应用随机过程3-泊松过程
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随机过程第三章-泊松过程
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则
随机过程——泊松过程(习题讲解)
n 0 k 1
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
应用随机过程第三章Poisson_过程
t s t
(u)du的Poisson分布，即
ｎ ［m(t+s)-m(t)] Ｐ(N(t+s)-N(t)=ｎ)＝ exp{[ m(t+s)-m(t)]} ｎ！
例 3.7
见黑板
3.3.2 复合Poisson过程
设{Yi，i 1,2， ...}是一列独立且同分布的随机变量， {N(t),t 0}是Poisson过程，且N(t),t 0}与{Yi， i 1,2， ...}独立.记 X(t)= Yi ,
这定理说明，由于Poisson过程具有平稳独立增量 性，从而在已知[0,t]内事件A发生一次的条件下， 事件发生时刻T1在[0,t]上是“等可能性的”，即T1 的条件分布是[0,t]上的均匀分布.
问题：自然地，我们会问
这个性质是否可推广到 N(t)=n, n 1的情形？
定理 3.4
设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则时间相继发 生时刻T1，T2，...,Tn在已知N(t)=n下的条件 概率密度为 n! f(t1,t2 ,..., tn )= n , t 0 t1 t2 ... tn .
i 1 N(t)
我们就称{X(t)，t 0}为复合Poisson过程.
注：复合Poisson过程未必是计数过程；但当Y i = c(常数)，i= 1, 2，...，可化为Poisson过程.
例：考虑一保险公司：它接到索赔次数服从Poisson 过程{N(t)}，每次的索赔额Yi是独立同分布的，且与 其发生时刻无关，那么该公司在[0,t]内的总索赔额 X(t)= Yi
注意 定理3.2的逆命题亦为真，且该逆命题也给出了 Poisson过程的另一个定价定义（即定义3.3），希 望同学们务必记住.
(u)du的Poisson分布，即
ｎ ［m(t+s)-m(t)] Ｐ(N(t+s)-N(t)=ｎ)＝ exp{[ m(t+s)-m(t)]} ｎ！
例 3.7
见黑板
3.3.2 复合Poisson过程
设{Yi，i 1,2， ...}是一列独立且同分布的随机变量， {N(t),t 0}是Poisson过程，且N(t),t 0}与{Yi， i 1,2， ...}独立.记 X(t)= Yi ,
这定理说明，由于Poisson过程具有平稳独立增量 性，从而在已知[0,t]内事件A发生一次的条件下， 事件发生时刻T1在[0,t]上是“等可能性的”，即T1 的条件分布是[0,t]上的均匀分布.
问题：自然地，我们会问
这个性质是否可推广到 N(t)=n, n 1的情形？
定理 3.4
设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则时间相继发 生时刻T1，T2，...,Tn在已知N(t)=n下的条件 概率密度为 n! f(t1,t2 ,..., tn )= n , t 0 t1 t2 ... tn .
i 1 N(t)
我们就称{X(t)，t 0}为复合Poisson过程.
注：复合Poisson过程未必是计数过程；但当Y i = c(常数)，i= 1, 2，...，可化为Poisson过程.
例：考虑一保险公司：它接到索赔次数服从Poisson 过程{N(t)}，每次的索赔额Yi是独立同分布的，且与 其发生时刻无关，那么该公司在[0,t]内的总索赔额 X(t)= Yi
注意 定理3.2的逆命题亦为真，且该逆命题也给出了 Poisson过程的另一个定价定义（即定义3.3），希 望同学们务必记住.
随机过程第三章 泊松过程 ppt课件
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记T n 为
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
随机过程第三章复习题及其解答泊松过程
第3章测验题解答一、填空题1.设}0),({≥t t X 是参数为λ>0的泊松过程对任意的),0[,+∞∈s t ，且t s <，则均值函数为__t λ____；相关函数为__s st λλ+2______。
答案：均值函数为：t X t X E t X E t m X λ=-==)]0()([)]([)(相关函数为：)]}()()()[({)]()([),(s X s X t X s X E t X s X E t s R X +-== 2)]([)]()()][0()([s X E s X t X X s X E +--=2)]}([{)]([)]()([)]0()([s X E s X D s X t X E X s X E ++--=2)()(s s s t s λλλλ++-=)1(2+=+=t s s st λλλλ2. 设}0),({≥t t X 是具有参数λ的泊松过程，}1,{≥n T n 是对应的时间间隔序列，则随机变量,...)2,1(=n T n 独立同分布服从___________。
答案：均值为λ/1的指数分布3.设}0,{≥n W n 是与泊松过程}0),({≥t t X 对应的一个等待时间序列，则n W 服从________，概率密度为______________。
答案：参数为n 与λ的Γ分布)!1(1)(0{)(---=n n t t en W t f λλλ<≥t t4.泊松过程的定义：称计数过程(){},0t ≥X t 为具有参数0λ>的泊松过程，若它满足下列条件：()100;X =（）;()(2)X t 是独立、平稳增量过程； ()(3)X t 满足下列两式：)(}1)()({h t t X h t X P ολ+==-+)(}2)()({h t X h t X P ο=≥-+5 .设}0),({≥t t X 是参数为λ>0的泊松过程对任意的),0[,+∞∈s t ，且t s <，方差函数为______；协方差函数为__________。
随机过程第三章 泊松过程
解：用一个泊松过程来描述。设 8 点为 0 时刻，则 9 点为 1 时刻，参数 ＝10 ，则由定
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
(解答)《随机过程》第三章习题
义随机过程 Z (t) X (t) Y (t), t 0 ，且令： pn (t) P{Z (t) n}。
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；
（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!
lim
h0
Pt
2
h 2
S2
t2
h 2 ,t5 h2
h 2
S5
t5
h
2
5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；
（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!
lim
h0
Pt
2
h 2
S2
t2
h 2 ,t5 h2
h 2
S5
t5
h
2
5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
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t
0
(s) d s
P{ X (t s) X (t ) n} [ (u )du]n
t t s
n!
exp{ (u )du}, n 0,1,2,
t
t s
[ m (t )] n exp{ m (t )}, 或 P{ X (t ) n} n!
且{N*(t)}是一个强度为1的泊松过程。
2010-9-2
理学院 施三支
定理3.2.2
设{ X (t ) ， t 0 }为泊松过程，则等待时间
Wn （ n 1 ）服从 ( n, ) 分布， 其概率密度为
f (t ) e
t
(t ) n1 ，t 0 (n 1)!
2010-9-2
理学院 施三支
2 事件到达时间的条件分布
第3章 泊松过程
3.1 Poisson过程 3.2 与Poisson过程相联系的若干分布 3.3 Poisson过程的推广
2010-9-2
理学院 施三支
3.1 泊松过程
1．计数过程 定义3.1.1 如果用 X (t ) 表示 [0，t]内某一特定事件发生的次数，则
随机过程{ X (t ) ， t 0 }称为一个计数过程。 且满足：
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} 分布函数： P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} s0 0, P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, P{ X (t ) 1} st P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} 分布密度： P{ X (t ) 1} 1 / t , 0 s t se s e ( t s ) s fW1 X ( t ) 1 ( s ) t 其它 te t 0,
定理3.2.1 设 { X (t ), t
0} 为参数 ( 0) 的泊松过程，
则到达时间间隔序列T1，T2， 是相互独立的随机变量序列，
且都有相同的均值为 1/ 的指数分布。
2010-9-2
理学院 施三支
例3.2.1 甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路 汽车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1辆 （乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试问可乘坐 甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的 概率分布及其期望。
2010-9-2 理学院 施三支
到达时间的条件分布
定理3.2.3 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A 发生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn与相应于 n个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布，即
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n ) t 其它 0,
X (t ) 表示到时刻 t 为止已发生的事件的总数，
Wi （ i 1,2, ）表示事件第 i 次发生的等待时间，
则称 { Wn ， n 1 }为等待时间序列。
以 Tn （ n 1）表示第 n 1 次发生到第 n 次发生之间的
时间间隔， 则称 { Tn ， n 1 }为到达时间间隔序列。 W3 W1 W2 T1 T2 T3 2010-9-2 理学院 施三支
2010-9-2
理学院 施三支
复合泊松过程的性质
定理3.3.2 设 X (t ) Y , t 0 是复合泊松过程，则 k
k 1 N (t )
(1) { X (t) , t 0 } 是独立增量过程; (2) 若 E[Y12 ] ，则
E [ X (t )] tE [Y1 ],
2010-9-2
理学院 施三支
例3.2.2 设在 [ 0 , t ] 内事件 A 已经发生 n 次，且 0 < s < t，对 于0 < k < n ，求在 [ 0 , s ] 内事件 A 发生 k 次的概率。
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
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3.3 Poisson过程的推广
一、 非齐次泊松过程
定义3.3.1 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有强度函数 (t) 的非 齐次泊松过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) P { X ( t h ) X ( t ) 1} ( t ) h o ( h )
X (t) 为具有参数 的泊松过程。
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注意
从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[ X (t )] t
并称
为此过程的
发生率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
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说明
要确定计数过程是泊松过程，必须证明它 满足三个条件：
条件（1）只是说明事件的计数是从时刻 t 0 开始
/小时的泊松过 顾客到达某 商店服从 参数 4 人 程，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一 位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。
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3.2 与Poisson过程相联系的若干分布
1．到达时间间隔Tn和等待时间Wi的分布 定义3.2.1
设 { X (t ) ， t 0 } 为 泊 松 过 程 ，
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注
如果在不相交的时间区间中发生的事件个 数是独立的，则称计数过程有独立增量。 若在任一时间区间中发生的事件个数的分 布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有 平稳增量。
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2．泊松过程 定义3.1.2 设随机过程{ X (t ) ， t 0 }是一个计数过程，满足
P { X ( t h ) X ( t ) 2} o ( h )
非齐次泊松过程的均值和方差函数为:
m X (t ) D X (t )
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t
0
(s) d s
非齐次泊松过程的分布
定理3.3.1 设{ X (t) , t 0 }为具有均值函数 m ( t ) 的非齐次泊松过程，令 N * (t ) X (m 1 (t )) ，则有
(1) X (0) 0 ；
(2) 独立增量过程；
(3)任一长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为
即对一切 s, t 0 ，有 t ( 0 )的泊松分布，
( t ) k t P{ X (t s ) X ( s ) k} e k!
则称
k 0,1,2,
D[ X (t )] tE [Y12 ]
2010保险公司接到的索赔次数服从强度为
5
次/月的泊松过程，每次理赔数均服从 2000,10000 上的均匀分布，则一年中保险公司平均赔付总额是 多少？ 单位：元
作业：1. P43 1,4,5,7,11* 2. 写本章小结
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（1） X (t ) 0 ；
（2） X (t ) 是整数值；
（3）对任意两个时刻 0 t1 t 2 ，有 X (t1 ) X (t 2 ) ； （4）对任意两个时刻 0 t1 t 2 ， X (t 2 ) X (t1 ) ，
等于在区间 (t1 , t 2 ] 中发生的事件的个数。
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n 0， 1,2，
例3.3.1 设{ X (t) , t 0 }是具有跳跃强度
( t ) 0 . 5 (1 cos t )
的非齐次泊松过程。求 E[X(t)] 和 D[X(t)]。
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例3.3.2 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘 客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性 增加， 8 时达到 1400 人 / 时； 8 时至 18 时保持平均到达率不 变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定 乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求 12 时至 14 时有 2000 人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人 数的数学期望。
（2）过程有平稳与独立增量；
（3） P{ X ( h) 1} h ( h ) ；
（4） P{ X ( h) 2} ( h) ；
其中 ( h) 表示当 h 0 时对 h 的高阶无穷小，
则称
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X (t ) 为具有参数 的泊松过程。
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例3.1.1
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二、复合泊松过程
定义3.3.2 设{ N (t) , t 0 }是强度为 的泊松过程， { Yk , k =1, 2, … }是一列独立同分布随机变量，且 与{ N (t) , t 0 }独立，令
N (t ) k 1
X (t ) Yk , t 0
则称{ X (t) , t 0 }为复合泊松过程。
条件（2）通常可从对过程的了解的情况去直接验证
然而全然不清楚如何去确定条件（3）是否满足
为此给出一个与泊松过程等价的定义
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定义3.1.2’ 设随机过程{
X (t ) ， t 0 }是一个计数过程，
参数为 （ 0 ） ， 满足
（1） X ( 0) 0 ；