人教八年级数学上册最短路径问题

如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得
AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直
线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方
法是（ ）
A.转化思想 B.三角形两边之和大于第三边
∙B A∙
C.两点之间，线段最短
l
∙B
题转化为“两点之间，线段最短”来解决，该
A∙
过程用到了“转化思想”，“两点之间，线段
l
C
最短”，验证是否为最短距离时利用了三角形
两边之和大于第三边.
B′
随堂练习 2
两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在 地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的 位置.
1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最 小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.
A∙
C l
∙B
新知探究
知识点2
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值 最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作 点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.
C
∵A′C=AC=BD，
在△A′CE和△BDE中， ∠A′CE=∠B′C=BD，
则△A′CE≌△BDE（AAS），CE=DE，A′E=BE.
∴点E是CD的中点.
∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.
ED B
最短路径问题
13.4.2 最短路径问题
新知探究 知识点1
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上 的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时， AB+B′C的值最小？
∙B
A∙
你能证明这个结论吗
∙
l
C
∙ B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
新知探究
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′， 所以AC+BC<AC′+B′C′. 由点C′的任意性可知，AC+BC的值是 最小的，故点C的位置符合要求.
∙B A∙
C′ C
l
∙B′
∙B A∙
l C
B′
学习目标
1、利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实 际问题转化为数学问题的思想.
课堂导入
思考：（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平 行的直线，桥要与河垂直）
B A
l
新知探究
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？ 如图所示：将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.
∙B A∙
l
那你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
新知探究
如图： 点A，B分别在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么
位置的时候，AC+BC的值最小？
最短路径问题
13.4.1 最短路径问题
知识回顾 如图，从点A到点B有四条路线可选，哪一条是最近的？
容易得出，路径（3）是最近的. 依据“两点之间，线段最短”.
知识回顾
如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的所有路线中，哪一条是最
短的？
A
∙
（1）
（3）
（2）
┐
l
容易得出，（2）是最短的.
依据“垂线段最短”.
）
A.900
B.1200
C.1500
D.1800
C
D
A
B
拓展提升 1
分析：“牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，
C
D
最短距离”可以转化为“点A，B均在河边CD
的同侧，请在河边CD上找一点E，使得AE+BE
的值最小”.
A
B
根据本节课所学的知识，点E比较容易找出， 那AE+BE的值应该是多少呢？
拓展提升 1
分析：上述题目可以描述为，点C，D为线段AB
E
同侧的两点，在线段AB上找到一点E使得
CE+DE的值最小.
C
D
B
随堂练习 3
如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使 EC+ED最小，请找点E的位置.
A
解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D′， 连接CD′交线段AB于点E，则点E即为所求，也 就是使得EC+ED最小的位置.
A∙
C
∙B
l B′
新知探究
跟踪训练
如图，A，B两个小镇在河的同侧，现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向 两个镇供水，如何选择自来水厂的位置，可使用的水管最短？
解：如图，作点B关于河边a的对称点B′，连 接AB′交河边a于点P，则点P所在的位置为所 求的自来水厂的位置.
A∙
∙B
P∙
a
∙
B′
随堂练习 1
A∙
M
A′
∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
N
即AM+NB+MN的值最小.
M′ a
b N′
∙B
新知探究 知识点2 两点一线型问题
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小. l2
∙P
l1
新知探究 知识点2 两点一线型问题
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
新知探究 知识点1 造桥选址问题
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？ 如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂 直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
A∙
M
a
b
N
∙B
新知探究
分析： 由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.当AM+MN+BN的值最小时，也 即AM+BN的值最小.
新知探究 知识点1
1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最 小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.
A∙
C l
∙B
新知探究
知识点2
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值 最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作 点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.
随堂练习 2
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′ 交AB于点E，则点E即为所求. 也可作点D关于AB的对称点D′，连接CD′同样交 AB于点E的位置，则点E即为所求.
随堂练习 3
如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使
EC+ED最小，请找点E的位置.
A
课堂导入
思考：相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有 一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方 饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这 个问题后来被称为“将军饮马问题”.
A∙
M
a
b
N
∙B
你能用几何语言将上述的问题重新表达吗？
新知探究
如图： 直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b的两侧，MN为直线a， b之间的距离，则点M，N在什么位置的时候，满足AM+MN+NB的值最小.
A∙
M
a
b
N
∙B
新知探究
分析： 将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′， 则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB的值最小.
P2
l2
N ∙P
l1 M
P1
新知探究 知识点3 两点两线型问题
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
l2
∙Q ∙P
l1
新知探究 知识点3 两点两线型问题
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
作法：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P1， Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2于点M，N，则 点M，N即为所求.
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
C
B′
随堂练习 1