人教版八年级上册数学专题：最短路径问题复习课件

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人教版八年级上最短路径问题精选课件

转化猜想尝试验证总结
·
A· ·
C' C
·
B
证明：
在l上任取另一点C’，
l 连结BC’、AC’、B’C’
·B′∵直线MN是点B、B’的对称
轴，点C、C’在对称轴上，
∴BC=B’C， BC’=B’C’． ∴BC+A C=B’C+AC=AB’ ． ∴BC’+AC’=B’C’+AC’
在△AB’C’中，AC’+B’C’ >AB’
•
8.对传统生物学过分强调个体行为和动物本能的观点进行了反思，也对人类盲目自大、不能充分认识自身生存危机作出了警示。
•
9. 人类虽然最终脱颖而出，主宰了这个世界，但人类的行为方式还具有和其他社会性生物相类似的特点，还需要联合，需要团结，才能源源不断地产生智慧，克服自身发展面临的种种困境，推动社会进步。
A·
·
C
·B
l
转化猜想尝试验证总结
求：线段AC+BC最短
A·
·B
（1）BC=B′C， ∴AC+BC=AC+B’C=AB’
．
·· C' C
l （2）BC′=B′C′ ． ·B′ AC’+BC’=AC’+B’C’
∴泵站修在在△AB’C’中，AC’+B’C’ >AB’
管道的C处
即：AC’+BC’ >AC+BC
探究2.如图，要在燃气管道l上修建一个
泵站C，分别向A、B两镇供气，泵站C修
在管道l的什么地方，可以最省材料？
A.

人教版八年级数学上册1最短路径问题课件

在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
B′
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
归纳
B A
l
解决实际问题
B
抽象为数学问题
A
C
l
轴对称
A C
用旧知解决新知
B
l
A
C
l
B′
B′
解决“两点一线”型最短路径问题的方法：
异侧: 连接两点，与直线的交点即为所求的点；
同侧: 作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另
a P1
M .P
N
b
P2
解决“两线一点”型最短路径问题:
要作两次轴对称，从而构造出最短路径． a
P1
作法： 1.作点P关于直线a的对称点P1; 2.作点P关于直线b的对称
M .P
点P2; 3.连接P1P2，分别交直线 a ，b于点M ,N ;
N
b
4.依次连接PM ,MN ,NP , 即所求最短路径。
A1
P
l1
.
A
Q
. B1
B
l2
再学习（4）造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔造在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A Ｍ
Ｎ B
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
问题解决
如图，平移A到A1，使Ａ
A
A1等于河宽，连接A1Ｂ

人教版数学初中八年级上册13.4课题《学习最短路径问题》PPT课件

▪ 问题2 A和B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A 到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
A
a M
N
b
B
▪ 分析：可以动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样问题可以转化为：
▪ 当点N在直线的什么位置时，AM+MN+NB 最小？
▪ 由于河宽固定，因此当AM+NB最小时， AM+MN+NB最小。这样问题进一步转化为：
▪ 当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
▪ 根据问题1的知识，请同学们： ▪ 1、自主探究， ▪ 2、同学讨论， ▪ 3、对照课本， ▪ 找出不足，解决问题。
▪ 归纳：
▪
在解决最短路径问题时，我们通常利
用轴对称、平移等变化把已知问题转化为
容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
▪ 小结：
▪ 本节课同学们学到了哪些知识？还有哪些困惑？
▪ 那么我们如何才能把同则的两点变成异则的两点呢？
▪ 如果能把点B或A移到L的另一则B′或A′处，同时对直线上的任一点C，都保持CB=CB′，就可以了。
▪ 你能利用轴对称找到符合条件的B′点吗？
B A
B A
C 点C 即为所求
你能证明为什么点C即为所求吗？
B′
▪ 证明：在L上另取一点C′，连接AC′,BC′,B′C′, ▪ ∵AC′+BC′=AC′+B′C′ ▪ 在△AB′C′中 ▪ AC′+BC′＞AB′(两边之和大于第三边） ▪ ∴点C即为所求。
复习：
▪ 我们以前学过哪些知识能说明线段最短？
1，两点间线段最短

人教版八年级上册数学专题最短路径问题复习精品课件PPT

图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
人教版八年级上册数学13.4专题：最短路径问题复习课件
人教版八年级上册数学13.4专题：最短路径问题复习课件
练习2.如图13-4-2，一个牧童在小河的南边A处牧马，他想把他的马牵到
小河边去饮水，然后回家(即图中的小屋B). 问：马牵到小河边什么地方饮水，然后回家所走的路程最短？请在图中画出河边马饮水的位置.
人教版八年级上册数学13.4专题：最短路径问题复习课件
完成作业2.24作业
人教版八年级上册数学13.4专题：最短路径问题复习课件
15
人教版八年级上册数学13.4专题：最短路径问题复习课件
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么温馨提示？对老师说，你还有什么困惑？
10
人教版八年级上册数学13.4专题：最短路径问题复习课件
知识点一：利用轴对称解决最短路径问题
典例讲评
两线一点型
如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在
OM，ON上确定点B，C，使△ABC的周长最小，写出你作
图的主要步骤,并标明你所确定的点.(要求画出草图,保留作图
作痕法迹：) 1、分别作点A关于 OM、ON的对称点A′,A′′;
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
人教版八年级上册数学13.4专题：最短路径问题复习课件
人教版八年级上册数学13.4专题：最短路径问题复习课件

人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)

联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接
CB′。
B
A C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
根据前面的分析，我们认为的
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十三章轴对称
13.4 课题学习最短路径问题
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？
B B
AA l
l
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
B
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。

八年级数学人教版(上册)课件_13.4课题学习最短路径问题(共20张PPT)

探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A··B源自有关知识，找到上问中符合条
l
件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
八年级数学上册·人教版
第13章轴对称
13.4 课题学习最短路径问题
• 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
课件说明
• 学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
• 学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
引入新知
引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．

人教版数学八年级上册13.4 课题学习最短路径问题课件(共27张PPT)

A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′，即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽，连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点

13.4 课题学习最短路径问题课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册

迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马在这个情境中我们再回到营地，饮马点在什么位分别把烽火台，营置，可使将军所走的路径最短？地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点得最短
A
l P
B
两点之间线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边饮马再回到营地，饮马点在什么位置，可使将军所走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.

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人教版八 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ级上册数学专题：最短路径问题复习课件
完成作业2.24作业
人教版八年级上册数学专题：最短路径问题复习课件
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蓦然回首
对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么温馨提示？对老师说，你还有什么困惑？
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变式.如图，△ABC是等边三角形，高AD＝3，点E是AB上
中点，点P是AD上的动点，则PE+PB的最小值为 3 .
A
E
P
∟
B
DC
人教版八年级上册数学专题：最短路径问题复习课件
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人教版八年级上册数学专题：最短路径问题复习课件
知识点三：利用轴对称和垂线段最短解决最小值问题
学以致用
3
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
例1. 已知：如图，A，B在直线L的两侧，
A . 在L上求一点P，使得PA+PB最小。连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求 P .B L
思考:为什么这样就能得到最短距离呢？
根据：两点之间线段最短.
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
例2：已知：直线l和同侧两点A、B
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人教版八年级上册数学专题：最短路径问题复习课件
知识点一：利用轴对称解决最短路径问题
典例讲评
两线一点型
如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在
OM，ON上确定点B，C，使△ABC的周长最小，写出你作
图的主要步骤,并标明你所确定的点.(要求画出草图,保留作图
作痕法迹：) 1、分别作点A关于 OM、ON的对称点A′,A′′;
求作：直线l上一点C满足AC+BC的值最小.
作法： 1、作点B关于直
线l的对称点B＇
A
B
2、连接AB＇ ,交直线l于C 。
l
C
B′ 5
人教版八年级上册数学专题：最短路径问题复习课件
练习1：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
练习4.在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下
列各题(用直尺画图):(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关
于直线DE对称的△A1B1C1; (2)在DE上画出点P，使PB1+PC最小; (3)在DE上画出点Q，使QA+QC最小
C
D
Q
C1
P
A
B B1
A1
E
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牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
作法：1.作点C关于直线 OA的对称点点F,
2.作点D关于直线OB 的对称点点E,
F
G
O
A
·C
H
D·
E
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H， B
则CG+GH+DH最短
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C
N
上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所
A′ D
B
走的总程最短.
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13
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• 2. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩
A'
C
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练习3. 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、
AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小
值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
13章：
1
1.最短路径问题的类型
（一）两点一线型的线段和最小值问题；
①两点在直线异侧 ②两点在直线同侧
（二）两线一点型线段和最小值问题；
（三）两点两线型的线段和最小值问题；
(四)造桥选址问题.
2
2. 解决最短路径问题的方法：
借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“ 两点之间，线段最短”或“ ”来垂线求段线最段短和的最小值.
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
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练习2.如图13-4-2，一个牧童在小河的南边A处牧马，他想把他的马牵到
小河边去饮水，然后回家(即图中的小屋B). 问：马牵到小河边什么地方饮水，然后回家所走的路程最短？请在图中画出河边马饮水的位置.
C
E F
∟
A
M
B
D
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知识点一：利用轴对称解决最短路径问题
典例讲评
两线两点型
某中学八(12)班举行文艺晚会， C 桌子摆成如图所示两直排(图中的AO， A
MO
BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
人教版八年级上册数学专题：最短路径问题复习课件
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A′ M
2、连接A′A′′ ,分别交OM、 ON于B、C ；
B A
∟
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O
C
N
A′′
11
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知识点一：利用轴对称解决最短路径问题
学以致用
两线一点型
练习7.如图，OA，OB分别是线段MC， MD的垂直平分线，MD=5cm， MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点 M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到 OB边上任意一点F，然后爬回M点处， O 则小蚂蚁爬行的路径最短可为(B ) A. 12cm B 10cm C. 7cm D. 5cm