拟合优度的卡方检验
卡方检验拟合优度检验
卡方检验拟合优度检验卡方检验是一种用于检验样本数据是否符合特定概率分布的统计方法。
拟合优度检验是卡方检验的一种应用，它用于检验样本数据是否符合某个理论分布。
在实际应用中，我们经常需要判断样本数据是否符合某个理论分布，以便进行进一步的统计分析。
这时就可以使用拟合优度检验来判断样本数据是否符合所假设的理论分布。
拟合优度检验的基本原理是比较观测值与理论值之间的差异，如果差异很小，则说明观测值与理论值相符；如果差异很大，则说明观测值与理论值不相符。
拟合优度检验使用卡方统计量来衡量观测值与理论值之间的差异程度。
卡方统计量的计算公式为：χ² = Σ (Oi - Ei)² / Ei其中，Oi表示观测频数，Ei表示期望频数。
期望频数是指在假设下，每个类别中出现次数的预期值。
在进行拟合优度检验时，我们需要先确定所假设的概率分布，并根据该分布计算期望频数。
然后将观测频数和期望频数代入卡方统计量的公式中计算出卡方值。
最后，根据显著性水平和自由度查找卡方分布表，确定拒绝域和接受域。
拟合优度检验的步骤如下：1. 假设所观测的数据符合某个特定的概率分布。
2. 根据所假设的概率分布计算期望频数。
3. 计算卡方统计量。
4. 查找卡方分布表，根据显著性水平和自由度确定拒绝域和接受域。
5. 判断样本数据是否符合所假设的概率分布。
在进行拟合优度检验时，需要注意以下几点：1. 样本数据必须是随机抽取的，并且每个观测值必须是独立的。
2. 样本数据必须是分类变量。
如果样本数据是连续变量，则需要将其离散化为类别变量才能进行拟合优度检验。
3. 当样本容量很大时，即使微小的差异也可能导致显著性差异。
因此，在进行拟合优度检验时，需要注意样本容量的大小以及显著性水平的选择。
总之，拟合优度检验是一种用于检验样本数据是否符合特定概率分布的统计方法。
它使用卡方统计量来衡量观测值与理论值之间的差异程度，并根据显著性水平和自由度查找卡方分布表，确定拒绝域和接受域。
卡方拟合优度检验课件
卡方拟合优度检验与其他方法的结合应用
与贝叶斯方法结合
利用贝叶斯方法对数据进行先验信息的引入，提高卡方拟合优度 检验的准确性。
与主成分分析结合
通过主成分分析对多维数据进行降维处理，简化数据结构，再利用 卡方拟合优度检验进行模型检验。
与聚类分析结合
利用聚类分析将数据划分为不同的簇，再对每个簇进行卡方拟合优 度检验，提高检验的针对性。
实例三：教育程度分布的卡方检验
总结词
教育程度分布的卡方检验用于评估观察 到的教育程度分布与预期分布是否一致 。
VS
详细描述
教育程度分布的卡方检验可以用于比较不 同教育程度的人口比例是否符合预期。例 如，我们可以比较实际观察到的不同教育 程度的比例与理论预期的比例，以了解两 者是否存在显著差异。通过卡方统计量的 大小，可以判断实际教育程度分布与预期 分布的差异程度。
01
计算期望频数的公式：$期望频数 = frac{总频数 times 该类别的频 数}{该类别的观察数}$
02
根据期望频数对实际频数进行比 较，判断是否符合预期。
计算卡方值
卡方值的计算公式：$卡方值 = frac{(实际频数 - 期望频数)^2}{期望 频数}$
将计算出的卡方值与自由度进行比较 ，判断是否显著。
实例一：性别分布的卡方检验
总结词
性别分布的卡方检验用于评估观察到的性别分布与预期分布是否一致。
详细描述
假设我们有一个数据集，其中记录了某个地区的人口性别分布。通过卡方拟合优度检验，我们可以比较实际观察 到的性别分布与预期的均匀分布或某种理论分布是否存在显著差异。如果卡方统计量较小，说明实际分布与预期 分布较为接近；如果卡方统计量较大，则说明两者存在显著差异。
5第五章 拟合优度检验
体色 F2观测尾数
鲤鱼遗传试验F2观测结果
青灰色 1503 红色 99 总数 1602
⒈ 提出无效假设与备择假设
H 0 : 鲤鱼体色F2 代分离符合3： 1 比率 H A : 鲤鱼体色F2 代分离不符合3： 1 比率
⒉计算理论次数 青灰色的理论数为： E1=1602 ×3/4=1201.5 红色的理论数： E2=1602×1/4=400.5 2 3.计算 c 因为该资料只有k=2组，所以此例的 自由度为2-1=1 ( O，需进行连续性矫正。 E 0.5) 2
9 9 p(0) , 9 3 3 1 16 3 p(1) p(2) , 16 1 p(3) 16
9 T0 179 100.6875 , 16 3 T1 T2 179 33.5625 16
1 T3 179 11.1875 16
按公式
行总数 列总数 Ei 总数
计算各格理论值，填于各格 括号中。再计算统计量：
2
( 254 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 246 263.5 0.5)
( 219 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 281 263.5 0.5)
263.5 263.5 1.222 1.222 1.097 1.097 4.638
尾区概率 P=P1+P0=0.122+0.010=0.132。 由于不知什么性别对药物反 应强烈；∴应进行双侧检验， 即与 =0.025 比较。 2 ， ∴接受H0，男女对该药反应 无显著不同。
2 P
0.025
作业26/11
p102
正态分布拟合优度检验
正态分布拟合优度检验以正态分布拟合优度检验为标题，我们将介绍正态分布以及如何使用拟合优度检验来判断数据是否符合正态分布。
正态分布是统计学中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布的特点是呈钟形曲线，对称分布于均值附近。
在正态分布中，均值、标准差和变异系数是重要的参数。
拟合优度检验是一种用于评估观察数据是否与某个理论分布相符的统计方法。
在正态分布的情况下，我们可以使用拟合优度检验来验证数据是否符合正态分布。
我们需要收集一组数据，并计算数据的均值和标准差。
然后，我们可以使用正态分布的概率密度函数来计算每个数据点的理论值。
接下来，我们使用拟合优度检验来比较观察值和理论值。
拟合优度检验的原假设是数据符合正态分布。
我们使用卡方检验来评估观察值与理论值之间的差异。
卡方检验的计算基于观察频数和理论频数之间的差异。
如果观察频数与理论频数之间的差异较小，则我们可以接受原假设，即数据符合正态分布。
如果差异较大，则我们拒绝原假设，即数据不符合正态分布。
在进行拟合优度检验时，我们需要选择适当的显著性水平。
常见的显著性水平包括0.05和0.01。
如果计算得到的p值小于所选的显著性水平，则我们可以拒绝原假设。
相反，如果p值大于显著性水平，则我们接受原假设。
拟合优度检验的结果可以告诉我们数据是否符合正态分布。
如果数据符合正态分布，则我们可以使用正态分布的统计方法进行后续分析。
如果数据不符合正态分布，则我们需要考虑使用非参数统计方法。
正态分布拟合优度检验是一种用于评估数据是否符合正态分布的重要统计方法。
通过比较观察值和理论值的差异，我们可以得出结论并选择适当的分析方法。
在实际应用中，我们应该根据具体情况选择合适的显著性水平，并注意数据样本的大小对结果的影响。
同时，我们也可以使用其他统计方法来验证数据的正态性，以确保结果的准确性和可靠性。
卡方检验与拟合优度检验
卡方检验与拟合优度检验卡方检验是一种统计学方法，用于确定两个或多个分类变量之间是否存在显著的关联或差异。
它的原理是通过比较实际观察到的频数与期望的频数之间的差异来判断两个变量是否相关。
拟合优度检验则是卡方检验的一种特殊形式，用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
1. 卡方检验卡方检验可分为独立性检验和拟合度检验两种类型。
独立性检验用于确定两个分类变量之间是否相互独立，拟合度检验用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的差异。
在进行卡方检验时，首先需要建立一个原假设（H0）和一个备择假设（Ha）。
原假设通常是假设两个变量之间没有关联或差异，备择假设则是假设两个变量之间存在关联或差异。
然后，计算实际观察到的频数和期望的频数。
实际观察到的频数是指在样本中观察到的不同类别的频数，而期望的频数是指根据原假设计算得出的在理论上预期的频数。
接下来，使用计算公式计算卡方值：χ² = Σ((O-E)²/E)其中，Σ表示求和，O表示实际观察到的频数，E表示期望的频数。
最后，根据计算出的卡方值，查找对应的卡方分布表，找到相应自由度下的临界值。
比较计算出的卡方值和临界值，如果计算出的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，认为两个变量之间存在关联或差异；如果计算出的卡方值小于临界值，则无法拒绝原假设，认为两个变量之间不存在关联或差异。
2. 拟合优度检验拟合优度检验用于评估一个已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
在进行拟合优度检验时，需要根据已知的理论分布计算期望的频数，然后计算卡方值并进行比较，以确定理论分布与实际观察到的分布之间是否存在显著的差异。
拟合优度检验的步骤与卡方检验类似，需要建立原假设和备择假设，并计算实际观察到的频数和期望的频数。
然后根据计算出的卡方值比较原假设和备择假设，判断理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
总结：卡方检验和拟合优度检验是两种常用的统计方法，用于确定分类变量之间的关联或差异以及评估已知理论分布与实际观察到的分布之间的拟合程度。
拟合优度的卡方检验
再如，某工厂制造一批骰子， 声称它是均匀的.
也就是说，在投掷中，出 现1点，2点，…，6点的概 率都应是1/6.
为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷 若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.
问题是：得到的数据能否说明“骰子均匀” 的假设是可信的？
解决这类问题的工具是英国统计学家
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布
与理论分布之间的差异:
2 k ( fi npi )2
i 1
npi
在理论分布 已知的条件下,
npi是常量
统计量 2 的分布是什么?
皮尔逊证明了如下定理:
若原假设中的理论分布F(x)已经完全给
定，那么当n 时，统计量
2 k ( fi npi )2i 1ຫໍສະໝຸດ 得拒绝域:22
(k
1)
(不需估计参数)
2 2 (k r 1) (估计r 个参数)
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得
统计量 2的实测值落入拒绝域，则拒绝原假
设，否则就认为差异不显著而接受原假设.
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件.
卡方分布拟合检验
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 .
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检查， 抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时以后 进行检查，将每个钟的误差（快或慢）按 秒记录下来.
X
的分布函数的估计为
Fˆ ( x)
定性数据分析——卡方检验
定性数据分析——卡方检验卡方检验（Chi-square test）是统计学中用于检验两个定性变量之间关联性的方法。
它可以帮助我们确定两个变量之间的差异是由于随机因素导致的还是由于真实的关联性。
卡方检验的基本原理是，通过比较实际观察到的频数与期望频数之间的差异来判断变量之间是否存在关联。
在卡方检验中，我们首先要计算期望频数，即假设两个变量之间没有关联时，我们预计每个组别内的频数应该是多少。
然后，我们计算实际观察到的频数与期望频数之间的差异，并将这些差异加总得到一个卡方值。
最后，我们将卡方值与自由度相结合，使用卡方分布表来确定检验结果是否具有统计学意义。
卡方检验可以分为两种类型：拟合优度检验（goodness-of-fit test）和独立性检验（independence test）。
拟合优度检验用于确定观察到的频数是否与预期的频数相匹配。
它在比较一个变量的分布与一个预先给定的理论分布之间的差异时非常有用。
例如，我们可以使用卡方检验来检验一个骰子是否公平，即骰子的六个面是否具有相等的概率。
独立性检验用于确定两个变量之间是否存在关联。
它可以帮助我们确定两个变量是否独立，即它们的分布是否相互独立。
例如，我们可以使用卡方检验来确定男性和女性之间是否存在偏好其中一种产品的差异。
在进行卡方检验时，我们需要满足一些前提条件。
首先，两个变量必须是独立的，即每个观察值只能属于一个组别。
其次，每个组别中的观察值必须相互独立。
最后，期望频数应该足够大，通常要求每个组别的期望频数大于5卡方检验的结果通常以p值的形式呈现。
p值表示观察到的差异是由于随机因素导致的可能性。
如果p值小于预先设定的显著性水平（通常为0.05），则我们可以拒绝原假设，即认为变量之间存在关联。
在实际应用中，卡方检验可以帮助我们解决许多问题。
例如，我们可以使用卡方检验来确定广告宣传对购买行为的影响，消费者对不同品牌的偏好程度，或者员工对不同工作条件的满意度。
spss卡方检验
spss卡方检验SPSS卡方检验SPSS（统计软件包 for the Social Sciences）是一种功能强大的统计软件，在社会科学、商业智能和市场调研等领域得到广泛应用。
其中，卡方检验是SPSS中常用的统计方法之一。
本文将介绍SPSS 中使用卡方检验进行数据分析的基本步骤、原理和注意事项。
一、卡方检验的基本概念卡方检验，又称为卡方拟合优度检验，用于比较观察样本与理论预期分布之间的差异。
它基于卡方统计量，可以用于分析分类数据的关联性和独立性。
卡方检验的结果可以帮助研究人员判断观察数据与理论模型之间的差异程度以及独立性。
二、SPSS中进行卡方检验的步骤1. 收集数据并导入到SPSS中。
2. 在SPSS中选择“分析”菜单，点击“描述统计”下的“交叉表”。
3. 在交叉表对话框中，选择需要比较的两个变量。
4. 点击“统计”按钮，选择“卡方”选项。
5. 点击“继续”按钮，然后点击“OK”按钮生成交叉表结果。
三、SPSS卡方检验的原理SPSS中的卡方检验基于卡方统计量，该统计量用于衡量观察值与理论期望值之间的差异。
卡方统计量的计算公式如下：\\[ X^2 = \\sum \\frac{(O-E)^2}{E} \\]其中，O表示观察值，E表示理论期望值。
卡方统计量服从自由度为(k-1) × (m-1)的卡方分布，其中k表示列数，m表示行数。
通过计算卡方统计量，可以得到卡方值和P值。
如果P值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则认为观察值与理论期望值存在显著差异，拒绝原假设。
四、卡方检验的应用场景卡方检验通常用于以下几种情况：1. 检验分类变量之间的关联性。
例如，研究某一地区的居民性别与吸烟习惯之间的关系。
2. 检验分类变量与某一特定属性的关联性。
例如，研究某个产品的用户满意度与不同年龄段之间的关系。
3. 检验分类变量的分布是否服从某一特定的理论分布。
例如，研究某一地区的选民支持率是否符合某个政党的预期。
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使用 2检验法 对总体分布进行检验时，
我们先提出原假设:
H0：总体X的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分 布之间的吻合程度来决定是否接受原假设. 这种检验通常称作拟合优度检验，它是一 种非参数检验.
在用 2检验法 检验假设H0时，若在H0下 分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法估计参数，然后作检验.
实测频数
fi npi
理论频数
标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布 与理论分布之间的差异: 在理论分布
( fi npi ) npi i 1
2 k
2
已知的条件下, npi是常量
统计量
的分布是什么?
2
皮尔逊证明了如下定理: 若原假设中的理论分布F(x)已经完全给 定，那么当n 时，统计量 的分布渐近(k-1)个自由度的 分布. 如果理论分布F(x)中有r个未知参数需用 相应的估计量来代替，那么当 n 时，统 2 2 计量 的分布渐近 (k-r-1)个自由度的 分 布.
问题是：得到的数据能否说明“骰子均匀” 的假设是可信的？
解决这类问题的工具是英国统计学家 K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进 2 的所谓 检验法.
这是一项很重要的工作，不少人 把它视为近代统计学的开端.
K.皮尔逊
检验法是在总体X 的分布未知时， 根据来自总体的样本，检验关于总体分 布的假设的一种检验方法.
2
( fi npi ) npi i 1
2 k
2
为了便于理解，我们对定理作一 点直观的说明.
在理论分布F(x)完全给定的情况下，每个pi 都是确定的常数. 由棣莫佛－拉普拉斯中心极 限定理，当n充分大时，实测频数 fi 渐近正态， 因此
( fi npi ) npi i 1
让我们回到开始的一个例子，检验每 年爆发战争次数分布是否服从泊松分布. 根据观察结果，得参数 的极大似然估计为 提出假设H0: X服从参数为 的泊松分布
ˆ X =0.69
按参数为0.69的泊松分布，计算事件X=i 的 概率pi ， pi的估计是 0.69 i ˆ i e 0.69 i !，i=0,1,2,3,4 p 将有关计算结果列表如下:
2 2
( k r 1) (估计r 个参数)
2 2
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得 2 统计量 的实测值落入拒绝域，则拒绝原假 设，否则就认为差异不显著而接受原假设.
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 的，因而在使用时要注意n要足够大，以及 npi 不太小这两个条件. 根据计算实践，要求n不小于50，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 npi满足这个要求 .
检验孟德尔的3:1理论: 提出假设H0: p1=3/4, p2=1/4 这里，n=70+27=97, k=2, 理论频数为： np1=72.75, np2=24.25 实测频数为70，27.
按=0.05，自由度为1，查 分布表得
2
( fi npi ) 统计量 ~ npi i 1
因H0所假设的理论分布中有一个未知 参数，故自由度为4-1-1=2.
按 =0.05，自由度为4-1-1=2查 分布表得
2
2 0.05
(2) =5.991
2
由于统计量 的实测值
=2.43<5.991，
2
未落入否定域. 故认为每年发生战争的次数X服从 参数为0.69的泊松分布.
在此，我们以遗传学上的一项伟大发现为 例，说明统计方法在研究自然界和人类社会的 规律性时，是起着积极的、主动的作用. 奥地利生物学家孟德尔进行了长 达八年之久的豌豆杂交试验, 并根据 试验结果,运用他的数理知识, 发现了 遗传的基本规律.
若有r个未知参数需用相应的估计量来代 替，自由度就减少r个. 此时统计量 渐近(k-r-1)个自由度的 分布.
2 2
根据这个定理，对给定的显著性水平 ， 2 2 查 分布表可得临界值 ，使得
P ( )
2 2
得拒绝域:
( k 1) (不需估计参数)
分布拟合的 检验法 的基本原理和步 骤如下:
2
1. 将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小 区间,记作A1, A2, …, Ak . 2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记 作fi ， 称为实测频数. 所有实测频数之和 f1+ f2+ …+ fk等于样本容量n.
3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的 值落入每个Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的 样本值的理论频数.
又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检 查，抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时 以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢） 按秒记录下来.
问该厂生产的钟的误差是否服从正态 分布？
再如，某工厂制造一批骰子， 声称它是均匀的.
也就是说，在投掷中，出 现1点，2点，…，6点的概 率都应是1/6.
为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷 若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.
孟德尔
…
黄色纯系
… 子一代
绿色纯系
Байду номын сангаас
子二代
根据他的理论，子二代中, 黄、绿之比 近似为3:1， 他的一组观察结果为： 黄70，绿27 近似为2.59:1，与理论值相近.
由于随机性，观察结果与3:1总有些差 距，因此有必要去考察某一大小的差异是否 已构成否定3:1理论的充分根据，这就是如 下的检验问题.
2 2 2
(1)
2
自由度为 k-1=1
(1) =3.841 2 由于统计量 的实测值
2 0.05
=0.4158<3.841，
2
未落入否定域.
故认为试验结果符合孟德尔的3:1理论.
这些试验及其它一些试验，都显 示孟德尔的3: 1理论与实际是符合的. 这本身就是统计方法在科学中的一项 重要应用.
战争次数X 发生 X次战争的年数 223 0 142 1 48 2 15 3 4 4
在概率论中，大家对泊松分布产生的一 般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战 争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似 描述 . 也就是说，我们可以假设每年爆发战 争次数分布X近似泊松分布. 现在的问题是： 上面的数据能否证实X 具有 泊松分布的假设是正确的？
2 k
2
是k个近似正态的变量的平方和. 这些变量之间存在着一个制约关系：
npi 2 2 故统计量 渐近(k-1)个自由度的 分布.
i 1
k
pi ( fi npi )
0
在F(x)尚未完全给定的情况下，每个未知 参数用相应的估计量代替，就相当于增加一个 制约条件，因此，自由度也随之减少一个.
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 .
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
例如，从1500到1931年的432年间，每年 爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统 计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据 如下:
战争次数 x
实测频数 fi
ˆi p ˆi np
0 1 2 223 142 48 0.58 0.31 0.18 216.7 149.5 51.6
3 15 0.01 12.0
4 4 0.02 2.16
14.16 ( fi npi ) 2 0.183 0.376 0.251 1.623 2.43 npi 将n p ˆ i<5的组予以合并，即将发生3次及4次 战争的组归并为一组.
用于客观地评价理论上的某个结论是 否与观察结果相符，以作为该理论是 否站得住脚的印证.
2 这一讲我们介绍了拟合优度的 检验
法. 在对总体的分布进行检验时经常使用.