n ＋1.所以P ＝∑i ＝12 013c 2i ＋c i ＋1c 2i ＋c i ＝(1＋11－12)＋(1＋12－13)＋(1＋13－14)＋…＋(1＋12 013－12 014)＝2 014－12 014.故不超过P 的最大整数为2 013.15解： (1)设{a n }的公差为d ，因为⎩⎨⎧b 2＋S 2＝12，q ＝S2b 2，所以⎩⎨⎧q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋dq .解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3. 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1. (2)由(1)知S n ＝＋2，所以c n ＝1S n＝2＋＝23(1n －1n ＋1)．故Tn ＝23[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝23(1－1n＋1)＝2n＋.16、解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，①得an ＝2Sn－1＋1(n≥2)．②①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)．∴an＋1＝3an(n≥2)．又a1＝1，a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，也满足上式，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．∴an＝3n－1.∵{bn }为等差数列，∴b5－b3＝2d＝6，∴d＝3.∴bn＝3＋(n－3)×3＝3n－6.(2)Sn ＝a1－q n1－q＝1－3n1－3＝3n－12，∴(3n－12＋12)·k≥3n－6对任意的n∈N*恒成立，∴k≥6n－123n＝2(3n－63n)对任意的n∈N*恒成立．令cn ＝3n－63n，cn－cn－1＝3n－63n－3n－93n－1＝－2n＋73n－1，当n≤3时，cn >cn－1，当n≥4时，cn<cn－1，∴(cn)max＝c3＝19.所以实数k的取值范围是k≥2 9 .17、解： (1)∵a1＋a2＋…＋an－1－an＝－1，①∴a1＋a2＋…＋an－an＋1＝－1.②①－②，得an＋1－2an＝0，即an＋1an＝2(n≥2)．当n＝2时，a1－a2＝－1.∵a1＝1，∴a2＝2，∴a2a1＝2.∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)∵a n ＝2n －1，∴d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2nlog a 2.∵d n ＋1－d n ＝2log a 2，∴{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列． ∴S 2nS n＝＋2log a ＋－2a＋2log a＋－2a＝2＋＋a21＋＋a 2＝λ.∴(λ－4)nlog a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0. ∵S 2nS n 恒为一个与n 无关的常数λ， ∴⎩⎨⎧λ－a2＝0，λ－＋log a＝0.解得⎩⎨⎧λ＝4，a ＝12.18、解：(1)f(x)＝x 2＋sinx ，令f′(x)＝12＋cosx ＝0，得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．f′(x)>0⇒2k π－2π3<x<2k π＋2π3(k ∈Z )，f′(x)<0⇒2k π＋2π3<x<2k π＋4π3(k ∈Z )，当x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f(x)取得极小值，所以x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)由(1)得x n ＝2n π－2π3，S n ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝2π(1＋2＋3＋…＋n)－2n π3＝n(n ＋1)π－2n π3.当n ＝3k(k ∈N *)时，sinS n ＝sin(－2k π)＝0； 当n ＝3k －1(k ∈N *)时，sinS n ＝sin 2π3＝32； 当n ＝3k －2(k ∈N *)时，sinS n ＝sin4π3＝－32. 所以sinS n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝3k ，k ∈N *，32，n ＝3k －1，k ∈N *，－32，n ＝3k －2，k ∈N *.19解： (1)由2nS n ＋1－2(n ＋1)S n ＝n(n ＋1)，得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12. 所以数列{S n n }是以首项为1，公差为12的等差数列．因此S n n ＝S 1＋(n －1)×12＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，即S n ＝＋2.于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝＋＋2－＋2＝n ＋1.因为a 1＝1，所以a n ＝n.又因为b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0，所以数列{b n }是等差数列． 由S 9＝3＋b 72＝63，b 3＝5，得b 7＝9.所以公差d ＝9－57－3＝1. 所以b n ＝b 3＋(n －3)×1＝n ＋2.(2)由(1)知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2(1n －1n ＋2)，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2×(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n＋2(1＋12－1n＋1－1n＋2)＝3－2(1n＋1＋1n＋2)＋2n.所以Tn －2n＝3－2(1n＋1＋1n＋2)．设An ＝Tn－2n＝3－2(1n＋1＋1n＋2)．因为An＋1－An＝3－2(1n＋2＋1n＋3)－[3－2(1n＋1＋1n＋2)]＝2(1n＋1－1n＋3)＝4＋＋>0，所以{An }单调递增，故(An)min＝A1＝43.因为An ＝3－2(1n＋1＋1n＋2)<3，所以43≤An<3.因为对任意正整数n，Tn －2n∈[a，b]，所以a≤43，b≥3，即a的最大值为4 3，b的最小值为3，所以(b－a)min＝3－43＝53.20、解f′(x)＝1x－sinx－6π＋92，则f′(π6)＝4，故a n＋1＋an＝4n＋3.(1)若数列{an }是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.由an＋1＋an＝4n＋3，得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n＋3.解得d＝2，a1＝52.(2)方法一由an＋1＋an＝4n＋3(n∈N*)，得an＋2＋an＋1＝4n＋7.两式相减，得an＋2－an＝4.故数列{a2n－1}是首项为a1，公差为4的等差数列；数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列．又∵a1＋a2＝7，∴a2＝7－a1.∴an ＝⎩⎨⎧2n－2＋a1，n为奇数，2n＋3－a1，n为偶数.①当n为奇数时，an ＝2n－2＋a1，an＋2n2≥0即2n－2＋a1＋2n2≥0，转化为a1≥－2n2－2n＋2对任意的奇数n(n∈N*)恒成立．令f(n)＝－2n2－2n＋2＝－2(n＋12)2＋52，∴f(n)max ＝f(1)＝－2，∴a1≥－2.②当n为偶数时，an ＝2n＋3－a1，an＋2n2≥0，即2n＋3－a1＋2n2≥0，转化为－a1≥－2n2－2n－3对任意的偶数n(n∈N*)恒成立．令g(n)＝－2n2－2n－3＝－2(n＋12)2－52，∴g(n)max ＝g(2)＝－15，∴－a1≥－15，解得a1≤15.综上，a1的取值范围是[－2,15]．方法二∵an＋1＝－an＋4n＋3，∴an＋1＋2(n＋1)2＝－an＋4n＋3＋2(n＋1)2，a n ＋2n2≥0对任意的n∈N*都成立，∴an＋1＋2(n＋1)2≥0，即－an＋4n＋3＋2(n＋1)2≥0，∴－2n2≤an≤4n＋3＋2(n＋1)2对任意的n∈N*都成立．故当n＝1时也成立，即－2≤a1≤15.。
等差数列练习题附答案
等差数列练习题附答案一、选择题1、已知等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10=（）A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an}，an=2n-19，那么这个数列的前n项和Sn（）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80，a2+a4+⋯+a100=80，那么S100=（）A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中，a2+a5+a9+a12=60，那么S13=（）A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中，a2=-6，a8=6，若数列{an}的前n 项和为Sn，则（）A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n，且前n个偶数项的和为n(4n+3)，则前n个奇数项的和为（）A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中，若a6=a3+a8，则S9=.2、等差数列{an}中，若Sn=3n+2n，则公差d=.3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3⋅a7=-12，a4+a6=-4，则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则XXX=.一、选择题1、已知等差数列{an}中，S10=120，则a1+a10=（）A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an}，an=2n-19，则这个数列的前n项和Sn（）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80，a2+a4+⋯+a100=80，那么S100=（）A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中，a2+a5+a9+a12=60，则S13=（）A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（）A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中，a2=-6，a8=6，若数列{an}的前n 项和为Sn，则（）A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n，且前n个偶数项的和为n(4n+3)，则前n个奇数项的和为（）A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中，若a6=a3+a8，则S9=.2、等差数列{an}中，若Sn=3n+2n，则公差d=.3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3⋅a7=-12，a4+a6=-4，则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则XXX=.1.在等差数列{an}中，已知a4=0.8，a11=2.2，求a51+a52的值。
数列练习题_附答案
数列练习题_附答案强⼒推荐⼈教版数学⾼中必修5习题第⼆章数列1．{a n }是⾸项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等⽐数列{a n }中，⾸项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都⼤于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知⽅程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成⼀个⾸项为41的等差数列，则｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43C ．21D ． 83 5．等⽐数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．若数列{a n }是等差数列，⾸项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成⽴的最⼤⾃然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0087．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等⽐数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ．－108．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等⽐数列，则212b a a 的值是( )．A ．21B ．－21C ．－21或21D ．4110．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．A ．38B ．20C ．10D ．9⼆、填空题11．设f (x )＝221+x ，利⽤课本中推导等差数列前n 项和公式的⽅法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知等⽐数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝．(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .13．在38和227之间插⼊三个数，使这五个数成等⽐数列，则插⼊的三个数的乘积为． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 .15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .16．设平⾯内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平⾏，任意三条直线不过同⼀点．若⽤f (n )表⽰这n 条直线交点的个数，则f (4)＝；当n ＞4时，f (n )＝．三、解答题17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，cb a +也成等差数列.18．设{a n }是公⽐为 q 的等⽐数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为⾸项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，⽐较S n 与b n 的⼤⼩，并说明理由．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2 S n (n ＝1，2，3…)．求证：数列{nS n }是等⽐数列．第⼆章数列参考答案⼀、选择题1．C解析：由题设，代⼊通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．2．C解析：本题考查等⽐数列的相关概念，及其有关计算能⼒．设等⽐数列{a n }的公⽐为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，⼜a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．⼜a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．4．C解析：解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，⽽⽅程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是⼀个⽅程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另⼀个⽅程的两个根．∴167，1615分别为m 或n ，∴｜m －n ｜＝21，故选C ．解法2：设⽅程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．由等差数列的性质：若＋s ＝p ＋q ，则a ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第⼀项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47，∴m ＝167，n ＝1615，∴｜m －n ｜＝21． 5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27，∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120． 6．B解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有⼀正数⼀负数，⼜a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0，∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0，故4 006为S n ＞0的最⼤⾃然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最⼤值．∵S n 是关于n 的⼆次函数，如草图所⽰，∴2 003到对称轴的距离⽐2 004到对称轴的距离⼩，∴20074在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最⼤⾃然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，⼜由a 1，a 3，a 4成等⽐数列，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6．(第6题)8．A 解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ??＝59·95＝1，∴选A ． 9．A解析：设d 和q 分别为公差和公⽐，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2，∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，⼜a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，⽽a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10．⼆、填空题11．23．解析：∵f (x )＝221+x ，∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222?+＝x x 22221+，∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+?＝x x 222211+?+＝x x 22)22(21++＝22．设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121==+=+q q a a a a ，∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．13．216．解析：本题考查等⽐数列的性质及计算，由插⼊三个数后成等⽐数列，因⽽中间数必与38，227同号，由等⽐中项的中间数为22738?＝6，∴插⼊的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413?＝26． 15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．16．5，21(n ＋1)(n －2)．解析：同⼀平⾯内两条直线若不平⾏则⼀定相交，故每增加⼀条直线⼀定与前⾯已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)．三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满⾜从第2项开始每项与其前⼀项差为常数．证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满⾜，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．⾸项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列，∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋cb a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋，∴a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21．（2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ．若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ，故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ，所以1＋1＋n S n ＝n S n 2．故{n S n }是以2为公⽐的等⽐数列．。
等差数列基础测试题(附详细答案)
姓名：_______________学号：____________________班级：_____________________之答禄夫天创作等差数列基础检测题一、选择题（共60分，每小题5分）1、已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d ＝2，则a4等于( )A ．5B ．6C ．7D ．92、已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )A ．4B ．5C ．6D ．73、在数列{an}中，若a1＝1，an ＋1＝an ＋2(n≥1)，则该数列的通项公式an ＝( )A ．2n ＋1B ．2n －1C ．2nD ．2(n －1)4、等差数列{an}的公差为d ，则数列{can}(c 为常数且c≠0)( )A ．是公差为d 的等差数列B ．是公差为cd 的等差数列C ．不是等差数列D ．以上都分歧错误5、在等差数列{an}中，a1＝21，a7＝18，则公差d ＝( )A.12B.13C ．－12D ．－136、在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14＝( )A ．45B ．41C ．39D ．37X k b 1 . c o m7、等差数列{an}中，前三项依次为1x ＋1，56x ，1x，则a101＝( )A ．5013B ．1323C ．24D ．8238、已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n ，an)都在直线y ＝2x＋1上，则{an}为( )A ．公差为2的等差数列B ．公差为1的等差数列C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列9、已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( )A ．2B ．3C ．6D ．910、若数列{an}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．3311、下面数列中，是等差数列的有( )①4,5,6,7,8，…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0，…④110，210，310，410，…新课标第一网 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个12、首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A ．d ＞83B ．d ＜3 C.83≤d＜3 D.83＜d≤3 二、填空题（共20，每小题5分）13、在等差数列{an}中，a10＝10，a20＝20，则a30＝________.14、△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列，则B ＝__________.15、在等差数列{an}中，若a7＝m ，a14＝n ，则a21＝________.16、已知数列{an}满足a2n ＋1＝a2n ＋4，且a1＝1，an ＞0，则an ＝________.三、解答题（共70分）17、在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通项公式．（10分）18、在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d ；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.19、已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.（12分）(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．20、已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an 且a3，a6为方程x2－10x ＋16＝0的两个实根．（12分）(1)求此数列{an}的通项公式；(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．21、已知三个数成等差数列，其和为15，首、末两项的积为9，求这三个数．（12分）22、已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点．（12分）(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象； (3)判断这个数列的单调性． 答案： 一、选择题二、填空题13、解析：法一：d ＝a20－a1020－10＝20－1020－10＝1，a30＝a20＋10d ＝20＋10＝30.法二：由题意可知，a10、a20、a30成等差数列，所以a30＝2a20－a10＝2×20－10＝30.答案：3014、解析：∵A、B 、C 成等差数列，∴2B＝A ＋C.又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B＝180°，∴B＝60°.答案：60°四、附加题已知正数a ，b ，c 组成等差数列，且公差不为零，那么由它们的倒数所组成的数列1a ，1b ，1c 能否成为等差数列？15、解析：∵a7、a14、a21成等差数列，∴a7＋a21＝2a14，a21＝2a14－a7＝2n －m.答案：2n －m16、解析：根据已知条件a2n ＋1＝a2n ＋4，即a2n ＋1－a2n ＝4， ∴数列{a2n }是公差为4的等差数列，∴a 2n ＝a21＋(n －1)·4＝4n －3.∵an＞0，∴an＝4n －3.答案：4n －3三、解答题17、解：由an ＝a1＋(n －1)d 得⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝a1＋4d 31＝a1＋11d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－2d ＝3.∴等差数列的通项公式为an ＝3n －5.18、解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋5－1d ＝－1，a1＋8－1d ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－5，d ＝1. (2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋a1＋6－1d ＝12，a1＋4－1d ＝7. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝2. ∴a9＝a1＋(9－1)d ＝1＋8×2＝17.19、解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4，∵a8＝a2＋(8－2)d ，∴16＝4＋6d ，∴d＝2，∴an＝a2＋(n －2)d ＝4＋(n －2)×2＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a8＝16，…，a2n ＝2×2n＝4n.当n ＞1时，a2n －a2(n －1)＝4n －4(n －1)＝4.∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．∴bn＝b1＋(n －1)d ＝4＋4(n －1)＝4n.20、解：(1)由已知条件得a3＝2，a6＝8.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋2d ＝2a1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－2d ＝2.∴an＝－2＋(n －1)×2＝2n －4(n∈N*)．∴数列{an}的通项公式为an ＝2n －4.(2)令268＝2n －4(n∈N*)，解得n ＝136.∴268是此数列的第136项．21、解：由题意，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，a －d a ＋d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，d ＝－4.所以，当d ＝4时，这三个数为1,5,9；当d ＝－4时，这三个数为9,5,1.22、解：(1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5，由于a3＝a1＋2d ＝1＋2d ＝5，解得d ＝2，于是an ＝2n －1.(2)图象是直线y ＝2x －1上一些等间隔的点(如图)．(3)因为一次函数y ＝2x －1是增函数，所以数列{an}是递增数列四、附加题 2b ＝－2ac －a ＋c 22abc ＝2ac －2b2abc ＝a ＋c ac －2b ＝)1c ＋1a (－.1c＋1a ≠2b ，所以<0a －c 22abc 不克不及成为等差数列．1c ，1b ，1a 所以。
数列测试卷(含答案)
第五章数列测试卷一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分) ( )1. 数列1,-2,3,-4……的一个通项公式是A.a n=(一1)n•nB. a n= (-1)n+1 •nC. a n=nD. a n=-n2.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+n,且156是该数列的一项，则n 等于 ( )A.10B.11C.12D.133.若等差数列的前n项和S n=2n2- n,则它的通项公式a n为( )A.4n+3B.4n一3C.2n-1D.2n+14.在数列{ a n}中,若a1=2,a n=a n+1-2，则该数列的第5项等于( )A.16B. 14C.12D.55.已知2,m,8构成等差数列，则实数m的值是 ( )A.4B.4或一4C.10D.566.在等差数列{a n}中,已知S3=54,则a2为 ( )A.6B.12C.18D.247.在等差数列中，若a1=23,公差d为整数,a6>0,a7<0,则d等于 ( )A.-1B. -2C.-3D.-4 8.若a ≠b,且aa 1,a 2a 3,b 和a.b 1b 2b 3,b 4,b 都是等差数列，则a1−a2b1−b2等于( )A.43B.34C. 45D.549.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7= 39,a 3+a 6+a 9=27,则S 9等于 ( )A.66B.144C.99D.297 10.等差数列{a n }中,若a n = m,a m =n,且m ≠n,那么a m+n .等于( ) A. mn B.m+n C.m-n D.011.已知a,b,c 成等比数列，则函数y=2ax 2+ 3bx+c 与x 轴交点的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3 12.等比数列{a n }中,a 6=6,a 9=9,则a 3等于 ( ) A.4 B .32C.169D.213.已知等比数列{a n },前3项的和为7,积为8,则此数列的公比等于( )A.2B.2或32C.12D.-2或-12.14.已知等差数列{a n }的公差d=3,若a 1,a 3.a 4.成等比数列，则a 2等于 ( )A.-18B.-15C.-12D. -9 15.在等比数列(a n )中:若 a 2•a 6=8,Iog 2(a 1•a 7)= ( )A. 8 B .3 C.16 D.28 16.已知1和4的等比中项是log 3x,则实数x 的值是 ( ) A.2或12B.3或13C.4或14D.9或1917.已知等比数列{a n }的各项均为正数.且a 1, 12a 3,2a 2成等差数列，则a9+a10a7+a8= ( )A.1+√2B.1- √2C.3+2√2D.3-2√2 18.在等比数列{a n }中,著a4a7+a5a6=20.则此数列的前10项之积为( )A.50B.2010C.105D. 1010 19.为了治理沙漠，某农场要在沙漠上赖种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场共裁种植被的公顷数是 ( )A.510公顷B.330公顷C.186公顷D.51公顷 20.《九章算术)“竹九节”问题:现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积是 ( )A.1升B.6766升 C.4744升 D.3733升二、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分) 21.在等差数列{a n }中,若Sn=3n 2+2n.则公差d 的值是22.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n 一49,则当n= 时,S n 有最小值.23.在等差数列{a n }中,已知公差d=12,且a 1+a 3+a 5…+a 97+a 99=60.则a1+a2+a3+…+a99+a100= .24.等比数列{a n}中,a2=2,a5=16,则S6=25.某种储蓄利率为2.5%，按复利计算,若本金为30 000元，设存入工期后的本金和利息为y元，则y随x变化的函数关系为三、解答题(本大题5个小题，共40分)26.(本小题6分)已知等差数列{a n}中,a n=33-3n,求前n项和S n的最大值.27.(本小题8分)设数列{a n}满足:a1=1,a n+1=2a n.n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式:(2)已知数列{b n}是等差数列,S n是其前n项和，且满足b1=a3,b3=a1+a2+a3,求S20的值。
数列经典试题(含答案)
强力推荐人教版数学高中必修5习题第二章数列1 . 孔｝是首项a1= 1, 公差为d =3的等差数列，如果a n =2 005, 则序号n 等千（）．A. 667B. 668C. 669D. 6702. 在各项都为正数的等比数列｛孔｝中，首项a1= 3 f前三项和为21I则a3+ a4 + a s = ( ). A. 33B. 72C. 84D. 1893. 如果a1,a2, …，as 为各项都大千零的等差数列，公差d-:t-0,则（）．A.a泣s > a 泣5B.a也s < a 泣5C . a 1+as < a4 + a s D . a 1as= a 泣54. 已知方程(Jf -2x+ m )(烂-2x+ n ) = 0的四个根组成一个首项为－的等差数列，则4 Im-n I 等于（）．A. 13-4B 1_2c D. 3-85. 等比数列｛孔｝中，a2= 9 , as = 243 , 则｛动的前4项和为（）． A. 81B. 120C. 168D. 1926. 若数列a 动是等差数列，首项a1> 0, B2 003 + a2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 , 则使前n项和Sn>0成立的最大自然数E=In 定：（）．A. 4 005B. 4 006C. 4 007D. 4 0087. 已知等差数列｛劲的公差为2,若a1, a3 , a4成等比数列则a2=().A. -4B. -6C. -8D. -108. 设岛是等差数列｛劲的前n项和，若化＝5 S ——，贝u----2...= ()a 39 S 5A. 1 B . -1C.2 l-2．D 9. 已知数列-l,a1,a2-4成等差数列-1 a — 2 aII纺，纺，�/-4成等比数列，则］的值是（b 2)1_2． A l -2 ． B l -2 或l -2 ． cl-4． D 10. 在等差数列｛孔｝中，a n t:-0,a n -l -a�+ a n +l = O (n�2), 若S2n -l = 38 , 则n =( ) .A. 38B. 20C. 10D.9二、填空题11 . 设心＝ 1，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得I(-5) + I(-4) + ... + f(O) +…+ /(5) 2勹一五+ /(6)的值为12. 已知等比数列｛动中，(1)若a3盆·as =8, 则a2·务函岔兔＝(2)若a1+ a2 = 324 , a3 + a4 = 36 , 则as+a 产(3)若S4=2,Ss =6,则a17+ a1s + a19 + a20 = 8 2713 . 在－和—之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为14. 在等差数列｛孔｝中，3(a 产生）+ 2(动+a10 + a13) = 2 4 , 则此数列前13项之和为15 . 在等差数列｛孔｝中，as =3,a6= -2, 则a4+as+…+a10 =16. 设平面内有n 条直线(n�3)/其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同—点．若用杯）表示这n 条直线交点的个数，则私）＝三、解答题；当n>4时，杯）＝17 . (1)已知数列｛孔｝的前n 项和S n =3rF -2n,求证数列｛孔｝成等差数列(2)已知1 1 1 — —, －成等差数列，求证b+cc+a a+b也成等差数列abcab c18. 设｛孔｝是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设｛如是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n,当n�2时，比较岛与幻的大小，并说明理由．19. 数列｛孔｝的前n项和记为S n,已知a1= 1 求证：数列｛二｝是等比数列．n+2, an+ 1 = Sn(n = 1 , 2 , 3 ...) .20. 已知数列｛孔｝是首项为a且公比不等于1的等比数列，岛为其前n项和，a1/ 2句，3a4成等差数列，求证：1253 / 55 / 512 -55成等比数列第二章数列参考答案一、选择题1.C解析：由题设，代入通项公式a n=a1 +(n -l)d, 即2005 = 1 +3(n -1) ,.·.n = 699 .2.C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列｛孔｝的公比为q(q>0) /由题意得a1+ a2 +a3 = 21 ,即a1(l+ q+矿）= 21, 又a1=3,:.l+q+矿=7.解得q=2或q=-3(不合题意，舍去），．岛＋函+a s=a1矿(1+ q+矿）= 3x2奴7=84.3.B.解析：由a1+as=a4+a s,才非除C.又a1岔=a1(a1 +7动=a产+7 a1d,a4· 无=(a1 +3功(a1+ 4动=a产+7 a1d + 12d > a1·as .4.C解析：1解法1:设a1= , a尸1 1 1— —+ d, a3 = -+ 2d, a4 =—+3d, 而方程烂-2x+m=O中两根之和为2烂-2x+n=O4 4 4 4中两根之和也为2,.a1 +a2 +a3 +函=1+6d=4,7 3 5:.d=—, a1 =—, a4=—是一个方程的两个根，a1=—, a产—是另一个方程的两个根．2 4 4 4 47 15.-. —, —分别为m或n,1616.-. Im -n I =_!_, 故选C .2解法2:设方程的四个根为X 1, X2 , X3 , X4 , 且X 1+X2=X3+X4=2 IX1为=m ,X3凶=n.由等差数列的性质：若等差数列为，1 3 5 7 4 4 4 4715 :.m =—, n =— 1616+s =p +q ,则a7+ a s = a p+ a q /若设X1为第—项，X 2必为第四项，则X2=—，千是可得4.-. Im -n I．1-25.B解析：a2 = 9 , as = 243 , 生－＝矿＝—－243 =27 a 29.·.q = 3 I a1q = 9 I a1 = 3 I S 4= 3—35=严=120l —326. B 解析：解法1:由a2003 + a 2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 , 知a2003和a2004两项中有—正数—负数，又a1> 0 /则公差为负数，否则各项总为正数，故a2003 > a2 004 , 即a2003 > 0 , a2 004 < 0.4 006(a1+a 4 006 )4 006(a +a ).-. 54 006 ==2 003 2 004 > O ,224 0074 007 :.S4 007 =·(a1+ a4 007) =·2a2 004 < 0 , 22 故4006为S n>0的最大自然数选B.解法2:由a1> 0 , a2 003 + a2 004 > 0 , a2 003·a2 004 < 0 ,同解法1的分析得a2003 >0 , a2 004 < 0 ,.·.S2 003为岛中的最大值．I（第6题）岛是关于n的二次函数，如草图所示，.2 003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，4 007.在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧，4007 I4 008都在其右侧，S n >0的最大自然数是4006.7.B解析：了｛孔｝是等差数列，．．岔=a1 + 4 , a4 = a1 + 6 , 又由a1, a 3, a4成等比数列，..(a1 + 4)2 = a1(a1 + 6) , 解得a 1= -8 t .a 2 = -8 + 2 = -6 . 8.AA 选， 1 ＿＿ 5-9 9-5 ＝ 53 a a ．． 95 ＿＿ 、丿、晶，丿95 a a +2+2a l a _ （（ 95 ＿＿ s 9-i ·' .. 析解9.A解析：设d和q分别为公差和公比，则-4 = -1 + 3d且-4 = (-1) cf / .d = -1 , 矿=2,a -a .2 I d l ．．= =— 九－矿210. C解析：｛孔｝为等差数列，a�= an-l + an+l, .·.a�= 2an, 又BntO, ."孔=2 / {孔｝为常数数列，s2n-138而a n =I即2n -1 =—= 19,2n -12:.n = 10二、填空题11. 3五．解析：了伈劝＝2勹一五2x.f(_l -劝=1 =2x=✓2 i 1-x 十五2+✓2·2x 忒+2XI·2x l + 1.y1(✓2+ 2x)伈店－劝=1+✓2=✓2 =✓2五+2x迈+2x五+2x丘+2x设S =I(_ -5) +/(_ -4) +…＋和）＋…＋朽）＋秅），贝U 5 = /(_6) + /(_5) +…+ f(_O) +…+ I(_ -4) + I(_ -5):.2S = [/(_6) + I(_ -5)] +团5)+ /(_ -4)] +…+ [/(_ -5) +秅）] = 6✓2..S = I(_ -5) + /(_ -4) + ... +和）＋…＋朽）＋秅）=3五．12 . (1) 32 ; (2) 4 ; (3) 32 . 解析：(1)由a3岔=Q�/得a4= 2I＿2＿＿ :.a2·a3·a4·a5·a6 = a 5 = 32. (2) {a , + a , �324⇒ 矿＝丿(a, +aJ 矿=369 I．岛+a6= (a1 + a2)才=4.(3){义�a 三+a ,+a 4�24⇒旷�2'S 8=a 1+a 2+· · ·+a 8=S 4+S 4q:.a 17 + a 1s + a19 + a20 = S4泸=32.13 . 216 .8 27解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与－，—同号，由等比中项的中间数为厂产=6I ..插入的三个数之积为汇竺x6= 216. 3 23214. 26.解析：·.岔+a s =2a4, 句+au =2a10, :.6(a4 + a 10) = 24 , a4 + a 10 = 4 , :.S 13 =13(a 1+a 13) 13(a 4+a 10) 13X42 = 2 = 2= 26. 15 . -49. 解析：·:d =a 6 -a s = -5 , .·.a4 +a s+…+ a10 =7(a 4+a 10)_ 7(a 5—d+a 5+5d) =7(a s +2动= -49.16. 5, —(n + l)(n-2) . 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，.f(k)=f(k-1) + (k-1)由/(3)= 2/(4) = /(3) + 3 = 2 + 3 = 5 , /(5) = /(4) + 4 = 2 + 3 + 4 = 9 ,f(n) = f(n -1) + (n -1), 相加得杯）=2+3+4+ 三、解答题1…+ (n -1) =—(n + l)(n -2) . 2 17. 分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．证明：(1) n= 1时，a1=51=3-2=1,当n�2时，a n =S n -S n _ 1 = 3 ff -2 n -[3(n -1)2 -2(n -1)] = 6n -5 n=l 时，亦满足，:.a n =6n -S(nE N *) .首项a1= 1 ,a n -a n -1 = 6n -5 -[6(n -1) -5] = 6(常数）(nEN*),．数列｛动成等差数列且a1= 1, 公差为6.(2) .. 1 1 1 ， 成等差数列，a b c 2 1 1 :. —=-+-化简得2a c =以a +CJ b a cb+c a+b ＋＝ bc+c 2+a 2+ab b(a+c)+a 2+c 2 (a+c)2 (a+c)2 a+c = = = = 2a C ac acac b(a+c) b . b+c c+a a+b， 也成等差数列．a bc 18. 解：(1)由题设2a3= a1 + a2 , 即2a心=a1 + a1q, :a1-:t-O, :.2矿-q -1=0,:.q= 1或－—．12(2)若q=1, 则S n =2n+= n(n —I) n 2+3n 2 2当n�2时，S -b n = S n -(n —1) (n+2)n 1=>O, 故S n >b n .若q = 2I n(n 1)，则S n =2n + l —n +9n -—(-—) ＝2 2 2 4. 当n�2时，S n -炕=S n -1 =, (n —I) (IO —n)2故对于nEN+,当2匀区9时，S 户肛；当n =10时，S n =b n ; 当n�ll时，S n <b n . 19. 证明...n+2 .. a n +i = Sn+l -S n I a n +i = nS n I .·.(n + 2)S n = n(S n +l -S n ),整理得nS n +l = 2(n + 1) S n , s 所以n +l 2S n n+I n s 故｛二｝是以2为公比的等比数列．20. 证明：由a1/ 2句，3a4成等差数列，得4句=a1 + 3a4, 即4a1cf = a1 + 3a1矿，变形得(4矿+1)(矿-1) = 0 , 1 矿＝－－或矿=1(舍）．4 吓－矿）由戈=1-q = l+q 3 =上12S 3 12a, (1-矿）12 16 1—qa l (l —q '2) S ,2-S 6 =旯l —q 1-1= -1=1+ -1=—·＃ s 6 s 6 a , (1—q 勹得戈＝凡-S 6. 12S 3 S 61-q .12S3 I S5 I S12 -吴成等比数列．16。
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数列小题练习
1、已知数列{b n}是等比数列，b1009是1和3的等差中项，则b1b2017＝（）
A．16 B．8 C．2 D．4
2、2017是等差数列4，7，10，13，…的第几项（）
A．669 B．670 C．671 D．672
3、已知等差数列{}的前项和是，若，，则公差是（）
A．1 B．2 C． D．
4、在等比数列中，则（）
A．3 B． C．3或 D．或
5、已知等差数列的前项和为，且满足，，则（）
A．4 B．5 C．
6 D．7
6、在等差数列中，已知的等比中项，则数列的前项的和为
A. B. C.
D.
7、在等差数列中，，则数列的前11项和（）
A．24 B．48 C．66 D．132
8、已知等差数列{a n}中，a2+a4=6，则前5项和S5为（）
A．5 B．6 C．15 D．30
9、在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2（a2•a3•a5•a7•a8）=5，则a1•a9=（）
A．4 B．5 C．2 D．25
10、、已知等差数列的前10项和为165，，则
A．14 B．18 C．21 D．24
11、已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=1+2a n（n≥2），且a1=2，则S20（）
A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2
12、已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1,a3,a4成等比数列,S n为数列{a n}的前n项和,则的值为()
A.-2
B.-3
C.2
D.3
13、已知等比数列{a n}各项为正数,a3,a5,-a4成等差数列.若S n为数列{a n}的前n项和,则=()
A.2
B.
C.
D.
14、已知数列{a n}是公差为的等差数列,S n为{a n}的前n项和,若S8=4S4,则a8=()
A.7
B.
C.10
D.
15、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6=()
A.8
B.10
C.12
D.14
16、设S n是等差数列{a n}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（）
A．﹣2 B．0 C．3 D．6
17、在等差数列（）
A、13
B、18
C、20
D、22
18、等差数列{a n}中，已知a1＝，a2+a5＝4，a n＝33，则n为( )
A．50 B．49 C．48 D．47
19、设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则a3等于（）
A．16 B．37 C．-7 D．9
20、设为等比数列的前项和，且，则:的值为（）
A．-3 B．5 C．-8 D．-11
21、.在等差数列中，，则该数列公差d等于（ )
A． B．或 C．- D．或-
22、已知等比数列的公比，，则其前3项和的值为（）
A．24 B．28 C．32 D．16
23、等差数列满足,则通项公式（）
A． B． C. D．
24、等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A．9 B．15 C．18 D．30
25、在等差数列中，，则（）
A.8
B. 6
C. 4
D. 3
26、设等比数列的前项和为，若，且，则等于
A. 3
B. 303
C. -3
D. -303
27、已知等差数列的前项和为，且，则
(A)6 (B) 7 (C) 8 (D) 9
28、已知数列的前项和为，且，则（）A．B． C． D．
29、若等比数列，前项和，且，为与的等差中项，则（）A．29 B．30 C．31 D．33
30、等差数列的前项和为，且，，则公差等于
（A）（B）（C）（D）
31、已知数列的前项和为，且成等差数列，则（）
A． B． C. D．
32、设为等比数列的前项和，，则的值为（）
A. B. C. D.
33、设数列的前n项和，则的值为（）
A . 15 B. 16 C. 49 D. 64
34、已知等差数列满足，则其前10项之和为（）
A.140
B. 280
C. 168
D. 56
35、已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）
A． B． C． D．
36、已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）
A． B． C． D．
37、.设为等比数列的前项和，，则的值为（）
A. B. C. D.
38、已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（） A．B．C．D．或
39、设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
40、在等比数列{a n}中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（）
A．12 B．18 C．24 D．36
参考答案
一、选择题
1、D
2、D
3、A
4、C
5、B
6、D
7、C
【解析】设等差数列公差为，则，所以有
，整理得，，，故选C．
8、C
9、A
- - -
10、C
11、B【考点】数列的求和．
【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出．
【解答】解：∵S n=1+2a n（n≥2），且a1=2，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+2a n﹣（1+2a n﹣1），化为：a n=2a n﹣1，
∴数列{a n}是等比数列，公比与首项都为2．
∴S20==221﹣2．
故选：B．
12、.C解析设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d(d≠0),
因为a1,a3,a4成等比数列,
所以a1a4=,即a1=-4d,
所以=2.
13、.C解析设等比数列{a n}的公比为q(q>0,q≠1),∵a3,a5,-a4成等差数列,∴2a1q4=a1q2-a1q3.
∵a1≠0,q≠0,∴2q2+q-1=0,解得q=或q=-1(舍去).
=1+故选C.
14、D解析∵数列{a n}是公差为的等差数列,S n为{a n}的前n项和,S8=4S4,
∴8a1+d=4又d=,∴a1=
∴a8=a1+7d=+7故选D.
15、.C解析因为S3=3a1+3d=3×2+3d=12,所以d=2,所以a6=2+5×2=12.故选C.
16、A【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式即可求得公差d，再利用等差数列的通项公式即可求出答案．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵a1=2，a5=3a3，∴2+4d=3（2+2d），解得d=﹣2．
则a3=a1+2d=2+2×（﹣2）=﹣2．
故选：A．
17、A
18、 A
19、C
20、A
21、D
22、B
23、A
24、D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q，进而得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，
∴2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q=2．
又a4=16，可得a1×23=16，解得a1=2．
则S4==30．
25、D【解析】根据等差数列的基本性质，从而得到6，进一步得，2，于是得到.
【解答】由等差数列的性质可知：
.
本题选择D选项.
【说明】本题考查等差数列的基本性质.
26、A
27、A
28、D
29、B
30、B
31、B
32、C
33、A
34、A
35、D【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得
，解得，
故选D．
36、D【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得
，解得，
故选D．
37、C
38、B
39、B【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴ d=﹣4， d=6，解得a1=﹣4，d=2．
则S5=5×（﹣4）+×2=0，
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
40、B【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设公比为q，由题意求出公比，再根据等比数列的性质即可求出．
【解答】解：设公比为q，
∵a3=6，a3+a5+a7=78，
∴a3+a3q2+a3q4=78，
∴6+6q2+6q4=78，
解得q2=3
∴a5=a3q2=6×3=18，
故选：B
【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了学生的计算能力，属于基础题．。