【配套K12】[学习]2019高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的
2019届高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划
[知识梳理] 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
[温馨提示] 一个口诀：直线定界，特殊点定域；同侧同号， 异侧异号．
(1)已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线 3x－2y－a＝0 的 两侧，则 a 的取值范围为 (－7,24) ．
提示：因为(－3，－1)和(4，－6)分别在直线 3x－2y－a＝0 两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即 (a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.
(2)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为 2x－y－3>0 .
提示：由 2×0－0－3<0，平面区域为原点所在的另一侧区域， 所以不等式为 2x－y－3>0.
2．线性规划中的基本概念
[小题速练] 1．下列结论错误的是( ) A．不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax＋By ＋C＝0 的上方 B．第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy<0 表示 C．线性目标函数的最优解可能是不唯一的 D．线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界 上
[解析] Ax＋By＋C>0 表示的区域在直线 Ax＋By＋C＝0 的 上方还是下方，可用特殊点代入来确定．
[答案] A
2．不等式组xx＋ ＋3y－y－2>6≤0 0， 表示的平面区域是(
)
[解析] 不等式 x＋3y－6≤0 表示直线 x＋3y－6＝0 以及该直 线左下方的区域，不等式 x＋y－2>0 表示直线 x＋y－2＝0 的右上 方区域，故选 B.
4．(2017·北京卷)若 x，y 满足xx＋≤y3≥，2， y≤x，
则 x＋2y 的最大
江苏专版2019版高考数学文一轮复习学案：第七章不等式
第七章 不 等 式(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b a ，b ∈R ，a －b ＝0⇔a ＝b a ，b ∈R ，a －b ＜0⇔a ＜b a ，b ∈R .(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b a ∈R ，b ＞0 ，ab ＝1⇔a ＝b a ∈R ，b ＞0 ，a b ＜1⇔a ＜b a ∈R ，b ＞0 .2．不等式的基本性质(1)倒数的性质①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.④0＜a ＜x ＜b 或a＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a.(2)有关分数的性质若a ＞b ＞0，m ＞0，则：①b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)．②a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m ＞0).[例1] (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是________． (2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“＞”或“＜”)．[解析] (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1＜0，a 2－1＜0.∴(a 1－1)(a 2－1)＞0，即M －N ＞0.∴M ＞N .(2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .[答案] (1)M ＞N (2)＜[方法技巧] 比较两个数(式)大小的两种方法[例2] ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．(2)下列命题：①若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ②若ac ＞bc ，则a ＞b ； ③若a c 2＜b c2，则a ＜b ；④若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d . 其中正确命题的序号是________．(3)(2018²兴化八校联考)“x 1＞3且x 2＞3”是“x 1＋x 2＞6且x 1x 2＞9”的________条件．[解析] (1)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b . 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5,10]．(2)取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知①错误；当c ＜0时，ac ＞bc ⇒a ＜b ，∴②错误；∵ac 2＜b c2，∴c ≠0，又c 2＞0，∴a ＜b ，③正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知④错误．(3)x 1＞3，x 2＞3⇒x 1＋x 2＞6，x 1x 2＞9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20，x 1＋x 2＝412＞6，x 1x 2＝10＞9，但x 1＜3.故“x 1＞3且x 2＞3”是“x 1＋x 2＞6且x 1x 2＞9”的充分不必要条件．[答案] (1)[5,10] (2)③ (3)充分不必要 [方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是________． 解析：由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 答案：A ≥B2.[考点二]若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的序号是________． ①－n ＜m ＜n ＜－m ；②－n ＜m ＜－m ＜n ；③m ＜－n ＜－m ＜n ；④m ＜－n ＜n ＜－m . 解析：法一：(特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各不等式中检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 答案：④3.[考点二]若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是________．解析：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴ad ＋b c ＝ac ＋bd cd＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.答案：34.[考点二]设a ，b 是实数，则“a ＞b ＞1”是“a ＋1a ＞b ＋1b”的________条件．解析：因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab，若a ＞b ＞1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ab －1 ab ＞0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a ＞b ＋1b成立，但a ＞b ＞1不成立，所以必要性不成立．答案：充分不必要突破点(二) 一元二次不等式)1．三个“二次”之间的关系(1)不等式ax2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.(2)不等式ax2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.[例1] 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2 x ＋1 ＞0，x －3 x ＋2 ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.所以当a ＞1，即1a ＜1时，解为1a＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a ＞1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1.[方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．由一元二次不等式恒成立求参数范围全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．考法(一) 在实数集R 上恒成立[例2] 已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] 不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m 1－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．考法(二) 在某区间上恒成立[例3] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是mm ＜0或0＜m ＜67.考法(三) 在参数的某区间上恒成立时求变量范围[例4] 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．[解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 则原问题转化为关于m 的一次函数问题． 由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －1 ＝ x －2 ³ －1 ＋x 2－4x ＋4＞0，g 1 ＝ x －2 ＋x 2－4x ＋4＞0，解得x ＜1或x ＞3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．1.[考点一](2018²常州月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是________．解析：当x ≤32时，原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x ≤32；当x ＞32时，原不等式化为x 2＞(3－2x )2，解得32＜x ＜3. 综上，x ＜－3或1＜x ＜3.答案：(－∞，－3)∪(1,3)2.[考点一]已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于________．解析：由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：－33.[考点二²考法 一 ](2018²无锡期初测试)定义在R 上的运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：∵(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )(1－x －y )＝x －x 2－y ＋y 2＜1.∴ －y ＋y 2＜x 2－x ＋1，要使该不等式对一切实数x 恒成立，则需有－y ＋y 2＜(x 2－x ＋1)min ＝34，解得－12＜y ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，324.[考点二²考法 二 ]若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________．解析：原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.答案：[－4,3]5.[考点二²考法 三 ]要使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＞0，当|a |≤1时恒成立，则x 的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9＞0.令f (a )＝(x－3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )＞0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＞0，f 1 ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12＞0，x 2－5x ＋6＞0，解得x ＜2或x ＞4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)1．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的序号有________． ①1a ＜1b；②|a |＞|b |；③a ＋b ＜2ab ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.解析：∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1b ，且|a |＞|b |，a ＋b ＞2ab ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b. 答案：①②④2．(2018²启东中学月考)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2－4³2k ³⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．答案：(－3,0]3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，2x 2－7x ＋6＞0的解集是________．解析：∵x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3.又∵2x 2－7x ＋6＞0，∴(x －2)(2x －3)＞0，∴x ＜32或x ＞2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3) 4．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a ＞0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13³12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a ＞0，即为－2x 2＋2x ＋12＞0，即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B ＝________.解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1＞0得x ＞1，即B ＝{x |x ＞1}，所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．答案：{x |1＜x ≤2}2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的序号是________． ①ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；②a c ＞bc⇒a ＞b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1b ；④⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1b . 解析：当ac 2＞bc 2时，c 2＞0，所以a ＞b ，故①正确；当c ＜0时，a c ＞bc⇒a ＜b ，故②错误；因为1a －1b ＝b －aab ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞0，a ＜b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＜0，a ＞b ，故④错误，③正确．答案：①③3．已知a ＞0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝aa ＋1，则m ，n 的大小关系是________．解析：由题易知m ＞0，n ＞0，两式作商，得mn＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝aa (a －1)，当a ＞1时，a (a －1)＞0，所以a a (a －1)＞a 0＝1，即m ＞n ；当0＜a ＜1时，a (a －1)＜0，所以a a (a －1)＞a 0＝1，即m ＞n .综上，对任意的a ＞0，a ≠1，都有m ＞n .答案：m ＞n4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － 1＋a ≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － a ＋1 ≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x ＜－1或x ＞3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a ＞0，即a ＜－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － 1＋a ≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.答案：[－4，＋∞)5．若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 解析：由Δ＝a 2＋8＞0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 6．(2018²无锡中学模拟)在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：由定义知，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.答案：327．(2018²姜堰中学月考)若关于x 的不等式(2x －1)2＜kx 2的解集中整数恰好有2个，则实数k 的取值范围是________．解析：因为原不等式等价于(－k ＋4)x 2－4x ＋1＜0，从而方程(－k ＋4)x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ＝4k ＞0，且有4－k ＞0，故0＜k ＜4.又原不等式的解集为12＋k ＜x ＜12－k ，且14＜12＋k ＜12，则1,2一定为所求的整数解，所以2＜12－k ≤3，得k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤94，259.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤94，2598．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，由0＜a ＜1得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＜x ＜1a 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x ＞0，则－x ＜0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2018²盐城中学月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，则不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集是________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x ＞0，f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－ x －1 2－3 x －1 ，x －1≤0，x －1 2－3 x －1 ，x －1＞0，即f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x ＞1，所以不等式f (x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1，解得x ＞4.答案：(4，＋∞) 二、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0， 即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.∴不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}． (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1³3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3. 12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x ＞0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x ＞0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0 ≤0，g 2 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.以上简称为“直线定界，特殊点定域”.1. 2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC 为等腰直角三角形(A 为直角)时，点B 到直线AC 的距离即△ABC 的腰长|AB |.由点到直线的距离公式求得|AB |，面积便可求出．[例1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为________．[解析]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12³(2－1)³2＝1.[答案] 1 [方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．根据平面区域满足的条件求参数示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．[例2] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.[答案] (0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ [易错提醒]此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB 长度的最大值为4，则以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π³⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π.答案：4π2.[考点二]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C 2－4m 3，2＋2m3，D (－2m,0)．S△ABC＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |²|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m＝1或m ＝－3(舍去)．答案：13.[考点一]不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12³2³(2＋2)＝4.答案：44.[考点二]若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a ＝－1时，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a ＝－1.答案：－1突破点(二) 简单的线性规划问题在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即[例1] (1)(2017²山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y的最大值是________．(2)(2017²全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．[解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线y ＝－x 2＋z2进行平移，显然当该直线过点A 时z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4，即A (－3,4)，所以z max ＝－3＋8＝5.(2)法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2³(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.[答案] (1)5 (2)－15 [方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．非线性目标函数的最值[例2] (1)(2018²无锡期初测试)已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤－x ＋3，y ≥2x则yx －2的取值范围是________．(2)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是________．[解析] (1)画出可行域如图所示，y x －2等价于点(x ，y )到点(2,0)连线的斜率，又k AB ＝－2，k BO ＝0，从而y x －2∈[－2,0]．(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.[答案] (1)[－2,0] (2)10 [方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方求解．(2)斜率型：对形如z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z ＝ac²y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 连线的斜率的a c 倍的取值范围、最值等．(3)点到直线距离型：对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2²|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值.线性规划中的参数问题[例3] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2.[答案] 2 [方法技巧]求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2017²全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5. 答案：－52.[考点二]已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为________．解析：如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝yx ＋1＝y －0x － －1表示平面区域内的点(x ，y )和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－ －1＝1.答案：13.[考点一](2018²银川模拟)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为________．解析：作出实数x ，y 满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z ＝x ＋y 经过点C (k ，k )时，取得最大值，且z max ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当目标函数z ＝x ＋y 经过点B (－6,3)时，取得最小值，且z min ＝－6＋3＝－3.答案：－34.[考点三](2018²苏州月考)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，3x －y －6≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为2，则2a ＋3b的最小值为________．解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值2，即2a ＋3b ＝1，而2a ＋3b(2a ＋3b )＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥25.答案：255.[考点二]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1，0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. 答案：80突破点(三) 线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤[典例] A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．[解析] 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0并上下平移，易知当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60,100)．则z max ＝2 100³60＋900³100＝216 000(元)． [答案] 216 000 [方法技巧]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b ＋a ＝0，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，a ＋b 取最大值，故x ＝6＋7＝13.答案：132．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点M 或其附近的整数点处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300³3＋400³2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 7003．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.解析：设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3³2＋4³3＝18.答案：184．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资x 万元，y 万元，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y ，作出可行域如图所示，作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，解得x＝4，y ＝6，此时z ＝1³4＋0.5³6＝7(万元) ∵ 7＞0，∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值． ∴投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．解析：平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12³83³1＝43. 答案：432．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x ＋2y ＝0并上下平移，易知当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2³1＝2.答案：23．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫322＝92. 答案：924．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3³2－2＝4.答案：45．(2018²常州月考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的最大值为________．解析：令z ＝y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，作出不等式组对应的区域，作出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，平移函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，可知当函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋z 的图象经过点A 时z取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＝1，得A (1,1)，所以x ＝y ＝1时，y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x取最大值12. 答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018²东台中学月考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝________.解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，所围成的区域如图所示．则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )，且a ＞－1， ∵ S △ABC ＝2，∴ 12(1＋a )³1＝2，解得a ＝3.答案：32．(2018²江苏八市高三质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是________．解析：由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即C (2，－1)，将其代入直线方程－2x ＋y ＋c＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即D (3,1)，将点D的坐标代入目标函数z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6³3＋2＝20.答案：203．(2017²浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)4．(2018²安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x的取值范围为________．解析：作出可行域如图所示，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，25．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)．所以|AB |＝|CD |＝ 2＋1 2＋ －2－1 2＝3 2.答案：3 26．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a2＞k AC ＝－1，a ＜2.当a ＜0时，k ＝－a2＜k AB ＝2，∴ a ＞－4.综上可得－4＜a ＜2.答案：(－4,2)7．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．解析：约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1.答案：18．(2018²如东中学月考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1所表示的区域如图所示，由1≤ax ＋y ≤4得，a ≥0，且在(1,0)点取得最小值，在(2,1)取得最大值，故a ≥1,2a ＋1≤4，故a 取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 9．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋y －6x －4的取值范围是________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0表示的平面区域如图所示，因为x ＋y －6x －4＝x －4＋y －2x －4＝1＋y －2x －4，而y －2x －4表示平面区域内的点与点A (4,2)连线的斜率，由图知斜率的最小值为0，最大值为k AB ＝－4－2－3－4＝67，所以1＋y －2x －4的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137，即x ＋y －6x －4的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，137 10．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5²5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：21 二、解答题11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，可知z ＝12x －y ＋12过A (3,4)时取最小值－2，过C (1,0)时取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．12．(2017²天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：。
(福建专用)2019高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用 理 新人教A版
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
关闭
a>0,且
b>0⇒������
+������ 2
≥
������������,但������
+������ 2
≥
������������
a>0,且 b>0,只能推出 a≥0,
且 b≥0.
关闭
A
解析 答案
知识梳理 考点自测
12345
3.函数 f(x)=x+1������(x<0)的值域为( )
x=2,y=0
时等号成立.
则8
(������ +2)(������ +4)
≥
8 16
=
12,其最小值为12.故选
B.
(2)(方法一)由已知得 x=91-+3������������.
∵x>0,y>0,∴0<y<3,
∴x+3y=91-+3������������ +3y=11+2������ +(3y+3)-6≥2
∴ 1+1
������
1+1
������
=
2 + ������
������
2 + ������
������
=5+2
������ + ������
������ ������
≥5+4=9,
当且仅当������
������
=
������ ������
,
即 a=b=12时,等号成立.
∴ 1+1
������
(新课标)2019届高考数学一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件理
类型一
二元一次不等式(组)表示的平面区域
(2016· 郑州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 满足不等 |x|≤|y|， 式组 的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的( ) |x|＜1
解： |x|＝ |y|把平面分成四部分， |x|≤|y| 表示含 y 轴的两个区域；|x|＜1 表示 x＝± 1 所夹含 y 轴的区域．故选 C.
【点拨】关于不等式组所表示的平面区 域(可行域)的确定，可先由“直线定界”， 再由 “ 不等式定域 ” ，定域的常用方法是 “特殊点法”，且一般取坐标原点 O(0，0) 为特殊点．
x＋y－2≥0， 不等式组 x＋2y－4≤0， 表示的平面区域的 x＋3y－2≥0 面积为________．
解：作出可行域如图中阴影部分所 示，则当 z＝2x＋y 经过点 P(1，2)时， 取最大值，zmax＝2×1＋2＝4.故选 C.
x－y≥0， (2017· 全国卷Ⅲ)若 x， y 满足约束条件x＋y－2≤0， y≥0， 则 z＝3x－4y 的最小值为________．
解：由题意，画出可行域如图，目 3 z 标函数为 z＝3x－4y， 则直线 y＝ x－ 纵 4 4 截距越大， z 值越小． 由图可知， 在 A(1， 1)处取最小值，故 zmin＝3×1－4×1＝ －1.故填－1.
满足约束条件2x＋y－4≤0， 则目标函数 z＝y－3x 的 4x－y＋1≥0，
最大值是________．
(2017 届云南四川贵州百校大联考)设变量 x，y x＋2y－2≥0，
解：作可行域如图所示，由目标函 数 z＝y－3x 得直线 y＝3x＋z，当直线 y 1 ＝3x＋z 平移经过点 A 2，3 时， 目标函 3 3 数 z＝y－3x 取得最大值为 .故填 . 2 2
推荐2019届高三数学(理 新课标)一轮复习课件第七章 不等式7.3
表示的平面区域的面积等于 2，则 a 的值为( )
A．－5
B．1
C．2
D．3
解：如图可得阴影部分即为满足 x－1≤0 与 x＋y－1≥0 的可行域，而直线 ax－y＋1＝0 恒过 点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，
若不等式组所表示的平面区域内的面积等于
2，则它是三角形，设该三角形为△ABC，因为
x≤3， (1)(北京西城区 2017 届期末)实数 x，y 满足x＋y≥0，
x－y＋6≥0.
若 z＝ax＋y 的最大值为 3a＋9，最小值为 3a－3，则 a 的取值范围是
() A．[－1，0]
B．[0，1]
C．[－1，1]
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解：作出不等式组对应的平面区域如图， 由 z＝ax＋y 得 y＝－ax＋z.
△ABC 的点 A 和 B 的坐标分别为 A(0，1)和 B(1， 0)，且 S△ABC＝2，设点 C 的坐标为 C(1，y)，则12×1×y＝2⇒y＝4，将点
C(1，4)代入 ax－y＋1＝0 得 a＝3.故选 D.
【点拨】例 3(1)考查了简单的线性规划中的 斜率问题，通过 y＝－ax＋z 得到参数－a 是动直 线 y＝－ax＋z 的斜率，z＝ax＋y 的最大值为 3a ＋9，则动直线 y＝－ax＋z 纵截距的最大值为 3a ＋9，最优解在三个端点处取得；例 3(2)中的 ax －y＋1＝0，即为 y＝ax＋1，其中 a 为动直线的 斜率，利用数形结合的方法求解．注意把握两点： ①参数的几何意义；②条件的合理转化．
4x－y＋1≥0，
最大值是________．
解：作可行域如图所示，由目标函
数 z＝y－3x 得直线 y＝3x＋z，当直线 y
2019年高考数学一轮复习第七章不等式7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题真题演练集训理新
2019年高考数学一轮复习第七章不等式7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题真题演练集训理新人教A 版1．[xx·山东卷]若变量x ，y满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案：C设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.显然，当点P 与点A 重合时，x 2＋y 2取得最大值，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.2．[xx·北京卷]若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案：C解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C.3．[xx·陕西卷]某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 C ．17万元 D ．18万元答案：D解析：设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18(万元)．4．[xx·新课标全国卷Ⅰ]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案：C解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＝－x 2＋u 2，u2表示纵截距.结合题意知p 1，p 2正确．5．[xx·新课标全国卷Ⅲ]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案：32解析：约束条件对应的平面区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z 取得最大值32. 课外拓展阅读 非线性目标函数最值的求解类型1 斜率型非线性规划问题的最值(值域) 目标函数形式一般为z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)，求解步骤为 (1)需先弄清其几何意义，z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 表示的是可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 所连直线的斜率的a c倍．(2)数形结合，确定定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c ，－b a ，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x ，y )，看(x ，y )取何值时，斜率最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x ，y )取何值时，斜率最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值．[典例1] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0，x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，则f (x ，y )＝x ＋2y2x ＋y的取值范围是________．[思路分析][解析]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，f (x ，y )＝x ＋2y2x ＋y＝1＋2·y x2＋y x.令y x ＝k ，则g (k )＝1＋2k 2＋k ＝2－32＋k. 而k ＝yx表示可行域内的点P (x ，y )与坐标原点O 的连线的斜率，观察图形可知，k OA ≤k ≤k OB ， 而k OA ＝1－03－0＝13，k OB ＝3－01－0＝3，所以13≤k ≤3，即57≤f (x ，y )≤75. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，75类型2 距离型非线性规划问题的最值(值域)1．目标函数形式为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，求解步骤为： (1)其表示的是可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方． (2)数形结合，确定定点(a ，b )，观察可行域的范围．(3)确定可行域内的点(x ，y )，看(x ，y )取何值时，距离最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x ，y )取何值时，距离最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形、四边形的边界交点处或定点(a ，b )到可行域边界直线的垂足处取得．2．目标函数形如z ＝|Ax ＋By ＋C |时，一般步骤为： (1)将z ＝|Ax ＋By ＋C |＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2，问题转化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．(2)确定可行域，通过数形结合的方法求出所求的最值．[典例2] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为( )A ．80B ．4 5C ．25 D.172[思路分析] 作出可行域→结合目标函数的几何意义：两点间距离的平方→数形结合，求得z 的最大值[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1,0)的距离的平方，由图可知，可行域内的点A 到点P (－1,0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得点A 的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. [答案] A[典例3]实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．[思路分析][解析] 解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 即其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 的坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大， 此时z max ＝21.解法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为简单的线性规划问题，显然当直线经过点B 时，目标函数取得最大值，z max ＝21.[答案] 21 技巧点拨解决这类问题时，需充分把握好目标函数的几何意义，在几何意义的基础上加以处理．318377C5D籝3728091A0醠z 2w; P21290532A匪V<。
近年高考数学一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划练习理(2021年整理)
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§7。
3 二元一次不等式(组）与简单的线性规划考纲解读分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题，兼顾面积、距离、斜率等问题.2。
能用线性规划的方法解决重要的实际问题，使收到的效益最大，耗费的人力、物力资源最少等。
3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题，分值约为5分，属中低档题.五年高考考点一平面区域问题1。
(2016山东，4,5分）若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( ）A.4 B。
9 C。
10 D.12答案C2。
(2016浙江,3,5分)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影。
由区域中的点在直线x+y—2=0上的投影构成的线段记为AB，则｜AB|=（）A。
2 B.4 C.3 D。
6答案C3.（2014课标Ⅰ,9，5分）不等式组的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀（x，y)∈D,x+2y≥-2，p2：∃（x,y)∈D,x+2y≥2,p3：∀(x,y)∈D,x+2y≤3，p4：∃(x,y）∈D,x+2y≤—1.其中的真命题是( )A。
p2,p3B。
p1，p2 C.p1，p4 D.p1，p3答案B4.(2015课标Ⅰ，15，5分)若x,y满足约束条件则的最大值为。
(新课标)19届高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式课件文
b b＋ 1 D. ＜ a a＋ 1
1 1 b－a 解：因为 a＜b＜0，所以 b－a＞0，ab＞0， － ＝ ＞0， a b ab 1 1 1 因此 A 错误；由函数 f(x)＝ 2 是减函数知 2 ＞ 2 ，B 错误； 1 1 1 由a＋b－b＋a＝(a－b)1＋ab＜0 知 C 正确．或用特值法，
解： a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)， 因为 a1≤a2，b1≥b2，所以 a1－a2≤0，b1－b2≥0， 于是(a1－a2)(b1－b2)≤0， 故 a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1. 故填 a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.
点 拨： 作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配 方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符 号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．
2
类型二
不等式的性质
( )
下列说法正确的是 A．a，b∈R，且 a＞b，则 a2＞b2 a b B．若 a＞b，c＞d，则 ＞ c d a b C．a，b∈R，且 ab≠0，则 ＋ ≥2 b a
D．a，b∈R，且 a＞|b|，则 an＞bn(n∈N*)
解：当 a＝0，b<0 时 A 选项不正确； a b 当 a>0>b，0>c>d 时， <0， >0，所以 B 选项不正确； c d a b 当 ab<0 时， <0， <0，所以 C 选项不正确． b a D 正确．故选 D.
第七章
不 等
考纲链接
式
1.不等关系 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了 解不等式(组)的实际背景． 2．一元二次不等式 (1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型． (2) 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系． (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会 设计求解的程序框图．
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§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划考纲解读分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.五年高考考点一平面区域问题1.(2016山东,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12答案 C2.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( )A.2B.4C.3D.6答案 C3.(2014课标Ⅰ,9,5分)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是( )A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3答案 B4.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为.答案 3教师用书专用(5—6)5.(2013山东,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( )A.2B.1C.-D.-答案 C6.(2013安徽,9,5分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( )A.2B.2C.4D.4答案 D考点二线性规划问题1.(2017浙江,4,5分)若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是( )A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)答案 D2.(2017山东,4,5分)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是( )A.0B.2C.5D.6答案 C3.(2015陕西,10,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案 D4.(2017课标全国Ⅰ,14,5分)设x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为.答案-55.(2017课标全国Ⅲ,13,5分)若x,y满足约束条件则z=3x-4y的最小值为.答案-16.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.答案教师用书专用(7—26)7.(2017北京,4,5分)若x,y满足则x+2y的最大值为( )A.1B.3C.5D.9答案 D8.(2017天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值为( )A. B.1 C. D.3答案 D9.(2016天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为( )A.-4B.6C.10D.17答案 B10.(2016北京,2,5分)若x,y满足则2x+y的最大值为( )A.0B.3C.4D.5答案 C11.(2015天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A.3B.4C.18D.40答案 C12.(2015山东,6,5分)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=( )A.3B.2C.-2D.-3答案 B13.(2015北京,2,5分)若x,y满足则z=x+2y的最大值为( )A.0B.1C.D.2答案 D14.(2015福建,5,5分)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于( )A.-B.-2C.-D.2答案 A15.(2015广东,6,5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为( )A.4B.C.6D.答案 B16.(2014天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为( )A.2B.3C.4D.5答案 B17.(2014北京,6,5分)若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为( )A.2B.-2C.D.-答案 D18.(2014安徽,5,5分)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解,则实数a的值为( )A.或-1B.2或C.2或1D.2或-1答案 D19.(2014广东,3,5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=( )A.5B.6C.7D.8答案 B20.(2013天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为( )A.-7B.-4C.1D.2答案 A21.(2013北京,8,5分)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.求得m的取值范围是( )A. B.C. D.答案 C22.(2013湖南,4,5分)若变量x,y满足约束条件则x+2y的最大值是( )A.-B.0C.D.答案 C23.(2015浙江,14,4分)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.答案 324.(2013广东,13,5分)给定区域D:令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定条不同的直线.答案 625.(2013浙江,13,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k= .答案 226.(2013江苏,9,5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是.答案三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一平面区域问题1.(2018四川凉山州模拟,8)已知点M的坐标(x,y)满足不等式组N为直线y=-2x+2上任一点,则|MN|的最小值是( )A. B. C.1 D.答案 B2.(2017河北衡水中学摸底联考,7)若A为不等式组表示的平面区域,则当z从-2连续变化到1时,动直线y=-x+z扫过A中的那部分区域的面积为( )A.1B.1.5C.0.75D.1.75答案 D3.(2016广东广州模拟,6)在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是( )A.8B.8C.4D.4答案 D考点二线性规划问题4.(2018辽宁鞍山铁东二模,5)设x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为( )A.-3B.4C.2D.5答案 B5.(人教A必5,三,3-3-2,1,变式)已知实数x,y满足则目标函数z=2x-y-1的最大值为( )A.5B.4C.D.-3答案 B6.(2018湖北荆州一模,8)已知实数x、y满足则z=2x-2y-1的最小值是.答案-7.(2017广东惠州调研,14)已知x、y满足不等式组则z=2x+y的最大值是.答案 6B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018广东茂名二模,7)实数x,y满足条件则的最大值为( )A. B. C.1 D.2答案 D2.(2017河北石家庄二模,10)在平面直角坐标系中,不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π,若x、y 满足上述约束条件,则z=的最小值为( )A.-1B.-C.D.-答案 D3.(2016山东三校4月联考,5)已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a的取值范围为( )A.(0,2)B.C.D.答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)4.(2017湖南永州模拟,15)若x,y满足约束条件则x2+y2的最小值为.答案 25.(2017河北衡水中学3月模考,15)已知点P(x,y)的坐标满足则的取值范围为.答案(-,1]三、解答题(共15分)6.(2018云南玉溪模拟,18)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,那么要满足上述的要求,并且获利最大,甲、乙两车间应当各加工原料多少箱?解析设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱,获利为z元.根据题意,得约束条件可行域为图中阴影部分(含边界)内的整点,目标函数z=(7×40)x+(4×50)y=280x+200y,即y=-x+,作直线y=-x并平移,当直线经过点A(15,55)时,z取最大值.所以当x=15,y=55时,z取最大值.即当甲车间加工原料15箱、乙车间加工原料55箱时获利最大.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 二元一次不等式(组)表示平面区域问题的解法1.(2018云南玉溪模拟,6)已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形,则实数k的值为( )A.-1B.-C.D.1答案 D2.(2017河北武邑调研,9)设不等式组表示的平面区域为D,若圆C:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)经过区域D内的点,则r的取值范围是( )A.[2,2]B.[2,3]C.[3,2]D.(0,2)∪(2,+∞)答案 A3.(2017山西五校3月联考,15)不等式组表示的平面区域为Ω,直线x=a(a>1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分,则目标函数z=ax+y的最大值为.答案9方法2 与平面区域有关的范围、距离问题的求法4.(2017广东六校联盟联考,7)如果点P在不等式组表示的平面区域内,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( )A.-1B.2-1C.2D.-1答案 B5.(2018四川德阳模拟,15)若平面区域夹在两条平行直线之间,且这两条平行直线间的最短距离是,那么这两条平行直线的斜率是.答案2或方法3 线性规划问题的求解策略及其实际应用6.(2018广东东莞模拟,7)已知则z=22x+y的最小值是( )A.1B.16C.8D.4答案 C7.(2017河北唐山调研,18)某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品质量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如下表:已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载质量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,求最大预计收益是多少.解析设搭载A产品x件,B产品y件,预计收益为z万元,则z=80x+60y,由题意知,作出可行域,如图阴影部分(包含边界)内的整点.作出直线:80x+60y=0并平移,由图可知,当直线经过点M时,z取到最大值.由解得即M(9,4).所以z max=80×9+60×4=960.所以搭载9件A产品,4件B产品,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为960万元.。