人教版高中数学必修二考点练习：异面直线的判定
异面直线的判断方法
异面直线的判断方法一、异面直线的概念理解。
1.1 异面直线是空间中一种特殊的直线关系。
简单来说呢，就是两条直线不在同一个平面内。
这就好比两个人，一个在这个圈子里活动，另一个在完全不同的圈子里活动，两者没有交集的平面。
比如说，在一个正方体中，棱和不在这个棱所在平面的面对角线就是异面直线。
这概念看似简单，可真要准确判断，还得费点心思。
1.2 很多初学者容易混淆异面直线和相交直线。
相交直线是在同一个平面内有且只有一个交点的直线，而异面直线根本就不在同一个平面，这就是所谓的“差之毫厘，谬以千里”。
就像把香蕉和苹果放一起比较，虽然都是水果，但本质上有很大区别。
二、判断异面直线的方法。
2.1 定义法。
2.1.1 直接根据异面直线的定义来判断。
这就要求我们有很强的空间想象力。
例如，给你三条直线，你得想象它们是否能处在同一个平面。
如果怎么都不能让两条直线在一个平面里，那它们就是异面直线。
这就像你要把方形的积木塞进圆形的洞里，怎么塞都塞不进去，那就说明不匹配，是异面直线关系。
2.1.2 不过这种方法对于一些复杂的图形就有点吃力了。
就像走迷宫，简单的迷宫你能一眼看到出口，复杂的就容易晕头转向。
2.2 反证法。
2.2.1 这是个很巧妙的方法。
假设两条直线不是异面直线，也就是在同一个平面内，然后根据平面几何的知识进行推理。
如果推出矛盾，那就说明假设错误，这两条直线就是异面直线。
这就像是“欲擒故纵”，先假设不是，然后发现不行，那就只能是异面直线了。
2.2.2 已知直线a和直线b，假设它们在同一平面内，然后根据已知条件进行计算或者推导，结果发现与已知的某个条件冲突，比如角度或者长度关系不符合平面几何的定理，那就证明它们不在同一平面，是异面直线。
2.3 借助辅助平面法。
2.3.1 有时候我们可以通过构造辅助平面来判断。
先找到与其中一条直线平行或者包含这条直线的平面，然后看另一条直线与这个平面的关系。
如果另一条直线与这个平面相交，且交点不在第一条直线上，那这两条直线就是异面直线。
异面直线的判定
异面直线的判定一、判定两条直线异面，主要有以下三个依据：1．定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；2．既不平行也不相交的两条直线是异面直线；3．平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线．如图1：, A , , a B B a ααα⊂∉∈∉，那么直线AB与直线a 是异面直线．二、注意事项：1．定义中的“任何”两字很重要，不能随便改成“不同在某一个平面内”．2．反证法是证明两条直线异面的常用方法．三、例题：例1：基础训练题：1．如图2：平面l αβ⋂=，AC α⊂，BD β⊂，A 、B l ∈，CAB DBA ∠=∠，则AC 与BD 的位置关系是：A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面2．直线a 与直线b 、c 所成的角相等，则b 、c 的位置关系是：A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都可能3．“a 、b 为异面直线”是指：①a b φ⋂=，且a 与b 不平行；②a ⊂平面α，b ⊂平面β，且a b φ⋂=；③a ⊂平面α，b ⊂平面β，且αβφ⋂=；④a ⊂平面α，b ⊄平面α；⑤不存在平面α，使a ⊂α，b ⊂α成立．A ．①④⑤B ．①⑤C ．②④D ．②④⑤aaa（答案：1．C 2．D 3．B ）例2：如图3：已知a 、b 是异面直线，A a ∈，C a ∈，B b ∈，D b ∈，求证：直线AB 与直线CD 是异面直线．证：假设直线AB 与直线CD 共面于β， 则由AB β⊂可得A β∈， B β∈ 又由CD β⊂可得C β∈，D β∈又A a ∈，C a ∈，a β∴⊂ 又B b ∈，D b ∈，b β∴⊂∴直线a 、b 同在平面β内，与a 、b 是异面直线矛盾．∴假设不成立， ∴直线AB 与直线CD 是异面直线．思考：此题如果改为：“若直线c ，d 分别与两条异面直线a 、b 都相交，则c ，d 是异面直线”．此命题正确吗？（答案：不正确）例3：如图4，已知平面a αβ⋂=，b β⊂，且b a A ⋂=，c α⊂，且//c a ，求证：b 、c 是异面直线．证法一：假设b 、c 不是异面直线，它们同在平面γ内，平面α、γ均过直线c 与点A ， α∴与γ重合，由a α⊂， a γ∴⊂ 又γ 与β均过直线a 与b ，β∴与γ重合，从而α与β重合，这与题设α与β交于a 相矛盾． b ∴、c 是异面直线．证法二：假设b 、c 不是异面直线，则b 与c 相交或平行．若b 与c 相交，//a c ，a 与b 相交，从而a 、b 、c 在同一平面内，即平面α与β重合，这与题设α与β交于直线a 矛盾．若b 与c 平行，//a c ，//a b ∴，这与题设a 与b 交于点A 矛盾．综上可知，b 与c 是异面直线．。
高一数学必修2异面直线
高一数学必修2异面直线异面直线是指两条直线在空间中既不相交又不平行的情况。
在高中数学必修2中，学生将学习如何判断两条直线是否异面以及如何求解异面直线的性质。
首先，我们可以通过两条直线的方向向量来判断它们是否平行。
如果两条直线的方向向量不平行，则它们一定不平行。
然而，两条直线的方向向量平行并不意味着它们一定平行，因为两条直线可以在空间中任意平移。
为了判断两条直线是否相交，我们可以使用方程组的方法。
假设已知两条直线的参数方程分别为：直线1：x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1t直线2：x = x2 + a2t, y = y2 + b2t, z = z2 + c2t其中(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别是直线1和直线2上的一点，而(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)则是直线1和直线2的方向向量。
我们可以通过解方程组来判断两条直线是否相交。
如果方程组有解，则两条直线相交；如果方程组无解，则两条直线不相交。
如果两条直线相交，则我们可以进一步求解它们的交点。
将直线1和直线2的参数方程对应的x、y、z分量相等，可以得到一个关于t的方程组。
通过解这个方程组，我们可以求得两条直线的交点坐标。
在求解异面直线的性质时，我们通常会考虑两条直线的夹角。
两条异面直线的夹角是指它们的方向向量之间的夹角。
可以使用向量的内积公式来计算夹角，即cosθ = (a1a2 + b1b2 + c1c2) /(|a1b1c1||a2b2c2|)，其中θ表示夹角。
另外，异面直线还有一个重要的性质是它们的距离。
两条异面直线的距离是指两条直线上任意一点的距离的最小值。
要计算两条异面直线的距离，我们可以选择其中一条直线上的一点，然后计算该点到另一条直线的距离。
综上所述，高一数学必修2中的异面直线是一个重要的概念。
通过学习如何判断两条直线是否异面以及如何求解异面直线的性质，学生将能够更好地理解空间中的直线和它们之间的关系，为后续学习提供基础。
考点练习(必修二)：异面直线的判定(附答案)
异面直线的判定1. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．2. 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面3. 若a，b，c是空间3条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交4. 若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线5. 如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是________．6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________.7. 如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直8. 若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面9. 如右图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．参考答案1. 【自主解答】根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．【答案】①平行②异面③相交④异面2. D 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．3. 答案：D4. C 若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.5. 答案：③6.【解析】如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.【答案】DC，BC，D1C1，B1C17. 答案：D8. 答案：B9. 解：(1)不是异面直线．理由：∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又A1A D1D，而D1D C1C，∴A1A C1C.∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC.∴A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC⊂平面CC1D1.而BC⊥平面CC1D1，BC⊄平面CC1D1，∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．。
异面直线的判定练习题及答案
异面直线的判定1.已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线；（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．￥是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；3.已知：平面α∩平面β=a，b⊂α，b∩a=A，c⊂β且c∥a，求证：b、c是异面直线．,4.已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．{5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．%小结：常用方法是反证法（1）利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直（2）说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在平面ADC内．又在平面ABC内，必在它们的交线AC上．：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，∴AC、BD是异面直线．（2）∵E、H分别是AB、AD的中点所以EH平行且等于1/2BD, 又F、G分别是BC、DC的三等分点，EG平行等于2/3BD，．∴EH∥FG，且EH＜FG．∴FE与GH相交设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．同理，O在平面ABC内．从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．2.（1）假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，得到A、B、C、D在同一平面内，矛盾．3.（1）证明：用反证法．设EF与BD不是异面直线，4.则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，5.所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．6.故直线EF与BD是异面直线．7.3.证明b、c是异面直线，比较困难，考虑使用反证法，即若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交，证明b∥c或b与c相交都是不可能的，从而证明b、c是异面直线证明：用反证法：8.若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交9.（1）若b∥c．∵a∥c，∴a∥b这与a∩b=A矛盾；10.（2）若b，c相交于B，则B∈β，又a∩b=A，11.∴A∈β∴AB⊂β，即b⊂β这与b∩β=A矛盾12.∴b，c是异面直线．4.证明：法一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，5.那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，6.假设不成立，∴AD和BC是异面直线．7.法二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，8.设为α，由已知C∉平面α，B∈平面α，AD⊂平面α，B∉AD，∴AD和BC是异面直线．9.证明：用反证法，10.假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线．11.设直线CD1与BC1共面α．12.∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB1C1C，∴C，B，C1∈平面BB1C1C．13.∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，∴平面α与平面BB1C1C重合．∴D1∈平面BB1C1C，矛盾．14.因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线{。
空间两条直线的位置关系——异面直线课件
在空间向量中，异面直线可以通过向量的表示和向量的运算 来研究其性质和关系。
向量方法可以用来解决与异面直线相关的向量问题，如向量 的加减、数乘以及向量的模等。
04
异面直线的画法
画法一：通过平移法
总结词
通过将一条直线平移到另一条直线的平行位置，可以直观地展示异面直线的位置 关系。
详细描述
首先确定一条直线，然后选择一个点在该直线上，接着将该点沿着与另一条直线 平行的方向平移，最后连接平移后的点和原直线上的点，得到一条新的直线，即 为异面直线。
02
在解决几何问题时，异面直线还 可以用来确定两平面的位置关系 ，如平行、相交或垂直等。
解析几何中的异面直线
在解析几何中，异面直线可以通过坐 标轴表示，并利用直线的方程来判断 两直线是否为异面直线。
解析几何中，异面直线的距离也可以 通过坐标计算得到，这是解决空间距 离问题的常用方法。
空间向量中的异面直线
详细描述
首先确定两条直线的方向向量，然后根据向量的性质和运算规则，如向量的点积、向量的模等，可以判断两条直 线的位置关系，从而确定异面直线的位置关系。
05
异面直线的解题技巧
利用定义进行判定
总结词
根据异面直线的定义，如果两条直线不在同一平面上，则它们是异面直线。
详细描述
在解题时，首先观察两条直线的特点，判断它们是否在同一平面上。如果不在同一平面，则可以判定 为异面直线。
点与两直线的关系
在异面直线上任取一点， 该点与两条异面直线分别 构成线段，线段的中点与 另一条直线的中点重合。
点与两直线的性质
在异面直线上任取一点， 该点与两条异面直线的距 离相等，且等于两异面直 线之间的距离。
03
高中数学必修二2.1.2.异面直线
b a
M
ab
a与b是异面直线
2021/6/30
a与b是相交直线
a
b
a与b是平行直线
10
2. 异面直线的画法:
b
A
a
b
a
b
a
2021/6/30
作图时，通常 用一个或两个 平面衬托
11
概念辨析:两条异面直线指：
A、空间中不相交的两条直线； B、某平面内的一条直线和这平面外的直线； C、分别在不同平面内的两条直线； D、不在同一平面内的两条直线。 E、不同在任一平面内的两条直线； F、空间没有公共点的两条直线 G、既不相交，又不平行的两条直线
正确的说法是： E、G
2021/6/30
12
练习1： 已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1
上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？
D1
A1
Dபைடு நூலகம்A
2021/6/30
M
C1
B1
N
C
B 13
例1：
(1)在如图所示的正方体中，指出哪些
棱所在的直线与直线BA1是异面直线？
D1
C1
A1
B1
D
2021/6/30
A
C
B
14
探究:
CA
G HE
DB F
A
H G(C)
D F(B)
AB,CD,EF,GH这四条线段所在 E 的直线是异面直线的有几对?
相交直线有几对? 平行直线有几对?
答：是异面直线的有3对， 分别为AB 与CD ；AB与GH； GH与EF
2021/6/30
15
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
高二数学必修2第二章异面直线成角(线线角)求解方法情况总结与例题
构造异面直线所成角的几种方法二、例题讲解例1已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N 的关系是（）．A．M=N B．M N C．M N D．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∴∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）a B．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）a D．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．图-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
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异面直线的判定
1. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
2. 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()
A．a∥c B．a、c是异面直线
C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面
3. 若a，b，c是空间3条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是()
A．异面B．相交
C．平行D．异面或相交
4. 若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c()
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
5. 如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是________．
6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________.
7. 如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()
A．相交B．平行
C．异面而且垂直D．异面但不垂直
8. 若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
9. 如右图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
参考答案
1. 【自主解答】根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；
点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；
直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．
【答案】①平行②异面③相交④异面
2. D 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．
3. 答案：D
4. C 若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.
5. 答案：③
6. 【解析】如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.
【答案】DC，BC，D1C1，B1C1
7. 答案：D
8. 答案：B
9. 解：(1)不是异面直线．理由：
∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.
又A1A D1D，而D1D C1C，∴A1A C1C.
∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC.
∴A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．
(2)是异面直线．证明如下：
假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，
∴BC⊂平面CC1D1.而BC⊥平面CC1D1，BC⊄平面CC1D1，
∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．。