人教版八年级上册数学 最短路径问题

B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴
于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A
与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明
B′
△B′C′O为等腰直角三角形即可．
C′ E
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在 的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直 线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动 点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ B
A
l 想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C， 都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B．Q是m上到A、B距离之和最短的 点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最 短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等 的点
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=
10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最
小，则最小周长是（ A ）
A．10
AM+MN+BN长度改变了
3.把桥平移到和A相连. A
Ｍ
Ｎ
AM+MN+BN长 度有没有改变 呢？
B 4.把桥平移到和B相连.
问题解决
A
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连 A1 接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径 AM+MN+BN最短.
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. 由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个 点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
根据是“两点之间，线段最短”，
A
可知这个交点即为所求.
C l
B
?
折
●B 移
思维火花 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧 呢？什么图形变换能帮助我们呢？
各抒己见
1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连.
A
Ｍ
Ｎ
B
1.把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
A
A'
Ｍ
Ｎ B'
B
2.把B平移到岸边.
点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB
的值最小时，在图中画出点P．
y
B
A
O
P
x
B '
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处， 须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东 西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
ND
E
B
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未 知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直 线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（ A ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的 点，Q是m上到A、B距离相等的点
二 造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造 在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）？
A A
M
B N
B
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
●A
M
M
N
N
B．15
C．20
D．30
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC 和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从 A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 1000 米.
C
D
河
A
B
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，
A
C
D
C′
D′
E E′ B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,
与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥. 理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行
四边形，于是AD=FD′,
A
同理，BE=GE′，
C
D
F
由两点之间线段最短可知，GF最小.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ １＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD,
BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
C′
D′
E
E′
BG
拓展提升
6.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三
点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，
使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、
哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A
l A′
一 牧人饮马问题 “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各
点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识
探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
①
②
A
③
B
P
A BC
Dl
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧
马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化 思想．（重点）
复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
①
②
A
③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，
造桥选 址问题
解题方法
关键是将固定线段“桥” 平移
Hale Waihona Puke AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
A· M C
∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN， 所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并
说明理由． D
C
A 图①
B
A
P
O 图②
B
O
A
M
图③
N B
D C
AP C' 图①
P' A
E
P
O
F
B
图② P''
B
M' A
E
M
N
O
B F
N'
图③
原 理 线段公理和垂线段最短
最短路 牧马人饮 径问题 马 问 题
解题方法 轴对称知识+线段公理
MA
Ql
P
B
M Q
l
P
M
l
C
M
l
D
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的 最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
C
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，