2008年第6届创新杯全国数学邀请赛7年级复试试题
第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初一决赛试题及答案(1997·5)
第六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初一决赛试题及答案
(19975)
佚名
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1997(000)009
【摘要】一试 1.解方程||x|-|x-3.1415926||+||y+（11/8）-|2y-7.13||=0. 答x=1.5707963,y=（1151/600）;（1701/200）. 2.n是自然
数,N=[n+1,n+2,…,3n]是n+1,n+2,…,3n的最小公倍数,如果N可以表示成
N=2<sup>10</sup>×奇数,请回答n的可能值共有多少个?
【总页数】2页(P45-46)
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
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初一创新杯数学邀请赛模拟试题集锦(5套)
初一数学“创新杯”邀请赛赛前训练题-1一、选择题1．如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 是AM 的中点，则MN:PQ=（ ）QP M N A CBA.1B.2C.3D.4 2．若0<a ，0>b ，0<+b a ，则下列关系中正确的是（ ）A.a b b a ->->>B.b b a a ->>->C.a b a b ->->>D.a b b a >->>-3．若a ，b ，c 是非零有理数，且0=++c b a ，则abc abcc c b b a a +++所有可能值为（ ）A.0B.1或-1C.-1D.14．计算：)514131)(615141311()61514131)(5141311(++++++-++++++=（ ）A.21B.31C.41D.61 5．已知实数a ，b 满足ab =1且b a M +++=1111，bba a N +++=11，则（ ） A.N M > B.N M < C.N M = D.M 、N 的大小不能确定 6．观察以下数组：（1），（3,5），（7,9,11），（13,15,17,19），……2011在（ ）A.第44组B.第45组C.第46组 D 无法确定 7．已知：523=-++x x ，54+-=x y ，则y 的最大值是（ ）A.12B.15C.17D.无法确定 8．有一块试验地形状为等边三角形（设其为△ABC ）,为了解情况，管理员甲从顶点A 出发，沿AB —BC —CA 的方向走了一圈回到顶点A 处。
管理员乙从BC 边上的一点D 出发，沿DC —CA —AB —BD 的方向走了一圈回到出发点D 处，则甲、乙两位管理员从出发到回到原处，在途中身体（ ）A.甲、乙都转过︒180B.甲转过︒120，乙转过︒180C.甲、乙都转过︒360D.甲转过︒240，乙转过︒3609．在九张卡片上分别写着数字1，2，3，……9，现将卡片顺序打乱，让空白面朝上，再写出1，2，3……,9，然后将每张卡片上的两个数字作差，则九个差的积（ ） A.一定是奇数 B.可能是奇数也可能是偶数 C.一定是偶数 D.一定是负数 10．一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰好是4的倍数，这样的四位数中最大的一个的末位数字是（ ）A.6B.4C.3D.2二、填空题11．已知两个不相等的质数的和是一个质数，则较小的质数的倒数是 。
第06讲 整式的概念和整式的加减w
第6讲 整式的概念和整式的加减知识方法扫描整式的概念1. 单项式与多项式统称整式．2．单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个字或数也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数3． 多项式几个单项式的和叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做多项式项，其中，不含字母的项叫做常数项．一个多项式有几项就叫做几项式，次数最高的项的次数就叫做多项的次数. 把一个多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大） 的顺序排列叫做降（或升）幂排列法．整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数也是同类项．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．整式的加减实际就是合并同类项。
3. 灵活地去（添）括号括号前面去掉（或添上）“+”号，括号里各项都不变；括号前面去掉 （或添上）“-”号，括号里各项都变号，若有多层括号，去括号有三种方法：一是可以从里向外去；二是可以 从外向里去；三是可以里外同时去，同时在去括号后，在不影响计算结果 的前提下，也可以边去括号边合并同类项，从而简化计算，经典例题解析例1 (1997年北京市初二数学竞赛试题)同时都含有字母a ，b ，c ，且系数为1的7次单项式共有( )．(A)4个 (B) 12个 (C) 15个 (D) 25个解：设满足条件的单项式为p n m c b a 的形式，其中m 、n 、p 为自然数，且m+n+p=7．指数m ，n ，p 只能有如下四组可能: 1,1,5； l,2,4； 1,3,3； 2,2,3．所以满足条件的单项式有;,,;,,334242555c b a bc a c ab bc a c ab abc ;,,244224c b a c b a c ab .,,;,,223232322333333c b a c b a c b a c b a bc a c ab 总计有15个．故选（D ）例2．（1993年第4届“希望杯”邀请赛试题）在多项式42123431993---++m n n m n m n m y x v u y x v u （其中m ，n 为正整数）中，恰有两项是同类项，则m·n=解 若n m v u 1993与n m v u 23是同类项，则m=0，n=0，与已知条件矛盾。
4年级-7-和差倍问题综合-难版
第7讲和差倍问题综合本讲是在已经学过基本和差倍问题的基础上进行拓展提高。
和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。
为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。
知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：方法一：(和+差)÷2=大数和-大数=小数方法二：(和-差)÷2=小数和-小数=大数和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数或和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l份数×(倍数－1)=两数差.差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－1)=1倍数(较小数)1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数典型例题【例1】★5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。
每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千克）。
把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。
【小试牛刀】师、徒两人共加工105个零件，师父加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师父和徒弟各加工零件多少个？【解析】把徒弟加工的个数看作1份数，师父加工的个数就比3份数还多5个，如果师父少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(1055)-个，就可以求出师父和徒弟各加工多少个了．徒弟做了：100(31)25⨯+=(个)．÷+=(个)，师父做了：253580【例2】★★（2008第四届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）四年级复赛）甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有块巧克力．【解析】由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5块，此时乙的巧克力数为(735)(112)17++=（块）。
2008年时代杯数学竞赛(答案)
“时代杯”2008年江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题（初中组）（答案）1．本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．2．用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题6分，共36分）1．计算12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002的值是（ B ）．A．5050 B．－5050 C．100 D．－100 2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：龟兔同时出发，沿直线向同一目标奔跑，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，停下来睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，……. 用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ D ）．A．B．D．3．同时抛掷两枚均匀的骰子1次，两枚骰子面朝上的点数之和大于8的概率是（ C ）．2+6 3+5 4+4 5+3 6+21+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+11+5 2+4 3+3 4+2 5+11+4 2+3 3+2 4+11+3 2+2 3+11+2 2+11+126/36=13/18 1-13/18=5/18A．12B．13C．518D．411 4．观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x＋y的值为（ D ）．A．45 B．46 C．48 D．4923+26=49 密封线姓名学校考号表一表二表三5．如图，△DEF的边长分别为1，3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比ABDE=k，那么k的不同的值共有（ C ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】以直角三角形的最短直角边为分类依据，最短边依次可以是：2．所以有3个．6．将BC 沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）．A． 37 B．8 C．65D．215A B A B【解析】方法一：如图连接CD，作高CE，易证CA=CD，由三线合一可以知道1422AE DE==⨯=，则257BE=+=，在Rt ABC∆中，由射影定理可得：22714CE=⨯=，再在Rt BCE∆中使用勾股定理：BC=方法二：如图，由翻折联想到对称，取点,A D关于BC的对称点,A D''，可以知道'5,'4BD BD AD AD====，在'Rt ABD∆中使用勾股定理：'AD=．又在''Rt AA D∆中使用勾股定理：AA'=．所以：AC=最后在Rt ABC∆中使用勾股定理：BC===二、填空题（每题6分，共24分）7．若不等式组⎩⎨⎧x－a＞2，b－2x＞0的解集是－1＜x＜1，则(a＋b)2009的值是．【解析】1-8．如图，在一条笔直的公路上有三个小镇A、B、C，甲车从A出发匀速开往C，乙车从B 出发匀速开往A．若两车同时出发，当甲车到达B时，乙车离A还有40km；当乙车到达A时，甲车正好到达C.已知BC＝50km，则A、B两镇相距km.．．D EF（【解析】由题意得：4050v x x vv x xv ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪⎩甲乙甲乙 可以得到：200x =9．已知p ，q 都是正整数，方程7x 2－px ＋2009q ＝0的两个根都是质数，则p ＋q ＝_______．【解析】337．设方程的两个根为1212,()x x x x <．由韦达定理可知：1220097417x x q q ==⨯⨯． ∵12,x x 为质数，∴127,41x x ==． ∴()4177336,1p q =+⨯==．10．长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆交BC 于点E ．在AE 上找一点P ，使过点P 的⊙B 的切线平分长方形的面积．设此切线交AD 于点S ，交BC 于点T ，则ST 的长为_______．【解析】3． 三、解答题（每题18分，共90分）11．已知二次函数y ＝x 2＋2ax ＋b 2和y ＝x 2＋2bx ＋c 2的图象与x 轴都有两个不同的交点，问函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴是否相交？为什么？【解析】不相交． ……………… 3分 由题设，得a 2－b 2＞0，b 2－c 2＞0． ………………9分 则a 2＞b 2＞c 2，所以c 2－a 2＜0． ………………15分 从而知函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴不相交． ………………18分12．一个长40cm 、宽25cm 、高50cm 的无盖长方体容器（厚度忽略不计），盛有深为a cm(a ≤50)的水．现在容器里放入棱长为10cm 的立方体铁块（铁块的底面落在容器的底面上）后，水深是多少?【解析】由题设，知水箱底面积S ＝40×25＝1000(cm 2)．水箱体积V 水箱=1000×50＝50000（cm 3）， 铁块体积V 铁=10×10×10＝1000（cm 3）. ……………3分 （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm 时，1000a ＋1000＝50000, 得 a ＝49（cm ）．所以，当49≤a ≤50时，水深为50cm （多余的水溢出）． ………………6分 （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm 时，1000a ＋1000＝10000, 得 a ＝9（cm ）． ………………9分所以，当9≤a ＜49时，水深为a ×40×25+10×10×1040×25 = (a +1) cm.．……………12分（3）由（2）知，当0＜a ＜9时，设水深为x cm ，则1000x ＝1000a ＋100x ．得x ＝109a （cm ）． ………………17分C AD B E答：当0＜a ＜9时，水深为109a cm ；当9≤a ＜49时，水深为（a +1）cm ；当49≤a ≤50时，水深为50 cm ． ………………18分13．设a ，b ，c 是整数，使得a 2＋bb 2＋c是一个有理数．求证：a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c是一个整数．【解析】证法一：令a 2＋bb 2＋c＝k ，k 为有理数, 得(a －kb )3+(b －kc )＝0. ……………3分 因为a ，b ，c 是整数，k 为有理数，所以a －kb=0，b －kc =0，从而a=k 2c , b=kc ．……………6分于是a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c =k 4＋k 2＋1k 2＋k ＋1·c .………………9分 又 k 4+k 2+1= (k 4+k 2+1)-k 2 = (k 2+k +1) (k 2-k +1)，………………15分则 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝ (k 2－k ＋1)c ＝k 2c －kc ＋c ＝a ＋c －b .因为a +c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 为整数.…………18分证法二：a 2＋b b 2＋c＝（a 2＋b ）(b 2－c )2b 2－c 2＝（2ab －bc ）＋（b 2－ac ）22b 2－c 2.……………6分 因为a 2＋b b 2＋c是有理数，所以b 2－ac ＝0，即b 2＝ac .……………9分 所以 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋ca ）a ＋b ＋c……………12分＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋b 2）a ＋b ＋c……………15分＝a ＋c －b .因为a ＋c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 为整数. ……………18分14．设n 为自然数，在△ABC 内给定n 个点．用一些除端点外没有公共点的线段连结这些点及A 、B 、C ，将△ABC 分成 t 个小的三角形． （1）用含n 的代数式表示t ；（2）证明t 为定值，与线段的连法无关． 【解析】（1）t =2n +1． ……………6分（2）由题设得，t 个三角形的内角和t π，△ABC 的内角和π， ……………9分 以给定的n 个点的每个点所构成的周角之和n ·2π． ……………12分由于t 个三角形的内角和等于△ABC 的内角和与以n 个点的每个点所构成的周角之和，所以 t π=π+n ·2π，得 t =2n +1．故结论成立． ……………18分15．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足． 求证：DP=DQ ．【解析】证法一：如图1，取OB 中点M ，OC 中点N .因为D 为BC 的中点，所以DM ∥OC ，DM ＝12OC ，DN ∥OB ， DN ＝12OB .在Rt △BOQ 和Rt △OCP 中，QM ＝12OB ，PN ＝12OC ．所以DM ＝PN ，QM ＝DN ． ……………6分∠QMD ＝∠QMO ＋∠OMD ＝2∠ABO ＋∠FOB ， ∠PND ＝∠PNO ＋∠OND ＝2∠ACO ＋∠EOC ． 因为∠ABO ＝∠ACO ，∠FOB ＝∠EOC ，所以∠QMD ＝∠PND ． ……………15分 于是△QMD ≌△DNP ，从而DQ=DP ． ……………18分证法二：如图2，在直线BF 上取点M ，使QM=BQ ，在直线CA 上取点N ，使PN=CP ． 连接CM ，BN ，OM ，ON ．所以DQ=12CM ，DQ ∥CM ，DP=12BN ，DP ∥BN ．……………6分因为OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，所以OM ＝OB ，ON ＝OC ． ……………9分 ∠BOM ＝1800－2∠ABO ，∠CON ＝1800－2∠ACO ，因为∠ABO ＝∠ACO ，所以∠BOM ＝∠CON ． ……………15分 从而∠BON=∠BOM ＋∠MON ＝∠CON ＋∠MON ＝∠COM ． 所以△OMC ≌△ONB ，所以CM=BN ，从而DQ ＝DP ． ……………18分图1图2 C A D B E F O P Q MN CAD BEF O PQ N M。
复赛答案
2008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题参考答案一、选择题（每题6分，共36分）1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．C ．6．A ． 二、填空题（每题6分，共24分）7．－1．8．200．9．337．10．233．三、解答题（每题18分，共90分）11．解：不相交． ……………… 3分 由题设，得a 2－b 2＞0，b 2－c 2＞0． ………………9分 则a 2＞b 2＞c 2，所以c 2－a 2＜0． ………………15分 从而知函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴不相交． ………………18分 12．解：由题设，知水箱底面积S ＝40×25＝1000(cm 2)．水箱体积V 水箱=1000×50＝50000（cm 3）， 铁块体积V 铁=10×10×10＝1000（cm 3）. ……………3分 （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm 时，1000a ＋1000＝50000, 得 a ＝49（cm ）．所以，当49≤a ≤50时，水深为50cm （多余的水溢出）． ………………6分 （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm 时，1000a ＋1000＝10000, 得 a ＝9（cm ）． ………………9分所以，当9≤a ＜49时，水深为a ×40×25+10×10×1040×25 = (a +1) cm.．……………12分（3）由（2）知，当0＜a ＜9时，设水深为x cm ，则1000x ＝1000a ＋100x ．得x ＝109a （cm ）． ………………17分答：当0＜a ＜9时，水深为109a cm ；当9≤a ＜49时，水深为（a +1）cm ；当49≤a ≤50时，水深为50 cm ． ………………18分 13．证法一：令a 2＋bb 2＋c＝k ，k 为有理数, 得(a －kb )3+(b －kc )＝0. ……………3分 因为a ，b ，c 是整数，k 为有理数，所以a －kb=0，b －kc =0，从而a=k 2c , b=kc ．……………6分于是a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c =k 4＋k 2＋1k 2＋k ＋1·c .………………9分 又 k 4+k 2+1= (k 4+k 2+1)-k 2 = (k 2+k +1) (k 2-k +1)，………………15分则 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝ (k 2－k ＋1)c ＝k 2c －kc ＋c ＝a ＋c －b .因为a +c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 为整数.…………18分证法二：a 2＋b b 2＋c＝（a 2＋b ）(b 2－c )2b 2－c 2＝（2ab －bc ）＋（b 2－ac ）22b 2－c 2.……………6分因为a 2＋b b 2＋c是有理数，所以b 2－ac ＝0，即b 2＝ac .……………9分所以 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋ca ）a ＋b ＋c……………12分＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋b 2）a ＋b ＋c……………15分＝a ＋c －b .因为a ＋c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 为整数. ……………18分14．解：（1）t =2n +1． ……………6分 （2）由题设得，t 个三角形的内角和t π，△ABC 的内角和π， ……………9分 以给定的n 个点的每个点所构成的周角之和n ·2π． ……………12分 由于t 个三角形的内角和等于△ABC 的内角和与以n 个点的每个点所构成的周角之和，所以 t π=π+n ·2π，得 t =2n +1．故结论成立． ……………18分 15．证法一：如图1，取OB 中点M ，OC 中点N .因为D 为BC 的中点，所以DM ∥OC ，DM ＝12OC ，DN ∥OB ， DN ＝12OB .在Rt △BOQ 和Rt △OCP 中，QM ＝12OB ，PN ＝12OC ．所以DM ＝PN ，QM ＝DN ． ……………6分∠QMD ＝∠QMO ＋∠OMD ＝2∠ABO ＋∠FOB ， ∠PND ＝∠PNO ＋∠OND ＝2∠ACO ＋∠EOC ． 因为∠ABO ＝∠ACO ，∠FOB ＝∠EOC ，所以∠QMD ＝∠PND ． ……………15分 于是△QMD ≌△DNP ，从而DQ=DP ． ……………18分证法二：如图2，在直线BF 上取点M ，使QM=BQ ，在直线CA 上取点N ，使PN=CP ．连接CM ，BN ，OM ，ON ．所以DQ=12CM ，DQ ∥CM ，DP=12BN ，DP ∥BN ．……………6分因为OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，所以OM ＝OB ，ON ＝OC ． ……………9分 ∠BOM ＝1800－2∠ABO ，∠CON ＝1800－2∠ACO ，因为∠ABO ＝∠ACO ，所以∠BOM ＝∠CON ． ……………15分 从而∠BON=∠BOM ＋∠MON ＝∠CON ＋∠MON ＝∠COM ． 所以△OMC ≌△ONB ，所以CM=BN ，从而DQ ＝DP ． ……………18分图1图2 C A D E F O P Q MN CAD BEF O PQ N M。
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.D C B A ,,,1．设，213a a +=213b b +=，且，则代数式a b ≠211a b 2+的值为 （ ） )(A 5. 7. 9. 11.)(B )(C )(D 【答】B .解 由题设条件可知2310a a −+=，，且2310b b −+=a b ≠，所以是一元二次方程的两根，故，，因此,a b 2310x x −+=3a b +=1ab =222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++−−×+====. 故选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形的三条高，若ABC 6AB =，5BC =，，则线段3EF =BE 的长为 （ ）)(A 185. 4. )(B )(C 215. )(D 245. 【答】. D 解 因为AD ，BE ，CF 为三角形的三条高，易知ABC ,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△，故ABC 35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=×=. 故选. D 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】. C 解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C. 4．在△中，，∠=，ABC 12ABC ∠=°132ACB °BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线和直线AC AB 上，则 （ ）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C . BM CN <)(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵，12ABC ∠=°M 为的外角平分线，∴ABC ∠1(18012)842MBC ∠=°−°=B °°. 又，∴180********BCM ACB ∠=°−∠=°−°=180844848BMC ∠=°−°−°=°，∴.BM BC =又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=°−∠=°−°=°， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=°−∠−∠=°−°−∠+∠168(13224)=°−°+°12ABC =°=∠，∴. 因此，CN CB =BM BC CN ==.故选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为 （ ）r r )(A 39()8. )(B 49(8. )(C 59(8. )(D 98. 【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了天. 天后每种商品的价格一定可以表示为n n 98(110%)(120%)()()1010k n k k a a −n k ⋅−⋅−=⋅⋅k −，其中为自然数，且0. k n ≤≤要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a −⋅⋅，1198()(1010i n i a +−−⋅⋅， 2298()(1010i n a +−i ⋅⋅−，3398()()1010i n i a +−⋅⋅−，4498()()1010i n i a ，其中i 为不超过的自然数. n +−−⋅⋅所以r 的最小值为44498()()91010(988()()1010i n i i n ia a +−−−⋅⋅=⋅⋅. 故选B . 6． 已知实数,x y满足(，则2008x y −=223233x y x y −+−2007−的值为 （ ）)(A . 2008. 2008−)(B )(C 1−. 1.)(D 【答】. D解 ∵(2008x y −=，∴x y ==+，y x −==+由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =，解得，所以22008x =22222323320073233200720071x y x y x x x x x −+−−=−+−−=−=.故选.D二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设12a −=，则5432322a a a a a a a +−−−+=−2−.解 ∵2213(122a a −===−，∴21a a +=， ∴543232323222()2(a a a a a a a a a a a a a a a a+−−−++−−++=−⋅−)2 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a−−+−−===−=−++=−+=−⋅−−−−.2．如图，正方形的边长为1，ABCD ,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =∠，则四边形的面积为135MAN =°AMCN 52解 设正方形的中心为O ，连，则ABCD AO AO BD ⊥，2AO OB ==,2MO ===, ∴MB MO OB =−=. 又， 135ABM NDA ∠=∠=°13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠−∠−∠=°−°−∠45=°−MAB AMB ∠=∠，所以△∽△ADN MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知，四边形的面积 AMCN11222222MAN S S MN AO ==×××=×××=△522. 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为，，且m n 1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=12解 根据题意，是一元二次方程的两根，所以,m n 20x ax b ++=m n a +=−，. mn b =∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n −≤+≤.∵方程的判别式，∴20x ax b ++=24a b Δ=−≥022()44a m n b +14≤=≤. 22244()()()1b mn m n m n m n ==+−−≥+−≥−1，故14b ≥−，等号当且仅当12m n 时取得； =−=122244()()1()b mn m n m n m n ==+−−≤−−≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n 时取得. ==所以14p =，14q =−，于是12p q +=. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 .解 1到3，结果都只各占1个数位，共占13223×=个数位； 24到，结果都只各占2个数位，共占个数位；292612×=210到，结果都只各占3个数位，共占23132266×=个数位；232到，结果都只各占4个数位，共占299468272×=个数位；2100到，结果都只各占5个数位，共占523162171085×=个数位；此时还差2008个数位.(312662721085)570−++++=2317到，结果都只各占6个数位，共占2411695570×=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是的个位数字，即为1. 2411第二试 （A ）一．（本题满分20分） 已知，对于满足条件221a b +=01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx −−−−−−≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求的值.,a b 解 整理不等式（1）并将代入，得221a b +=2(1)(21)0a b x a x a ++−++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得；令0a ≥1x =，得.0b ≥易知10，a b ++>21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++−++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式，即2(21)4(1)0a a b Δ=+−++⋅≤a 14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得16，所以421610a a −+=224a =或224a +=.又因为，所以0a≥4a =或4a +=，于是方程组（3）的解为,4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,4.4a b ⎧=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩ 所以的最小值为ab 14，此时的值有两组，分别为 ,ab ,44a b +==和44a b +==. 二．（本题满分25分） 如图，圆与圆相交于O D ,A B 两点，为圆的切线，点在圆上，且.BC D C O AB BC =（1）证明：点O 在圆的圆周上.D （2）设△的面积为，求圆的的半径的最小值.ABC S D r 解 （1）连，因为为圆心，,,,OA OB OC AC O AB BC =，所以△OBA ∽△，从而OBC OBA OBC ∠=∠.因为OD ，所以,AB DB BC ⊥⊥9090DOB OBA OBC DBO ∠=°−∠=°−∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆的圆周上.D （2）设圆的半径为a ，的延长线交于点O BO ACE ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，，，则，，OE x =AB l =22a x 2y =+()S y a x =+22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为,22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠AB BC =,DB DO =，所以△∽△，所以BDO ABC BD BO AB AC=，即2r a l y =，故2al r y =. 所以22223222()4422a l a aS S a S y y y y ==⋅=⋅≥r ，即2≥r ，其中等号当a y =时成立，这时是圆O 的AC直径.所以圆的的半径的最小值为Dr 2. 三．（本题满分25分）设为质数，b 为正整数，且a 29(2)509(4511)ab a b +=+ （1）求，b 的值.a 解 （1）式即2634511()509509ab a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 50965094351m a n a b 1−−== （2） 故，又，所以35116n m a −+=02n m =2351160m m a −+= （3）由（1）式可知，(2能被509整除，而509是质数，于是2)a b +2a b +能被509整除，故为整数，即关于的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式为完全平方数.m m 251172a Δ=−不妨设（t 为自然数），则722251172a t Δ=−=511(511)(511)a t t t 22=−=+−.由于511和511的奇偶性相同，且511t +t −511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①两式相加，得36，没有整数解.51136,5112,t a t +=⎧⎨−=⎩21022a +=②两式相加，得18，没有整数解. 51118,5114,t a t +=⎧⎨−=⎩41022a +=③两式相加，得12，没有整数解. 51112,5116,t a t +=⎧⎨−=⎩61022a +=④两式相加，得6，没有整数解.5116,51112,t a t +=⎧⎨−=⎩121022a +=⑤两式相加，得4，解得5114,51118,t a t +=⎧⎨−=⎩181022a +=251a =. ⑥两式相加，得2，解得5112,51136,t a t +=⎧⎨−=⎩361022a +=493a =，而4931729=×不是质数，故舍去. 综合可知.251a =此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把，代入（2）式，得251a =3m =5093625173b ×−×==. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知，对于满足条件221a b +=1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式220ay xy bx −+≥ （1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求的值.,a b 解 由可知011,0x y xy +=≥,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得；令0a ≥1,0x y ==，得b .0≥x 将代入（1）式，得，即1y =−22(1)(1)0a x x x bx −−−+≥2(1)(21)0a b x a x a ++−++≥ （2）易知10，a b ++>21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++−++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式，即2(21)4(1)0a a b Δ=+−++⋅≤a 14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得16，所以421610a a −+=224a −=或224a +=，又因为，所以0a≥4a =或4a =.于是方程组（3）的解为,4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,4.4a b ⎧=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩所以满足条件的的值有两组，分别为,ab ,44a b +==和44a b +==c ). 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设为质数，b 为正整数，且满足a ,29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+−=+−⎨−=⎩ (1)(2)求的值.(a b c +解 （1）式即2()509509=， 设66341022511,509509a b c a b c m n +−+−==，则 5096509423511m a n a b c −−−== （3） 故，又，所以35116n m a −+=02n m =2351160m m a −+= （4）由（1）式可知，(2能被509整除，而509是质数，于是22)a b c +−c 22a b +−能被509整除，故为整数，即关于的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式为完全平方数.m m 251172a Δ=−不妨设（t 为自然数），则722251172a t Δ=−=511(511)(511)a t t t 22=−=+−.由于511和511的奇偶性相同，且511t +t −511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①两式相加，得36，没有整数解. 51136,5112,t a t +=⎧⎨−=⎩21022a +=②两式相加，得18，没有整数解.51118,5114,t a t +=⎧⎨−=⎩41022a +=③两式相加，得12，没有整数解. 51112,5116,t a t +=⎧⎨−=⎩61022a +=④两式相加，得6，没有整数解.5116,51112,t a t +=⎧⎨−=⎩121022a +=⑤两式相加，得4，解得5114,51118,t a t +=⎧⎨−=⎩181022a +=251a =. ⑥两式相加，得，解得5112,51136,t a t +=⎧⎨−=⎩236102a +=2493a =，而4931729=×不是质数，故舍去.综合可知，此时方程（4）的解为或251a =3m =5023m （舍去）. =把，代入（3）式，得251a =3m =50936251273b c ×−×−==，即27c b =−. 代入（2）式得，所以b ，(27)2b b −−=5=3c =，因此()251(53)2008a b c +=×+=.。
小学奥数：和倍问题(三).专项练习及答案解析
1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题2. 掌握寻找和倍的方法解决问题．知识点说明： 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题． 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。
和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数 或 和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l 份数×(倍数－1)=两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。
【例 1】 某项竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍．如果评出一、二、三等奖各2人，那么每个一等奖的奖金是308元．如果评出1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 我们把每个三等奖奖金看作1份，那么每个二等奖奖金是2份，每个一等奖奖金则是4份．当一、二、三等奖各评2人时，2个一等奖的奖金之和是(3082)⨯元，2个二等奖的奖金之和等于1个一等奖的奖金308元，2个三等奖的奖金等于1个二等奖奖金(3082)÷元．所以奖金总额是：308230830821078⨯++÷=元．当评1个一等奖，2个二等奖，3个三等奖时，1个一等奖奖金看做4份，2个二等奖奖金224⨯=（份），3个三等奖奖金的份数是133⨯=（份），总份数就是：44311++=（份）．这样，可以求出1份数为10781198÷=元，一等奖奖金为：984392⨯=（元）．【答案】392元【例 2】 有5堆苹果，较小的3堆平均有18个苹果，较大的2堆，苹果数之差为5个；又较大的3堆平均有苹果26个，较小的2堆苹果之差为7个；最大堆与最小堆平均有22个苹果，问：各堆各有多少个苹果？例题精讲 知识点拨教学目标6-1-5.和倍问题【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 方法二：作图表示题目各个量之间的关系能让复杂的关系看起来简洁明了且不易混乱，用下图表示它们的关系：最大堆与最小堆平均22个，那么最大堆与最小堆一共有22244⨯=（个）；较大的2堆，苹果数之差为5个，得知次大堆比最大堆少5个苹果；较小的2堆苹果之差为7个，说明次小堆比最小堆多7个苹果，因此，得知次小堆和次大堆之和为：445746-+=（个），这样最大堆、最小堆、次大堆、次小堆四堆苹果数量之和是：444690+=（个），较大的3堆苹果之和：26378⨯=（个），较小的3堆苹果之和：18354⨯=（个），较大的3堆苹果和较小的3堆苹果总和等于最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及2个中间堆的数量之和． 所以，中间堆的数量是：785490221（）+-÷=（个），最大堆与次大堆的和是：782157-=（个），最大堆有苹果：575231（）+÷=（个），次大堆有：573126-=（个），同理最小堆有苹果：5421（-7213）-÷=（个），次小堆有苹果：13720+=（个）． 方法一：最大堆与最小堆共22244⨯=个苹果．较大的2堆与较小的2堆共4427590⨯+-=个苹果．所以中间的一堆有：(18326390)221⨯+⨯-÷=个苹果；较大的2堆有：2632157⨯-=个苹果；最大的一堆有：(575)231+÷=个苹果；次大的一堆有：573126-=个苹果；较小的2堆有：1832133⨯-=个苹果；次小的一堆有：(337)220+÷=个苹果；最小的一堆有：20713-=个苹果．【答案】最小的有13个，次小的有20个，中间的有21个，次大的有26，最大的有31【例 3】 食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到10种不同重量（单位：千克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58，59．问：这五只羊各重多少千克？【考点】和倍问题 【难度】5星 【题型】解答【解析】 可以设定羊的重量从轻到重分别为A ，B ，C ，D ，E ．则47+=A B ，59+=D E ．同时不难整体分析得到()475051525354555758594134++++=+++++++++÷=A B C D E 千克．则134475928=--=C 千克．不难有50+=A C ，58+=E C ．则22=A 千克，30=E 千克，25=B 千克，29=D 千克．【答案】这五只羊重为：22，25，28，29，30【例 4】 某小学五年级和六年级参加创新杯数学邀请赛共有16人，其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六年级的女生至少有1人．那么六年级的男生有 人．【考点】和倍问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2008年，湖北省，第六届，创新杯【解析】 因“五年级的学生比六年级的学生多”，故五年级学生至少有9人，而六年级学生至多有7人；因“五年级男生比五年级的女生多”，所以五年级男生至少有5人；因“六年级男生比五年级男生多”，所以六年级男生至少有6人，而六年级男生不能多于6人，否则再加上六年级的女生至少有1人，则六年级的学生人数就会多于7人，这不可能．因此，六年级的男生恰好有有6人．【关键词】6人【例 5】某校师生共为地震灾区捐款462000元，经统计发现，他们各自所捐的钱数，共有10种不同档次．最低档次共有10人，而每上升一个档次，捐款人数就减少1人；且从第二档次开始，以后各档次的捐款钱数，分别为最低档次的2倍、3倍、4倍……10倍，那么捐款最多的人捐款___ ____元．【考点】和倍问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，四年级，初试，9题【解析】本题是一道和倍问题,最高档次是1个人,恰好是最低档次10人合捐的10倍,则把最低档次10人看作"1"份,则共10×1+9×2+8×3+7×4+5×6+……++2×9+1×10=220份,462000÷220=2100元,则最高档次即捐款最多的人捐款为2100×10=21000元【答案】21000元【例 6】（）、、、、A B C D E五人坐在一起聊天．小明想知道这五个人的年龄和．可五人都没有直接回答．E说：“、、、A B C D四个人的年龄和101岁”．D说：“、、A B D E四个人的年龄和115B C E三个人的年龄和105岁”．C说：“、、、岁”．B说：“、、A D E三个人的年龄和80岁”．A说：“、、A C D三个人的年龄和66岁”．请问：五人的年龄和是岁。
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2008年第六届“创新杯”全国数学邀请赛（复试）
初中七年级试题
一、选择题
1．已知,10<<x 则x
x x 1,,2的大小关系是 2．若,1923,734=+=-b a b a 则b a 214-是
A. 48
B. 52
C. 58
D. 60
3．有理数c b a ,,在数轴上的点如下图所示，则||||||||ac ab ac ab a c a c c b c b b a b a --+--+-----的值等于
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3
4．已知OC AOB ,90 =∠为一射线，ON OM ,分别平分BOC ∠和,AOC ∠ 则MON ∠是
o C B A 45.90.45. 或o 135 90.D 或 135
5．满足等式123323+-=++y y x x x 的有序整数对),(y x 的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6．如图是一个正方体纸盒，在其中的三个面上各画一条线段构成△ABC ，且A 、
B 、
C 分别是各棱上的中点，现将纸盒剪开展成平面，则不可能的展开图是
7．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时，段，单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示，图中x 1,x 2,x 3分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则
8．记][a 为不大于口的最大整数，如.3]3.2[,2]2[,1]3.1[-=-==不论对怎样的a ，当x ]2[],[a y a ==时，关于x ，y 的已知多项式恒等于0．这个多项式可能是
二、填空题
9．=--÷+)17
11741()17277217( 10.如图，,90 ⨯=∠+∠+∠+∠+∠+∠n F E D C B A 则n=
11．如图所示，已知2:7:=DB AD ，3:4:=CE AC 则=FC BF :
12．某校七年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2：1则该年级原有学生 人．
13.若c b a 、、为整数，且,1||||=-+-a c b a 则=-+-+-||||||a c c b b a
14．如图所示，,252,231,//o
BD AE =∠∠=∠则C ∠ 。
15．某村有四口水井，第一口水井在村委会的院子里，第二口水井在村委会正西900m 处，第三口水井在村委会北偏东30度2000m 处，第四口水井在村委会东偏南30度l000m 处，在计算结果精确到m 的要求下，第一、二、三口井在给定直角坐标系中的坐标分别为(O ，0)、（-900，O ）、(1000，1732)，则第四口井所在位置的坐标为____
16.对于大于3的自然数n ，我们用<n>表示所有小于n 的质数的乘积，如<8> =7×5×3× 2 =210．则方程<n>=2n +16的解n= ．
三、解答题
17.从甲地到乙她的公路长12千米。
在该路上，距甲地2千米处有个铁路道口，每3分钟关闭又开放3分钟；在距甲地4千米及6千米处有交通灯，每亮2分钟红灯后就亮3分钟绿灯．小明驾驶电动车从甲地到乙地，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也刚好切换成红灯．已知电动车是常速，小明既不刹车也不加速．请问：在不违反交通规则的情况下，小明到达乙地最快需要几分钟？
18.AOCD 是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中0是坐标原点，点A ，C ，D 的坐标分别为(0，8)，(5，0)，(3，8)．若点P 在梯形内，且APAD 的面积等于APOC 的面积，△PAO 的面积等于△PCD 的面积．
(I)求点P 的坐标；
(Ⅱ)试比较∠PAD 和∠POC 的大小，并说明理由，
19.把正整数染成红色或蓝色，每种颜色的数不少于两个．是否存在这样的染法，使得 (I)红色数的积是红色，蓝色数的积是蓝色？
(Ⅱ)红色数的和是红色，蓝色数的和是蓝色？
如果存在，请写出你认为满足条件的染色方法；如果不存在，试说明理由．。